第6章 中心力场

Atomic physics and quantum mechanics
3
第一节
中心力场中的两体问题
中心力场是指势能函数只与 r 有关，与 θ , ϕ 无关。 如库仑场，这样的场具有中心对称性。 如果体系具有某种对称性，必然有一些力学量是守恒量， 体系的定态解由这些守恒量的共同本征函数集组成。
ˆ , lˆ 2 , l 是一组相互对易的力学量完全集。 中心力场中， H z
电子状态光谱学标记 l= 0 s n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 1s 2s 3s 4s 5s 6s 2p 3p 4p 5p 6p 3d 4d 5d 6d 4f 5f 6f 5g 6g 6h
21
l=1 p
l=2 d
l=3 f
l=4 g
l=5 h
Atomic physics and quantum mechanics
Atomic physics and quantum mechanics
离心势能：角动量愈大，离心势能愈大
ˆ l2 =−
2
⎡ 1 ∂ ∂ ∂2 ⎤ 1 ⎢ sin θ ∂θ (sin θ ∂θ ) + sin 2 θ ∂ϕ 2 ⎥ ⎣ ⎦
12
2 本征波函数
ˆ 中心力场中，取力学量完全集 H , l 2 , lz 共同本征态 φ (r ) 。 ˆ
Atomic physics and quantum mechanics
15
一 径向方程的解
1 方程化简
Ze 2 电子势能 V ( r ) = − 4πε 0 r
氢原子的质量为m1的核外电子和质量为m2的原子核通过库仑力 相互作用联系， Ze2 Ze2 U ( r1 − r2 ) = − =− r1 − r2 r 径向方程
Atomic physics and quantum mechanics
5
第一节
中心力场中的两体问题
主要内容
一 两体问题 二 变量分离 三 球坐标系下的哈密顿算符
Atomic physics and quantum nics
6
一 两体问题
1 两体运动的薛定谔方程 氢原子运动是两体运动（核外电子和原子核）。 对于两体运动问题，使用质心坐标系可转化为一个粒子在势 场中运动的单体问题。 质量分别为m1和m2的粒子，相互作用 U ( r1 − r2 ) 只与相对距离 r = r1 − r2 有关，体系的能量本征方程为：
Zr a0
0
2s
2p
Rnl (r )
n=2
3/2
e 3
− 2Z r a
0
n = 3, R30 (r) =
31
( ) R (r) = ( ) R (r ) = ( )
2Z a0 32 2Z a0
3s
3/2
[2 −
4 Zr 3a0
+ ( ) ]e
4 Zr 2 27 a0 − 3Zr a
0 0
− 3Zr a
l = (n − 1), (n − 2), , 0 m = 0, ± 1, ± 2, , ± l
18
3 径向波函数
径向波函数
Rnl (r ) = N nl e
L2l++l1 ( ρ ) = n
n −l −1
−
Z r na0
2 Z l 2l +1 2 Z r) ( r ) Ln +l ( na0 na0
ψ (r , R) = ϕ ( R )φ (r )
两体系统的定态薛定谔方程
ˆ ˆ H Rϕ ( R)φ (r ) + H rϕ ( R)φ (r ) = Etϕ ( R)φ (r ) ˆ ˆ H Rϕ ( R)φ (r ) = ( Et − H r )ϕ ( R)φ (r )
量纲分析
1 ˆ 1 ˆ H Rϕ ( R) = ( Et − H r )φ (r ) = Ec φ (r ) ϕ ( R)
因势能只与 r 有关，与 θ , ϕ 无关，用分离变量法求解， 相对运动的波函数 φ (r ) 表示成径向部分与角度部分的乘积
φ (r ) = φ (r ,θ , ϕ ) = R (r )Ylm (θ , ϕ )
角度部分 本征方程
lˆzYlm (θ , ϕ ) = −i
∂ Ylm (θ , ϕ ) = m Ylm (θ , ϕ ) ∂ϕ
∂2 ∂2 ∂2 ∇2 = 2 + 2 + 2 R ∂X ∂Y ∂Z
∂2 ∂2 ∂2 ∇2 = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
8
Atomic physics and quantum mechanics
