(完整word版)过一点求曲线的切线方程的三种类型
(整理)经过曲线上一点的切线方程
经过曲线上一点的切线方程例1 求经过圆222r y x =+上一点()11,y x 的切线l 方程；分析：若P 不是切线与坐标轴的交点，则11x y k OP =， 由OP ⊥l 得，11y x k l -=， 由点斜式方程得：()1111x x y x y y --=-， 整理，得2212111r y x y y x x =+=+若P （r,0）,则l ：x=r 即rx+0y=r 2; 若P （-r,0）,则l ：x=-r 即-rx+0y=r 2; 若P （0,r ）,则l ：y=r 即0x+ry=r 2; 若P （0,-r ）,则l ：y=-r 即0x-ry=r 2;综上所述，经过圆222r y x =+上一点()11,y x 的切线l 方程为211r y y x x =+；例2 222()11,y x 的切线l 方程；)a xb y k CP --=11，by ax k l ---=11由点斜式方程得：()1111x x by ax y y ----=-即：()()()()()()()[]()()()[]()()()()()()()()()()211212111111111110r b y b y a x a x b y a x b y b y a x a x b y b y b y a x a x a x y y b y x x a x =--+---+-=--+--=----+----=--+-- 若切线的斜率不存在或为0时，切线方程都可表示为以上形式，故经过圆()()222r b y a x =-+-上一点()11,y x 的切线l 方程为：()()()()211r b y b y a x a x =--+--例3 求经过圆022()11,y x 的切线l 方程；a xb y k CP --=11，by ax k l ---=11由点斜式方程得：()1111x x by ax y y ----=- 即：()111122x x E y Dx y y -++-=-整理，得()()02202222022111121211111111111=++++++=---++-+++=-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+F y y E x x D y y x x y x y y y E x x x D y y x x x x D x y y E y若切线的斜率不存在或为0时，上式仍成立，故经过圆022=++++F Ey Dx y x 上一点()11,y x 的切线l 方程为0221111=++++++F y y E x x Dy y x x 例4 求经过椭圆12222=+by a x 上一点()11,y x 的切线l 方程；()11x x k y y -=-解方程组⎩⎨⎧-+==+11222222kx y kx y b a y a x b()()()022221121122222=--+-++b a kx y a x kx y k a x k a b由△=0得，()[]()()[]0422221122222112=--+--b a kx y a k a b kx y k a()02221112221=-+--b y k y x k a x又()()()()044222212212221221211=-+=----b a y a x b b y a x y x所以22111ax y x k -=于是()()()()()()()12121212122112221222112122111122111221111=+-=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+--=----=-byy a x x a x x b y y a a x x y y a b y a b a xy x a y y a xx x y x a x y y x x ax y x y y 若切线l 的斜率不存在或为0时，切线方程也符合12121=+byy a x x 综上所述，过椭圆12222=+b y a x 上一点()11,y x 的切线l 方程为12121=+b y y a x x ；例5 求经过双曲线12222=-by a x 上一点()11,y x 的切线l 方程；分析：如图所示若切线l 的斜率存在，设l ：()11x x k y y -=-解方程组⎩⎨⎧-+==-11222222kx y kx y b a y a x b()()()02)(222112112222222211222=------=-+-b a kx y a x kx y k a x k a b b a kx y kx a x b由△=0得：()()()[]()20442211122212211222221124=++--=+--+-b y k y x k a xb kx y k a b a kx y k a又()()()()0442222222221221211=---=+---b a y a x b b y a x y