离散数学 ch6-2.4、2.5循环群和子群
离散数学第七章群与环
定理7.4:给定半群<S,⊙>和半群<T,>,且s∈S的逆元 元 ,则积半群<S×T>中的逆元为
,t∈T的逆
PART 01 PART 02 PART 03 PART 04 PART 05
半群 群 子群与群的陪集分解 循环群与置换群 环与域
7.2 群
定义7.7 给定代数系统V=<G,⊙>,若<G,⊙>是独异点并且每个元素均 存在逆元,或满足⊙是可结合的并且关于⊙存在幺元并且G中每个元素关 于⊙是可逆的,则称<G,⊙>是群。记为G。群比独异点具有更强的条件。
7.3.2 群的陪集与拉格朗日定理
给定一子群H和G内的某一元素a,则可定义出一个左陪集 aH={ah;h∈H}。 因为a为可逆的,由φ(h) = ah给出之映射φ : H → aH为一个双射。更甚地, 每一个G内的元素都包含在恰好一个H的左陪集中;其左陪集为对应于一 等价关系的等价类,其等价关系a1 ~ a2当且仅当a1−1a2会在H内。H的左 陪集之数目称之为H在G内的“指数”,并标记为[G:H]。 拉格朗日定理叙述著对一个有限群G和一个子群H而言, 其中o(G)和o(H)分别为G和H的目。特别地是,每一个G的子群的目(和每一 个G内元素的目)都必须为o(G)的因子。 右陪集为相类比之定义:Ha = {ha : h∈H}。其亦有对应于一适当之等价关系的等价类,且其个数亦会相等于 [G:H]。 若对于每个在G内的a,aH=Ha,则H称之为正规子群。每一个指数2的子群 皆为正规的:左陪集和右陪集都简单地为此一子群和其补集。
然而,在给出的运算下该集合是一个幺半群。 例7.16 在一般意义下的乘法运算下,所有非零实数组成的集合构成一个群。 a≠0的逆是1/a。
离散数学第5章 群
因为映射复合不满足交换律,所以<EA; >不是阿贝尔群。
二、循环群
1.群中元素的幂 对于任意a∈G,
a0=e, a n 1 a n a ( n = 0, 1 , 2, …) 规定(a-1)0=e, 再定义
a (a ) a a a
n
1 n
1
1
1
另外,加法运算是可交换的,因此<I;+>是一个阿贝尔群。
例 <Q-{0};· >是一个群,单位元是1,每一个有理数q的
逆元是1/q。
另外,乘法运算是可交换的,因此< Q-{0};· >是一个阿贝尔群。
例 令EA =. f | f : A A 是 双 射
,则
E A ; 是 一 个 群
第5章
群
本章在上一章代数系统一般概念的基础上,着重介绍几种
典型的代数系统:半群、独异点和群、子群。讨论这些代数系
统中的特殊元素以及这些代数系统具有的性质。
主要内容如下:
5.1 5.2 5.3 5.4 半群和独异点 群的定义 群的性质 子群及其判别
5.1 半群和独异点
一、半群
定义5-1
二元运算,如果
因此(a
4c= 4b)
a
4 (b 4c),即 4满足结合律。
0是单位元,0的逆元是0,1和3互为逆元,2的逆元是2。 所以<Z4; 4>是一个群。
定义5-8: 如果群<G; * >的运算*是可交换的,则称该群
为交换群或阿贝尔群。
例 <I;+>是一个群,单位元是0,每一个整数i的逆元是-i。
所以3也是其生成元。
离散数学 第十章的课件
20
作 业
书本第203页 第 7题 第 8题 第 9题
元素的阶
定义10.4 设G是群,a∈G,使得等式 ak=e 成立的最小正整数 k 称为a 的阶,记作|a|=k,称 a 为 k 阶元. 若不存在这样的正 整数 k,则称 a 为无限阶元. 例如,在<Z6,>中, 2和4是3阶元, 3是2阶元, 1和5是6阶元, 0是1阶元. 在<Z,+>中,0是1阶元,其它整数的阶都不存在. Klein四元群中e为1阶元,其它元素都是2阶元
15
实例
例题 设G=<Z12 , >是12阶循环群. (1)求出G的所有生成元; (2)求出G的所有子群。 解: G = Z12 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} (1)小于12且与12互素的数是 1, 5, 7, 11,(12)=4. 故G的生成元是:1, 5, 7和11. (2)G=Z12是12阶循环群. 12的正因子是1,2,3,4,6,12,因此 G 的子群是: 由原本的生成 1阶子群 <12>=<0>={0} 元生成 2阶子群 <6>={0,6} 由单位元 3阶子群 <4>={0,4,8} 生成 4阶子群 <3>={0,3,6,9} 6阶子群 <2>={0,2,4,6,8,10} 12阶子群 <1> = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} = G
