垂直于弦的直径说课稿优秀课件
合集下载
垂直于弦的直径时课件
02
垂直于弦的直径的性质证明
证明方法
01
02
03
三角形类似证明法
通过构造与垂直于弦的直 径相关的两个三角形，并 证明这两个三角形类似， 从而得出直径的性质。
圆周角定理证明法
利用圆周角定理，推导出 与垂直于弦的直径相关的 角的关系，从而证明直径 的性质。
反证法
假设与垂直于弦的直径相 关的性质不成立，通过推 理得出矛盾，从而证明直 径的性质成立。
总结词
在椭圆中，垂直于弦的直径同样具有平分弦和弧的特性。
详细描述
在椭圆中，如果有一条直径垂直于弦，那么这条直径也会平分这条弦，即弦被分 成两等分。同时，该直径还会平分弦所对的弧，即该弧被分为两个相等的部分。 这个性质在椭圆中同样适用，是几何学中的一个基本定理。
实例三：抛物线中的垂直于弦的直径
总结词
实例一：圆中的垂直于弦的直径
总结词
在圆中，垂直于弦的直径平分该弦，并且平分弦所对的弧。
详细描述
在圆中，如果有一条直径垂直于弦，那么这条直径会平分这 条弦，即弦被分成两等分。同时，该直径还会平分弦所对的 弧，即该弧被分为两个相等的部分。这是圆的基本性质之一 ，也是几何学中的一个基本定理。
实例二：椭圆中的垂于弦的直径
03
垂直于弦的直径的应用
在几何图形中的应用
垂直于弦的直径是几何图形中 重要的概念，它有助于理解图 形的形状、大小和性质。
在圆中，垂直于弦的直径将弦 分为两段相等的部分，这是等 腰三角形的一个重要性质。
垂直于弦的直径还可以用于确 定圆心角和圆周角的关系，以 及解决与圆相关的几何问题。
在物理中的应用
05
垂直于弦的直径的练习题及答案
练习题一及答案
人教版九年级上册数学24.垂直于弦的直径说课课件
24.1.2垂直于弦的直径
一、教材分析
学生已经学习 1、轴对称、 2、中心对称 3、圆的有关概念
重要的地位 1、圆的性质的重要体现， 对称性的具体化 2、证明线段相等、角相等 、
弧相等、垂直关系 3、圆的计算和作图提供了 方法和根据
本节课是义务教育实验教材人教版 《数学》九年级上册第24章
“24.1.2垂直于弦的直径”的第二课时
二、目标分析
01
03
理解圆的
02
轴对称性
教学重难点
重点
：垂径定理及推论
难点
：探索其运用及其 有关计算和作图
三、学情分析
独立思考，实践操作 合作交流，归纳概括
A
能进行简单的推理论证
B
九年级学生的形象直观思维能力较强，具有一定的独立思 考、实践操作、合作交流、归纳概括等能力，能进行简单 的推理论证。
四、教学方法
“发现—视察—猜想—合作交流—证明 ”
（探索发现法和启示式教学法）
动手，视察能力，分析、联想能力、 以及与人合作交流的能力（主体性） 。
圆的轴对称性，感受数学美 。
五、教学过程
一
二
三
复习回顾 引入课题
实验探究 大胆猜想
证明猜想 得出定理
四
应用举例 强化训练
五
反观课堂 提炼小结
part 1：复习引入，导入课题定理
垂径定理
part 4：应用举例，强化训练
part 5：反观课堂，提炼小结
六、反思总结
part A 教师是导演，学生是演员
B part
使每一个学生都最大限 part C 度地参与到课堂的活动中
D part
谢谢
一、教材分析
学生已经学习 1、轴对称、 2、中心对称 3、圆的有关概念
重要的地位 1、圆的性质的重要体现， 对称性的具体化 2、证明线段相等、角相等 、
弧相等、垂直关系 3、圆的计算和作图提供了 方法和根据
本节课是义务教育实验教材人教版 《数学》九年级上册第24章
“24.1.2垂直于弦的直径”的第二课时
二、目标分析
01
03
理解圆的
02
轴对称性
教学重难点
重点
：垂径定理及推论
难点
：探索其运用及其 有关计算和作图
三、学情分析
独立思考，实践操作 合作交流，归纳概括
A
能进行简单的推理论证
B
九年级学生的形象直观思维能力较强，具有一定的独立思 考、实践操作、合作交流、归纳概括等能力，能进行简单 的推理论证。
四、教学方法
“发现—视察—猜想—合作交流—证明 ”
（探索发现法和启示式教学法）
动手，视察能力，分析、联想能力、 以及与人合作交流的能力（主体性） 。
圆的轴对称性，感受数学美 。
五、教学过程
一
二
三