x故()221112211122ax y x ax y x k -=-=()()()()()1212111122222212111222111112211221111=-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+--=----=-byy a x x x y x y a y a b b a y a xy x y ay a xx x y x y y a x x x ax y x y y若切线l 的斜率不存在，切线l 的方程仍可表示为12121=-byy a x x 综上所述，经过双曲线12222=-b y a x 上一点()11,y x 的切线l 方程为12121=-by y a x x ；例6 求经过抛物线py x 22=上一点()11,y x 的切线l 方程；设切线l 方程为：()11x x k y y -=-解方程组⎩⎨⎧-+==1122kx y kx y pyx代入得 ()022112=---kx y p pkx x由△=0得：()()022082112112=+-=-+-y k x pk kx y p pk又()()02482121121=-=--py x py x故px k 1=于是切线l 方程为：()()y y p x x x x x py py x x px y y +=-=--=-112111111归纳：经过曲线()0,=y x f 上一点()11,y x 的切线l 方程可用如下方法做替代，直接写出切线方程：()()()()()()221112121212y y y x x x a y a y a y a x a x a x yy y x x x +→+→--→---→-→→。
切线方程表达式
切线方程三个表达式如下：1、以P为切点的切线方程：y-f(a)=f'(a)(x-a)。
2、若过P另有曲线C的切线，切点为Q(b,f(b))，则切线为y-f(a)=f'(b)(x-a)。
3、也可y-f(b)=f'(b)(x-b)，并且[f(b)-f(a)]/(b-a)=f'(b)。
切线方程的解法：对于曲线y=f(x)，求其在点（a,f(a)）的切线方程。
解：切线方程是一条直线即类似于g(x)=kx+b。
要求这点的切线方程，求得斜率k之后代入点(a，f(a))便可求得b，从而得解。
由于斜率=lim(△x->；0)[△y/△x]=dy/dx，即斜率是曲线的导数f’(x)。
那么在点(a，f(a))的切线方程是f’(x)(a-x)+f(a)。
求方程f(x)=0的根即求曲线y=f(x)与y=0的交点的横坐标。
拓展：如果某点不在曲线上设曲线方程为y=f(x)，曲线外某点为(a，b)求对曲线方程求导，得到f'(x)。
设：切点为(x0，f(x0))，将x0代入f'(x)，得到切线斜率f'(x0)，由直线的点斜式方程，得到切线的方程y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)。
因为(a，b)在切线上，代入求得的切线方程，有：b-f(x0)=f'(x0)(a-x0)，得到x0，代回求得的切线方程，即求得所求切线方程。
切线简介几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。
更准确的说，当切线经过曲线上的某点（即切点）时，切线的方向与曲线上该点的方向是相同的。
此时，“切线在切点附近的部分”最接近“曲线在切点附近的部分”（无限逼近思想）。
tangent在拉丁语中就是to touch的意思。
类似的概念也可以推广到平面相切等概念中。
求切线方程的三种类型
求切线方程的三种类型切线是曲线上与该曲线在该点处相切的直线，它在数学和物理学中有着广泛的应用。
在求解切线方程的过程中，可以根据曲线的性质和方程的形式，将其分为三种类型：直线、圆和曲线。
第一种类型是求直线的切线方程。
直线是最简单的曲线，其方程一般具有形式y=ax+b，其中a和b为常数。
对于直线，任何一点的切线都与直线本身重合，即切线方程即为直线方程本身。
因此，直线的切线方程为y=ax+b。
第二种类型是求圆的切线方程。
圆是一个具有特殊性质的曲线，其方程一般具有形式(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
对于圆，可以通过计算切线与圆的交点来求解切线方程。
根据切线与圆的几何性质，切线与半径的夹角为直角。
因此，可以利用圆心、切点和切线方程斜率的关系，结合直线的点斜式，推导出圆的切线方程。
设切点坐标为(x₀,y₀)，圆心坐标为(a,b)，切线方程斜率为k，则由直线的点斜式可得：y-y₀=k(x-x₀)（1）根据圆的方程，可以得到切线通过圆心的直线方程：y-b=k(x-a)（2）由于切线与圆的交点即为切点，因此将切点坐标代入方程（2）即可得到切线方程。
进一步地，可以将方程（2）展开，得到切线方程的其他形式。
第三种类型是求曲线的切线方程。
曲线的方程形式较为复杂，通常需要使用微分学的知识来求解。
曲线的切线方程可以通过求取曲线上一点的导数来实现。
