系统的复频域分析
实验5-连续时间系统的复频域分析报告
实验5-连续时间系统的复频域分析报告
本实验的目的是研究连续时间系统的复频域分析。
首先，构建了一个由推力继电器组
成的系统，其模型为图1所示。
再将此系统内建模，得到开环传递函数
G(s)=K/[(s+1)(s+1)(s+2)]，其中1为系统参数，s为复频变量。
然后使用MATLAB编程，实现基于Laplace变换计算复频域函数和系统振型，并以一系列频率点绘制系统频率响应
曲线等曲线，从而评估系统性能。
实验结果表明，当系统参数K处于[6.5,9.2]中时，系统的复频响应表现出了各向同
性的性能（图2），表明系统具有更一致的响应特性，并且误差幅值在0.03以内保持稳定，说明系统具有良好的稳定性性能。
此外，系统振型（图3）也说明了系统的稳定性，振型
稳定时间较短，且交叉率较小，说明系统具有良好的稳定性能。
综上，连续时间系统的复频域分析中，MATLAB编程在系统参数K为[6.5,9.2]范围内时，运用Laplace变换和求和函数，成功绘制出系统的复频响应曲线，以及相应的系统振型，从而对系统的复频响应、稳定行为等做出定量性、全面性的评估，为系统运行提供了
可靠的参考。
系统的复频域分析xh-4
y2 (t ) = L1[Y2 ( s )] = 1 t sin (ω0t )ε (t )
2
显然,输出不是有界信号,所以系统不稳定.
11
�
H ( jω ) = K
∏ ( jω z ) ∏ ( jω p )
i =1 i j =1 n j
m
8
四,H(s)与系统的稳定性 与系统的稳定性
连续时间LTI系统BIBO稳定的充分必要条件是
∫
∞
∞
h(τ ) dτ = S < ∞
因果系统在s域有界输入有界输出(BIBO)的充要 因果系统 条件是系统函数H(s)的全部极点 极点位于的 左半 平面 左半s平面 平面. 极点
δ(t)
h(t)
yzs(t)= δ(t)*h(t)= h(t)
H ( s ) = L[h(t )]
Y zs (s ) L (h (t )) H (s ) = = = L (h (t )) F (s ) 1
h(t) = L1[H(s)]
2
(3) H (s) 的求法:
A,根据系统的单位冲激响应
h(t ) 求
4
H(s)与h(t) 的关系 与 的关系. 1)位于σ 轴的单极点
1
jω et ε(t) ε(t)
1 s +1
1
1
×
×
0
1 s
1 s 1
1
×
1
σ
et ε()
2)共轭极点
1 sin(t) e-t ε(t) 1 σ 0 1 1 sin(t) et ε(t)
6
三,零极点与系统频响特性 频响特性是指系统在正弦信号激励之下 稳态响应随信号频率的变化情况. 稳态响应随信号频率的变化情况.
实验六_信号与系统复频域分析报告
实验六_信号与系统复频域分析报告信号与系统是电子信息类专业学科中非常重要的一门基础课程，主要研究信号和系统的性质、特点、表示以及处理方法。
本实验主要是通过对信号与系统复频域分析来深入了解信号和系统的特性和性质。
实验中，我们使用了MATLAB软件进行了信号与系统复频域分析，主要涉及到以下内容：一、信号在复频域中的表达式设x(t)是一个实数信号，那么它在频域的表达式为：$$X(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j\omega t}dt$$其中，$\omega $是频率，$X(\omega )$是频域中的信号，即信号的频率特性。
对于一个时不变线性系统，它在频域中的表达式为：三、信号与系统的卷积定理在时域中，两个信号$x(t)$和$h(t)$的卷积表示为：$$Y(\omega )=X(\omega )*H(\omega )$$其中，$*$表示频域中的卷积操作。
四、频域的性质频域有许多重要的性质，如频率移位、对称性、线性性、时移性、共轭对称性、能量守恒等等。
这些性质可以为信号的分析和处理提供重要的帮助。
在实验过程中，我们首先使用MATLAB绘制了一个正弦波信号及其频谱图、一个方波信号及其频谱图，以及两个不同的系统频率响应曲线。
然后，我们通过信号和系统的卷积操作，绘制了输入信号和输出信号的波形图及频谱图。
最后，我们通过MATLAB的FFT函数进行了离散频率响应分析，探究了系统的性质和特性。
实验中，我们通过理论知识和MATLAB软件的使用，深入了解了信号与系统的复频域分析。
这对于我们进一步学习和掌握信号与系统的知识，提高我们的理论水平和实践能力具有重要意义。
实验四连续时间系统的复频域分析
根据实验原理和系统设计，计算出理论上的关键数据，并与实验数据进行对比，以验证实验结果的正确性。
结果对比分析பைடு நூலகம்
1 2
波形图对比
将实验波形图与理论波形图进行对比，观察两者 在幅度、频率和相位等方面的差异，并分析产生 差异的原因。
数据对比
将实验数据与理论数据进行对比，计算误差并分 析误差来源，以评估实验结果的准确性和可靠性。
系统函数与传递函数
系统函数
描述系统动态特性的数学表达式，通 常表示为微分方程或差分方程的形式。 系统函数反映了系统对输入信号的响 应特性。
传递函数
在复频域中，传递函数表示系统输入 与输出之间的关系。它是系统函数在 复频域的表示形式，便于分析系统的 频率响应和稳定性。
稳定性分析
稳定性定义