复习回顾 引入课题
实验探究 大胆猜想
证明猜想 得出定理
四
应用举例 强化训练
五
反观课堂 提炼小结
part 1：复习引入，导入课题定理
垂径定理
part 4：应用举例，强化训练
part 5：反观课堂，提炼小结
六、反思总结
part A 教师是导演，学生是演员
B part
使每一个学生都最大限 part C 度地参与到课堂的活动中
D part
谢谢
人教版九级数学上册 2412 垂直于弦的直径——说课课件(共30张PPT)
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 如图，已知⊙O的半径为5mm，弦AB=8mm，
（2）若AB＝10，C弧D＝8:，A则COM=＝BC. ,AD=BD
·O
E
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆 A
B
重AD合分，别点⌒与A与BC点⌒、B重BD合重，合A．⌒E与BE⌒重合，AC ,
D
活动三：总结归纳
C
垂径定理 垂直于弦的直径
（1）知识目标：理解圆的轴对称性；掌握垂径定
理和推论；能初步运用以上知识解决简单的数学
问题。
经常是连结半径,过圆心作弦的垂线段(即弦心距) 等
（2）能力目标 ：渗透类比、转化、数形结合的数 (2)⊙O的直径为10 cm，圆心O到弦AB的距离OE=3 cm，则弦AB的长是 .
辅助线，为应用垂径定理创造条件.
弧:AC=BC,AD=BD
（3）情感态度：渗透数学来源于实践和事物之间 在下列图形中，哪些图形可用垂径定理
如图，已知⊙O的半径为5mm，弦AB=8mm， 弦心距2+半弦2=半径2
相互统一、相互转化的辩证唯物主义观点，让学 (4)平分弦所对的优弧
在下列图形中，哪些图形可用垂径定理
生体会几何图形所蕴涵的对称美。 如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于E，且弧BC=
你是否能得到另外三个结论？
O
2推.若论知过道“圆垂心直平于分弦”非和直“径平的分弦弦的”直，线 你能得垂到直另于外弦三，个结并论且吗平？分弦所对的两条弧. O
“知二推三”
(1)垂直于弦
(2)过圆心
(3)平分弦
(4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧 注意:当具备了(1)(3)时,应对另一
条弦增加”不是直径”的限制.
O
（2）若AB＝10，C弧D＝8:，A则COM=＝BC. ,AD=BD
·O
E
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆 A
B
重AD合分，别点⌒与A与BC点⌒、B重BD合重，合A．⌒E与BE⌒重合，AC ,
D
活动三：总结归纳
C
垂径定理 垂直于弦的直径
（1）知识目标：理解圆的轴对称性；掌握垂径定
理和推论；能初步运用以上知识解决简单的数学
问题。
经常是连结半径,过圆心作弦的垂线段(即弦心距) 等
（2）能力目标 ：渗透类比、转化、数形结合的数 (2)⊙O的直径为10 cm，圆心O到弦AB的距离OE=3 cm，则弦AB的长是 .
辅助线，为应用垂径定理创造条件.
弧:AC=BC,AD=BD
（3）情感态度：渗透数学来源于实践和事物之间 在下列图形中，哪些图形可用垂径定理
如图，已知⊙O的半径为5mm，弦AB=8mm， 弦心距2+半弦2=半径2
相互统一、相互转化的辩证唯物主义观点，让学 (4)平分弦所对的优弧
在下列图形中，哪些图形可用垂径定理
生体会几何图形所蕴涵的对称美。 如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于E，且弧BC=
你是否能得到另外三个结论？
O
2推.若论知过道“圆垂心直平于分弦”非和直“径平的分弦弦的”直，线 你能得垂到直另于外弦三，个结并论且吗平？分弦所对的两条弧. O
“知二推三”
(1)垂直于弦
(2)过圆心
(3)平分弦
(4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧 注意:当具备了(1)(3)时,应对另一
条弦增加”不是直径”的限制.
