离散数学 ch6-2.4、2.5循环群和子群

子群就是群中之群。 一. 子群定义： 设（G,）是群, S是G的非空子集，如果（S,）满足： ⑴ 任何a,b∈S 有ab∈S, (封闭) ⑵幺元 e∈S, (有幺元) ⑶任何a∈S 有a-1∈S, (可逆) 则称（S,）是（G,）的子群。 例如（I,+）是（R,+）的子群。 二.平凡子群与真子群 设（G,）是群，则（{e},）和（G,）也是（G,） 的子群。称之为平凡子群。其余真子集构成的子群称之 为真子群。
2. 陪集性质 1)定理.4 （H,）是群（G,）的子群,任何 a,b∈G,有 ⑴ aH=bH 或者 aH∩bH=Φ ⑵ Ha=Hb 或者 Ha∩Hb=Φ 2)定理 5 .设（G,）是有限群，（H,）是群 （G,） 的子群，任何a,b∈G，则 ⑴ bH中任何两个元素都不相同。 ⑵ abH，则 aH∩bH=Φ。 定理6 . (H,）是群（G,）的子群，任何 a∈G，a必属于且仅属于一个陪集。
【证】显然 I={…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} ，是半群且它有单位 元为0，任意一个元素a皆有逆元 –a，所以（I,+） 是群。生成 元为1，对于任意一个正整数m皆有m＝1m , 0＝10 ,负整数－m 皆有 m＝1-m , 所以 I={… 1-3,1-2,1-1, 10,11 ,12,13 ...} 是循环群 例3.证明:（Nm，+m ）是个群，且是循环群。 【证】:显然（Nm，+m ）是半群，有单位元 [0]，任意一个元 素[i] 皆有逆元[m-i]。又[1]为生成元，任意一个元素[i]可由[1] 生成：因为[i]＝ [1]i 。所以它是循环群，且称之周期为m 。 3.循环周期: 设（G,）是个以g为生成元的循环群，如果存在使得 gm=e 的最小正整数m， 则称m是g的周期（阶），也叫该循环群的循 环周期 。如果不存在最小正整数m, 使 gm=e (则称g的阶是无限 的)，则称该循环群的循环周期是无限的。 例4（N4,+4 ） N4 ={0,1,2,3}={14,1,12,13} ， 14 =0 循环周期是4. 例5（I,+）是周期为无限的循环群.
#证明：⑴先证明 任何0<i<n, 都有gi≠e。 假设有一个正整数m (m<n)，有gm=e 任取x∈G，设x=gk，令k=mq+r 其中q,r∈I, 0≤r<m x=gk= gmq+r = gmqgr = (gm)q gr = eq gr = gr (0≤r<m) 由于r的取值 最多有 m个，所以G中元素最多有 m个， m<n，这与|G|=n矛盾。所以不存在m<n，使得gm=e。 ⑵再证明：{g1,g2,.., gn}中元素互不相同。 假设有此集合中 gi = gj 这里0<i<j≤n，1≤j-i<n gj-i = gjg-i = gi(gi)-1=e 因为j-i<n 又gj-i=e 与⑴矛盾。 所以 {g1,g2,.., gn}中元素互不相同。 ⑶最后证明 gn=e. 因为e∈G,而n-1个元素 g1,g2,.., gn-1中无e, 又|G|=n, 于是 必有gn=e。且n是g的阶。 所以最后得 G= {g1,g2,.., gn =e}
五. 子群的阶数— ---------拉格朗日定理(Lagrange定理) 定理 7 .(Lagrange定理)设（G,）是有限群， |G|=n, （H,）是（G,）的任意子群，且|H|=m, 则 n/m= k (k∈I). 即一个有限群的阶一定被它子群的阶所平分(整 除)。
6-2.4# 特殊群.