离散数学第10章代数系统资料
10.1 二元运算及其性质
10.1.2 二元运算的性质
定若称对义运任1算0意.1.x7和,运y设∈算A*,,是都*可为有吸集x收合(的Ax,上*y或的)称两=x运个和算可x*交(换x和二运y元)算运=*x算满,足,则
吸收律。
例10.1.9 设和并∪满足吸收律:A,B∈P(X),有 A∩(A∪B)=A,A∪(A∩B)=A。
10.1 二元运算及其性质
10.1.2 二元运算的性质
定理10.1.1 设 为集合A上的二元运算,若A中存在左单
位元el和右单位元er,则el=er=e,且A中的单位元e是唯一的。 证明 因为el和er分别是A中关于的左单位元和右单位元, 所以
el=el er=er=e。
假设另有一单位元e',则
10.1 二元运算及其性质
10.1.2 二元运算的性质
定都有义x10.1x.8=x,设则称为该集二合元A上运的算二 元是运等算幂,的若,对或任称意运x算∈A,在
A上满足幂等律。
例10.1.10 非空集合X的幂集P(X)对于集合的交运算∩和 并运算∪都是等幂的。
10.1 二元运算及其性质
10.1.2 二元运算的性质
交换律。
例10.1.5 设Z是整数集合,是Z上的二元运算,对任意的a,
b∈Z,ab =2a+b,问运算是否可交换?
解:因为
ab=2a+b=2 b +a=ba,
所以是可交换的。
10.1 二元运算及其性质
10.1.2 二元运算的性质
定 都有义(10x.1.4y)设z=为x集(合yAz)上,的则二称元该运二算元,运若算对是任可意结x,合y的,,z∈也A称,
10.2 代数系统
例10.2.1 (1)一个在整数集Z上且带有加法运算“+”的系 统构成一个代数系统(Z,+)。 (2)一个在实数集R上且带有加法运算“+”与乘法运算 “×”的系统构成一个代数系统(R,+,×)。 (3)n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)及矩阵加法运算 “+”和矩阵乘法运算“·”的系统构成一个代数系统(Mn (R),+,·)。
离散数学第七讲群、环、域
17
三、子群
定义7: 设〈G , *〉是一个群, S是G的非空子集, 并满足以 下条件: (1) 对任意a、b∈S有a * b∈S ; (2) 对任意a∈S有a-1 ∈S; (3) e∈S, e是〈G ,*〉的么元, 则称〈S ,*〉是〈G ,*〉的子群。 如 〈I ,+〉是〈R ,+〉的子群, 〈N ,+〉不是。
的群同态如果g一个子集k的每一元素都被映入h再没有其它元素映入e的同态h的核kerh形成群g如果abkerh那么habkerh即kerh对运算1kerh四群同态24定义10的子群我们称集合ah为元素ag所确定的子群称为左陪集ah的表示元素
6.7
一、群的定义和性质
群
定义1:群〈G , * 〉是一代数系统, 其中二元运算* 满足: (1) 运算*是可结合的; (2) 存在么元e (3) 对每一a∈G, 存在一个元素a-1 , 使 a-1 * a = a * a-1 = e 如 〈Q, ×, 1〉 不是群(0无逆元) 〈Q+, ×, 1〉 是群
16
二、置换群和循环群
定理11:设〈G, *〉是由g∈G生成的有限循环群, 如果 |G|=n,则gn =e, G = {g, g2, g3, …, gn = e} 且n是使gn =e 证: (2) 再证{g, g2, g3, …, gn}中的元素全不相同。 若有gi= gj, 不妨设i<j, 于是gj-i=e。 但j-i<n, 这与n是使gn =e 由于〈G , *〉是群, 所以G= {g, g2, g3, …, gn}, 又由(1)得gn =e。 证毕。
如 〈I, +〉是阿贝尔群。
2
一、群的定义和性质
例1:①〈Q+, ×, 1〉
循环群,子群
(a k )m1 a km1 a dk1m1 a mk1 (a m )k1 e
(a k )m1 e ,即
其次,设(ak)n=e,则akn=e.于是由性质1,m|kn,从而m1|k1n, 但(m1,k1)=1,故m1|n,因此, ak的阶是m1,所以|ak|= m1=m/(k,m).