O
垂直于弦的直径说课课件
归纳小结
知识层面：
圆对的称对轴称是应性 直用层： 径面圆 所：是在轴直对线称图形，它的 垂并推径且论定平：理分平①长角： 弦 分垂、三径半角垂 所 弦定径形直 对 （思数理、；想形于的不和 弦层结弦两是勾心面合的条直股距：、直弧径定等方理问径。）程有题平的、机的转分直结方化弦径合法、，垂是，类计 构比算造等弦直数学思 直于弦，②并技巧且：平想重在分要实弦辅际所助操对线作是的中过两的圆应条心用弧作。弦的垂线。
重要思路构：造（R由t△）的垂“径七定字理口—诀—”构：造半径半弦弦 Rt△——心（距结合）勾股定理——建立方程
圆的对称美
民族自豪感和振兴中华的使命感
作业布置
❖必做题：课本习题1，2. ❖选做题：任意交换垂径定理的一条条件和
一条结论，能得到哪些结论。
板书设计
探索一： 圆的对称性 探索二： 垂径定理 推论
探究新知
第二步：探索拱桥模型垂径的性质
模型中让含学有生哪在自制 些的等圆量形关图系片呢上？画 出弦AB和垂直于 弦的直径CD，以 及交点E和圆心O， 然后在规定时间 内自己实验、观 察并得出猜想
❖小组交流
探索新知
探索新知
❖成果展示
条件：在⊙O中，CD是直径，AB是弦， CD⊥AB，垂足为E． 结论：AE=EB， = ，
⊙O的半径。
E
B
.
O
两道例题均由学生完成,实物投影展示
❖应用小结
应用举例
（1）圆中有关弦、半径的计算问题 可以利用垂径定理来解决。
（2）重要的辅助线：过圆心做弦的 垂线构造直角三角形，结合垂径定理
与解直角三角形的有关知识解题。
❖分项总结
归纳小结
知识层面：内容总结 应用层面：方法技巧总结 思想层面：体验感受总结
24.垂直于弦的直径PPT课件(人教版)
（√ ） （√ ） （×）
轴
经过圆心
中心
圆心
垂直于弦的 直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
垂直
弦所对的两条弧
问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建 造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主 桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m, 拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主 桥拱的半径吗？
∵AB∥CD，∴ON⊥CD于N
在RtAOM中，AM 5cm,OM OA2 AM2 12cm. 在RtOCN中，CN 12cm,ON OC2 CN 2 5cm.
∵MN=OM-ON，∴MN=7cm. (2)当AB、CD在O点异侧时，如图②所示，
由（1）可知OM=12cm,ON=5cm，MN=OM+ON，
（并2且）平A分M=A（BBM及，AA（DCB=．BC，AD=BD，即直径CD平分弦AB，
这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧。进一步，我们还可以得到结论：平 分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 。
知识点一 垂径定理及其推论
C
知识点一 垂径定理及其推论
通过本节课的学习,我们就会很容易解决这一问题．
探究：1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什 么？你能找到多少条对称轴？
分析讨论：圆是轴对称图形,它的对称轴是直径，我能找到 无数多条直径．
探究： 2．你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行 交流．
分析讨论我：是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决 圆的对称轴问题的．
.2垂直于弦的直径
判断：
（１）直径是弦．（ √ ）
（２）弦是直径． （ × ）
垂直于弦的直径课件(共21张PPT)
C E A
O
D
B
三 垂径定理的有关计算 例2 如图，⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于
D，DC＝2cm，求半径OC的长.
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D， ∴
1 1 AD AB 8 4 (cm) 2 2
E
方程思想
A
D C
Hale Waihona Puke O ·设OC=xcm，则OD=x-2,根据 勾股定理，得 x2=42+(x-2)2， 解得 x=5， 即半径OC的长为5cm.
试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入 中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
7.23米
37米
解：如图，用AB表示主桥拱，设 AB所在圆的圆心为O，半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC 垂足为D，与弧AB交于点C， 则D是AB的中点，C是弧AB的 中点，CD就是拱高. ∴ AB=37m，CD=7.23m.
C B O A
D
定理及推论，总结： 一条直线只需满足： （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述条件中的任意两个条件，就能推 出其它三个.
五 学以致用
例2 赵州桥(图24.1-7)是我国隋代建造白石拱桥，距今 约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它 的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高 (弧的中点到弦的距离)为7.23 m,求赵州桥主桥拱的半径(结果 保留小数点后一位).