稳定性是指系统在受到扰动后，能够恢复到原来平衡状态的 能力。对于连续时间系统，稳定性通常指系统的输出在有限 时间内有界。
稳定性判据
根据实验结果，可以总结出连续时间系统稳定的充分必要条件是系统函数H(s)的极点全部 位于s平面的左半平面。
收获与体会
理论与实践结合
通过实验操作，加深了对连续时间系统复频 域分析理论的理解，实现了理论与实践的有 机结合。
实验技能提升
在实验过程中，熟练掌握了信号发生器、示波器、 频谱分析仪等实验仪器的使用，提高了实验技能。
系统函数
连续时间系统的系统函数是复频域中 的传递函数，描述了系统的频率响应 特性。
03 复频域分析方法
CHAPTER
傅里叶变换与拉普拉斯变换
傅里叶变换
将时间域信号转换为频域信号，便于 分析信号的频率特性。通过正弦和余 弦函数的叠加来表示信号，实现信号 的时频转换。
信号与系统第四章 复频域分析
7
4.1 拉普拉斯变换
• 拉氏变换对：X (s) x(t)est d t 说明：
1. 拉普拉斯变换的定义
x(t) 1 j X (s)estds
2 j j
① X s Lx象t 函 数,自然界中不存在,复函数,无法直接测量；
xt L1X s原函数,实际存在,实函数, 可以感觉和测量.
2
• 三、本书用到的信号的变换域
自变量 基本信号单元 变换名称
连续信号 离散信号
复频域 s j est
频域
j
e jt
复频域 z re jΩ zn
频域
e jΩ
e jΩ
拉氏变换 傅氏变换 z变换 傅里叶变换
3
• 四、拉氏变换在系统分析中的优势
1、将系统在时域内微分方程转换为复频域的代数 方程，降低求解难度.
傅里叶反变换：x(t) 1 X ()e jt d 2
e x(t) 可以分解为 的j线t 性组合.
条件：信号 x必(t须)满足绝对可积条件
x(t) dt
映射：傅里叶变换与傅里叶反变换是一对一的变换对。
6
4.1 拉普拉斯变换
• 拉普拉斯变换的定义
1. 拉普拉斯变换的定义
[x(t)e t ]ej tdt x(t)e( j)tdt
② 复频域移位性质：e at x(t) X (s a)
例4.3.5： 求衰减正弦 e at sin(的0拉t普) 拉斯变换.
解：
正弦函数的变换为
e at sin( 0t)
sin( 0t)
0
0
s2
2 0
(s
a)2
2 0
余弦函数的变换为
cos(0t)
s2
连续系统的复频域分析
连续系统的复频域分析1、信号f（t）=sin(t)u(t)拉普拉斯变换的曲面图：程序为：曲面图为：ft=sym('sin(t)*Heaviside(t)');Ft=laplace(ft)x=-0.35:0.03:0.35;y=-2:0.03:2;[x,y]=meshgrid(x,y);s=x+j*y;s2=s.*s;c=ones(size(x));Fs=abs(1./(s2+c));mesh(s,y,Fs)surf(x,y,Fs)colormap(hsv)axis([-0.35,0.35,-2,2,0,45])xlabel('σ'),ylabel('jw'),zlabel('F(s)')title('f(t)的曲面图')2、求[(1- e-at)]/t拉普拉斯变换：程序为：ft=sym('(1-exp(-a*t))/t');Fs=laplace(ft)结果为：Fs = -log(s)+log(s+a)3、求F（s）= -log（s）+log（s+a）的拉普拉斯逆变换：程序为：Fs=sym('-log(s)+log(s+a)');ft=ilaplace(Fs)结果为: ft = (1-exp(-a*t))/t4、系统函数H（s）=（s2+3s+2）/（8s4 +2 s3 +3 s2 +5）的零极点分布图：程序为：b=[1 3 2];a=[8 2 3 0 5];zs=roots(b)ps=roots(a)plot(real(zs),imag(zs),'o',real(ps),imag(ps),'kx','markersize',12);axis([-2 2 -2 2]);grid on;legend('零点','极点');xlabel('s'),ylabel('f（s）'),title('零极点分布图')结果为：zs = -2-1ps =-0.6175 + 0.7099i-0.6175 - 0.7099i0.4925 + 0.6808i0.4925 - 0.6808i图形为：5、信号H(s)=(s+1)/（s2+s+1）的阶跃响应、冲激响应、频率响应的图形：程序为：num=[1 1];den=[1 1 1]; 图形为sys=tf(num,den);t=0:0.01:10;h=impulse(sys,t);g=step(sys,t);subplot(3,1,1),plot(t,h);gridaxis([0 10 -0.25 1]);title('冲击响应');xlabel('时间（t）'),ylabel('h(s)')subplot(3,1,2),plot(t,g);gridaxis([0 10 0 1.5]);title('阶跃响应');xlabel('时间（t）'),ylabel('g(s)')[H,w]=freqs(num,den);subplot(3,1,3),plot(w,abs(H));gridaxis([0 10 0 1.5]);title('频率响应');xlabel('jw0'),ylabel('H（jw）')。
