湘教版九年级数学上册知识点总结
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湘教版九年级数学上册第一章反比例函数（一）反比例函数1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；（二）反比例函数的图象与性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）． （1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大． （2）图象的位置和性质：自变量，函数图象与x轴、y轴无交点，两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大． （3）对称性：图象关于原点对称，若（a，b）在双曲线的一支上，（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上． 4．k的几何意义: 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y 轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点的面积为．图2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，如果方程化成的形式，那么可得；如果方程能化成 (的形式，那么进而得出方程的根。
配方式基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；②将二次项系数化成（可作为公式记也可以说AB：DE=BC：EF；推论：（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
湘教版九年级数学上册知识点归纳总结
湘教版九年级数学上册知识点归纳总结九年级数学上册第一章反比例函数一）反比例函数1.反比例函数可以写成y=k/x的形式，注意自变量x的指数为-1，在解决有关量指数问题时应特别注意系数这一限制条件。
2.y=kx可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式。
二）反比例函数的图象与性质1.函数解析式：y=k/x2.自变量的取值范围：x≠03.图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）。
1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直；双曲线越小，图象的弯曲度越大。
2）图象的位置和性质：自变量x越接近0，函数图象与x 轴、y轴无交点，两条坐标轴是双曲线的渐近线。
当x>0时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当x<0时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大。
3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）和（1/a，1/b）在双曲线的另一支上。
4.k的几何意义：如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是2k。
如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为k。
5.说明：1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论。
2）直线与双曲线的关系：当直线与双曲线不相交时，两图象没有交点；当直线与双曲线相切时，两图象有一个交点；当直线与双曲线相交时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称。
三）反比例函数的应用1.求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式。
2.反比例函数与一次函数的联系。
湘教版九年级数学上册知识点归纳总结教学内容
九上第一章反比例函数（一）反比例函数1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；（二）反比例函数的图象与性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：自变量，函数图象与x轴、y轴无交点，两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，若（a，b）在双曲线的一支上，（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义: 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（三）反比例函数的应用1、求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2、反比例函数与一次函数的联系．3、充分利用数形结合的思想解决问题．第二章一元二次方程（一）一元二次方程1、只含有一个未知数的整式方程（分母不含未知数），且都可以化为20++=（a、b、c为常数，ax bx ca≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。
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九（上）数学知识点第一章 反比例函数反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围：3．图象：（1）图象的形状：双曲线．越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质： 与坐标轴没有交点 当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大．第二章 一元二次方程（1）一元二次方程：只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化作ax 2+bx+c=0(a,b,c 为常数，a ≠0)的形式。
（2）一元二次方程的一般式及各系数含义一般式：ax 2+bx+c=0(a,b,c 为常数，a ≠0)，其中，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。
1、直接开平方法2、分解因式法：（1、提公因式法；2、公式法；3、十字交叉相乘法） 3、配方法：加上一次项系数一半的平方。
4、公式法（1）根的判别式：24b ac ∆=-，∆>0时，方程有两不等实数根；∆=0时，方程有两相同实数根；∆<0时，方程无实数根。
（2）求根公式 ： 当24b ac ∆=-≥0时，x=aacb b 242-±-（3）韦达定理：12b x x a +=-,12c x x a•= 第三章 图形的相似1、 线段的比一般地， 在四条线段中， 如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段 2、比例的基本性质 如果a cb d=， 那么ａｄ ＝ ｂｃ． 3、相似三角形的性质和判定三个角对应相等， 且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形． 如果△Ａ′Ｂ′Ｃ′与△ＡＢＣ 相似， 且Ａ′， Ｂ′， Ｃ′分别与Ａ， Ｂ， Ｃ 对应， 那么记作△Ａ′Ｂ′Ｃ′∽△ＡＢＣ，读作“△Ａ′Ｂ′Ｃ′相似于△ＡＢＣ”．相似三角形的对应边的比ｋ叫作相似比判定定理１ 三边对应成比例的两个三角形相似． 判定定理２ 两角对应相等的两个三角形相似.判定定理３ 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
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九（上）数学知识点答案第一章一元二次方程一元二次方程：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化作ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的形式。
（2）一元二次方程的一般式及各系数含义一般式：ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)，其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
2、分解因式法（1）分解因式的概念当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，根据a·b=0，那么a=0或b=0，这种解一元二次方程的方法称为分解因式。