教学要求 1.理解循环群的思想,理想在循环群结构中的主要的 结果(i)数量总数,(ii)构造问题,(iii)循环群的 生成元; 2.理解子群包括三层意思,理解子群的判定方法和构 造群的子群的方法; 3.掌握循环群的阶与生成元的阶的关系; 4.掌握两类循环群的本质区别及各自的同构象; 5.掌握循环群中元素之间的联系和性质。 6.掌握有限群的判断定理; 7.理解子群(集)的乘积和生成子群的概念; 8.掌握循环群的子群所具有的特性。 教学手段与方法 1.手段:黑板板书与多媒体演示相结合; 2.方法:讲授为主,互动为辅,两者相结合。
例5 设G={0, 1, 2}是由x3=1的三个复根组成的集合,而 G中的代数运算“ ”是通常的乘法,那么< G , >必为一 个乘法群。习惯上记为G3,叫做3次单位根群。这里
○ ○
1 3 1 3 0 1, 1 ,2 . 2 2
证 事实上
3 3 (1) i , j G, ( i j )3 i j 11 1 i j G.
性质10 设群G中元素a的阶是m,b的阶是n,则当ab=ba且 (m,n)=1时,|ab|=m。 证明 首先,由于|a|=m,|b|=n,ab=ba,则 (ab)mn=(am)n(bn)m=e; 其次,若有正整数s使得(ab)s=e,则 (ab) sm=(am)sbsm=bsm=e, 但|b|=n,则n|sm. 又因为(m,n)=1,所以n|s. 同理可得m|s,再根据(m,n)=1,故mn|s,从而|ab|=mn. 说明 值得注意的是:当元素a与b不满足定理中的假设条件 时,其乘积的阶会出现各种各样的情况,将无法根据a,b的 阶来作出判断。
离散数学ch6 函数
二.
特殊函数
定义:设f是从X到Y的函数。 a)若f(X)=Y,那么称为满射,即 yY,xX,使f(x)=y. b)若x1,x2X,x1x2f(x1)f(x2) (即若f(x1)=f(x2) x1=x2), 那么称f是入射(或单射)。 c)若f既是满射,又是入射,则称f是双射或称一 一映射。
1.函数的定义
例2:f : {a,b,c,d}→{1,2,3,4}。用图定义
a b c d
1 2 3 4
即: f (a) = 1,f ({a})={1}
f (b) = 3, f ({a,b})={1,3}
f (c) = 2, f({a,b,c})={1,2,3}
f (d) = 4
则 f (Байду номын сангаас)=
4.常数函数,恒等函数
定义: 若f:X→Y,若f(X)={c},则称f是常数函数。
若f:X→X,xX,有f(x)=x,称f是恒等函数。
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二. 逆 函 数
1.引理:设f:X→Y是双射,则f的逆关系fc是一双射函数。 证明: 设f={<x,y>xX∧yY∧y=f(x)} fc={<y,x><x,y>f} Ⅰ)证明fc是一个函数。 yY,∵f是满射,xX,有<x,y>f, 若有x,x`X,<x`,y>,<x,y>f,这与f是入射矛盾。 ∴yY, !xX,有<y,x>fc, ∴fc这个关系是一个从Y到X的函数。 Ⅱ)证明fc是满射。 xX,y有<x,y>f,即<y,x>fc, 返回第二节目录 ∴fc是满射。
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2.左逆函数,右逆函数存在的充要条件
a) f有左逆元当且仅当f是单射。 b) f有右逆元当且仅当f是满射。
离散数学第6讲置换群和循环群
i个
例如k=4时, 这个群如右表 所示, 其中[0]是么元, [1]或 [3]是生成元。
二、循环群
定理11:设<G,*>是由g∈G为生成元的循环群。 (a)若G是无限集,则<G,*>与<I,+>同构。 (b)若G是有限集且|G|=k,则<G,*>与<Nk, +k>同构。
定理9:任何一个循环群必定是阿贝尔群(可交换群)。 证明: 设<G,*>是一个循环群,它的生成元为g,那么对于任意的a, b∈G, 必有i, j∈I,使得
gi=a, gj=b 那么a*b=gi*gj=gi+j=gj+i=gj*gi=b*a,因此,<G,*>是一个阿贝尔群。
二、循环群
定理10:设<G, *>是由g∈G生成的有限循环群, 如果|G|=n,则gn=e, G ={g, g2, g3, …, gn=e}且n是使 gn=e的最小正整数。 证明: (1)先证gm=e而m<n是不可能的。
所以<Sn, ◇>是一个群。
一、置换群