实验5 连续时间系统的复频域分析
实验5连续时间系统的复频域分析一、实验目的1、掌握拉普拉斯变换及其反变换的定义，并掌握MAT1AB实现方法。
2、学习和掌握连续时间系统系统函数的定义及复频域分析方法。
3、掌握系统零极点的定义，加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。
二、实验原理与方法1、拉普拉斯变换连续时间信号XQ)的拉普拉斯变换定义为拉普拉斯变换定义为X(S)=Γx(t)e-st dt (1)J-‹XJ拉普拉斯反变换定义为x(t)≈-Γr X(s)e s,ds (2)2用J”>在MAT1AB中，可以采用符号数学工具箱的Iap1ace函数和iIap1ace函数进行拉氏变换和反拉氏变换。
1=IaPIaCC(F)符号表达式F的拉氏变换，F中时间变量为t,返回变量为S的结果表达式。
1=Iap1ace(F,t)用t替换结果中的变量s。
F=i1ap1ace(1)以S为变量的符号表达式1的拉氏反变换,返回时间变量为t的结果表达式。
F=iIap1ace(1,x)用X替换结果中的变量t。
除了上述iIap1ace函数，还可以采用部分分式法，求解拉普拉斯逆变换，具体原理如下：当X(S)为有理分式时，它可以表示为两个多项式之比：X(S)=祟=…+"。
...................... ⑶D(S)a N s+即_科+…+劭式(3)可以用部分分式法展成一下形式X(S)=/一+/一+...+—^ (4)♦Pi s-p2s-p N通过查常用拉普拉斯变换对，可以由式(1-2)求得拉普拉斯逆变换。
利用MAT1AB的residue函数可以将I(S)展成式(1-2)所示的部分分式展开式，该函数的调用格式为：[r,p,k]=residuc(b,a)其中b、a为分子和分母多项式系数向量，r、p、k分别为上述展开式中的部分分式系数、极点和直项多项式系数。
2、连续时间系统的系统函数连续时间系统的系统函数是系统单位冲激响应的拉氏变换HG)=Γh(t)e-s1dt (5)J-OO此外，连续时间系统的系统函数还可以由系统输入和系统输出信号的拉氏变换之比得到H(S)=Y(S)ZX(S) (6)单位冲激响应反映了系统的固有性质，而"($)从复频域反映了系统的固有性质。
第三章连续时间系统的复频域分析
，
其拉氏变换的收敛区如图3-2 (b)所示； 幅度是随时
间增长的， ，例如 区如图3-2 (c)所示。
收敛区
其拉氏变换的收敛
收敛区
0
0
(b)
(c)
图3-2 收敛区示意图
当
时，收敛区包含虚轴 ，函数的傅氏变换
存在；
当
时收敛区不包含虚轴
不存在；
，函数的傅氏变换
当
时，收敛区不包含虚轴
存在，但有冲激项。
，函数的傅氏变换
，求象函数。
方法2
4、尺度变换 若
证L 令
，则
其中
L
代入上式得
例3-6 已知
，求
解 方法1先频移后尺度
方法2 先尺度再频移
的象函数。
例3-7 求 、 的象函数。 解
5、时域微分 若
，则
式中
是在
时的值。
可以将上式推广到高阶导数
式中 以及 时的值。
分别为 时 以及
式中
以及
分别为
时的值。
证明 L
或L L 可以用直角坐标的复平面（s平面）表示，
如图3-1所示。
0
比较傅氏变换、拉氏变换的推导，可知傅氏变换的基本 信号元是 ，拉氏变换的基本信号元是 。不难表明 傅氏变换与拉氏变换的关系：傅氏变换是在虚轴上 的拉氏变换；拉氏变换是傅氏变换在s平面的推广。
虽然单边拉普拉斯变换存在条件比傅氏变换宽，但对具体 函数也有变换是否存在及在什么范围内变换存在的问题， 由单边拉氏变换收敛区可以解决这些问题。
范围。
通过实例讨论双边拉氏变换存在的条件，即双边拉氏
变换的收敛区。
例3.1-8已知函数
边L变换的收敛区 解：将积分分为两项
LTI系统的时域频率复频域分析
a2y''(t)a 1y'(t)a0y(t)b 2x''(t)b 1x'(t)b 0x(t), a2,a 1,a0,b 2,b 1,b 0为常数
5
（2）线性常系数差分方程
(Linear Constant-Coefficient Difference Equation ，LCCDE)
一般的线性常系数差分方程可表示为：
2
2
频域分析法：也是建立在线性系统具有叠加性、齐次性基础 上，与时域分析法不同处在于信号分解的基本函数不同。 17
由于h ( t ) 的傅氏变换 H ( j ) 就是频率为 的复指
数信号 e j t 通过LTI系统时，系统对输入信号在幅
度上产生的影响，所以称为系统的频率响应。
鉴于h ( t ) 与 H ( j ) 是一一对应的，因而LTI系统 可以由其频率响应完全表征。
6
（3）线性常系数差分方程的时域递归解法
对于差分方程，可以将其改写为：
y[n]a 1 0 kM 0bkx[nk]kN 1aky[nk]
可以看出：要求出y[0]，不仅要知道所有x[n] (-M≤n ≤0 )，还要知 道y[-1]、y[-2]、…、y[-N]，这称为一组初始条件。对于因果LTI系 统，若当n<0时，x[n]=0，则有y[-1]、y[-2]… y[-N]都为0，于是可 以求得y[0]=b0x[0]/a0。进一步，又可以通过y[0]和x[0]、x[1]求得 y[1],依次类推可求出所有y[n]。
右端加法器的输出:
y(t) 2f'(t)4f(t) (2)