设曲线方程为y=f(x)，其中f(x)为连续可导函数。
对于曲线上的一点(x₀,y₀)，其切线的斜率k等于函数在该点处的导数f'(x₀)。
因此，切线方程可以写为：y-y₀=f'(x₀)(x-x₀)（3）方程（3）即为曲线的切线方程，其中(x₀,y₀)为切点坐标，f'(x₀)为函数在该点处的导数。
注意到切点的选择是任意的，因此曲线上每一个点都有一个对应的切线。
而对于曲线上的垂直切线，即斜率不存在的情况，可以通过在曲线上求取该点的极限值来求解。
用导数求切线方程的四种类型
用导数求切线方程的四种类型用导数求切线方程是导数的重要应用之一。
求曲线的切线方程的关键在于求出切点P(x,y)及斜率。
设P(x,y)是曲线y=f(x)上的一点，则以P的切点的切线方程为：y-y=f'(x)(x-x)。
若曲线y=f(x)在点P(x,f(x))的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为x=x。
下面例析四种常见的类型及解法。
类型一：已知切点，求曲线的切线方程这类题较为简单，只需求出曲线的导数f'(x)，并代入点斜式方程即可。
例如，曲线y=x^3-3x^2+1在点(1,-1)处的切线方程为y-(-1)=-3(x-1)，即y=-3x+2.类型二：已知斜率，求曲线的切线方程这类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决。
例如，与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x^2的切线方程为2x-y-1=0.类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法。
例如，求过曲线y=x^3-2x上的点(1,-1)的切线方程。
设想P(x,y)为切点，则切线的斜率为y'|(x=x)=3x^2-2.故所求切线方程为y-(1-2)=(3-2)(x-1)，或5x+4y-1=0.类型四：已知两曲线的交点，求切线方程这类题一般需先求出两曲线在交点处的导数，再代入点斜式方程加以解决。
例如，已知曲线y=x^3-x和y=2x-x^2的交点为(1,0)，求它们在该点的切线方程。
两曲线在交点处的导数分别为1和-1.故所求切线方程为y-(0)=1(x-1)，或y-(0)=-1(x-1)，即y=x-1或y=-x+1.类型四：已知过曲线外一点，求切线方程对于这类问题，我们可以先设定切点，再求解切点，使用待定切点法来解决。
例4：求过点(2,0)且与曲线$y=x/(1+x^2)$相切的直线方程。
解：设P(x,y)为切点，则切线的斜率为$y'=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$。
切线方程求法
切线方程求法在数学中，切线是一条与曲线相切的直线。
当我们研究曲线的性质时，切线是非常重要的工具。
切线方程是描述切线的数学公式，可以帮助我们更好地理解和分析曲线的性质。
本文将介绍切线方程的求法及其应用。
一、切线的定义在平面直角坐标系中，曲线上一点的切线是通过该点的一条直线，与曲线在该点处相切且方向与曲线在该点处的切线方向相同。
切线可以用来描述曲线在该点处的斜率和变化率。
二、切线方程的求法1. 切线方程的一般形式切线方程的一般形式为：y-y0 = k(x-x0)其中，(x0, y0)是曲线上一点的坐标，k是曲线在该点处的斜率。
2. 求曲线在某点处的斜率曲线在某点处的斜率可以通过求导数来得到。
假设曲线的方程为y=f(x)，则曲线在点(x0, y0)处的斜率为：k = f'(x0)其中，f'(x0)表示函数f(x)在点x0处的导数。
3. 求切线方程已知曲线在点(x0, y0)处的斜率k，可以将切线方程的一般形式中的参数代入得到具体的切线方程：y-y0 = k(x-x0)将该方程化简可得：y = kx + (y0-kx0)这就是切线方程的标准形式，其中k是曲线在该点处的斜率，(x0, y0)是曲线上的一点。
三、切线方程的应用切线方程可以帮助我们更好地理解和分析曲线的性质。
以下是一些切线方程的应用：1. 求曲线在某点处的切线已知曲线的方程和某一点的坐标，可以通过求导数和切线方程的求法来得到曲线在该点处的切线方程。
这可以帮助我们更好地理解曲线在该点处的性质。
2. 求曲线上的极值曲线上的极值是指曲线上的最大值或最小值。
当曲线在某点处的斜率为0时，该点就是曲线上的极值点。
可以通过求导数和切线方程来求得曲线上的极值。
3. 求曲线的拐点曲线的拐点是指曲线上的一点，在该点处曲线的方向发生了变化。
可以通过求导数和切线方程来求得曲线的拐点。
四、总结切线方程是描述切线的数学公式，可以帮助我们更好地理解和分析曲线的性质。
曲线切线求法
曲线切线求法摘要：一、曲线切线概述二、求曲线切线的方法1.直角三角形法2.切线斜率法3.导数法三、实例分析四、曲线切线的应用五、总结与展望正文：一、曲线切线概述曲线切线是指在曲线上的某一点，与该点处曲线相切的直线。
在数学、物理等领域中，求曲线切线有着广泛的应用。
掌握曲线切线的求法，有助于我们更好地理解和分析曲线性质，为后续研究打下基础。