可换群 (阿贝尔群 、Abel群) 定义:设(G,）是群,运算是可交换的，则称它是交换群。 例如（I,+）,（R,+） ,（P(E), ）都是交换群。 EX.1 （G,）是交换群，当且仅当 对任何a,b∈G 有 (ab)(ab)=(aa)(bb) （即(ab)2=a2b2 ） 证明：充分性，任取a,b∈G 设有(ab)2=a2b2 由于a-1,b-1∈G a-1(ab)(ab)b-1 = a-1(aa)(bb)b-1 (a-1a)ba(bb-1 ) = (a-1a)ab(bb-1 ) ba= ab 所以（G,）是交换群. 必要性；设（G,）是交换群,任取a,b∈G (ab)(ab)=a(ba)b=a(ab)b=(aa)(bb)
方法4. 定理6.20设（G,）是群, B是G的有限子 集,如果在B上满足封闭性，则（B,）是 （G,）的子群。 证明：⑴由已知， 在B上满足封闭性 ⑵ 又由于（G,）是群，所以（G,）有满足结 合律、消去律，故（B,）也有有满足结合律、 消去律，所以（B,）是（G,）的子群。
三.证明子群的方法 方法1.用子群的定义，即证明运算在子集上满足封闭、 有幺元、可逆。 方法2. 定理6.17：设（G,）是群, S是G的非空子集，如 果（S,）满足： ⑴ 任何a,b∈S 有ab∈S, (封闭) ⑵ 任何a∈S 有a-1∈S, (可逆) 则（S,）是（G,）的子群。 证明：因为由可逆和封闭可以推出有幺元。即 任取a∈S 由可逆得 a-1∈S, 又由封闭得 aa-1∈S 所以幺元 e∈S, 所以（S,）是（G,）的子群。
6-2.4 循环群
1.例子:群（X, ）如右图： S R A L A=R2 L=R3 S=R4 S S R A L 2, R3, R4} 所以 X={R, R R R A L S R5 =RR4= R S=R A A L S R R6=R2,…..出现循环 L L S R A 2. 定义:设(G,）是群,如果存在一个元素g∈G, 使得对每 个 x∈G, 都存在整数i, 有x=gi, 则称（G,）是个循环群. 并称g是G的生成元. 上例（X, ）就是以R为生成元的循环群。 例1（ N4,+4 ） 是群, N4 ={0,1,2,3}, 也是以1为生成元的循 环群. 因为 N4 ={14,1,12,13} 例2（I,+）是群, I={…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}也可以写成: I={… 1-3,1-2,1-1,10,11 ,12,13 ...}即是以1为生成元循环群.
⑵ 令G= {g0=e ，g1,g2, g3 ,.., gk-1} 而 Nk ={0,1,2,3,…,k-1} 构造映射 f:G Nk , 对任何gi∈G 先证明：{g1,g2,.., gn}中元素互不相同。 假设集合中有 gi = gj 这里0<i<j≤n，1≤j-i<n gj-i = gjg-i = gi(gi)-1=e 因为j-i<n 又gj-i=e 与⑴矛盾。 所以 {g1,g2,.., gn}中元素互不相同。 则 f(gi)= i ， i<k ，显然 f是双射。 任取gi, gj ∈G，(1≤i≤k, 1≤j≤k) f(gi gj)=f(gi+j)=f(g(i+j)(mod k))=(i+j)(mod k) =i +k j=f(gi) +k f(gj) 所以G≌ Nk 。 定理.补充 循环群一定是交换群。 证明：令（G,）是个以g为生成元的循环群， 任取gi, gj ∈G，(i,j∈I) gigj = gi+j =gj+i= gjgi 所以 （G,）是交换群。 ＃定理.补充若（G,）是个以 g 为生成元的有限循环群, 且| G|=n，则 G= {g0=e ，g1,g2, g3 ,.., gk-1}且n是g的阶； 若（G,）是个以 g 为生成元的无限循环群,则 G={…, g-3,g-2, g-1,g0 =e, g1, g2, g3...}