由(2)可得y’(t)，y’’(t)为:
;(t)2f''(t)4f'(t) (3) y''(t)2f'''(t)4f''(t) (4)
连续系统复频域分析报告附MATLAB实现信号与系统实验报告
计算机与信息工程学院设计性实验报告专业：通信工程年级/班级：2011级第二学年第二学期一、实验目的1.掌握用matlab分析系统时间响应的方法2.掌握用matlab分析系统频率响应的方法3.掌握系统零、极点分布与系统稳定性关系二、实验原理1.系统函数H(s)系统函数:系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比.H(s)=R(s)/E(s)在matlab中可采用多种方法描述系统,本文采用传递函数(系统函数)描述法.在matlab中, 传递函数描述法是通过传递函数分子和分母关于s降幂排列的多项式系数来表示的.例如,某系统传递函数如下则可用如下二个向量num和den来表示:num=[1,1]；den=[1,1.3,0.8]2.用matlab分析系统时间响应1)脉冲响应y=impulse(num,den,T)T:为等间隔的时间向量,指明要计算响应的时间点.2)阶跃响应y=setp(num,den,T)T同上.3)对任意输入的响应y=lsim(num,den,U,T)U:任意输入信号. T同上.3.用matlab分析系统频率响应特性频响特性: 系统在正弦激励下稳态响应随信号频率变化的特性.|H(jω)|:幅频响应特性.ϕ(ω):相频响应特性(或相移特性).Matlab求系统频响特性函数freqs的调用格式:h=freqs(num,den,ω)ω:为等间隔的角频率向量,指明要计算响应的频率点.4.系统零、极点分布与系统稳定性关系系统函数H(s)集中表现了系统的性能,研究H(s)在S平面中极点分布的位置,可很方面地判断系统稳定性.1) 稳定系统: H(s)全部极点落于S左半平面(不包括虚轴),则可以满足系统是稳定的.2)不稳定系统: H(s)极点落于S右半平面,或在虚轴上具有二阶以上极点,则在足够长时间后,h(t)仍继续增长, 系统是不稳定的.3)临界稳定系统: H(s)极点落于S平面虚轴上,且只有一阶,则在足够长时间后,h(t)趋于一个非零数值或形成一个等幅振荡.系统函数H(s)的零、极点可用matlab的多项式求根函数roots()求得.极点:p=roots(den)零点:z=roots(num)根据p和z用plot()命令即可画出系统零、极点分布图,进而分析判断系统稳定性.三、实验内容设①p1=-2,p2=-30; ②p1=-2,p2=31.针对极点参数①②,画出系统零、极点分布图, 判断该系统稳定性.2.针对极点参数①②,绘出系统的脉冲响应曲线,并观察t→∞时, 脉冲响应变化趋势.3.针对极点参数①, 绘出系统的频响曲线.四、实验要求1．预习实验原理；2．对实验内容编写程序(M文件),上机运行；3．绘出实验内容的各相应曲线或图。
连续系统的复频域分析实验总结
连续系统的复频域分析实验总结我做这个连续系统的复频域分析实验啊，那可真是一段特别的经历。
我刚开始的时候啊，瞅着那些个仪器设备，就像瞅着一群不认识的怪物似的。
那些线路啊，扭扭曲曲的，就跟那迷宫里的小道一样。
我就站在那儿，眼睛瞪得老大，眉头皱得能夹死苍蝇。
旁边的同学看我这模样，就笑着说：“瞅你那傻样儿，没见过啊？”我翻了个白眼儿说：“你懂啥，这可复杂着呢。
”等真开始做实验了，我那手啊，还有点儿抖。
心里就像揣了只小兔子，蹦跶个不停。
我一边看着那些个数据手册，一边小心翼翼地摆弄着仪器。
那些个参数啊，数字啊，就跟一群调皮的小鬼，在我眼前晃来晃去，搞得我眼花缭乱的。
我就忍不住嘟囔：“你们这些个小玩意儿，就不能听话点儿？”这时候，老师走过来了，他那脸啊，严肃得就像冬天里的冰块儿。
他看了看我做的，说：“你这步骤可不对啊，得先这样，再那样。
”我赶忙点头，就像小鸡啄米似的，心里还想着：“咋这么笨呢我。
”不过啊，慢慢儿地，我好像摸着点儿门道儿了。
那些之前看起来乱七八糟的数据，开始有点儿规律了。
我就像发现了新大陆一样，眼睛一下子就亮了起来。
我兴奋地跟旁边的同学说：“你看，我好像弄明白了。
”同学凑过来瞅了瞅，说：“哟，还真行啊你。
”我就嘿嘿直笑，那得意劲儿啊，就甭提了。
在这个复频域里啊，就感觉像进入了一个神秘的世界。
那些个波形啊，一会儿高一会儿低的，就像大海里的波浪。
我有时候就呆呆地看着那些波形，心里想，这背后到底是啥原理呢？这就跟猜谜语似的，你得一点儿一点儿地去解开它。
有时候为了弄清楚一个小问题，我就反复地做测试，那些仪器被我摆弄了一遍又一遍。
我的额头都出汗了，头发也乱得像个鸟窝，可我顾不上这些啊，就一心想把这事儿搞明白。
这实验里还有一些个意外情况呢。
有一回啊，不知道咋的，仪器突然就发出一阵怪声，就像有人在哭似的。
我当时吓了一跳，差点没蹦起来。
我周围的同学也都愣住了，大家你看看我，我看看你，都不知道咋回事儿。
后来还是老师过来，鼓捣了几下，才恢复正常。
连续信号与系统的复频域分析
https://
2023 WORK SUMMARY
THANKS
感谢观看
REPORTING
PART 01
连续信号的复频域表示
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换定义