给定n个元素组成的集合A: A上的若干置换所构成的群称为n次置换群; A上所有置换构成的群称为n次对称群, <Sn,◇>。 n次对称群<Sn,◇>的子群即为n次置换群。
例1 令A={1,2,3},A上置换的全体S3={pi i = 1,2,3,4,5,6}。
(pa◇pb)(x) = (x * a) * b =x * (a * b) =pa*b(x)∈P
(1)
(b) 存在幺元 设e是<G , *>的么元, a∈G是任一元素,则有
离散数学 ch6-2.3群、变换群、有限群
#Ex2:(G,)是群, a∈G, 如果a的阶为n ,则 ak=e 当且仅当 k=mn (m∈I)(即k是n的整数倍) 证明:⑴ 充分性,已知k=mn (m∈I) ak= amn=(an)m= em =e ⑵ 必要性,已知ak=e , a的阶为n,即 an=e , 假设k不是n的整数倍,令 k=mn+t m,t∈I, 0<t<n t=k-mn at= ak-mn= aka-mn= e(an)-m =e-m = e 由于at=e,而 t<n,与 a的阶为n矛盾。 所以 k是n的整数倍。即 k=mn (m∈I)。 思考题:上例中R4=S; L4=S R和L的阶都为4;而R-1=L 由此可以得到什么结论?
ห้องสมุดไป่ตู้
2.可换群(阿贝尔群)
定义2: 设(G, * )是群,运算*是可交换的,则称它是可 换群。 例如(I,+),(R,+) ,(P(E), )都是可换群。
3.子群
定义3:设(G, * )是群, 如果(G, * )的子系统(H , *) 也是群,则称(H , * )是(G, * )的一个子群
即如果(H , * )满足: ⑴ 任何a,b∈ H 有a * b∈ H, (封闭) ⑵幺元 e∈ H, (有幺元) ⑶任何a∈ H 有a-1∈ H, (可逆) 则称(H, * )是(G, * )的子群。 例如:(I,+)是(R,+)的子群。
例如: 判断(I,+),(R,+) ,(P(E), ), (R,×) 及(P(E), ∩)是否为群?请说明理由。 解:(I,+),(R,+)幺元是 0,每个x的逆元是 -x 。 (P(E), )幺元是Φ ,因任何X∈P(E) XX=Φ ∴X-1=X, ∴(I,+),(R,+),(P(E), )是群。 而 (R,×) ,(P(E), ∩)都有幺元,但不是群。
离散数学(二)群和子群
四、群同态
群同态的定义 设<G, *>和<H,⊙>是两个群, 映射h: G→H称为从<G,*>到<H,⊙>的、 群同态, 如果对任意a、b∈G,有 h(a * b) = h(a) ⊙ h(b) 和代数系统同态的定义6.3-2比较, 可以看出群同态的定义中省 去了两条: h(eG) = eH ,和h(a-1) =[h(a)]-1。这里eG和eH分别是<G,*>和<H,
二、群的性质与结构
五阶群仅有一个<{e,a,b,c,d} , *> :
* e a b c d
e e a b c d
a a b c d e
b b c d e a
c c d e a b
d d e a b c
二、群的性质与结构
六阶群有两个<{e,a,b,c,d,f} , *> :
二、群的性质与结构
为了继续介绍群的性质, 我们首先定义群<G, *>的任意元素a的 幂。如果n∈N, 则
a0 = e a n +1 = a n ∗ a a − n = ( a −1 ) n
由以上定义可知, 对任意m、k∈I, am, ak都是有意义的,另外群中 结合律成立, 不难证明以下指数定律成立:
a m ∗ a k = a m+k ( a m ) k = a mk
二、群的性质与结构
群元素阶的定义: 设<G, *>是一个群, 且a∈G, 如果存在正整数n使an=e, 则称元素 的阶是有限的, 使an=e成立的最小的正整数n称为元素a的阶(元素a 的周期)。a的阶=min{n|n∈I ⋀an=e }。 例如: (1) 群<G,∗>的么元e的阶是1。 (2) 三阶群仅一个: <{e,a,b}, *> a1=a a2=b a3= a1 ∗ a2=a ∗ b =e a6= (a3)2 = (e)2=e a9 =e 如果不存在这样的正整数n, 则称元素a具有无限阶。
离散数学循环群
离散数学循环群离散数学中的循环群是一种特殊的代数结构,它由一个集合和一个运算组成。
在循环群中,元素之间的运算可以进行循环,也就是说,通过不断进行运算,我们可以回到原来的元素。