（2）分解因式法解一元二次方程的一般步骤一、将方程右边化为零；二、将方程左边分解为两个一次因式的乘积；三、设每一个因式分别为0，得到两个一元二次方程；四、解这两个一元二次方程，它们的解就是原方程的解。
3、配方法（1）直接开平方法的定义利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法。
（2）配方法的步骤和方法一、移项，把方程的常数项移到等号右边；二、配，方程两边都加上一次项系数的一半的平方，把原方程化为（x+m）2=n(n≥0)的形式；三、直接用开平方法求出它的解。
4、公式法（1）求根公式b2-4ac≥0时，x=a acb b24 2-±-(2)求一元二次方程的一般式及各系数的含义一、将方程化为一元二次方程的一般ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)；二、计算b2-4ac 的值，当b2-4ac≥0时，方程有实数根，否则方程无实数根；三、代入求根公式，求出方程的根；四、写出方程的两个根。
命题与证明二、知识要点梳理知识点一：定义要点诠释：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义．知识点二：命题要点诠释：一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题．（句子根据其作用分为判断、陈述、疑问、祈使四个类别．定义属于陈述句，是对一个名称或术语的意义的规定．而命题属于判断句或陈述句，且都对一件事情作出判断．与判断的正确与否没有关系．）知识点三：命题的结构要点诠释：命题可看做由题设(或条件)和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．知识点四：公理要点诠释：人类经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据。
湘教版九年级数学上册知识点归纳总结
湘教版九年级数学上册知识点归纳总结一、反比例函数反比例函数及其图象的性质k 第一章反比例函数y=—1.函数解析式：X (k-:t:-0)2.自变量的取值范围：x;t=O3.图象：(1)图象的形状：双曲线．l k l I叶越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a,得到一组新数据X 1= x, -4 , X 2 = X2 -0 , …，x,』=x,.-a,那么.s =—f(入,+x2+---+式）］－了2 I立，2（此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方）(3)新数据法：原数据X i,X1,···,X11,的方差与新数据x\= x1 -a , x'2 = x�-a. …,x',. = x,1 -a的方差相等，也就是说，根据方差的基本公式，求得x'i,x'i ,···,x'11, 的方差就等千原数据的方差。
3、标准差：方差的算数平方极叫做这组数据的标准差，用"s"'表示，即s=N =J如－守+(X1三）l+…+(x,, -x)2]（方差或标准差越大，离散程度越大，稳定性越差，反之越稳定）识点用样本平均数、方差估计总体平均数、方差由于简单随机样本客观地反映了实际情况，能够代表总体，因此我们可用简单随机样本的平均数与方差分别去估计总体的平均数与方差．统计的简单应用1 . 从统计的观点看，一个“卑”就是总伈中共有某些特牲的个休在总休中所占的百分比2· 在实践中，我们常常通过简单随机抽样，用样本的�去估计总体相应的率．3· 通过科学调查，在取得真实可靠的数据后，我们可以运用正确的统计方法来推断总体，除此之外，还可以利用已有的统计数据来对事物在未来一段时间内的发展趋势做出皿和预测，为正确的决策提供服务．。
九年级数学书湘教版知识点
九年级数学书湘教版知识点九年级数学是初中数学学科的最后一年，是学生们准备迈入高中数学的重要阶段。
湘教版的九年级数学教材是一份经典教材，涵盖了广泛且重要的数学知识点。
本文将对该教材的知识点进行整理和说明，帮助学生们更好地掌握数学知识。
1. 代数代数是数学中的重要分支，它研究未知数和运算的关系。
在九年级数学书湘教版中，代数部分包括线性方程式、一次不等式、多项式以及二次根式的学习。
1.1 线性方程式线性方程式是形如ax + b = 0的方程，其中a和b是已知常数，x是未知数。
九年级数学书湘教版通过实际问题的解决，介绍了解线性方程的方法和步骤。
1.2 一次不等式一次不等式是形如ax + b < c或ax + b > c的不等式，其中a、b 和c是已知常数，x是未知数。
九年级数学书湘教版详细解释了如何解一次不等式，并介绍了解决实际问题时的应用。
1.3 多项式多项式是数学中的重要概念，它由多个项的代数和组成。
九年级数学书湘教版通过多项式的运算、因式分解、公式推导等内容，帮助学生理解和掌握多项式的性质和运算法则。
1.4 二次根式二次根式是形如√a的根式，其中a是非负实数。
九年级数学书湘教版通过二次根式的化简、运算和应用，使学生熟悉和掌握二次根式的相关知识。
2. 几何几何是数学中的重要分支，研究空间、形式和位置的关系。
在九年级数学书湘教版中，几何部分包括平面图形的性质、三角形的性质、相似形状和圆的研究。
2.1 平面图形的性质九年级数学书湘教版介绍了各种平面图形的定义、性质和判定方法。
包括正方形、矩形、梯形、菱形等。
2.2 三角形的性质三角形是几何学中研究最广泛的图形之一。
九年级数学书湘教版通过解释三角形的定义、分类和特性，帮助学生理解和掌握三角形的相关知识。
2.3 相似形状相似形状是指形状相同但大小不同的图形。
九年级数学书湘教版通过相似性质、比例关系和应用题，使学生了解和掌握相似形状的性质和计算方法。
湘教版九年级数学[上册]知识点归纳总结
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九上第一章 反比例函数（一）反比例函数1 ． （ ）可以写成 （ ）的形式，注意自变量 x 的指数为 ，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数 这一限制条件；2 ． （ ）也可以写成 xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的 k ，从而得到反比例函数的解析式；（二）反比例函数的图象与性质1．函数解析式： （ ）2．自变量的取值范围：3．图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量且 x 应对称取点（关于原点对称）1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直． 越小，图象的弯曲度越大．2）图象的位置和性质： 自变量，函数图象与 x 轴、y 轴无交点 ，两条坐标轴是双曲线的渐近线．当 时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内， 当 时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而减小； y 随 x 的增大而增大．， ）在双曲线的另一支上．图象关于直线 对称，即若（ a ， b ）在双曲线的一支上，则（， ）和（ ， ）在x 的取值不能为 0 ，．图1图 25 ．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（ 2）直线 与双曲线 的关系：当 时，两图象没有交点；当 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（三）反比例函数的应用1、求函数解析式的方法：（ 1）待定系数法；（ 2）根据实际意义列函数解析式．2、反比例函数与一次函数的联系． 3 、充分利用数形结合的思想解决问题．第二章 一元二次方程一）一元二次方程1、只含有一个未知数的 整式方程 （分母不含未知数 ），且都可以化为 ax 2 bx c 0（ a 、b 、c 为常 数， a≠ 0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。
2 、把 ax 2 bx c 0（a 、b 、c 为常数， a ≠0）称为一元二次方程的 一般式 ，a 为二次项系数； b 为一 次项系数； c 为常数项（包括符号）。
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7. 相似三角形的应用 (1) 测高 (不能直接使用皮尺或刻度尺量的) 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在 同一时刻物高与影长成比例”的原理解决.