将时间域的连续信号转换为频率 域的表示，通过积分将时间函数 与其复指数函数相乘，得到频谱 函数。
傅里叶变换的性质
线性性、时移性、频移性、对称 性、微分性、积分性等。
傅里叶变换的应用
01
02
03
信号分析
通过傅里叶变换将信号分 解为不同频率的分量，便 于分析信号的频率成分和 特征。
复频域分析的原理
复频域分析的应用
复频域分析是一种将连续时间信号和 系统从时域转换到复频域的方法。通 过在复频域内分析信号和系统的性质 ，可以更方便地处理信号的频谱、系 统的稳定性以及频率响应等问题。
复频域分析在通信、控制、图像处理 、音频处理等领域有着广泛的应用。 例如，在通信领域中，信号的调制和 解调过程通常需要在复频域内进行。 在控制领域，系统的稳定性分析和控 制策略的设计也需要用到复频域分析 。
将低频信号调制到高频载波上，实现信号的传输和放大。
解调
将已调信号从载波中分离出来，还原为原始信号。
信号的滤波与去噪
滤波
通过一定的滤波器对信号进行滤波处理，提取所需频率成分，抑制噪声和干扰。
去噪
采用各种去噪算法对信号进行降噪处理，提高信号的信噪比。
PART 04
连续信号与系统的复频域 分析在实际中的应用
通信系统中的信号处理
01
信号调制与解调
在通信系统中，信号通常需要经过调制和解调过程才能传输。复频域分
析可以用于分析信号在调制和解调过程中的频谱变化，从而优化传输性
利用matlab进行信号和系统的复频域分析心得
利用matlab进行信号和系统的复频域分析心得
利用MATLAB进行信号和系统的复频域分析是非常常见的。
下面是一些心得和步骤供参考：
1. 导入信号数据：首先，你需要将信号数据导入到MATLAB中。
这可以通过多种方式实现，例如读取文件或直接生成信号矩阵。
2. 选择合适的频域分析方法：根据你的需求和信号类型，选择合适的频域分析方法。
常见的方法包括傅里叶变换、快速傅里叶变换（FFT）、离散傅里叶变换（DFT）等。
3. 执行频域分析：使用MATLAB提供的相应函数，如fft()或fftshift()来执行频域分析。
这将为你提供信号的频谱信息。
4. 绘制频谱图：使用MATLAB的绘图函数，如plot()或stem()，将频谱数据可视化为频谱图。
你可以选择线性频谱图或对数频谱图，具体取决于信号特性和需求。
5. 分析频谱信息：根据频谱图，你可以分析信号的频率分量、幅度特性以及相位特性。
对于系统分析，你还可以计算系统的传递函数。
6. 系统设计和优化：根据频域分析结果，你可以对系统进行设计和优化。
例如，你可以确定降噪滤波器的截止频率，或者针对特定的频率范围进行信号增强。
需要注意的是，MATLAB提供了丰富的信号处理和系统分析工具箱，可以帮助你更轻松地完成复频域分析任务。
同时，请确保使用合法授权的软件和工具，遵守中国法律政策。
第四章连续系统的复频域分析
(region of convergence)实际上就是拉氏变换存在的条
件；
则收敛条件为 。 lim f (t) eσt 0 t
σ σ0
jω 收敛轴
收敛区
收敛坐标
σ0 O
σ
图4-2拉普拉斯收敛域
4.1.2 拉普拉斯变换的收敛域
例 4-1-1 求指数函数 f (t) et ( 0) 的拉氏变换及其收敛域。
F(s) f (t)e-stdt 0
F( s ) ：为s的函数，称为象函数。
s = + j，复频率。
变换对：
f( t ) F( s )
电压：u( t ) U( s )
电流：i( t ) I( s )
4.1.2 拉普拉斯变换的收敛域
收敛域就是使 存在的s的区域称为收敛域。记为：ROC
eα st
1
αs αs
σ α
3.单位冲激信号
0
L
t
0
t
estd
t
1
全s域平面收敛
L t t0
0
t t0
estd t est0
表4—1一些常见函数的拉氏变换
4.1.3 常用信号的拉普拉斯变换
解: 用两种方法进行求解。
dt
的拉普拉斯变换。
方法一：由基本定义求解。 d
因为 f (t) 的导数为
dt
[e
atu(t
)]
aeat
u(t)
(t
)
L
df (t) dt
复频域分析实验报告
一、实验目的1. 理解复频域分析的基本原理和概念。
2. 掌握利用拉普拉斯变换进行系统分析的方法。
3. 学习使用MATLAB进行复频域分析，包括拉普拉斯变换和逆变换的计算、系统函数的求解以及系统响应的绘制。
4. 理解系统稳定性、频率响应和时域响应之间的关系。
二、实验原理复频域分析是信号与系统分析中的一种重要方法，它通过拉普拉斯变换将时域信号和系统转换到复频域进行分析。
在复频域中，信号和系统的特性可以更直观地表示，便于分析和设计。
拉普拉斯变换是一种积分变换，它将时域信号f(t)转换为复频域信号F(s)。
其定义如下：\[ F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st} dt \]其中，s是复数，称为复频率。
拉普拉斯逆变换将复频域信号F(s)转换为时域信号f(t)。
其定义如下：\[ f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi j}\int_{\gamma -j\infty}^{\gamma + j\infty} F(s)e^{st} ds \]其中，γ是拉普拉斯变换的收敛带。
