导数的四则运算法则导学案

导数的四则运算法则导学案

导数的四则运算法则(一)

【学习要求】

1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．【学法指导】

应用导数的四则运算法则和已学过的常用函数的导数公式可迅速解决一类简单函数的求导问题．要透彻理解函数求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，达到巩固知识、提升能力的目的.

【知识要点】

导数的运算法则

设两个可导函数分别为f(x)和g(x)

【问题探究】

探究点一导数的运算法则

问题1我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？

问题2应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？

例1求下列函数的导数：

（1）y＝3x－lg x；（2）y＝(x2＋1)(x－1)；（3）y＝x5＋x7＋x9

x

.

跟踪训练1求下列函数的导数：

（1）f(x)＝x·tan x；（2）f(x)＝2－2sin2x

2；（3）f(x)＝x－1

x＋1；（4）f(x)＝

sin x

1＋sin x

.

探究点二导数的应用

例2（1）曲线y＝x e x＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为_______________

（2）在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，

已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________

（3）已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度．

跟踪训练2 （1）曲线y ＝

sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为 ( ) A ．－12 B.12 C ．－22 D ．22

（2）设函数f (x )＝13x 3－a 2

x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，确定b 、c 的值．

【当堂检测】

1．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于 ( )

A ．－2e x cos x

B ．－2e x sin x

C ．2e x sin x

D ．－2e x (sin x ＋cos x )

2．曲线f (x )＝x x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3

D ．y ＝－2x ＋2 3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )

A ．193

B ．163

C ．133

D ．103

4．已知f (x )＝13

x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝_______ 5．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a 、b 、c 的值．

【课堂小结】

求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.

【教学反思】

导数的四则运算法则(二)

【学习要求】

1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．

2．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．

【学法指导】

复合函数的求导将复杂的问题简单化，体现了转化思想；学习中要通过中间变量的引入理解函数的复合过程．

【问题探究】

探究点一复合函数的定义

问题1观察函数y＝2x cos x及y＝ln(x＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？

问题2对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？

问题3在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？

例1指出下列函数是怎样复合而成的：

（1）y＝(3＋5x)2；（2）y＝log3(x2－2x＋5)；（3）y＝cos 3x.

跟踪训练1指出下列函数由哪些函数复合而成：

（1）y＝ln x；（2）y＝e sin x；（3）y＝cos (3x ＋1)．

探究点二复合函数的导数

问题如何求复合函数的导数？

例2求下列函数的导数：

（1）y＝(2x－1)4；（2）y＝

1

1－2x

；（3）y＝sin(－2x＋

π

3)；（4）

y＝102x＋3.

跟踪训练2 求下列函数的导数．

（1）y ＝ln 1x

； （2）y ＝e 3x ； （3）y ＝5log 2(2x ＋1)．

探究点三 导数的应用

例3 求曲线y ＝e 2x

＋1在点(－12

，1)处的切线方程．

跟踪训练3 曲线y ＝e 2x cos 3x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为5，求直线l 的方程．

【当堂检测】

1．函数y ＝(3x －2)2的导数为 ( )

A ．2(3x －2)

B ．6x

C ．6x (3x －2)

D ．6(3x －2)

2．若函数y ＝sin 2x ，则y ′等于 ( )

A ．sin 2x

B ．2sin x

C ．sin x cos x

D ．cos 2x

3．若y ＝f (x 2)，则y ′等于 ( )

A ．2xf ′(x 2)

B ．2xf ′(x )

C ．4x 2f (x )

D ．f ′(x 2)

4．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________.

【课堂小结】

1.求简单复合函数f (ax ＋b )的导数

2.求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式，然后再分别对y ＝f (u )与u ＝ax ＋b 分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式是关键.

【拓展提高】

1 ．已知函数在区间内任取两个实数,且,不等式恒成立,则实数的取值范围为____________ 【教学反思】

2)1ln()(x x a x f -+=)1,0(q p ,q p ≠1)1()1(>-+-+q

p q f p f a