(2) 测距 (不能直接测量的两点间的距离) 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形 求解.
8. 位似 (1) 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连 线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位 似图形，这个点叫做位似中心. (这时的相似 比也称为位似比) (2) 性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心 的距离之比等于位似比；对应线段平行或者在 一条直线上.
一次项： ax2 一次项系数：a 二次项： bx 二次项系数：b 常数项：c
4.注意事项： (1)含有一个未知数； (2)未知数的最高次数为2； (3)二次项系数不为0； (4)整式方程．
二、解一元二次方程的方法 各种一元二次方程的解法及使用类型
一元二次方程的解法 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解
3. 黄金分割
A
C
B
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果
AC ABBC AC Nhomakorabea那么称线段AB被点C 黄金分割
点C叫做线段AB的 黄金分割点
AC与AB（或BC与AC）的比叫做 黄金比
黄金比
5 1 ≈0.618 2
4. 图形的相似 (1) 形状相同的图形
(2) 相似多边形
①表象：大小不等， 形状相同. ②实质：各对应角相 等、各对应边成比例.
适用的方程类型 (x+m)2＝n（n ≥ 0）
x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
数学九上知识点总结湘教版
数学九上知识点总结湘教版一、集合与常用逻辑量词1. 集合的概念和基本运算集合是指具有某种特定属性的对象的全体。
常见的集合运算有并集、交集、补集和差集。
并集：将两个集合中的所有元素合并在一起，重复的元素只保留一个。
交集：两个集合中共有的元素组成的集合。
补集：对于给定的全集U，全集与某个集合A的交集的补集称为A的补集。
差集：集合A-B是指属于A但不属于B的元素组成的集合。
2. 常用逻辑量词常用的逻辑量词有“对于一切”、“存在”、“存在唯一”、“或”的逻辑量词等。
二、多项式与因式分解1. 多项式的概念和基本性质多项式是由一个或多个项相加或相减得到的代数式。
多项式的次数是指最高次项的次数。
2. 因式分解因式分解是指将一个多项式表示成若干个一次或多次乘积的形式。
常见的因式分解包括提公因式法、配方法、分组、公式等方法。
三、一元二次方程1. 一元二次方程的概念和解法一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a≠0。
解一元二次方程可以用因式分解、配方法、根的情况、求根公式等方法。
2. 一元二次方程的性质一元二次方程有两个根，可以用解的情况、求根公式来证明一元二次方程的性质。
四、平面直角坐标系上的概念1. 平面直角坐标系的基本概念平面直角坐标系是以两条相交的直线为坐标轴建立的坐标系，平面直角坐标系上可以表示点、直线、函数、图形等。
2. 距离的计算平面直角坐标系上两点之间的距离可以通过距离公式或勾股定理计算得到。
五、平面向量1. 平面向量的概念和基本性质平面向量是具有大小和方向的量，可以表示为有向线段，平面向量的加法、数乘、夹角公式等都是平面向量的基本性质。
2. 平面向量的坐标表示平面向量可以用坐标表示，其中向量的坐标表示是指将向量的起点移动到原点，终点的坐标称为向量的坐标。
六、函数1. 函数的概念和性质函数是一个集合，它的每一个元素(x)与另一个元素(f(x))有对应关系。
函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等都是函数的性质。
九年级上数学知识点湘教版
九年级上数学知识点湘教版在九年级上册湘教版的数学课程中，我们将继续学习各种数学知识和技能，为高中数学的学习打下坚实的基础。
下面是本学期我们需要掌握的几个重要数学知识点。
1. 实数的运算实数是我们数学中最基础的概念之一。
在九年级上册中，我们将学习实数的加减乘除运算规则，包括正数、负数、零以及分数等。
我们将学习如何在数轴上表示实数，并且掌握实数的大小比较。
2. 平方根和立方根平方根和立方根是数学中常见的概念。
在本学期，我们将学习如何计算平方根和立方根，并且学习如何使用它们解决实际问题。
我们还将学习如何简化根式，并且掌握根式的性质。
3. 一元一次方程一元一次方程是九年级数学的一个重要内容。
我们将学习如何解一元一次方程，包括使用加减消元法、配方法和图解法等。
我们还将学习如何应用一元一次方程解决实际问题，如找到未知数的值或者求某个量的变化规律。
4. 三角形的性质与计算在九年级上册，我们将学习三角形的性质与计算。
我们将学习如何计算三角形的面积，包括等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
我们还将学习三角形内角和的性质，以及三角形的相似性质。
5. 概率与统计概率与统计是九年级数学的最后一个重要知识点。
我们将学习如何计算事件的概率，包括基本事件、互斥事件和相互独立事件。
我们还将学习如何进行数据处理和统计分析，包括图表的绘制和数据的解读。
通过学习以上数学知识点，我们将能够更加熟练地运用数学知识解决实际问题，提高数学思维能力和分析问题的能力。
希望同学们认真学习，掌握这些数学知识点，为高中的数学学习打下坚实的基础。