循环群的定义是在一个集合G上定义了一个二元运算*,并且满足下列条件:1.闭合性:对于任意的a、b∈G,有a*b∈G;2.存在单位元素:存在一个元素e∈G,使得对于任意的a∈G,有a*e=e*a=a;3.存在逆元素:对于任意的a∈G,存在一个元素a'∈G,使得a*a'=a'*a=e;4.结合律:对于任意的a、b、c∈G,有(a*b)*c=a*(b*c)。
循环群中最重要的概念就是生成元。
一个循环群G中的元素a称为G的一个生成元,如果G中的每个元素都可以通过a的有限次幂进行表达。
也就是说,对于任意的b∈G,都存在整数n,使得b=a^n。
一个循环群可以有多个生成元,但是这些生成元所生成的子群是相等的。
在循环群中,可以通过一个元素的幂运算,来得到循环群中的其他元素。
例如,对于一个循环群G中的生成元a,所有的元素可以表示为a^0, a^1, a^2, a^3,...,其中a^0表示单位元素。
当a的幂运算达到某个数k时,我们可以证明a^k也等于单位元素,这个数k称为循环群G的阶。
循环群的阶可以是有限的,也可以是无限的。
当循环群的阶为有限时,循环群中的元素都可以通过有限次的幂运算来表达。
例如,对于一个阶为n的循环群,可以通过计算a^0,a^1, a^2,...,a^{n-1}来得到循环群中的全部元素。
这种循环群称为有限循环群。
有限循环群中的元素可以分成多个子群,这些子群中的元素数量与其阶数有关。
当循环群的阶为无限时,循环群中的元素可以通过无限次的幂运算来表达。
例如,对于一个阶无限的循环群,可以通过计算a^0, a^1, a^2,...来得到循环群中的全部元素。
这种循环群称为无限循环群。
无限循环群中的元素也可以分成多个子群,但是这些子群的结构与有限循环群不同。
离散数学第4章(2)
例11.在Klein 4-群(G, o)中,幺元e的阶为1;其它元素 a,b,c的阶均为2; 在例9的群(I,+) 中,么元0的阶为1;其他元素的阶均 为无穷; 在例10的群(X,*) 中,幺元1的阶为1;-1的阶为2; i和 -i的阶均为4。 13
定理5. 定理 设(G,*)是群。 ∀g∈G, (1)若g的阶为n,则 g1,g2,… ,gn(=e) 互不相同; (2)若g的阶为无穷,则g0 (=e) , g1 , g2 ,…, gn ,… 互不相 同。 [证].采用反证法。 (1)否则,设有gi = gj (1≤i<j ≤ n),于是有 gj-i = gj+(-i) = gj *g-i (指数律) = gi *g-i (反证假设: gi = gj ) =e 即有1≤j-i<n ,使gj-i = e。这与g的阶为n ,具有最小性, 矛盾。故有g1,g2,… ,gn互不相同。
6
定理3 定理 设(G,*)是群,则*运算满足消去律。即∀x,y,z∈G, x∗y=x∗z⇒y=z; y∗x=z∗x⇒y=z 。 [证]. 只证第一式。∀x,y,z∈G, y=e*y = (x-1*x)* y = x-1*(x* y) (结合律) = x-1*(x* z) (条件:x ∗ y = x ∗ z ) = (x-1*x)* z (结合律) = e* z = z
16
定理7. 定理 设(G,*)是群。 ∀g∈G (1)若g的阶有限,设其为k,从而gk=e 。则 (1.1)∀m∈N, gm=e⇔ k | m ; (1.2)∀m,n∈N, gm=gn ⇔ k | m-n ; (2)若g的阶无限,则 ∀m,n∈N, gm=gn ⇒m=n 。
[证].(1)(1.1)先证⇒): 若gm=e,则必有k | m 。否则k m ,于是,由带余除法,可设 g e k k m=kq+r (0< r< k),故可得 r=m-kq,从而 gr=gm-kq =gm+(-kq) =gm * (gk)-q (指数律) =e * (e)-q (gm=e, gk=e ) =e * e =e 故与g的阶为k,具有最小性,矛盾。
离散数学 群
定理 设循环群G=(a), 若a为无限周期,则 (a)与<I,+>同构; 若a的周期为m,则 (a)与<Zm, +m>同构;
注 循环群只有两种, 生成元的周期无限时,它与整数加群 代数相等; 生成元的周期为m时,它与模为m的剩余加群 代数相等。 例 定理 任何一个循环群必是阿贝尔群。 证 设G=(a),则G中任一元素都可写成a的幂的形式。
(a*b)*(a*b)=(a*b)*(b*a)=a*(b*b)*a=a*b*a=a*a*b=a*b 说明a*b也是等幂的,故a*bH,即*对于H是封闭的。 故 <H,*>是<S, *>的子含幺半群。
4 循环半群