一 三 垂径定理的有关计算 例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的 半径 AB 为10cm, 16 61 cm. OE=6cm,则 半径为 AB=
A
E
B
解析：连接OA， ∵ OE⊥AB， ∴∠AEO=90°，AB=2AE
垂直于弦的直径课件
。
04
垂直于弦的直径与勾股定理 的关系
勾股定理的表述
勾股定理
在一个直角三角形中，直角边的平方 和等于斜边的平方。
勾股定理的证明方法
利用相似三角形的性质、四边形面积 的计算、代数方法等。
垂直于弦的直径与勾股定理的联系
垂直于弦的直径是直角三角形斜 边的中线。
根据勾股定理，直角三角形斜边 的中线长度等于斜边的一半。
在航海学中，勾股定理用于确定 船只的位置和航向，例如确定船
只与陆地之间的距离和角度。
05
垂直于弦的直径在现实生活 中的应用
工程设计中的应用
桥梁设计
在桥梁设计中，垂直于弦的直径 可以用于确定桥梁的承重能力和 稳定性，确保桥梁的安全性和可
靠性。
建筑设计
在建筑设计中，垂直于弦的直径可 以用于确定建筑物的结构强度和稳 定性，保证建筑物的安全和耐久性 。
答案
$( - frac{sqrt{3}}{3},frac{sqrt{3}}{3})$
题目
已知圆C：$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$，直线l过 点$(a,b)$且与圆C交于A，B两点，$angle AOB = 120^{circ}$（O为坐标原点），则实数r的取值范围是 ____．
感谢您的观看
THANKS
弦
连接圆上任意两点的线段 。
直径
经过圆心，并且两端点都 在圆上的线段。
性质
弦的中垂线经过圆心
垂直于弦并且经过圆心的线段称为弦 的中垂线，它也经过圆心。
弦被直径平分
垂直于弦的直径将弦分为两段相等的 部分。
弦与直径形成的角为直角
垂直于弦的直径与弦形成的角为直角 ，即弦与直径垂直。
04
垂直于弦的直径与勾股定理 的关系
勾股定理的表述
勾股定理
在一个直角三角形中，直角边的平方 和等于斜边的平方。
勾股定理的证明方法
利用相似三角形的性质、四边形面积 的计算、代数方法等。
垂直于弦的直径与勾股定理的联系
垂直于弦的直径是直角三角形斜 边的中线。
根据勾股定理，直角三角形斜边 的中线长度等于斜边的一半。
在航海学中，勾股定理用于确定 船只的位置和航向，例如确定船
只与陆地之间的距离和角度。
05
垂直于弦的直径在现实生活 中的应用
工程设计中的应用
桥梁设计
在桥梁设计中，垂直于弦的直径 可以用于确定桥梁的承重能力和 稳定性，确保桥梁的安全性和可
靠性。
建筑设计
在建筑设计中，垂直于弦的直径可 以用于确定建筑物的结构强度和稳 定性，保证建筑物的安全和耐久性 。
答案
$( - frac{sqrt{3}}{3},frac{sqrt{3}}{3})$
题目
已知圆C：$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$，直线l过 点$(a,b)$且与圆C交于A，B两点，$angle AOB = 120^{circ}$（O为坐标原点），则实数r的取值范围是 ____．
感谢您的观看
THANKS
弦
连接圆上任意两点的线段 。
直径
经过圆心，并且两端点都 在圆上的线段。
性质
弦的中垂线经过圆心
垂直于弦并且经过圆心的线段称为弦 的中垂线，它也经过圆心。
弦被直径平分
垂直于弦的直径将弦分为两段相等的 部分。
弦与直径形成的角为直角
垂直于弦的直径与弦形成的角为直角 ，即弦与直径垂直。
人教版九年级上册数学《垂直于弦的直径》圆PPT说课教学
直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．
6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其
中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路
的半径.
C
解:连接OC.
E 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
●O F
OE CD,
第二十四章 圆
垂直于弦的直径
学习目标
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用 它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
导入新课
你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？
在折的过程中你有何发现？
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
D
CF
1 2
CD
1 600 2
300(m).
根据勾股定理，得 OC 2 CF 2 OF 2 ,
R2 3002 R 902 .
解得R=545. ∴这段弯路的半径约为545m.
拓展提升： 如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,
3cm≤O
A
O B
课堂小结
垂径定理
内容 推论 辅助线
垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧
思路1：连接OA，OB，OC，OD．
证明△OAC≌△OBD （证明△OAD≌△OBC）．
AC
O
DB
新知应用
例3 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆 的弦AB交小圆于C、D两点.求证：AC＝BD.
思路2：连接OA，OB，OC，OD．
过点O作OE⊥AB于点E， 根据等腰三角形的性质．
6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其
中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路
的半径.
C
解:连接OC.