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【最新整理，下载后即可编辑】九上第一章反比例函数（一）反比例函数1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；（二）反比例函数的图象与性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：自变量，函数图象与x轴、y轴无交点，两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，若（a，b）在双曲线的一支上，（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义: 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC 的面积为．图1图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（三）反比例函数的应用1、求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2、反比例函数与一次函数的联系．3、充分利用数形结合的思想解决问题．第二章一元二次方程（一）一元二次方程1、只含有一个未知数的整式方程（分母不含未知数），且都可以化为20++=（a、b、c为常数，ax bx ca≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。
九年级上册数学知识点归纳湘教版
2018年茶陵思源实验学校九年级数学第一章《反比例函数》知识点归纳和典型例题一、基础知识（一）反比例函数的概念1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数的自变量，故函数图象及x轴、y轴无交点．（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x 应对称取点（关于原点对称）．（三）反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：（1）图象的形状：双曲线．越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：及坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图2 5．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线及双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（3）反比例函数及一次函数的联系．（四）实际问题及反比例函数1．求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．（五）充分利用数形结合的思想解决问题．三、例题分析1．反比例函数的概念（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．y=3x B． C．3xy=1 D．（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．B． C．D．答案：（1）C；（2）A．2．图象和性质（1）已知函数是反比例函数，①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．②若y随x的增大而减小，那么k=___________．（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，则直线不经过的象限是（）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m的图象经过（）．A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）．A．B． C．D．答案：（1）①②1；（2）一、三；（3）四；（4）C；（5）C；（6）B．3．函数的增减性（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（）．A．正数B．负数 C．非正数 D．非负数（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（ ）． A ．＜＜B ．＜＜C ．＜＜D ．＜＜第二章《一元二次方程》知识点 一、本章知识结构框图二、具体内容 （一）、一元二次方程的概念1．理解并掌握一元二次方程的意义未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数（1）明确只有当二次项系数0≠a 时，整式方程02=++c bx ax 才是一元二次方程。
湘教版九年级数学上册知识点归纳总结
九年级数学上册第一章反比例函数（一）反比例函数1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；（二）反比例函数的图象与性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：自变量，函数图象与x轴、y轴无交点，两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，若（a，b）在双曲线的一支上，（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义: 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图2 5．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（三）反比例函数的应用1、求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2、反比例函数与一次函数的联系．3、充分利用数形结合的思想解决问题．第二章一元二次方程（一）一元二次方程1、只含有一个未知数的整式方程（分母不含未知数），且都可以化为20++=（a、ax bx cb、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。
(完整word版)湘教版九年级数学上册知识点总结简洁重点的
九（上）数学知识点覃勉相似三角形周长的比等于相似比, 相似三角形面积的比等于相似比的平方第一章一兀二次方程一元二次方程：只含有一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化作 ax 2+bx+c=0（a,b,c 为常数， 0）的形式。
（2 ）一元二次方程的一般式及各系数含义一般式：ax 2+bx+c=0（a,b,c 为常数，a * 0），其中，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是 常数项。