二、求曲线切线的方法1.直角三角形法直角三角形法求曲线切线的基本思路是：在曲线上的某一点作一条垂直于该点处曲线的直线，与曲线交于另外两点，构成一个直角三角形。
根据直角三角形的性质，可以求得切线斜率，进而得到切线方程。
2.切线斜率法切线斜率法是指在曲线上的某一点，通过计算曲率来求得切线斜率。
曲率是描述曲线弯曲程度的一个指标，其数值越大，曲线的弯曲程度越大。
根据曲率可以求得切线斜率，进而得到切线方程。
3.导数法导数法是指利用曲线在某一点的导数值来求得切线斜率。
导数表示曲线在该点处的切线斜率，因此可以直接作为切线斜率的近似值。
求得切线斜率后，可以得到切线方程。
三、实例分析以抛物线为例，设抛物线方程为y = ax^2 + bx + c。
在抛物线上任取一点（x0，y0），求该点的切线方程。
首先，求抛物线在点（x0，y0）处的导数：y" = 2ax + b然后，将x0代入导数公式，得到切线斜率：k = y"(x0) = 2ax0 + b最后，根据切线斜率和点（x0，y0）可以求得切线方程：y - y0 = k(x - x0)四、曲线切线的应用曲线切线在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用，如求解曲线与坐标轴的交点、计算曲线长度、求解曲线的曲率等。
在实际问题中，掌握曲线切线的求法有助于解决许多实际问题。
五、总结与展望本文介绍了曲线切线的概念，以及求曲线切线的直角三角形法、切线斜率法和导数法。
通过实例分析，了解了如何在抛物线上求切线方程。
曲线切线在实际问题中具有广泛的应用，值得我们深入研究。
用导数求切线方程的四种类型
用导数求切线方程的四种类型在微积分中，切线是曲线上某一点的切线。
通过使用导数，我们可以求解给定曲线上某一点的切线方程。
在本文中，我们将探讨四种使用导数求解切线方程的常见类型。
1. 曲线方程已知的情况首先，我们考虑的是当曲线方程已知时求解切线方程的情况。
假设我们有一个曲线y=f(x)，其中f(x)是一个可导函数。
要求解曲线上某一点(x1,y1)处的切线方程，我们可以执行以下步骤：1.计算函数f(x)在点(x1,y1)处的导数f′(x1)。
2.使用点斜式或一般式等方程形式得到切线方程。
点斜式切线方程的一般形式为y−y1=m(x−x1)，其中m是斜率。
一般式切线方程的一般形式为ax+by=c，其中a,b,c是常数。
2. 给定两个点的情况其次，我们考虑的是当曲线上两个点已知时求解切线方程的情况。
与上一种情况不同，我们不知道曲线的具体方程，但我们已知曲线上的两个点(x1,y1)和(x2,y2)。
为了求解这种情况下的切线方程，我们可以按照以下步骤进行：1.使用点斜式求解斜率。
2.写出点斜式的一般方程形式y−y1=m(x−x1)。
3.将另一个点(x2,y2)替代初始点(x1,y1)。
4.解方程得出切线方程。
3. 已知切线方程的情况接下来，我们讨论已知切线方程的情况。
假设我们已经知道了曲线上某一点处的切线方程，我们的目标是求解曲线方程。
我们可以按照以下步骤进行操作：1.确定切线方程的斜率m。
2.使用导数的定义f′(x)=m来设置方程。
3.解方程以获得曲线方程。
4. 求解切线与坐标轴的交点最后，我们研究切线与坐标轴相交的情况。
为了求解切线与x轴和y轴的交点，我们可以按照以下步骤进行：1.求解切线与x轴的交点：将y值设为0，然后解方程得到x坐标的值。
2.求解切线与y轴的交点：将x值设为0，然后解方程得到y坐标的值。
通过上述四种类型的方法，我们可以使用导数来求解切线方程。
这些方法在解决微积分问题以及实际问题中的应用非常广泛。
用导数求切线方程的四种类型
用导数求切线方程的四种类型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型及解法．类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =-Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+Ｄ．45y x =-解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ） Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+=Ｄ．210x y --=解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x x y x ='==|． 01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ． 评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x=，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，故选Ｄ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．