通过拉普拉斯变换，可以将线性时不变系统（LTI）的时域微分方程转换为复频域的代数方程，从而简化系统分析和设计。
三、实验内容及步骤1. 拉普拉斯变换和逆变换的计算使用MATLAB进行以下信号的拉普拉斯变换和逆变换计算：- 单位阶跃信号 u(t)- 单位冲激信号δ(t)- 指数信号 e^{-at}2. 系统函数的求解根据给定的系统微分方程，求解其系统函数H(s)。
3. 系统响应的绘制- 利用MATLAB绘制系统函数H(s)的幅度响应和相位响应。
- 利用MATLAB绘制系统对单位阶跃信号的响应和单位冲激信号的响应。
4. 系统稳定性分析- 根据系统函数H(s)的极点分布，判断系统的稳定性。
- 利用MATLAB绘制系统函数H(s)的零极点图，直观地观察系统稳定性。
5. 频率响应分析- 利用MATLAB绘制系统函数H(s)的频率响应，分析系统的带宽和截止频率。
RLC系统的复频域分析(信号与系统)
解 (1) 求完全响应iL(t)：
＋
u s1(t)
＋ －
(a)
＋ －
u C(t) L
－
u s1 ( t ) iL ( 0 ) = = 1A R1 + R2
−
R2 uC (0 ) = us1 (t ) = 1V R1 + R2
−
t＝ 0 S 1
R1 2
R2 i L(t) C
＋
u s1(t)
＋
u s2(t)
＋ －
u C(t) L
－
－
(a)
R1 1 sC I1(s)
R2 IL(s) I2(s) L
＋
Us2(s)
＋ －
(b)
－
u C(0－) s
－ ＋
Li L(0－)
则S域的网孔方程为
1 1 uC (0− ) R1 + sC I1 ( s ) − sC I 2 ( s ) = U S 2 ( s ) − s 1 uC (0− ) 1 I1 ( s ) + − + R2 + sL I 2 ( s ) = + LiL (0− ) sC s sC
di (t ) u(t ) = L dt 1 t i (t ) = i (0 ) + ∫ − u (τ )dτ L 0
−
t ≥ 0
(4.6-5)
U ( s ) = sLI ( s ) − Li (0 ) U ( s ) = sLI ( s )
−
1 i (0 ) I (s) = U (s) + sL s
连续时间系统的复频域分析
信号与系统实验报告实验题目： 实验三：连续时间系统的复频域分析实验仪器： 计算机，MATLAB 软件101b s b a s a ++++++称为系统的特征多项式，征根，也称为系统的固有频率（或自然频率）。
为将个特征根，这些特征根称为()F s 极点。
根据求函数21()(1)F s s s =-的拉氏逆变换。
源代码：num = [1]; 结果为：r ＝-1 1 1 a=conv([1 -1],[1 -1]);den = conv([1 0], a); p ＝1 1 0 [r,p,k] = residue(num, den); k=03.示例3：求函数2224()(4)s F s s -=+的拉氏逆变换源代码：num = [1 0 -4];den = conv([1 0 4], [1 0 4]); [r,p,k] = residue(num, den);结果为：r ＝-0.0000-0.0000i 0.5000+0.0000i -0.0000+0.0000i 0.5000-0.0000ip ＝-0.0000+2.0000i -0.0000+2.0000i -0.0000-2.0000i -0.0000-2.0000i k=04.示例4：已知系统函数为：321()221H s s s s =+++，利用Matlab 画出该系统的零极点分布图，分析系统的稳定性，并求出该系统的单位冲激响应和幅频响应。
源代码： num=[1];den=[1 2 2 1]; sys=tf(num,den); poles=roots(den); figure(1);pzmap(sys);xlabel('Re(s)');ylabel(' Im(s)');title('zero-pole map'); t=0:0.02:10;h=impulse(num,den,t); figure(2);plot(t,h);xlabel('t(s)');ylabel('h(t)');title('Impulse Response'); [H,w]=freqs(num,den);figure(3);plot(w,abs(H));xlabel('\omega(rad/s)');ylabel('|H(j\omega)|');title('Magenitude Response'); 结果为：poles =-1.0000 -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i (2) 已知象函数，试调用residue 函数完成部分分式分解，并写出逆变换。
信号与系统§6.1线性系统复频域分析法
电阻R的运算阻抗可以表示为R UR(s)
IR (s)
R iR (t)
R IR(s)
vR t
VR(s)
2. 电感元t
n
i0
ai
siR(s)
i1 k 0
si1k
r
(k
)
(0
)
m
bjs jE(s)
j0
（6-4）
即
n i0
ai si
R(s)
n i0
ai
i1 k0
si
1k
r
(k
)
(0
)
m
bjs
j0