E 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
●O F
OE CD,
第二十四章 圆
垂直于弦的直径
学习目标
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用 它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
导入新课
你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？
在折的过程中你有何发现？
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
D
CF
1 2
CD
1 600 2
300(m).
根据勾股定理，得 OC 2 CF 2 OF 2 ,
R2 3002 R 902 .
解得R=545. ∴这段弯路的半径约为545m.
拓展提升： 如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,
3cm≤O
A
O B
课堂小结
垂径定理
内容 推论 辅助线
垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧
思路1：连接OA，OB，OC，OD．
证明△OAC≌△OBD （证明△OAD≌△OBC）．
AC
O
DB
新知应用
例3 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆 的弦AB交小圆于C、D两点.求证：AC＝BD.
思路2：连接OA，OB，OC，OD．
过点O作OE⊥AB于点E， 根据等腰三角形的性质．
垂直于弦的直径-PPT课件
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形， AE 1 AC，AD 1 AB
2
2
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
Ｃ
Ｏ
垂径定理：
Ａ
ＥＢ
Ｄ
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
推论：
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
几何语言：已知：CD是直径, CD⊥AB
求证：AE=BE
A⌒D=B⌒D. A⌒C =B⌒C
·O
E
A
B
D
证明：连接OA,OB
在Rt△OAE和Rt△OBE中，
OA=OB，OE=OE ∴Rt△OAE≌Rt△OBE.（HL)
∴AE=BE. ∵⊙O关于直径CD对称,
∴点A和点B关于CD对称.
⌒⌒
⌒⌒
∴ AC和BC重合, AD和BD重合.
答：⊙O的半径为5cm.
赵州桥主桥拱的半径是多少？
37.4m
C
7.2m
A
D
B
R
O 问题 ：1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥 拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的 中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到
0.1m).
解决求赵州桥拱半径的问题
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴．
活动二
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
《垂直于弦的直径》优秀课件人教版1
教学重点：垂径定理及应用. 教学难点：垂径定理的证明及应用.
教学环节
1.动手探究 2.探究新知 3.新知应用 4.课堂小结 5.布置作业
动手探究
• 如图，剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径 对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得 到什么结论？
结论：圆是轴对称图形，任何一条直径 所在直线都是圆的对称轴.
C
O
A
M
A'
D
《垂直于弦的直径》优秀课件人教版1
《垂直于弦的直径》优秀课件人教版1
如何证明圆是轴对称图形？ 定稿：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于
直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上.我们还可以证明， 对于圆上任意一点A在圆上都能找到一点A＇，这两点关于直径 所在直线对称，我们如何找到这样的点A＇呢？
A
D
B
《垂直于弦的直径》优秀课件人教版1
24.1.2垂直于弦的直径 （第二课时）
《垂直于弦的直径》优秀课件人教版1
《垂直于弦的直径》优秀课件人教版1
24.1.2垂直于弦的直径（第二课时）
教学目标：探究垂径定理的推论及简单应用. 教学重点：垂径定理推论及应用. 教学难点：垂径定理推论的探究.
《垂直于弦的直径》优秀课件人教版1① ②Fra bibliotek③ ④ ⑤
√
① ③
② ④ ⑤
√
这里的弦 不是直径
④平分弦所对的优弧, ⑤平分弦所对的劣弧.
① ⑤
② ③ ④
√
…
思考：一共有多少种组合呢？
教材中关于垂径定理的推论只有平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两 条弧.于是以拓展探究的方式给出了“知二推三”,拓宽学生的解题思路.
垂直于弦的直径ppt课件
年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主
桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37
m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州
桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.
解：如图，过桥拱所在圆的圆心 O 作 AB 的垂线，交 AB
于点 C，交弦 AB 于点 D，则 CD = 7.23.
赵州桥中，弦长 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间有
以下关系：
指圆心 O 到弦的距离
C
d+h=r
h
a
A
B 数量关系
D
2
r d
O
总结
垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形
课堂练习
1. 如图 a、b，一弓形弦长为
cm，弓形所在的圆的
半径为 7 cm，则弓形的高为＿_＿＿____cm.
2 或 12
问题2：不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗？
由此你得到了什么结论？你能证明你的结论吗？
●O
结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直
线都是圆的对称轴.
问题3：如何证明圆是轴对称图形？
圆上任意一点关于直径所在直线 (对称轴) 的对称
点也在圆上.
同学们在自己作的圆中按照如下步骤作图，并
写出已知和证明：
基本图形及
变式图形
构造直角三角形，利用勾股定理
计算或建立方程.
OC ＝2，则☉ O 的半径长为
.
