用样本的数字特征估计总体的数字特征方差标准差

x1xx2xxnx
S
.
n
方差、标准差是样本数据到平均数的一种 平均距离。它用来描述样本数据的分散程度。 在实际应用中，标准差常被理解为稳定性。
假设样本数据是 x1,x2,xn, 平均数是 x
1、方差（标准差的平方）公式为：
s2 1 n [x 1 ( x )2 (x 2 x )2 (x n x )2 ]
2、标准差公式为：
s1 n[x (1x)2(x2x)2 (xnx)2]
在刻画样本数据分散程度上，两者是一致的！
如 试比较以下两组样本数据的分散程度 101，98，102，100，99 1 ，3 ，5 ，7 ，9
经验总结: 标准差用来描述样本数据的分散程度。
标准差
方差、标准差是样本数据到平均数的一种平均 距离。它用来描述样本数据的离散程度。在实际应 用中，标准差常被理解为稳定性。
规律：标准差越大， 则a越大，数据的 离散程度越大；反 之，数据的离散程 度越小。
性质归纳：kan b的平均数和方差：
已a1 知 ， a2， ， an的平均 3，数 方2． 是 差 则 a1b， a2b， ， anb的平均 3b， 数 方差 2． 是 k1 ， ak2 ， a ， kn 的 a 平3均 ， k 数 方 2是 2 ． k 差
数学应用：
例1、已知有一个样本的数据为1，2，3， 4，5，求平均数，方差，标准差。
解：平均数 x 3,
方 S 2 1 ( 差 1 3 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 3 ) 2 ( 4 3 ) 2 ( 5 3 ) 2 5 2.
标准S差 2.
例2 甲乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零件.为 了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中各 抽出20件,量得其内径尺寸如下(单位:mm) 甲 25.46, 25.32, 25.45, 25.39, 25.36
标准差是样本平均数的一种平均距离，一般用s表示．
所谓“平均距离”，其含义可作如下理解：
xx xx x x
假 设 样 本 数 据 是 1 ,2 , . . . n,表 示 这 组 数 据 的 平 均 数 ， i到
， 的 距 离 是
-
xi - x(i= 1,2,…,n).
-
于 是 样 本 数 据 x 1 , x 2 , x n 到 x 的 “ 平 均 距 离 ” 是
x甲 7
x乙 7
两人射击 的平均成绩是一样的. 那么两个
人的水平就没有什么差异吗?
频率
0.3
0.2
0.1
频率
4 5 6 7 8 9 10
(甲)
0.4 0.3 0.2 0.1
4 5 6 7 8 9 10 (乙)
发现什么？
环数
为此，我们还 需要从另外一 个角度去考察 这两组数据！
环数
直观上看，还是有差异的．如：甲成绩比较分散， 乙成绩相对集中(如图示)．因此，我们还需要从另外的 角度来考察这两组数据．例如：在作统计图，表时提到 过的极差．
• [正解] 小明5次考试成绩，从小到大排列为 45,93,95,96,98，中位数是95，应评定为“ 优秀”．
新课引入
样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本 数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算， 不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据 中的少量信息. 平均数代表了数据更多的信息，但 受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数 的影响也越大.当样本数据质量比较差时，使用众数、 中位数或平均数描述数据的中心位置，可能与实际 情况产生较大的误差，难以反映样本数据的实际状 况，因此，我们需要一个统计数字刻画样本数据的 离散程度.
二 、众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系
1、众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高 矩形的中点的横坐标。
2、在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方 图的面积相等！
3、将频率分布直方图中每个小矩形的面积与小矩形 底边中点的横坐标之积相加，就是样本数据的估值平 均数.
小明是班里的优秀学生，他的历次数学成绩是 96,98,95,93分，但最近的一次考试成绩只有45 分，原因是他带病参加了考试．期末评价时， 怎样给小明评价？
[错解] 这五次数学考试的平均分是
96＋98＋955＋93＋45 ＝ 85.4 ， 则 按 平 均 分 给 小 明 一 个 “ 良
好”．
• [错因分析] 这种评价是不合理的，尽管平 均分是反映一组数据平均水平的重要特征， 但任何一个数据的改变都会引起它的变化， 而中位数则不受某些极端值的影响．本题中 的5个成绩从小到大排列为：45,93,95,96,98 ；中位数是95，较为合理地反映了小明的数 学水平，因而应该用中位数来衡量小明的数 学成绩．
用样本的数字特征估计总体 的数字特征方差标准差
复习回顾
一.什么是一组数据的众数、中位数及平均数？
众数：一组数据中出现次数最多的数据。
中位数：把数据从小到大排列，若数据个数为奇数 个，最中间的数据就是中位数；若数据个数为偶数 个，则最中间两位数据的平均数就是中位数。
平均数：各数据总和除以数据个数所得的商．
问题提பைடு நூலகம்：
有两位射击运动员在一次射击测试中 各射靶十次，每次命中的环数如下： 甲 74 84 75 97 57 47 98 190 97 104 乙 95 56 76 87 77 67 87 68 87 97
如果你是教练，你应当如何对这次射击情 况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应 当如何作出选择？
25.34, 25.42, 25.45, 25.38, 25.42 25.39, 25.43, 25.39, 25.40, 25.44 25.40, 25.42, 25.35, 25.41, 25.39
乙 25.40, 25.43, 25.44, 25.48, 25.48 25.47, 25.49, 25.49, 25.36, 25.34 25.33, 25.43, 25.43, 25.32, 25.47 25.31, 25.32, 25.32, 25.32, 25.48
甲的环数极差=10-4=6
乙的环数极差=9-5=4.
它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度，与 平均数一起，可以给我们许多关于样本数据的信息．显 然，极差对极端值非常敏感，注意到这一点，我们可以 得到一种“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的统计 策略.
课程讲授
考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量 是标准差．