定义7.1.4 给定半群<S,*> (或含幺半群<S,*,e> ), 若存在g∈S,对任意a∈S,都有n∈N,使得a=gn, 则称该半群为循环半群(或循环含幺半群)。 称g为循环半群的生成元,亦称元素g生成了循环半群。 例 代数系统<I+, +>是个循环半群,它的生成元是1. 例7.1.8 P172 循环半群证明
有两个是相等的,则G中存在最小的正整数n使 得an=e,且有
G=(a)={a0,a1,a2…,an-1}
定义 设群<G,*>中任一元素a,若存在使an=e的最小的正 整数n,则称a的周期(或阶)为n。 若正整数n不存在,则称a的周期(或阶)是无限的。
注 周期的概念是对群中任一元素来定义的,任意群其幺 元的周期一定是1。 对循环群,有时称其生成元的周期为循环群的周期。
群的基本概念群的定义设是一个代数系统若二元运算满足1可结合性结合律2存在幺元单位元素有限群设是一个群若集合g是无限集阿贝尔群设是一个群若是可交换的721是阿贝尔群
离散数学6.2群的定义
A =((B)·(D))·an =((…((a1·a2)·a3)…·an-2)·an-1)·an 即A等于(1)式。
注意:
当给出二元运算后,若无结合律,则三个以上 元素的运算不一定有意义,本定理对有结合律 的一切代数系统成立。
ma+na= (m+n)a
m(na)=(mn)a m(a+b)= ma+mb,
群的其它结论:
(ab)-1= b-1a-1 消去律成立 其运算表中每一行或每一列中的元素互不相同。 存在唯一的幂等元1。 一元群、二元群、三元群是唯一的,且都是交换群 有限半群中必存在幂等元。 含有单位元的半群成为独异点。
成立。
定理6.2.4
设G是一个群,在一个乘积a1…an中可以任意加括号 而求其值。
证明: 只要证明任意加括号而得的积等于按次序由左而右
加括号所得的积(…((a1·a2)·a3)…·an-1)·an
(1)
(1)式对于n=1,2不成问题;对于n=3,由结合律也不成问题。
现在对n用归纳法,
假定对少于n个因子的乘积(1)式成立.
证明:先证σ可以写成不相杂的轮换的乘积, 任取a1∈M。 (1)若σ(a1)= a1,则a1自己就作成一个轮换。 (2)设σ(a1)= a2,σ(a2)= a3,…这样下去,由于M有 限,故到某一个元素ar, 其σ(ar)必然不再是新元素, 即这σ(ar)必在a1, … , ar之内。由于σ是一对一的,我 们已有σ(ai)= ai+1,i=1,2, …, r-1,所以σ(ar)只能是a1 。于是我们得到一个轮换(a1 … ar)。
定理6.2.3
证明:首先证明在任一群中可除条件成立。 取x =b·a-1,y=a-1·b,即得x ·a=b,a·y=b, 故由(1)和(2)可以推出可除条件成立。
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2. 陪集性质 1)定理.4 (H,)是群(G,)的子群,任何 a,b∈G,有 ⑴ aH=bH 或者 aH∩bH=Φ ⑵ Ha=Hb 或者 Ha∩Hb=Φ 2)定理 5 .设(G,)是有限群,(H,)是群 (G,) 的子群,任何a,b∈G,则 ⑴ bH中任何两个元素都不相同。 ⑵ abH,则 aH∩bH=Φ。 定理6 . (H,)是群(G,)的子群,任何 a∈G,a必属于且仅属于一个陪集。
【证】显然 I={…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} ,是半群且它有单位 元为0,任意一个元素a皆有逆元 –a,所以(I,+) 是群。生成 元为1,对于任意一个正整数m皆有m=1m , 0=10 ,负整数-m 皆有 m=1-m , 所以 I={… 1-3,1-2,1-1, 10,11 ,12,13 ...} 是循环群 例3.证明:(Nm,+m )是个群,且是循环群。 【证】:显然(Nm,+m )是半群,有单位元 [0],任意一个元 素[i] 皆有逆元[m-i]。又[1]为生成元,任意一个元素[i]可由[1] 生成:因为[i]= [1]i 。所以它是循环群,且称之周期为m 。 3.循环周期: 设(G,)是个以g为生成元的循环群,如果存在使得 gm=e 的最小正整数m, 则称m是g的周期(阶),也叫该循环群的循 环周期 。如果不存在最小正整数m, 使 gm=e (则称g的阶是无限 的),则称该循环群的循环周期是无限的。 例4(N4,+4 ) N4 ={0,1,2,3}={14,1,12,13} , 14 =0 循环周期是4. 例5(I,+)是周期为无限的循环群.