2、 分解因式法3、 配方法4、 公式法 （1 ）求根公式： b .b 2 4acx=—2a（2）求一元二次方程的一般式及各系数的含义 一、将方程化为一元二次方程的一般ax 2+bx+c=0（a,b,c 为常数，a * 0）；二、计算 b-4ac的值，当b 2-4ac > 0时，方程有实数根（> 0有两个实数根，=0两个相等实数根）•当b2-4ac v 0时，方程无实数根；三、代入求根公式，求出方程的根；四、写出方程的两个根。
第三章图形的相似1、 线段的比一般地， 在四条线段中， 如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段2、 比例的基本性质如果a / b = c / d,那么ad = be. 3、 相似三角形的性质和判定角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形.如果△A'E'C '与AAEC 相似，且A', E', C'分别与A, B, C 对应， 那么记作△A'B'C's^ABC, 读作“△A'B'C '相似于AABC” .相 似三角形的对应边的比k 叫作相似比判定定理1 三边对应成比例的两个三角形相似. 判定定理2 两角对应相等的两个三角形相似 •判定定理3 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
b 2-4ac > 0 时,4、 相似多边形把对应角相等， 并且对应边成比例的两个多边形叫作相似多边形. 相似多边形的对应边的比k叫作相似比.相似多边形周长的比等于相似比， 相似多边形面积的比等于相似比的平方.取定一点O,把图形上任意一点P对应到射线OP(或它的反向延长线)上一点P ',使得线段OP '与OP 的比等于常数k (k > 0),点O 对应到它自身, 这种变换叫作位似变换 ,点O 叫作位似中心， 常数k 叫作位似比， 一个图形经过位似 变换得到的图形叫作与原图形位似的图形•从位似变换和位似的图形的定义立即得出：两个位似的图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上， 并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于位似比. 5、 相似多边形的性质性质1相似多边形的对应边成比例 性质2相似多边形的对应角相等. 性质3相似多边形周长的比等于相似比， 相似多边形面积的比等于相似比的平方.6、 相似多边形的判定对应角相等， 对应边成比例的两个多边形相似.第四章、解直角三角形锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做 /A 的锐角三角函数锐角三角函数的取值范围： O W sin a< 1, 0< COS aW 1, tan a 》0.锐角三角函数之间的关系(1) 平方关系sin 2 A cos 2 A 1(2) 倒数关系如图，在△ ABC 中，/ C=90°sin AA 的对边斜边cos AA 的邻边斜边tan AA 的对边A 的邻边 cotAA 的邻边 A 的对边/A 的邻辺NR 的時边tan A?ta n(90 —A)=1(3)弦切关系sin A 仆cos A ta nA= cotA=-cos A si nA(4)互余关系sinA=cos(90 —A), cosA=sin(90 —A)tanA=cot(90 —A), cotA=tan(90 —A)特殊角的三角函数值a sin a cos a tan a cot a30°1273pF45°孚孚1160°"2-12矣T（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）阳越小，图象的弯曲度越大.九下(2)图象的位置和性质: 与坐标轴没有交点当上＞0时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内， y 随x 的增大而减小; 当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大.、二次函数相关概念及定义二次函数的概念：一般地，形如 y ax' bx c ( a , b , c 是常数，a 0 )的函数，叫做二 次函数。
九年级数学湘教版知识点
九年级数学湘教版知识点一、整数与有理数整数表示及其运算1. 整数的概念整数是由正整数、零和负整数组成的数集，用表示。
2. 整数的运算(1) 加法运算：整数与整数相加的结果仍然是整数。
(2) 减法运算：整数与整数相减的结果仍然是整数。
(3) 乘法运算：整数与整数相乘的结果仍然是整数。
(4) 除法运算：整数之间可以进行除法运算，商不一定是整数，但可以是有理数。
有理数的表示及其运算1. 有理数的概念有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括整数、分数和小数。
2. 有理数的运算(1) 加法运算：有理数与有理数相加的结果仍然是有理数。
(2) 减法运算：有理数与有理数相减的结果仍然是有理数。
(3) 乘法运算：有理数与有理数相乘的结果仍然是有理数。
(4) 除法运算：有理数之间可以进行除法运算，商不一定是有理数，但可以是无理数。
二、平面图形与立体图形平面图形的性质1. 正多边形正多边形是指所有边相等、所有角相等的多边形。
2. 直线和平行线(1) 直线是由无数个点连在一起而成的，不存在拐弯。
(2) 平行线是指两条直线在同一个平面上永不相交的线。
立体图形的性质1. 三视图立体图形的三视图包括俯视图、主视图和左视图，可以用来全面了解立体图形的结构和形状。
2. 立体图形的展开图立体图形的展开图是将其各个面展开为一个平面图形，便于计算和构造。
三、比例与相似比例的概念及性质1. 比例的概念比例是指两个数或量之间的相等关系，可以用等号（=）表示。
2. 比例的性质(1) 两个比例相等的四个数依次对应相等。
(2) 如果两个比例的两个对应项分别相等，则这两个比例相等。
相似的概念及判定1. 相似的概念相似是指两个图形形状相同，但大小不一样。
2. 判定相似的条件(1) 对应角相等：两个相似图形的对应角相等。
(2) 对应边成比例：两个相似图形的对应边成比例。