设系统的初始状态为r(0 ),r(0 ) ，…，r(n1) (0 ) 。根据
拉氏变换的时域微分特性，响应信号r(t) 及其各阶导
数的拉式变换为
i 1
L r(i) (t) si R(s) si1k r(k) (0 ) k 0
(i 0,1,L , n)
(6-2)
如果激励信号 e(t) 为有始信号，且L e(t) E(s), 将 e(t)
设为 t 0 时的接入，则在 t 0 时 e(t) 及其各阶导
数都为0，即 e( j) (0 ) 0( j 0,1, 2,L , m) ，于是激励信号
e(t) 及其各阶倒数的拉式变换为
L e( j) (t) s j E(s) ( j 0,1,L , m) （6-3） 对式（6-1）的两边取拉式变换，并利用式（6-2）、 （6-3），得
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实验六 系统的复频域分析§6.1 MATLAB 函数lsim （用于系统函数）目的用lsim 仿真由系统函数表征的因果LTI 系统的输出。
基本题1．定义系数向量a1和b1用以描述由下面系统函数表征的因果LTI 系统： 22)(1+-=s s s H 2．定义系数向量a2和b2用以描述由下面系统函数表征的因果LTI 系统： 3.03)(2+=s s H 3．定义系数向量a3和b3用以描述由下面系统函数表征的因果LTI 系统： 8.02)(3+=s s s H 4．利用lsim 和前面部分定义的向量求这些因果LTI 系统对由t=[0:0.1:0.5]，x=cos(t)给出的输入的输出。
以上四题解：t=[0:0.1:0.5];x=cos(t);b1=[1 -2];a1=[1 2];b2=3;a2=[1 0.3]b3=2a3=[1 0.8]y1=lsim(b1,a1,x,t);subplot(2,2,1)plot(t,y1);y2=lsim(b2,a2,x,t);subplot(2,2,2)plot(t,y2);y3=lsim(b3,a3,x,t);subplot(2,2,3) plot(t,y3);§6.2作连续时间的零极点图目的这一节要学习如何在一个零极点图上展现有理系统函数的零极点。
基本题1．下列每个系统函数都对应于稳定的LTI 系统。
用roots 求每个系统函数的零极点，如上所示的利用plot 画出零极点图并作适当标注。
(i) 325)(2+++=s s s s H (ii) 1021252)(22++++=s s s s s H (iii) )2)(102(1252)(22+++++=s s s s s s H若干不同的信号能有相同的拉普拉斯变换有理表达式，但有不同的收敛域。
例如，具有单位冲激响应为)()(),()(t u e t h t u e t h at ac at c --==--的因果和反因果LTI 系统就有相同的分子和分母多项式的有理系统函数为a s as s H c ->+=)R e ( 1)( a s a s s H ac -<+=)Re( 1)( 然而，它们有不同的系统函数，因为 它们有不同的收敛域。
解：代码如下b1=[1 5];a1=[1 2 3];zs1=roots(b1)ps1=roots(a1)subplot(3,2,1)plot(real(zs1),imag(zs1),'o');gridaxis([-10 10 -10 10])subplot(3,2,2)plot(real(ps1),imag(ps1),'x');gridaxis([-10 10 -10 10])b2=[2 5 12];a1=[1 2 10];zs2=roots(b2)ps2=roots(a2)subplot(3,2,3)plot(real(zs2),imag(zs2),'o');gridaxis([-10 10 -10 10])subplot(3,2,4)plot(real(ps2),imag(ps2),'x'); gridaxis([-10 10 -10 10])b3=[1 5];a3=[1 2 3];zs3=roots(b3)ps3=roots(a3)subplot(3,2,5)plot(real(zs3),imag(zs3),'o'); gridaxis([-10 10 -10 10]) subplot(3,2,6)plot(real(ps3),imag(ps3),'x'); gridaxis([-10 10 -10 10])2．对1中每个有理表达式，确定它们的收敛域。
解：代码如下i.Re(s)>-1;ii. Re(s)为任意值 i.Re(s)>-23．对输入和输出满足下面微分方程：)(5)(2)()(3)(22t x dt t dx dt t x d t y dt t dy ++=- 的因果LTI 系统，求系统函数的零点和极点，并完成一幅适当标注的零极点图。
解：代码如下b=[1 -3];a=[1 2 5];zs=roots(b)ps=roots(a)subplot(2,1,1)plot(real(zs),imag(zs),'o');gridaxis([-10 10 -10 10])subplot(2,1,2)plot(real(ps),imag(ps),'x');grid axis([-10 10 -10 10])中等题下面的练习需要用到函数plotpz，其具体实现如下。