3. （2023·宜昌中考）如图， OA ， OB ， OC 都是☉
O 的半径， AC ， OB 交于点 D . 若 AD ＝ CD ＝8，
OD ＝6，则 BD 的长为 4 .
垂直于弦的直径的应用课课件
应用
利用垂直于弦的直径来证 明平面图形中的一些定理 和性质
实例
利用垂直于弦的直径来计 算平面图形的面积和周长
03
CHAPTER
垂直于弦的直径在实际问题 中的应用
在建筑设计中的应用
建筑结构分析
垂直于弦的直径在建筑设计中可用于分析结构的稳定性。通过计算直径上的应 力分布，可以评估结构的承载能力和安全性。
案例三
总结词
日常生活用品中的垂直于弦的直径应用主要 体现在工具和家居用品的设计上。
详细描述
在日常生活中，许多工具和家居用品都利用 了垂直于弦的直径原理。例如，剪刀、餐具 等工具的设计中，通过垂直于弦的直径实现 受力点的优化，提高使用舒适度和效率。在 家居用品中，如椅子、桌子等，垂直于弦的 直径有助于提高家具的稳定性和承重能力， 保证使用的安全性和舒适性。
交通工具设计
在交通工具设计中，垂直于弦的直径也有广泛应用。例如， 在汽车、火车等交通工具的车身和部件设计中，通过分析直 径上的应力分布，可以优化车身结构和材料选择，提高其安 全பைடு நூலகம்和经济性。
04
CHAPTER
垂直于弦的直径的应用案例 分析
案例一：建筑设计中的垂直于弦的直径应用
总结词
建筑设计中的垂直于弦的直径应用主要 体现在空间布局和结构稳定性方面。
实例
利用直径和垂直于直径的弦来计算圆的面积和周 长
在三角形中的应用
01
02
03
定理
垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧
应用
利用垂直于弦的直径来证 明三角形的中线定理和平 行四边形定理
实例
利用垂直于弦的直径来计 算三角形的面积和周长
在其他图形中的应用
垂直于弦的直径精品说课课件
一、教材分析
1、教材的地位与作用 2、教学目标
教学目标
知识与技能
理解圆的轴对 称性；掌握垂 径定理及其推 论；运用解决 有关的证明、 计算和作图问 题。 培养观察 能力、分析能 力及联想证明 能力。
教材分析
过程与方法
经历“实验、观察、 猜想、证明”的探 索过程、体会探索 问题的一般方法和 转化的数学思想；
情感态度与价 值观
体会到数学图 形的对称美。 体会民族的自 豪感
一、教材分析
1、教材的地位与作用 2、教学目标 3、教学重难点及关键
教材分析
教学重难点及关键
关难重键点点 垂垂径径圆定定的理理及轴其及对推其称论的性推证论明
教法选择
❖拱桥模型性质为主线 ❖直观演示法、引导发现法为方法 ❖多媒体课件，实物投影仪，超级 画板（专业数学软件）为手段 ❖“实验---观察---猜想---证明”为 过程
B
两条弧
否垂直呢？
D
探究新知
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧
推论：平分弦（不是直径）的直径 垂直于弦，并且平分弦所对的两条 弧
应用举例
❖例一、（解决引例） 赵州桥桥拱半径问题Dຫໍສະໝຸດ aA2 hE
B
rd
O h'
C
❖例二、（应用拓展）
⊙O的直径AB=10cm，弦CD=6cm，求A、 B到直线CD的距离之和.