四、一次函数与一元一次方程一次函数与图像1. 一次函数的概念一次函数是指函数的表达式为，其中和为常数。
湘教版九年级数学上册《公式法 》知识全解
《公式法》知识全解课标要求理解公式法，能用公式法解数字系数的一元二次方程.知识结构内容解析1.公式法：一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的求根公式为：242b b ac x a -±-=（240b ac -≥），其中公式中的a 、b 、c 分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.我们用求根公式法求一元二次方程解的方法称为公式法.2.求根公式的推导：解：20ax bx c ++= 方程两边都除以a ，得:20b c x x a a++= 配方，得：222()()22b b c b x x a a a a ++=-+ 即：2224()24b b ac x a a -+= 当24b ac -≥0时，开平方得：2422b b ac x a a ±-+= 所以方程的解是：242b b ac x a-±-= 当24b ac -<0时，方程无实数根.⑶用公式法解一元二次方程的一般步骤是：①首先把一元二次方程化为一般形式；②确定公式中a 、b 、c 的值；③求出24b ac -的值；④若24b ac -≥0，则把a 、b 、c 及24b ac -的值代入求根公式即可求解.当24b ac -<0时，此时方程无实数解.注意：⑴求根公式是专指一元二次方程的求根公式，只有方程为一元二次方程时，方可运用求根公式，即20ax bx c ++=中a ≠0.⑵公式中的“24b ac -≥0”是公式成立的一个前提条件.重点难点教学重点：正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力.关键是由特殊的解法（配方法）引导探究一般形式一元二次方程的解的形式展开，利用学生已有的知识，让学生多交流，主动参与到教学活动中来，让学生处于主导地位.通过比较合理的问题设计、小组讨论形式让学生更好的掌握知识.教学难点：正确地推导出一元二次方程的求根公式，理解 b 2-4ac 判别式对一元二次方程根的影响和应用.关键是在教师的指导下，经历观察、推导、交流归纳等活动导出一元二次方程的求根公式和灵活运用根的判别式．教法导引采用启发式、自主探究式的教学方法.教学中力求体现“类比---探究-----归纳”的模式.有计划的逐步展示知识的产生过程，渗透数学思想方法.由于学生配平方的能力有限，所以，本节课借助多媒体辅助教学，由特殊到一般指导学生通过观察与演示，总结配方规律，从而突破难点.同时学生经过自主探索和合作交流的学习过程，产生积极的情感体验，进而创造性地解决问题，有效发挥学生的思维能力，发挥学生的自觉性、活动性和创造性.通过复习回顾，用配方法解一元二次方程的一般步骤，并通过纠正板演同学的解题过程，加深学生的印象；进而复习配方法解一元二次方程的步骤.为了解决“配方法、公式法”谁更好用？很多学生都明白公式法是在配方法上基础上的推导出来，并且有一个通用公式可算，所以学生潜意识已经认为公式法更简单.通过现场测试，很多同学又一次回到首先移项，接着只能用公式法的做法上.其实，在这里学生让没有抓住配方法的精髓.这两题依然是可以用配方法，而且很快就可以解出来.学法建议 依照学生的认知规律引导学生从简单的问题中发现规律，在训练内容的选择上考虑到学生接受新旧知识结合的能力：一是以方法为主，采用层层递进的方式，由配方法过渡到公式法解一元二次方程.二是以基本技能为主，而不追求繁难的一元二次方程的解题特殊技巧.在运用不同的方法解一元二次方程时，要具体问题具体分析选择最佳方法合理解题.在精心设计的练习过程中抓住学生问题的症结，培养学生独立分析、理解能力和思考解决问题的能力，提高解题技巧.。
九年级湘教版数学知识点汇总
九年级湘教版数学知识点汇总初三数学上册知识点归纳1、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。
零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0;若|a|=-a，则a≤0。
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
(1)一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.即：﹝另有两种写法﹞(2)实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离.(3)几个非负数的和等于零则每个非负数都等于零。
注意：│a│≥0,符号"││"是"非负数"的标志;数a的绝对值只有一个;处理任何类型的题目，只要其中有"││"出现，其关键一步是去掉"││"符号。
2、解一元二次方程解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
(1)直接开平方法：用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=±m.直接开平方法就是平方的逆运算.通常用根号表示其运算结果.(2)配方法通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。
这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的依据是完全平方公式。
1)转化：将此一元二次方程化为ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式)2)系数化1：将二次项系数化为13)移项：将常数项移到等号右侧4)配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方5)变形：将等号左边的代数式写成完全平方形式6)开方：左右同时开平方7)求解：整理即可得到原方程的根(3)公式法公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
初三数学复习方法总结按部就班数学是环环相扣的一门学科，哪一个环节脱节都会影响整个学习的进程。