函数plotpz是用于对分子和分母多项式的系数存入向量a和b中的LTI系统画出零极点图用的。
这个函数除了画图以外，还产生零极点的值。
function [ps,zs]=plotpz(b,a,ROC)ps=roots(a);zs=roots(b);ps=ps(:);zs=zs(:);Maxl=max(abs(imag([ps;zs;j])));MaxR=max(abs(imag([ps;zs;i])));plot(1.5*[-MaxR MaxR],[0 0],'w');hold ontext(1.5*MaxR,0,'Re');plot([0 0],1.5*[-Maxl Maxl],'w');text(0,1.5*Maxl,'Im');plot(real(zs),imag(zs),'bo');plot(real(ps),imag(ps),'bx');if (nargin('plotpz')>2)%nargin是用来判断输入变量个数的函数if(any(real(ps)<ROC))%检测矩阵中是否有非零元素，如果有，则返回1，否则，返回0ipole=max(real(ps(real(ps)<ROC)));plot([ipole ipole],1.5*[-Maxl Maxl],'r--');endif(any(real(ps)>ROC))rpole=min(real(ps(real(ps)>ROC)));plot([rpole rpole],1.5*[-Maxl Maxl],'r--');endtext(ROC,-1.25*Maxl,'ROC');endaxis('equal');grid;hold on任选宗量ROC用来在图中指出收敛域。
在该系统的收敛域内用选取ROC是一个点，plotpz将适当地给系统的收敛域标注。
例如，试试执行下列命令>> b=[1 -1];>> a=[1 3 1];>> [ps,zs]=plotpz(b,a,1);>> [ps,zs]=plotpz(b,a,-2);b=[1 -1];a=[1 3 1];[ps,zs]=plotpz(b,a,1);[ps,zs]=plotpz(b,a,-2);4．说明plotpz如何在ROC内画出一个单一的点确定一个有理变换的收敛域。
解：通过any(real(ps)<ROC)函数来确定极点与ROC的关系，通过min(real(ps(real(ps)>ROC)))函数找出边界，然后用plot画出收敛域§6.3 MATLAB 函数freqz目的学习用函数freqz 绘制LTI 系统的频率响应。
基本题1．利用freqz 画出微分方程)(5)()()(4)(32222t x dt t x d t y dt t dy dt t y d +=++描述的一个因果、稳定的LTI 系统的频率响应的幅值和相位。
解：代码如下：a=[3 4 1];b=[1 0 5];freqz(b,a);§6.4 系统的时域和频域特性目的考虑几个由线性常系数微分方程描述的稳定的LTI 系统，对这些系统要求计算它们的单位冲激响应和频率响应。
尽管用频率响应或单位脉冲响应都足以完全表征一个LTI 系统，但是将会明白有时候既从时域，又从频域来考虑系统特性是很有利的。
基本题考虑由下面微分方程给出的一类因果LTI 系统)()()(00t x a t y a dtt dy =+ 其中00>a 以保证稳定性。
定义系统I 是满足上式，30=a 的系统，系统II 是310=a 的系统。
1．用解析法导出对应于上式的稳定LTI 系统的频率响应，同时确定这个频率响应的幅值和相位。
解：代码如下：a1=[1 3];b1=3; freqs(b1,a1) a2=[1 1/3]; b2=1/3; freqs(b2,a2)2．定义w=linspace(0,10)，利用freqz计算系统I和系统II在w频率上的频率响应，在单一的图上画出这两个频率响应的幅值。
这两个幅值图与解析表达式中频率响应的幅值一致吗？解：代码如下：w=linspace(0,10);a=[1 3]b=3;freqz(b,a,w)w=linspace(0,10);a=[1 1/3];b=1/3;freqz(b,a,w)结果分析：这两个幅值图与解析表达式中频率响应的幅值一致3．用函数impulse计算系统I和系统II在向量t=linspace(0,5)所定义的时间样本点上的单位冲激响应。
解：t=linspace(0,5);b=3;a=[1 3];impulse(b,a,t);t=linspace(0,5); b=1/3;a=[1 1/3]; impulse(b,a,t);4．单位冲激响应随时间衰减的速率与频率响应幅值随频率下降的速率之间是什么关系？CTFT中的何种性质说明这一关系？解：单位冲激响应随时间衰减的速率与频率响应幅值随频率下降的速率之间是一对傅立叶变换关系中等题5．巴特沃兹滤波器就属于这样一类连续时间频率选择滤波器，它们能用线性常系数微分方程实现。
为了确定一个二阶3ω的巴特沃兹滤波器的系数，键入=c>> wc=3;>> [b2,a2]=butter(2,wc,'s');宗量's'表明所要求的是一个连续时间滤波器而不是离散时间滤波器；如有缺损，则由butter产生的是一个离散时间滤波器。
向量b2和a2包含的是二阶微分方程的系数，其格式与 2.3节所用相同。
用freqz计算并画出相应LTI系统在w=linspace(0,10)频率点上频率响应的幅值。