二次函数与几何综合运用——存在性问题教学设计.doc

二次函数在几何方面的应用——存在性问题

一、教学目标：

知识与技能：通过本节课的专题学习体会二次函数与几何的综合应用，培养学生综合运用知识的技能，提高学生分析问题解决问题的能力。

过程与方法：利用数形结合思想，把“数''与“形”结合起来，互相渗透.同时熟练运用分类讨论的思想、方程的思想等各种数学思想方法。

情感态度与价值观：鼓励学生要知难而上，敢于挑战，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重点、难点

重点：二次函数与三角形、四边形、存在性问题综合应用；利用各种数学思想方法解决问题。

难点：二次函数与三角形、四边形、存在性问题的分析和解决。

教学方法：自主探索、合作交流。

教学手段：运用多媒体教学

三、教学过程：

类型一特殊三角形的存在、探究问题

【方法指导】

1.探究等腰三角形的存在、探究问题时，具体方法如下：

（1）若为存在问题，则先假设存在，再进行下一步；若为探究问题，则直接进行下一步；

（2）当所给条件中没有说明哪条边是等腰三角形的底，哪条边是等腰三角形的腰时，要对其进行分类讨论，假设某两条边相等，得到三种情况；

（3）设未知量，求边长.在每种情况下，直接或间接设出所求点的坐标（若所求的点在抛物线上时，该点的坐标可以设为（x, ax2^-hx+c）；若所求的点在对称轴上时，该点的坐标可以设为（-

二，）；），并用所设点坐标表示出假设相等的两条边的长或第三边的长；

2a

（4）计算求解.根据等腰三角形的性质或利用勾股定理或相似三角形的性质列等量关系式, 根据等量关系求解即可.

探究等边三角形的存在、探究问题时，可以先求出该三角形为等腰三角形时的情况，然后求腰和底相等时的情况即可.

2.探究直角三角形的存在、探究问题时，具体方法如下：

（1）若为存在问题，则先假设存在，再进行下一步；若为探究问题，则直接进行下一步;

分三种情况讨论：①如二朋,

c=~3,

(2) 当所给的条件不能确定直角顶点时，分情况讨论，分别令三角形的某个角为90° ；

(3) 设未知量，求边长，在每种情况下，直接或间接设出所求点的坐标(若所求的点在抛 物线上时，该点的坐标可以设为3 以斗靛+Q ；若所求的点在对称轴上时，该点的坐标可

以设为(?=，y)，利用所设点的坐标分别表示出三边的长，用勾股定理进行验证并求解. 2a

【范例解析】

例1 (2013铜仁)如图，已知直线尸3/3分别交x 轴、火轴于/、月两点，抛物线y^x+bx^c

经过从B 两点、,点。是抛物线与x 轴的另一个交点(与，点不重合).

(1) 求抛物线的解析式;

⑵求△朋。的面积;

(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M,使AABM 为等腰三角形？若不存在，请说明理由;

若存在，求出点M 的坐标. ?例题分层解析:

(1) 根据直线解析式求出点刀及点夕的坐标，然后将点［及

点月的坐标代入抛物线解析式，可得出力、c 的值，求出抛物线 解析式.

(2) 由(1)求得的抛物线解析式，可求得点。的坐标，继而

求出，。的长度，代入三角形面积公式即可计算.

(3) 根据点〃在抛物线对称轴上，可设点的坐标为(-1,沥,

②MIUBA,③切尤洌 求出〃的值后即可得出答案.

?解题方法点析:

根据题中要求，抓住形成等腰三角形的条件，采用分类讨论的思想，对三种可能性一一求 解，做到不重、不漏。

?解析:(1)：?.?直线尸3尸3分别交x 轴、*轴于爪8两点, .?.可得刀(1, 0), B (0, —3),

把刀、歹两点的坐标分别代入y^x^bx^-c 得：

l+Mc=0

解得 1^2

c=~3,

..?抛物线解析式为尸*+2x —3；

（2）令尸0 得：0二*+2X —3,

解得：Xi=L 股二一3,

%

C

则C点坐标为：（-3, 0）, ?46=49

故可得&彻二=AC ? 0炉 :X 4X3=6；

2 2

存在，理由如下：抛物线的对称轴为：尸-1,假设存在"（T, m）满足题意，分三种情况讨论：

%1当如二汕时，^22 + m2 = \/10 解得：护±把，.,两（T，斤），心（T, -斤）；

%1当\fR-BA时，J）+（m + 3）2 =应解得：〃尸。或厅_6 ,.?.服（-1, 0）,

M（-1, -6）（不合题意舍去）；

%1当物二施时,妇京=W+（m + 3）2 ，

解得：Z7F-1,

/.族（一1 , 一1 ）?