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九（上）数学知识点答案第一章一元二次方程一元二次方程：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化作ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的形式。
（2）一元二次方程的一般式及各系数含义一般式：ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)，其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
2、分解因式法（1）分解因式的概念当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，根据a·b=0，那么a=0或b=0，这种解一元二次方程的方法称为分解因式。
（2）分解因式法解一元二次方程的一般步骤一、将方程右边化为零；二、将方程左边分解为两个一次因式的乘积；三、设每一个因式分别为0，得到两个一元二次方程；四、解这两个一元二次方程，它们的解就是原方程的解。
3、配方法（1）直接开平方法的定义利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法。
（2）配方法的步骤和方法一、移项，把方程的常数项移到等号右边；二、配，方程两边都加上一次项系数的一半的平方，把原方程化为（x+m）2=n(n≥0)的形式；三、直接用开平方法求出它的解。
4、公式法（1）求根公式b2-4ac≥0时，x=a acb b24 2-±-(2)求一元二次方程的一般式及各系数的含义一、将方程化为一元二次方程的一般ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)；二、计算b2-4ac 的值，当b2-4ac≥0时，方程有实数根，否则方程无实数根；三、代入求根公式，求出方程的根；四、写出方程的两个根。
命题与证明二、知识要点梳理知识点一：定义要点诠释：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义．知识点二：命题要点诠释：一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题．（句子根据其作用分为判断、陈述、疑问、祈使四个类别．定义属于陈述句，是对一个名称或术语的意义的规定．而命题属于判断句或陈述句，且都对一件事情作出判断．与判断的正确与否没有关系．）知识点三：命题的结构要点诠释：命题可看做由题设(或条件)和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．知识点四：公理要点诠释：人类经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据。
这样公认为正确的命题叫做公理。
例如：“两点之间线段最短”，“一条直线截两条平行所得的同位角相等”知识点五：：定理要点诠释：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
定理也可以作为判断其他命题真假的依据。
知识点六：真命题与假命题要点诠释：如果题设成立，那么结论一定成立，像这样的命题叫做真命题。
相反，如果题设成立时，不能保证结论总是正确的，就认为结论不成立，像这样的命题叫做假命题，凡是假命题都是错误的命题。
知识点七：证明要点诠释：由题设出发，经过一步步的推理最后推出结论（书证）正确的过程叫做证明。
证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，在此以前学过的定理。
（证明命题的格式一般为：1）按题意画出图形；2）分清命题的条件和结论，结合图形在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；3）在“证明”中写出推理过程）知识点八：假命题的判定要点诠释：只需举出反例，它符合命题的题设，但不满足结论，即可判定该命题是假命题。
知识点九：反证法要点诠释：从假设所需证的命题的结论不成立出发，结合条件推出与已知条件或正确命题相矛盾的结论，说明假设错误，原命题成立的证明方法三、规律方法指导1.数学中判定一个命题是真命题，要经过证明．要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可．2.证明的意义：在几何中，除了公理以外，不管所论及的命题的结论是多么明显，都必须通过推理来证明．3.反证法的适用范围（1）已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少；（2）命题的结论以否定形式出现时；（3）命题的结论以“至多”、“至少”的形式出现时（4）命题的结论以“唯一”的形式出现；（5）命题的结论以“无限”的形式出现时；（6）关于存在性命题；（7）某些定理的逆定理。
四、经典例题透析类型一：例、判断下列语句在表述形式上，哪些对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？（1）对顶角相等；(2)画一个角等于已知角；(3)两直线平行，同位角相等；（４），两条直线平行吗? (5)鸟是动物；(6)若，求的值；(7)若，则．思路点拨:通过本题熟悉命题的定义解析：句子(1)(3)(5)(7) 对事情作了判断，句子(2)(4)(6)没有对事情作出判断．其中(1)(3)(5)判断是正确的，（7）判断是错误的．总结升华：数学课的主要研究对象是数学知识，所以今后的相关学习是研究数学命题。
举一反三：【变式1】下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题?(1)若a＜b，则；(2)三角形的三条高交于一点；(3)在ΔABC中，若AB＞AC，则∠C＞∠B吗?(4)两点之间线段最短；(5)解方程；(6)1＋2≠3．【答案】（1）（2）（4）（6）是命题，（3）（5）不是命题．类型二：例、指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：(1)三条边对应相等的两个三角形全等；(2)在同一个三角形中，等角对等边；(3)对顶角相等；(4)同角的余角相等；(5)三角形的内角和等于180°；(6)角平分线上的点到角的两边距离相等．思路点拨:找出命题的条件和结论是本题的难点，因为命题在叙述时要求通顺和简练，把命题中的有些词或句子省略了，在改写时注意要把省略的词或句子添加上去．解析：（1）“三条边对应相等”是对两个三角形来说的，因此写条件时最好把“两个三角形”这句话添加上去，即命题的条件是“两个三角形的三条边对应相等”，结论是“这两个三角形全等”．可以改写成“如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等”．（2）“等角对等边含义”是指有两个角相等所对的两条边相等。