3 质心系下薛定谔方程
相对坐标和质心坐标表示薛定谔方程
2 ⎡ 2 2 ⎤ 2 ⎢− 2M ∇R − 2m ∇ +U (r )⎥ψ (r , R) = Etψ (r , R) ⎣ ⎦
E = Et − Ec
单粒子能量本征方程，描述相对运动， E 是相对运动能量 两体问题
Atomic physics and quantum mechanics
质量—约化质量
单体问题
11
三 球坐标系下的哈密顿算符
1 哈密顿算符 由于中心对称性，哈密顿算符在球坐标系下表示为
ˆ Hr = −
2
2m
2
∇ 2 + U (r )
r1
r
R
r2
+ m 2
。
O
y
7
2 两体问题转化为单体问题
质心坐标和相对坐标
z
m1
R=
可证明：
m1r 1 + m2 r2 m1 + m2
r = r1 − r2
x
r1
r
R
+ m 2 r2
1 2 1 2 1 2 1 2 ∇1 + ∇2 = ∇R + ∇ m1 m2 M m
其中
O
y
m1m2 M = m1 + m2 , m = (m1 + m2 ) — 折合质量
ˆ2 ˆ ˆ , H ] = 0, [lˆ 2 , lˆ ] = 0 [l , H ] = 0, [lz ˆ z
Atomic physics and quantum mechanics
4
氢原子是结构最简单的，对氢原子问题处理与量子 理论的发展密切相关，氢原子理论结果得到相关实 验的证实，更精确实验进一步促使理论发展。 氢原子在数学上可以严格求解，其结论不仅解释了 氢原子的结构和光谱，而且有许多也适用于说明更 复杂的原子的结构和光谱。 氢原子问题是典型的中心力场问题。
西南科技大学国防科技学院
第六章 中心力场
2012-4-16
1
第六章: 中心力场
第一节 第二节 中心力场中的两体问题 氢原子与类氢离子的量子力学理论
Atomic physics and quantum mechanics
2
第六章: 中心力场
第一节 第二节 中心力场中的两体问题 氢原子与类氢离子的量子力学理论
其中
∑
v =0
[(n + l )!]2 ρ v (−1)v +1 (n − l − 1 − v)!(2l + 1 + v)!v !
缔合拉盖尔多项式
由波函数的归一化条件，归一化系数
⎧ 2Z 3 (n − l − 1)! ⎫ N nl = ⎨( ) 3⎬ ⎩ na0 2n[(n + l )!] ⎭
Atomic physics and quantum mechanics
Atomic physics and quantum mechanics
16
2 径向方程的渐进解
当 E > 0 时，对应粒子动能大于势能，力场不能束缚住电 子，电子可以离开原子核运动到无限远处，能量 E 可连续 取任何值，都存在物理意义的解，波函数都满足标准条件。 当 E < 0 时，粒子动能不能克服力场对其束缚，只能在有限 范围内运动，成为束缚态。能量将取分立值，即能量量子化 考虑束缚态 函数替换 径向方程
2 ⎛ ∂ ⎛ 2 ∂ ⎞ l (l + 1) − ⎜ ⎜r ⎟+ 2 2mr ∂r ⎝ ∂r ⎠ 2mr 2 ⎝ 2
⎞ + U (r ) ⎟ R(r ) = ER(r ) ⎠
化简
1 d ⎛ 2 dR (r ) ⎞ ⎡ 2m ⎛ Ze 2 ⎞ l (l + 1) ⎤ ⎥ R(r ) = 0 ⎟− ⎜r ⎟+⎢ 2 ⎜E + 2 2 r dr ⎝ dr ⎠ ⎣ r ⎠ r ⎦ ⎝
二 结果及讨论
1 能级和波函数 由
1 me Z 2 e 4 En = − 2 2 n 8ε 0 h 2 1 ⎛ e ⎞ me Z 2 =− ⎜ ⎟ 2 2 n 2 ⎝ 4πε 0 ⎠
2 2
β=
2mZe
2
α
2
⎛ 8mE ⎞ , α = ⎜− 2 ⎟ ⎝ ⎠
4 2
1 2
β = nr + l + 1 = n
ˆ l 2Ylm (θ , ϕ ) = l (l + 1) 2Ylm (θ , ϕ )
2 ⎛ ∂ ⎛ 2 ∂ ⎞ l (l + 1) ⎜− ⎜r ⎟+ 2 2mr ∂r ⎝ ∂r ⎠ 2mr 2 ⎝ 2
仅需求出径向波函数 R (r ) 即可，满足方程
⎞ + U (r ) ⎟ R (r ) = ER (r ) ⎠
R(r ) =
χ (r )
r
d 2 χ ⎡ 2m ⎛ Ze 2 ⎞ l (l + 1) ⎤ +⎢ 2 ⎜E+ ⎥χ =0 ⎟− 2 2 dr r ⎠ r ⎦ ⎝ ⎣