2、圆把圆圆是是形不轴纸是对片轴沿称对直图称径形图对，折形对，？观察两
部分重称合轴。是直径所在直线
3、对变换称直轴径的方概向念再是多什做几么次？。 圆的对称轴是什么 ？
探究新知
第二步：探索拱桥模型垂径的性质
模型中让含学有生哪在自制 些的等圆量形关图系片呢上？画 出弦AB和垂直于 弦的直径CD，以 及交点E和圆心O， 然后在规定时间 内自己实验、观 察并得出猜想
垂直于弦的直径公开课版课件
垂直于弦的直径公开 课版课件
• 垂直于弦的直径的基本概念 • 垂直于弦的直径的性质证明 • 垂直于弦的直径定理的应用 • 垂直于弦的直径定理的推论 • 垂直于弦的直径定理的证明方法
目录
Part
01
垂直于弦的直径的基本概念
定义与性质
定义
垂直于弦的直径是一条线段，它 过圆心并与给定的弦垂直。
性质
推论二：经过圆心，平分弦的线段垂直于该弦
总结词
此推论说明，如果一条线段经过圆心并平分弦，那么这条线段垂直于该弦。
详细描述
由于线段经过圆心，它必然与圆相交于两点。由于它平分弦，这两点将与弦形成两个相等的部分。根 据垂径定理，经过圆心的线段与弦垂直。
推论三：平分弦的直径垂直于该弦
总结词
这个推论表明，如果一条直径平分弦，那么这条直径垂直于该弦。
利用圆的性质证明
总结词：逻辑周密
详细描述：根据圆的性质，直径是圆中最长的弦，因此它必然平分与之垂直的任何其他弦。
利用反证法证明
总结词：反向思考
详细描述：第一假设与弦垂直的直径不平分该弦，然后通过一系列逻辑推理，最终得出矛盾，从而证 明垂直于弦的直径必然平分该弦。
THANKS
感谢您的观看
总结词
垂直于弦的直径将弦分为两段相等的线 段，这是垂直于弦的直径的基本性质之 一。
VS
详细描述
由于直径是弦的中垂线，它必然将弦分为 两段相等的线段。这是基于几何学的基本 定理，即任何经过圆心并垂直于弦的线段 都将弦平分，并将弦分为两段相等的线段 。这个性质在解决几何问题时非常有用， 因为它可以帮助我们快速找到弦的中点， 从而简化问题。
Part
03
垂直于弦的直径定理的应用
在几何证明题中的应用
• 垂直于弦的直径的基本概念 • 垂直于弦的直径的性质证明 • 垂直于弦的直径定理的应用 • 垂直于弦的直径定理的推论 • 垂直于弦的直径定理的证明方法
目录
Part
01
垂直于弦的直径的基本概念
定义与性质
定义
垂直于弦的直径是一条线段，它 过圆心并与给定的弦垂直。
性质
推论二：经过圆心，平分弦的线段垂直于该弦
总结词
此推论说明，如果一条线段经过圆心并平分弦，那么这条线段垂直于该弦。
详细描述
由于线段经过圆心，它必然与圆相交于两点。由于它平分弦，这两点将与弦形成两个相等的部分。根 据垂径定理，经过圆心的线段与弦垂直。
推论三：平分弦的直径垂直于该弦
总结词
这个推论表明，如果一条直径平分弦，那么这条直径垂直于该弦。
利用圆的性质证明
总结词：逻辑周密
详细描述：根据圆的性质，直径是圆中最长的弦，因此它必然平分与之垂直的任何其他弦。
利用反证法证明
总结词：反向思考
详细描述：第一假设与弦垂直的直径不平分该弦，然后通过一系列逻辑推理，最终得出矛盾，从而证 明垂直于弦的直径必然平分该弦。
THANKS
感谢您的观看
总结词
垂直于弦的直径将弦分为两段相等的线 段，这是垂直于弦的直径的基本性质之 一。
VS
详细描述
由于直径是弦的中垂线，它必然将弦分为 两段相等的线段。这是基于几何学的基本 定理，即任何经过圆心并垂直于弦的线段 都将弦平分，并将弦分为两段相等的线段 。这个性质在解决几何问题时非常有用， 因为它可以帮助我们快速找到弦的中点， 从而简化问题。
Part
03
垂直于弦的直径定理的应用
在几何证明题中的应用
《垂直于弦的直径》圆PPT精品课件
C
A
B
O
（2）
C
O AD B
（3）
C
OE
A
B
D
（4）
没有垂直
AB、CD都 不是直径
抢答
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
想一想
怎样修改图（2）、（4）能够满足垂径定理的条件？
C
O AE B
D
（1）
C
A
B
O
（2）
C
O AD B
（3）
C A OE B
DD
（4）
垂径定理： 过圆心
垂径定理的推论：
①③→②④⑤
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
①过圆心， ②垂直于弦， ③平分弦, ④平分弦所对的优弧弧, , ⑤平分弦所对的劣弧.
还有别的结论吗？ 如：①④→②③⑤？
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
延伸
①过圆心，②垂直于弦，③平分弦,
合作探究
剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折， 重复做几次，你发现了什么？
①圆是轴对称图形，
O
②任何一条直径所在的直线
都是圆的对称轴.
你能证明上面的结论吗？
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
证明
如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以 外的任意一点.证明点A关于直线CD的对称点仍在⊙O上.