可以改写成“如果在同一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
”值得注意的是，命题中包含了一个前提条件：“在一个三角形中”，在改写时不能遗漏．（3）这个命题的条件是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等”．这个命题可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．（4）条件是“两个角是同一个角的余角”，结论是“这两个角相等”．这个命题可以改写成“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”．（5）条件是“三个角是一个三角形的三个内角”，结论是“这三个角的和等于180°”．这个命题可以改写如果“三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180°”；(6) “如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等。
”∠AOC平分线是OE，∠DOB平分线是OF，判断OE和OF是在同一条直线上C的平分线OF互为反向延长线，即OE、OF在同一条直线上，但∠1≠∠3，∴∠AOD≠∠BOD，A、O、B不在同一条直线上，∴不是对顶角，填×。
类型三：例、证明：“如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直线也和另一条垂直．”思路点拨:总结步骤：1．审题：分清命题的“题设”和“结论”．2．译题：结合图形中的字母及符号，写出已知，求证．3．想题：用“执因索果”(综合法)；用“执果索因”(分析法)寻找论证推理的逻辑思路．一般是把二者结合起来思考，效果较好，这也叫综合分析法．4．证题：从已知出发，每一步过程要有根据(定义，公理或定理)最后得到结论，全面推理过程要因果分明．解析：已知：a∥b，a⊥c，求证：b⊥c证法(一)：∵a⊥c，(已知)∴∠1=90°．(垂直的定义)∵a∥b，(已知)∴∠1=∠2，(两直线平行，同位角相等)∴∠2=90°，(等量代换)∴b⊥c．(垂直定义)证法(二)：∵a∥b，(已知)∴∠1=∠2．(两直线平行，同位角相等)∵a⊥c，(已知)∴∠1=90°，(垂直定义)∴∠2=90°，(等量代换)∴b⊥c．(垂直定义)【变式1】求证：同角的余角相等．已知：∠2是∠1的余角，∠3是∠1的余角．求证：∠2=∠3．【答案】证明：因为∠2与∠1互为余角，∠3与∠1互为余角，(已知) 所以∠2+∠1=90°，∠3+∠1=90°．(余角定义)所以∠2+∠1=∠3+∠1．(等量代换)则∠2=∠3．(等量减等量差相等)类型四：例、已知：如右图，直线l1，l2，l3在同一平面内，且l1∥l2，1 3与11相交于点P.求证：13与l2相交．（使用反证法）思路点拨:仔细阅读反证法的定义，掌握这种方法的规律。
解析：证明：假设，13与l2不相交，即l3∥l2，又∵l1∥l2（已知），∴过直线12外一点P有两条直线11,13与直线12平行，这与“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾，∴假设不成立，即求证的命题成立，∴13与12相交．【变式1】用反证法证明不是有理数【答案】证明：假设是有理数，则可表示为（，为自然数，且互质）两边平方，得2n2=m2①由①知m2必是2的倍数，进而m必是2的倍数．令m=2p代入①式，得 n2=2p2②由②知，必是2的倍数，m和n都是2的倍数，则m、n不互质，与假定m、n互质相矛盾，不是有理数．【变式2】我们年级有367名学生，请你证明这些学生中至少有两个学生在同一天过生日．【答案】设“假设任何两个学生都不在同一天过生日”所以这367人就会有不同的367天过生日这就出现了与一年只有365天（闰年366天）的矛盾．因此反设不成立。
所以“至少有两个学生在同一天过生日”第三章图形的相似直观上，把一个图形放大（或缩小）得到的图形与原图形是相似的．1、线段的比一般地，如果选用同一长度单位量得两条线段ＰＱ，Ｐ′Ｑ′的长度分别为ｍ，ｎ，那么把长度的比ｎｍ叫作这两条线段Ｐ′Ｑ′与ＰＱ的比，记作Ｐ′Ｑ′/ＰＱ＝ｎ/ｍ，或Ｐ′Ｑ′∶ＰＱ＝ｎ∶ｍ，其中Ｐ′Ｑ′，ＰＱ分别叫作比的前项、后项，如果ｎ/ｍ的比值为ｋ，那么也可写成Ｐ′Ｑ′/ＰＱ＝ｋ，或Ｐ′Ｑ′＝ｋ·ＰＱ．一般地，在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段2、比例的基本性质比例的基本性质：如果ａ/ｂ＝ｃ/ｄ，那么ａｄ＝ｂｃ．3、相似三角形的性质和判定角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形．如果△Ａ′Ｂ′Ｃ′与△ＡＢＣ相似，且Ａ′，Ｂ′，Ｃ′分别与Ａ，Ｂ，Ｃ对应，那么记作△Ａ′Ｂ′Ｃ′∽△ＡＢＣ，读作“△Ａ′Ｂ′Ｃ′相似于△ＡＢＣ”．相似三角形的对应边的比ｋ叫作相似比判定定理１如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．判定定理１ 可以简单说成：三边对应成比例的两个三角形相似． 判定定理２ 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个 角对应相等， 那么这两个三角形相似.判定定理２ 可以简单说成：两角对应相等的两个三角形相似.相似三角形周长的比等于相似比， 相似三角形面积的比等于相似比的平方． 判定定理３ 如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条 边对应成比例， 并且夹角相等， 那么这两个三角形相似。