高三数学压轴题汇总

21. （14分）函数1()()2ln f x p x x x

=--，2()e g x x

=

，p R ∈，

（1）若()f x 在2x =处取得极值，求p 的值；

（2）若()f x 在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围；

（3）若在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得00()()f x g x >成立，求p 的取值范围.

（2）由已知，0)('

≥x f 恒成立，或0)('

≤x f 恒成立. 若0)('

≥x f 恒成立，即1

22+≥

x x

p 在()+∞∈,0x 恒成立，即max

2

12⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+≥x

x

p

则当1=x 时，1)(max =x h ；当0→x 或+∞→x 时，0)(min →x h 0≤∴p 或1≥p ………9分

（3）)(x g 在[]e ,1上单调递减，)(x g ∴的值域为[]e 2,2. ………10分 ①若1≥p ，由（2）知：)(x f 在[]e ,1上单调递增，)(x f ∴的值域为⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡-

-2)1(,0e e p . 要满足题意，则22)1

(>--

e

e p 即可，1

42

->

∴e

e

p ………12分

min max )(20)(x g x f =<= ，∴此时不满足题意. ………13分

min )(221

x g e

e =<--

，∴此时不满足题意.

22．（本小题满分14分）已知函数()ln ()1

a f x x a x =+∈+R ．

（1）当29

=a 时，如果函数k x f x g -=

)()(仅有一个零点，求实数k 的取值范围；

（2）当2=a 时，试比较)(x f 与1的大小；（3）求证：1

21715131)1ln(++

+++>

+n n （n *

N ∈）

22解：（1）当2

9=

a 时，)

1(29ln )(++

=x x x f ，定义域是),0(+∞，

2

2

)

1(2)2)(12()

1(291)(+--=

+-

=

'x x x x x x

x f ， 令0)(='x f ，得2

1=

x 或2=x ． …2分

当2

10<

x 时，0)(>'x f ，当

22

1<

∴函数)(x f 在)21

,0(、),2(+∞上单调递增，在)2,2

1

(上单调递减． ……………4分

)(x f ∴的极大值是2ln 3)21(-=f ，极小值是2ln 2

3

)2(+=f ．

当0+→x 时，-∞→)(x f ； 当+∞→x 时，+∞→)(x f ， ∴当)(x g 仅有一个零点时，k 的取值范围是2ln 3->k 或2ln 2

3+<

k ．……………5分

（2）当2=a 时，12ln )(++=x x x f ，定义域为),0(+∞．

令11

2

ln 1)()(-++

=-=x x x f x h ，

0)

1(1)

1(21)(2

2

2

>++=

+-='x x x x x

x h ，

)(x h ∴在),0(+∞上是增函数． …………………………………7分

①当1>x 时，0)1()(=>h x h ，即1)(>x f ； ②当10<

③当1=x 时，0)1()(==h x h ，即1)(=x f ． …………………………………9分

（3）（法一）根据（2）的结论，当1>x 时，11

2ln >++

x x ，即1

1ln +->

x x x ．

令k

k x 1+=

，则有1

211ln

+>

+k k

k ， ∑

∑==+>+∴n

k n

k k k

k 1

1

1

211ln

． ……………12分

∑=+=+n

k k

k n 1

1ln

)1ln( ，

1

215

13

1)1ln(++++

>

+∴n n ． ……………………………………14分

(法二)当1n =时，ln(1)ln 2n +=． 3ln 2ln 81=> ，1ln 23

∴>

，即1n =时命题成立． ………………………………10分

设当n k =时，命题成立，即 111

ln(1)3521

k k +>

+++

+ ．

1n k ∴=+时，2ln(1)ln(2)ln(1)ln 1k n k k k ++=+=+++1112

ln

35211

k k k +>++++++ ． 根据（2）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ，即1

1

ln +->

x x x ． 令21k x k +=+，则有21

ln 123

k k k +>

++， 则有1111

ln(2)352123

k k k +>++++

++ ，即1n k =+时命题也成立．……………13分 因此，由数学归纳法可知不等式成立． ………………………………14分

20.(本小题满分13分)设函数2()ln f x x m x =-，2()h x x x a =-+.

（1）当2m =时，若方程()()0f x h x -=在[]1,3上恰好有两个不同的实数解，求实数a 的取值范围；

（2）是否存在实数m ，使函数()f x 和函数()h x 在公共定义域上具有相同的单调区间？若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由.

20．（本小题满分13分）

（1）解：()()0f x h x -=222ln x x x x a ⇒-=-+2ln a x x ⇒=-

令()2ln g x x x =-'2

22

()1x x g x -=-=

得：函数()2ln g x x x =-在[]1,2内单调递减；

函数()2ln g x x x =-在[]2,3内单调递增。 又因为(1)1,(2)22ln 2,(3)32ln 3g g g ==-=-

故22ln 232ln 3a -<≤-

（2） 2()h x x x a =-+在12(0,)单调递减；12

(,)+∞单调递增 ∴2

()ln f x x m x =-也应在12(0,)单调递减；12

(,)+∞单调递增 '

22()2m

x m x

x

f x x -=-

=

，

当0m ≤时，2()ln f x x m x =-在(0,)+∞单调递增，不满足条件. 所以当0m >且

2

12

m =

即12

m =.

46． 已知2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-． (1) 求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；

(2) 对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； (3) 证明：对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln x

x e

ex

>

-

成立．