C
A
D
R
由题设可知：AB37，CD7.23，
B ∴AD 1 AB 1 3718.5，
22 ODOCCDR7.23，
O
在Rt△OAD中，由勾股定理得：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
教学过程
提
分
解
巩
学
作
出
析
决
固
习
业
问
问
问
应
反
布
题
题
题
用
思
置
7.2m
赵州桥主桥拱的半径是多少？
37.4m
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱 桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形, 它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距 离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
知识与技能：使学生经历实际问题抽象为数学问题的过
程，理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论，并学会 运用他们进入有关的计算证明，养成勇于探索敢于创新的 良好习惯，以及善于用数学方法分析解决数学问题的能力。
过程与方法：在定理形成的过程中，使学生从对圆的性
质由具体形象直观的认识，到学会用数学的思维方式去观 察分析，用数学的方式表述出来。
O·
O
·
图1
图2
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
直径ＣＤ平分弦ＡＢ，并且
平分Ａ⌒Ｂ 及 Ａ⌒ＣＢ
即ＡＥ＝ＢＥ
⌒ ⌒⌒ ⌒
ＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ
A
垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧．
C
·O
E B
D
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦 所对的两条弧．
Ｃ
垂径定理：
Ａ
Ｏ E
由 ① CD是直径
Ｂ
② CD⊥AB
可推得
推论：
③AE=BE,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
Ｄ
由 ① CD是直径 ③ AE=BE
可推得
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
③ ④
①③
② ⑤
⑤
① ② ④
④ ⑤
① ② ③
7.2 米
37.4米
C
A
D
B
R
O
如图是一条排水管的截面。已知排水管 的半径10cm，水面宽AB=12cm。求 水的最大深度.
本节课你 学到了什 么内容？ 你的收获 和体会？
教材87-88页1题、7题
垂径•定理§:垂2直4于.1弦.的2直垂径直平分于弦,并弦且的平分直弦所径对的两条弧.
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
∵ 在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。
∴ AE＝BE，A⌒C＝B⌒C，A⌒D＝BD⌒。
证明： O E A C O D A B A B A C
O E A 9 0 E A D 9 0 O D A 9 0
∴四边形ADOE为矩形， AE1AC， AD1AB
2
2
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
中秋节就快到了，可小月牙只顾得玩忘记吃饭， 到现在还是瘦瘦的，他多想快点胖起来，成为一 轮满月在十五的晚上去照亮每一个团圆的家庭啊！ 你能用所学知识，让它成为一轮圆月吗？
情感态度：通过创设引导学生主动参与的情境，激起学生强
烈的好奇心和求知欲望，使学生在积极参与过程中获得成功 的体验，体验数学充满着探索与创造，尽可能使每个学生都 能得到充分的发展。
教学重点：探、发现、理解和掌握 垂径定理；
教学难点：垂径定理的证明及它与几 个推论之间实质性的联系和应用。
初三学生虽然有一定的理解力，但是在某 种程度上特别是平面几何问题，学生还是 以事物的直观形象为主，所以我以参与式 探究教学法为主，以学生手中的圆形纸片 为工具，利用微机辅助演示，使学习的主 要内容不是教师传授给学生的，而是以问 题的形式间接呈现出来的，由学生动手操 作，观察自己去发现，然后内化为自己的 知识结构的一部分，这样不仅可以唤起学 生学习的欲望，调动其学习的积极性和主 动性。而且能激发学生主动建构知识，体 验意义，为学生的自由探究创造空间。
A
C
O
E
B
D
推论 :（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。
习题 解答：(略)
垂直于弦的直径说课稿优 秀课件
圆的有关性质被广泛运用于工农业生产，交通运输、 和土木建筑等等，内容比较广泛，具有综合基础教育 价值。本节课《垂直于弦的直径》则是圆的轴对称性 的具体化。它将垂直等问题在圆中进一步延续和深化。 在数学知识的学习上，它能使学生经历观察、实验、 猜想、证明等数学学习过程，能使学生有条理的清晰 地阐述自己的观点。在应用数学知识，建立数学模型 的能力上，能很好地启迪学生的探索灵感和创新意识。 鉴于这种认识我认为本节课在教材中起着承上启下的 作用。既是对已学知识的应用和深化，又为学生以后 证明线段相等、角相等，弧相等开辟了新的思路。
O
E
A
B
D
从以上题的求解中，注意到：
1、解决有关弦的问题时往往需要做
“垂直于弦的直径”作为辅助线;
2、结合垂径定理与勾股定理可得：
圆的半径R，圆心到弦的距离d， 弦长a之间的关系式为：
R2
d2
a
2
2
弦心距
如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条 弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．