答：共存在四个点肱（-1, V6 ）＞必（-1, 顶）、必（-1, 0）、服（-1, -1）使

△刀倒/为等腰三角形.

类型二特殊四边形的存在、探究问题

【方法指导】

平行四边形的存在、探究问题，具体方法如下：

（1）若为存在问题，则先假设存在，再进行下一步；若为探究问题，则直接进行下一步；

（2）设出点坐标，求边长.直接或间接设出所求点的坐标（若所求的点在抛物线上时，该点的坐标可以设为（x,拭+弘+Q；若所求的点在对称轴上时，该点的坐标可以设为（上,

2a y）,若所求的点在已知直线y=kx+b±时，该点的坐标可以设为（x, kx^b）,并用所设点坐标表示出平行四边形某两条边的长（常利用相似三角形性质或勾股定理求解）；

（3）建立关系式，并计算；若四边形的四点位置已经确定，则直接利用四边形的边的性质进行计算；若四边形四点位置不确定，需分情况讨论：①当己知边为平行四边形的某条边时, 画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形对边相等进行计算；②当已知边为平行边形的对角线时，画出所有符合条件的图形后，利用平行四边形对角线互相平分的性质进行计算.

对于特殊四边形的存在、探究问题，也会以探究菱形、矩形、正方形来设题，解题方法如下：

（1）若为存在问题，则先假设存在，再进行下一步；若为探究问题，则直接进行下一步；

（2）设出点坐标，求边长.（同上面例1的方法）

（3）若四边形的四点位置已经确定，则直接利用四边形的边的性质进行计算；若四边形的点位置不确定，需分情况讨论：

探究菱形的存在、探究问题时分两类：①己知三个定点去求未知点坐标；②已知两个定点去求未知点坐标.一般会用到菱形的对角线互相垂直平分、四边相等等性质列关系式；

探究矩形：利用矩形对边相等、对角线相等列等量关系式求解；或根据邻边垂直，利用勾股定理列关系式求解.

探究正方形：利用正方形对角线互相平分且相等的性质进行计算，一般是分别计算出两条对角线的长度，令其相等，得到方程再求解.

【范例解析】

例2-1（2014济宁）如图，抛物线尸4 x^bx^c与x轴交于刀（5,0）、B（-1,0）两点，

4

过点刀作直线AC1.X轴，交直线于点G

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求点，关于直线尸2x的对称点4,的坐标，判定点"是否在抛物线上，并说明理由；

（3）点P是抛物线上一动点，过点夕作y轴的平行线，交线段

CA f于点M是否存在这样的点P,使四边形0Q/是平行四边形？若存在，求

出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

?例题分层分析

（1）将4、〃两点坐标代入抛物线解析式中得到方程组，然后求解方

程组即可.

（2）求点/T的坐标，需过点4'作,8_Lx轴于点反再求彳 /和如的

长，可以通过易和相似，求出如'和￡ E,得出点/!'的坐标.

（3）点淅在线段。才上，设出直线的解析式，代入点#、点。坐标可得解析式，点P

1 4 a 25

在抛物线上可设点P（x, 1 /-X- ￡）,则"（x, 1 T ），点财在点户上方，可求

4 4 4

MP,再由MP=AC求出合适的x的值，则可得夕点坐标.

?解题方法点析

平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊四边形，是近年中考的热点问题之一，掌握它

..?点刀和#关于直线

y=2x 对称,

V52 +

102 :.AD=2

AE AE AA OA AC OC

AE AE 4 指

一 . —" 5 10 5A /5 5^5

们的概念，了解它们之间的关系，掌握有关的性质和判定是解决这类问题大关键。本题就是 利用平行四边形的性质，对边相等，然后转化为函数或方程来求解。

?解 析(1) '： y= \ x^bx^c 与 x 轴交于刀(5,0)、B (-1, 0)两点，

0= - X52+5M C

4 0= —b^c,

4

..?抛物线的解析式为尸

(2) 过点，'作刀'RLx 轴于点反A4'与。C 交于点〃,

/. OCA.AA 1

, A f

D=AD ?

??.04=5,刀&10,

：.0O yjOA 2 + AC 2 = ^52 + 102 = 5^5

V 5A OAO 2 OC ■ AD= J

OA ?AC,

在Rt △/期和RtAa46'中,

AE^AA' 71(=90° , AACfAAA 1

10=90° , :.AA' AR^AACO.

又￡A=Z^^90° , ARtA/J , E4^RtA6WC ；

:.A'房4,刀房8,..?眠1厅一功仁8-5二3,

..?点/的坐标为(-3,4),

1 5

当所一3 时，y = 4 x

(一3)之+3- 4 .??点0在该抛物线上；

(3) 存在.理由：设直线京’的解析式为疔kx+b,代入点A r

(-3,4)和C'(5, 10),

5奸步10,

3 25 ?.?直线GT 的解析式为斤7 x+ V

￡ 5 4 4

5

4

C

I

X

设点尹的坐标为（x, X-X-）, 则点M为（X, 2 x+类）.