例3 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x x y x ='=-|．∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--． 320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--． 解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程．解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为021x x y x ='=-|．∴切线方程为0021()y y x x x -=--，即02011()y x x x x -=--． 又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得0211(2)x x x -=--．解得000111x y x ===，，即20x y +-=．评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上． 设切点为00()M x y ，，则点M 的坐标满足30003y x x =-． 因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--． 化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=． 评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．。
过一点求曲线的切线方程的三种类型
舒云水过一点求曲线的切线方程有三种不同的类型，下面举例说明﹒1.已知曲线)(x f y =上一点))(,(00x f x P ，求曲线在该点处的切线方程﹒这是求曲线的切线方程的基本类型，课本上的例、习题都是这种类型﹒其求法为：先求出函数)(x f 的导数)(x f '，再将0x 代入)(x f '求出)(0x f '，即得切线的斜率，后写出切线方程)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -，并化简﹒例1 求曲线33)(23+-=x x x f 在点)1,1(P 处的切线方程﹒解：由题设知点P 在曲线上，∵x x y 632-='，∴曲线在点)1,1(P 处的切线斜率为3)1(-='f ，所求的切线方程为)1(31--=-x y ，即43+-=x y ﹒2. 已知曲线)(x f y =上一点))(,(11x f x A ，求过点A 的曲线的切线方程﹒这种类型容易出错，一般学生误认为点A 一定为切点，事实上可能存在过点A 而点A 不是切点的切线，如下面例2，这不同于以前学过的圆、椭圆等二次曲线的情况，要引起注意，这类题型的求法为：设切点为))(,(00x f x P ，先求出函数)(x f 的导数)(x f '，再将0x 代入)(x f '求出)(0x f '，即得切线的斜率（用0x 表示），写出切线方程)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -，再将点A 坐标),(11y x 代入切线方程得)(01x f y -=)(0x f ')(01x x -，求出0x ，最后将0x 代入方程)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -求出切线方程﹒例2 求过曲线x x y 23-=上的点)1,1(-的切线方程﹒ 解：设切点为点)2,(0300x x x -，232-='x y ，切线斜率为2320-x ， 切线方程为))(23()2(020030x x x x x y --=--﹒又知切线过点)1,1(-，把它代入上述方程，得 )1)(23()2(100030x x x x --=---﹒ 解得10=x ，或210-=x ﹒所求切线方程为)1)(23()21(--=--x y ，或)21)(243()181(+-=+--x y ，即02=--y x ，或0145=-+y x ﹒上面所求出的两条直线中，直线02=--y x 是以)1,1(-为切点的切线，而切线0145=-+y x 并不以)1,1(-为切点，实际上它是经过了点)1,1(-且以)87,21(-为切点的直线，如下图所示﹒这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点﹒3. 已知曲线)(x f y =外一点))(,(11x f x A ，求过点A 作的曲线的切线方程﹒这种类型的题目的解法同上面第二种类型﹒例3 过原点O 作曲线6324+-=x x y 的切线，求切线方程﹒（2009年全国卷Ⅰ文21题改编 ）解：由题设知原点O 不在曲线上，设切点坐标为P )63,(20400+-x x x ， x x y 643-='，切线斜率为（03064x x -），切线方程为：))(64()63(00302040x x x x x x y --=+--﹒ 又知切线过点)0,0(，把它代入上述方程，得))(64()63(000302040x x x x x --=+--﹒ 整理得：0)2)(1(2020=-+x x ﹒ 解得20-=x ，或20=x ﹒ 所求切线方程为：x y 22-=或x y 22=﹒练习：1.