#证明:⑴先证明 任何0<i<n, 都有gi≠e。 假设有一个正整数m (m<n),有gm=e 任取x∈G,设x=gk,令k=mq+r 其中q,r∈I, 0≤r<m x=gk= gmq+r = gmqgr = (gm)q gr = eq gr = gr (0≤r<m) 由于r的取值 最多有 m个,所以G中元素最多有 m个, m<n,这与|G|=n矛盾。所以不存在m<n,使得gm=e。 ⑵再证明:{g1,g2,.., gn}中元素互不相同。 假设有此集合中 gi = gj 这里0<i<j≤n,1≤j-i<n gj-i = gjg-i = gi(gi)-1=e 因为j-i<n 又gj-i=e 与⑴矛盾。 所以 {g1,g2,.., gn}中元素互不相同。 ⑶最后证明 gn=e. 因为e∈G,而n-1个元素 g1,g2,.., gn-1中无e, 又|G|=n, 于是 必有gn=e。且n是g的阶。 所以最后得 G= {g1,g2,.., gn =e}
五. 子群的阶数— ---------拉格朗日定理(Lagrange定理) 定理 7 .(Lagrange定理)设(G,)是有限群, |G|=n, (H,)是(G,)的任意子群,且|H|=m, 则 n/m= k (k∈I). 即一个有限群的阶一定被它子群的阶所平分(整 除)。
6-2.4# 特殊群.
可换群 (阿贝尔群 、Abel群) 定义:设(G,)是群,运算是可交换的,则称它是交换群。 例如(I,+),(R,+) ,(P(E), )都是交换群。 EX.1 (G,)是交换群,当且仅当 对任何a,b∈G 有 (ab)(ab)=(aa)(bb) (即(ab)2=a2b2 ) 证明:充分性,任取a,b∈G 设有(ab)2=a2b2 由于a-1,b-1∈G a-1(ab)(ab)b-1 = a-1(aa)(bb)b-1 (a-1a)ba(bb-1 ) = (a-1a)ab(bb-1 ) ba= ab 所以(G,)是交换群. 必要性;设(G,)是交换群,任取a,b∈G (ab)(ab)=a(ba)b=a(ab)b=(aa)(bb)
方法4. 定理6.20设(G,)是群, B是G的有限子 集,如果在B上满足封闭性,则(B,)是 (G,)的子群。 证明:⑴由已知, 在B上满足封闭性 ⑵ 又由于(G,)是群,所以(G,)有满足结 合律、消去律,故(B,)也有有满足结合律、 消去律,所以(B,)是(G,)的子群。
三.证明子群的方法 方法1.用子群的定义,即证明运算在子集上满足封闭、 有幺元、可逆。 方法2. 定理6.17:设(G,)是群, S是G的非空子集,如 果(S,)满足: ⑴ 任何a,b∈S 有ab∈S, (封闭) ⑵ 任何a∈S 有a-1∈S, (可逆) 则(S,)是(G,)的子群。 证明:因为由可逆和封闭可以推出有幺元。即 任取a∈S 由可逆得 a-1∈S, 又由封闭得 aa-1∈S 所以幺元 e∈S, 所以(S,)是(G,)的子群。
6-2.4 循环群
1.例子:群(X, )如右图: S R A L A=R2 L=R3 S=R4 S S R A L 2, R3, R4} 所以 X={R, R R R A L S R5 =RR4= R S=R A A L S R R6=R2,…..出现循环 L L S R A 2. 定义:设(G,)是群,如果存在一个元素g∈G, 使得对每 个 x∈G, 都存在整数i, 有x=gi, 则称(G,)是个循环群. 并称g是G的生成元. 上例(X, )就是以R为生成元的循环群。 例1( N4,+4 ) 是群, N4 ={0,1,2,3}, 也是以1为生成元的循 环群. 因为 N4 ={14,1,12,13} 例2(I,+)是群, I={…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}也可以写成: I={… 1-3,1-2,1-1,10,11 ,12,13 ...}即是以1为生成元循环群.
