苏教版数学高一-【学案导学设计】 必修1试题 2.1.2函数的表示方法

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2.1.2 函数的表示方法

课时目标 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当方法表示函数.

1.函数的三种表示法

(1)列表法:用列表来表示两个变量之间函数关系的方法. (2)解析法:用等式来表示两个变量之间函数关系的方法. (3)图象法:用图象表示两个变量之间函数关系的方法. 2.分段函数

在定义域内不同部分上,有不同的解析表达式,像这样的函数通常叫做分段函数.

一、填空题

1.一个面积为100 cm 2的等腰梯形,上底长为x cm ,下底长为上底长的3倍,则把它的高y 表示成x 的函数为________.

2.一水池有2个进水口,1个出水口,进出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示.(至少打开一个水口)

给出以下3个论断:①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水不出水.则正确论断的个数是________. 3.如果f (1x )=x

1-x

,则当x ≠0时,f (x )=________.

4.已知f (x )=2x +3,g (x +2)=f (x ),则g (x )=__________________________________.

5.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧

x -5 (x ≥6)

f (x +2) (x <6),则f (3)=_________________________________.

6.已知f (x )=⎩

⎪⎨⎪⎧

x -3 (x ≥9)

f [f (x +4)] (x <9),则f (7)=________________________________.

7.一个弹簧不挂物体时长12 cm ,挂上物体后会伸长,伸长的长度与所挂物体的质量成正比例.如果挂上3 kg 物体后弹簧总长是13.5 cm ,则弹簧总长y (cm)与所挂物体质量x (kg)之间的函数关系式为________________________________. 8.已知函数y =f (x )满足f (x )=2f (1

x )+x ,则f (x )的解析式为____________.

9.已知f (x )是一次函数,若f (f (x ))=4x +8,则f (x )的解析式为________. 二、解答题

10.已知二次函数f (x )满足f (0)=f (4),且f (x )=0的两根平方和为10,图象过(0,3)点,求f (x )的解析式.

11.画出函数f (x )=-x 2+2x +3的图象,并根据图象回答下列问题: (1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小; (2)若x 1

能力提升

12.在交通拥挤及事故多发地段,为了确保交通安全,规定在此地段内,车距d是车速v(公里/小时)的平方与车身长S(米)的积的正比例函数,且最小车距不得小于车身长的一半.现假定车速为50公里/小时,车距恰好等于车身长,试写出d关于v的函数关系式(其中S为常数).

13.设f(x)是R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y,有f(x-y)=f(x)-y(2x -y+1),求f(x)的解析式.

1.如何作函数的图象

一般地,作函数图象主要有三步:列表、描点、连线.作图象时一般应先确定函数的定义域,再在定义域内化简函数解析式(可能有的要表示为分段函数),再列表描出图象,并在画图象的同时注意一些关键点,如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等.2.如何求函数的解析式

求函数的解析式的关键是理解对应法则f的本质与特点(对应法则就是对自变量进行对

应处理的操作方法,与用什么字母表示无关),应用适当的方法,注意有的函数要注明定义域.主要方法有:代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法). 3.分段函数是一个函数而非几个函数.

分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集,其值域是各段上“值域”的并集. 分段函数的图象应分段来作,特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况,以决定这些点的实虚情况.

2.1.2 函数的表示方法

作业设计 1.y =

50

x

(x>0) 解析 由x +3x

2·y =100,得2xy =100.

∴y =50

x

(x>0). 2.1

解析 由题意可知在0点到3点这段时间,每小时进水量为2,即2个进水口同时进水且不出水,所以①正确;从丙图可知3点到4点水量减少了1,所以应该是有一个进水口进水,同时出水口也出水,故②错;当两个进水口同时进水,出水口也同时出水时,水量保持不变,也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错. 3.1x -1

解析 令1x =t ,则x =1t ,代入f(1x )=x

1-x ,

则有f(t)=1t

1-

1t =1

t -1.

4.2x -1

解析 由已知得:g(x +2)=2x +3, 令t =x +2,则x =t -2, 代入g(x +2)=2x +3, 则有g(t)=2(t -2)+3=2t -1. 5.2

解析 ∵3<6,

∴f(3)=f(3+2)=f(5)=f(5+2)=f(7)=7-5=2. 6.6

解析 ∵7<9,

∴f(7)=f [f(7+4)]=f [f(11)]=f(11-3)=f(8). 又∵8<9,∴f(8)=f [f(12)]=f(9)=9-3=6. 即f(7)=6. 7.y =1

2

x +12

解析 设所求函数解析式为y =kx +12,把x =3,y =13.5代入,得13.5=3k +12,k =12

. 所以所求的函数解析式为y =1

2x +12.

8.f(x)=-x 2+2

3x (x ≠0)

解析 ∵f(x)=2f(1

x )+x ,①

∴将x 换成1x ,得f(1x )=2f(x)+1

x .②

由①②消去f(1x ),得f(x)=-23x -x

3,

即f(x)=-x 2+2

3x (x ≠0).

9.f(x)=2x +8

3或f(x)=-2x -8

解析 设f(x)=ax +b(a ≠0), 则f(f(x))=f(ax +b)=a 2x +ab +b.

∴⎩⎪⎨⎪⎧

a 2=4

ab +b =8,解得⎩⎪⎨⎪⎧

a =2

b =

83

或⎩⎪⎨⎪⎧

a =-2

b =-8

. 10.解 设f(x)=ax 2+bx +c(a ≠0). 由f(0)=f(4)知⎩⎪⎨⎪

f (0)=c ,f (4)=16a +4b +c ,

f (0)=f (4),

得4a +b =0.① 又图象过(0,3)点, 所以c =3.②

设f(x)=0的两实根为x 1,x 2, 则x 1+x 2=-b a ,x 1·x 2=c

a

.

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