4 4

9：PM//AC,

?.?要使四边形用世是平行四边形，只需P^AC.

又?.?点."在点P的上方，325 1 5

?.?（孑必彳）一（44）=以

解得%i=2,为=5 （不合题意，舍去），

9

.??把x =2代入抛物线解析式得，y =- 7 , 9 4

?.?当点P运动到（2, - ）时，四边形用世是平行四边形.

例2-2 （2013 郴州）如图，在四边形AOCB中，AB// OQ ZA00900 , AB-1, AO-2, 003, 以。为原点，OC、G4所在直线为轴建立坐标系.抛物线顶点为人且经过点仁点夕在线段如上由,向点。运动，点。在线段化'上由向点。运动，m OC交及'于点〃，仞所在直线与抛物线在第一象限交于点匹（1）求抛物线的解析式；

（2）点尸是/关于*轴的对称点，点。运动到何处时，四边形OEAE'是菱形？

（3）点只。分别以每秒2个单位和3个单位的速度同时出发，运动的时间为方秒，当t

为何值时，PB//OD2

?例题分层分析

（1）根据顶点式将刀、。代入解析式求出a的

值，进而得出二次函数解析式；

（2）利用菱形的性质得出如与砂互相垂直平

分，利用"点纵坐标得出x的值，进而得出BC\ 0直线解

析式，再利用两直线交点坐标求法得出

。点坐标，即可得出答案；

（3）首先得出△仞o,进而得出朋/如四0,求出0的值，进而得出答案.

?解题方法点析：利用菱形的性质两条对角线互相垂直或四边相等关系转化为方程解决, 也可以转化为等腰三角形问题解决。

?解析：（1）...4（0,2）为抛物线的顶点，

尸-A+3,

,.27-9^2

「?Q点坐标为：( --- --- ..?当0点坐标为(27-9^1

7 0),

,0),四边形OEAE1是菱形;

???点C(3,0)在抛物线上,

2

：.9a + 2=0,解得：＜3 ,

..?抛物线的解析式为:尸- j孑+2;

(2)如果四边形OEAE1是菱形，则如与既'互相垂直平分,

:成经过而的中点，

..?点万纵坐标为1,代入抛物线解析式得：

1=- | x +2,解得：A=±|A/2 ,

?.?点万在第一象限，

:?点、E为(2^2 ，1)，

设直线％的锦析式为疔k对b,把5(1, 2),

C (3, 0),代入得：

k+b=2 k=T

b =3,

「?的解析式为：尸-%+3,

设您解析式为y=nx,将X点代入y=nx f可得出及2的解析式为疔专 x,由『虽x疗27"

'3 7

得

(3)设t为田秒时，PB〃DO,又QD〃火轴,

则有/APB=4AOE= Z ODQ,

又..?点〃在直线j--x+3上，妗3-3%

/. DQ= 3/77,

1 2m

因此：3^ = 3^ '解得膜=L

1 2

经检验：/Z/ = l 是原分式方程的解，

2

..?当t = 1 秒时，PB//OD.

2

刻，以CJJRQ为顶点的四边形湿

勿若存在，直接写出点D的坐标;若不存在，说明理由.

课堂同步练习

1.如图，在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(2, 9),与y轴交于点A(0, 5), 与x轴交于点E、Bo

(1)求二次函数的y=ax2+bx+c的表达式。

(2)过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C,点P为抛物线上的一点，(点P在AC上方), 作PD平行于y轴，交AB于点D,问：当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并

求出最大面积。

(3)若点M在抛物线上，点N在对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边

形且AE为其一边，求点M、N的坐标。

如图.抛物线尸*/_卜_4与%轴交于A、C两点(点A在点C的右侧)，与y轴交于点B,连接BC.直线y二kx+b经过A、B两点.

(1)求直线4B的函数表达式和点C的坐标;

⑵点P从点C出发,沿线段C/1由C向4运动,同时点Q从点B出发,沿线段BC由

B向C运动,P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q点到达C点时,P、Q同时停止运动，设点P、Q运动的时间为tqCPQ的面积为S,求S与。的函数关系式；

(3)在(2)的基础上，试问在坐标平面内是否存在点

D,使P、Q运动过程中的某一时

小结：二次函数与几何综合的存在性问题，是近几年来出题的热点，解决这类题的关键就是利用各种图形的性质，先设所求点的坐标，建立函数模型，把问题转化为方程问题最后求解。