⑵ 令G= {g0=e ,g1,g2, g3 ,.., gk-1} 而 Nk ={0,1,2,3,…,k-1} 构造映射 f:G Nk , 对任何gi∈G 先证明:{g1,g2,.., gn}中元素互不相同。 假设集合中有 gi = gj 这里0<i<j≤n,1≤j-i<n gj-i = gjg-i = gi(gi)-1=e 因为j-i<n 又gj-i=e 与⑴矛盾。 所以 {g1,g2,.., gn}中元素互不相同。 则 f(gi)= i , i<k ,显然 f是双射。 任取gi, gj ∈G,(1≤i≤k, 1≤j≤k) f(gi gj)=f(gi+j)=f(g(i+j)(mod k))=(i+j)(mod k) =i +k j=f(gi) +k f(gj) 所以G≌ Nk 。 定理.补充 循环群一定是交换群。 证明:令(G,)是个以g为生成元的循环群, 任取gi, gj ∈G,(i,j∈I) gigj = gi+j =gj+i= gjgi 所以 (G,)是交换群。 #定理.补充若(G,)是个以 g 为生成元的有限循环群, 且| G|=n,则 G= {g0=e ,g1,g2, g3 ,.., gk-1}且n是g的阶; 若(G,)是个以 g 为生成元的无限循环群,则 G={…, g-3,g-2, g-1,g0 =e, g1, g2, g3...}
四. 子群的陪集 为了讨论关于子群的阶数的Lagrange定理,下面先讨 +6 0 1 2 3 4 5 论子群的陪集。 例 N6={0,1,2,3,4,5},6阶群 0 0 1 2 3 4 5 群(N6,+6 )的运算表如图: 1 1 2 3 4 5 0 H1={0} 2 2 3 4 5 0 1 H2={0,3} 3 3 4 5 0 1 2 4 4 5 0 1 2 3 H3={0,2,4} 从(H1,+6)(H2,+6)(H3, +6 ) 5 5 0 1 2 3 4 的运算表看出它们是(N6,+6 ) +6 0 2 4 的子群。而且它们的阶分别 +6 0 3 0 0 2 4 是1,2,3阶,阶数是6的因 0 0 3 2 2 4 0 子。下面将用陪集证明之。 3 3 0 4 4 0 2
这是两个重要的循环群,因为任何循环群,它的循环周 期要么是有限的,为某个正整数;要么是无限的,因此 有的下面定理。 *定理8 P89.设(G,)是个以g为生成元的循环群, 则 ⑴ 若它的循环周期是无限的,则(G,)与(I,+)同构 ⑵若它的循环周期是k(有限的),则(G,)与(Nk,+k )同构 证明:⑴构造映射 f: GI , 对任何gi∈G f(gi)=i (i∈I) 如下 : 令G={…, g-3,g-2, g-1,g0 =e, g1, g2, g3...} I={…, -3, -2, -1, 0 =e, 1, 2, 3, … } ={…, 1-3,1-2, 1-1, 10 =0, 11 , 12, 13, … } 假设集合中有 gi = gj,设 i<j, 则gj-i = gjg-i = gi(gi)-1=e,与g的周期无限矛盾。 所以,f是映射,且显然 是双射 任取gi, gj ∈G,(i,j∈I) f(gi gj)=f(gi+j)=i+j=f(gi)+f(gj) 所以G≌I
例. 已知(H1,)和(H2,)是群(G,)的子群, 求证(H1∩H2,) 是(H1,)、(H2,)和(G,)的 子群。 证明:用方法3,因为(H1,)和(H2,) 是群(G,) 的子群,所以幺元e∈H1∩H2 ∴ H1∩H2≠Φ 任取a,b∈H1∩H2 (推出a b-1∈H1∩H2) 则 a,b∈H1 a,b∈H2,因为(H1,)和(H2,) 是 群(G,)的子群, 所以 b-1∈H1 , b-1∈H2 , ∴ ab-1∈H1,ab-1∈H2 ∴ ab-1∈H1∩H2 因 H1∩H2 H1,H1∩H2 H2 ,H1∩H2 G, 所以(H1∩H2,)是(H1,)、(H2,)和(G,) 的子群。