四. 子群的陪集 为了讨论关于子群的阶数的Lagrange定理，下面先讨 +6 0 1 2 3 4 5 论子群的陪集。 例 N6={0,1,2,3,4,5}，6阶群 0 0 1 2 3 4 5 群（N6,+6 ）的运算表如图： 1 1 2 3 4 5 0 H1={0} 2 2 3 4 5 0 1 H2={0,3} 3 3 4 5 0 1 2 4 4 5 0 1 2 3 H3={0,2,4} 从（H1,+6）（H2,+6）（H3, +6 ） 5 5 0 1 2 3 4 的运算表看出它们是（N6,+6 ） +6 0 2 4 的子群。而且它们的阶分别 +6 0 3 0 0 2 4 是1，2，3阶，阶数是6的因 0 0 3 2 2 4 0 子。下面将用陪集证明之。 3 3 0 4 4 0 2
这是两个重要的循环群，因为任何循环群，它的循环周 期要么是有限的，为某个正整数；要么是无限的，因此 有的下面定理。 *定理8 P89.设（G,）是个以g为生成元的循环群, 则 ⑴ 若它的循环周期是无限的，则（G,）与（I,+）同构 ⑵若它的循环周期是k(有限的),则(G,）与(Nk,+k ）同构 证明：⑴构造映射 f: GI , 对任何gi∈G f(gi)=i (i∈I) 如下 ： 令G={…, g-3,g-2, g-1,g0 =e, g1, g2, g3...} I={…, -3, -2, -1, 0 =e, 1, 2, 3, … } ={…, 1-3,1-2, 1-1, 10 =0, 11 , 12, 13, … } 假设集合中有 gi = gj,设 i<j， 则gj-i = gjg-i = gi(gi)-1=e，与g的周期无限矛盾。 所以，f是映射，且显然 是双射 任取gi, gj ∈G，(i,j∈I) f(gi gj)=f(gi+j)=i+j=f(gi)+f(gj) 所以G≌I
例. 已知（H1,）和（H2,）是群（G,）的子群， 求证（H1∩H2,） 是（H1,）、（H2,）和（G,）的 子群。 证明：用方法3，因为（H1,）和（H2,） 是群（G,） 的子群，所以幺元e∈H1∩H2 ∴ H1∩H2≠Φ 任取a，b∈H1∩H2 (推出a b-1∈H1∩H2) 则 a,b∈H1 a,b∈H2，因为（H1,）和（H2,） 是 群（G,）的子群， 所以 b-1∈H1 ， b-1∈H2 ， ∴ ab-1∈H1，ab-1∈H2 ∴ ab-1∈H1∩H2 因 H1∩H2 H1，H1∩H2 H2 ，H1∩H2 G， 所以（H1∩H2,）是（H1,）、（H2,）和（G,） 的子群。
1.定义：设（H,）是群（G,）的子群，a∈G，定义 集合:aH={ah|h∈H} Ha={ha|h∈H} 则称aH(Ha)为a确定的H在G中的左(右)陪集。 例：（H3, +6）是（N6, +6）的子群。H3={0,2,4}， 求H3的各个左陪集。 0H3 = {0+60, 0+62, 0+64}={0,2,4} 可以看出 1H3 ={1+60, 1+62, 1+64}={1,3,5} 0H3=2H3=4H3={0,2,4} 2H3 ={2+60, 2+62, 2+64}={2,4,0} 1H3=3H3=5H3={1,3,5} 3H3 ={3+60, 3+62, 3+64}={3,5,1} 任何两个左陪集，要 4H3 ={4+60, 4+62, 4+64}={4,0,2} 么相等，要么不相交. 5H3 ={5+60, 5+62, 5+64}={5,1,3} 那么在什么情况下相等？在什么情况下不相交？
方法3. 定理6.19 设（G,）是群, S是G的非空子 集，如果任何a,b∈S 有ab-1∈S, 则（S,）是 （G,）的子群。 证明：⑴ 先证e∈S 任取a∈S 由已知得 aa-1∈S, 即e∈S。 ⑵ 再证可逆性 任取a∈S 由⑴得e∈S，由已知得 ea-1∈S, 即a-1∈S。 ⑶ 最后证明封闭性 任取a,b∈S 由⑵得b-1∈S ，由已知得 a(b-1)- 1∈S, 即得 ab∈S 所以（S,）是（G,）的子群。