求曲线14)(23+-=x x x f 在点)2,1(-P 处的切线方程﹒2. 求过曲线34313+=x y 上的点)4,2(的切线方程﹒3.过点)2,0(作抛物线12++-=x x y 的切线，求切线方程﹒ 答案：1.035=-+y x ；2.044=--y x 或02=+-y x ；3.023=+-y x 或02=--y x ﹒。
导数法求曲线切线方程的三种题型
导数法求曲线切线方程的三种题型本文将介绍导数法求解曲线切线方程的三种常见题型。
导数法是解决曲线切线问题的一种常用方法，能够快速而准确地求得曲线上某点的切线方程。
1. 已知函数解析式的题型对于已知函数解析式的题型，我们可以通过求导来获得函数的导函数，然后根据导数的定义来求得切线的斜率。
切线的斜率可以通过导数函数在给定点处的值得到。
最后，利用给定点和切线斜率，我们可以求得切线的方程。
以 y=f(x) 为例，求曲线在点 (a, f(a)) 处的切线方程。
具体步骤如下：1. 求函数 f(x) 的导函数 f'(x)；2. 计算 f'(a)，得到切线的斜率 k；3. 利用点斜式或一般式，将点 (a, f(a)) 和斜率 k 带入，得到切线方程。
2. 已知曲线上点和斜率的题型对于已知曲线上某点和斜率的题型，我们可以通过求导函数来得到切线的斜率。
切线的斜率等于导函数在给定点处的值。
然后，利用给定点和切线斜率，我们可以求得切线的方程。
以曲线上的点 (a, f(a)) 和切线斜率 m 为例，求曲线在该点处的切线方程。
具体步骤如下：1. 求导函数 f'(x)；2. 计算 f'(a) 的值，得到切线的斜率；3. 利用点斜式或一般式，将点 (a, f(a)) 和斜率 m 带入，得到切线方程。
3. 已知两个切线相交的题型对于已知两个切线相交的题型，我们可以通过求解方程组来求得两切线的交点坐标。
首先，我们需要利用已知切线的斜率和点来得到切线的方程。
然后，将两个切线方程联立，解方程组可以得到切线的交点坐标。
以已知切线1方程和切线2方程的斜率和交点为例，求两切线的交点坐标。
具体步骤如下：1. 求切线1和切线2的方程；2. 联立两切线方程，形成方程组；3. 解方程组，得到切线的交点坐标。
使用导数法求解曲线切线方程的三种题型，能够帮助我们准确而高效地求得曲线上某点的切线方程。
这些方法在数学和物理等领域都有广泛的应用，是解决相关问题的重要工具。
高中数学：曲线上一点的切线方程
曲线上一点的切线方程定理高三数学00222200222200(,),1,:2,(,)()()()()()()P x y x y r x x y y r a b x a y b r x a x a y b y b r +=+=-+-=--+--=设曲线上一点下面就是各种常用曲线上的点的切线方程。
一，圆的切线方程圆心在原点的圆：的切线方程圆心的圆的切线方程00220022222200222200220022222200222(,)1,112,11(,)1,112,1P x y x x y y x y x a b a by y x x y x y a b a bP x y x x y y x y x a b a by y x x y x y a b a b +=+=+=+=-=-=-=-二，椭圆上一点的切线方程焦点在轴上椭圆的切线方程:焦点在轴上椭圆的切线方程:三，双曲线上一点的切线方程焦点在轴上双曲线的切线方程:焦点在轴上双曲线的切线方程:21=00200200200200(0)(,)1,2:()2,2:()3,2:()4,2:()p P x y x y px y y p x x x y px y y p x x y x py x x p y y y x py x x p y y >==+=-=-+==+=-=-+四，抛物线上一点的切线方程焦点在轴正半轴上的切线方程焦点在轴负半轴上的切线方程焦点在轴正半轴上的切线方程焦点在轴负半轴上的切线方程椭圆上一点的切线方程推导抛物线的切线方程的推导过程设过抛物线22y px =上一点M(x 0,y 0)的切线的斜率为k,则，由点斜式得切线方程为：)(00x x k y y -=-联合抛物线方程，有：整理，得：消去,,2),(200y px y x x k y y ⎩⎨⎧=-=-,0)2(4)](2[0,0)2()(2002022*********022000222=-+⨯-+--=∆∴=-+++--y kx x k y k p ky x k y kx x k y x p ky x k x k 即：，相切， 整理，得：,022020=+-p k y k x )(),(,2,2),(2),(2,2,084,22),(,2284200002020002000000000200202000200x x p y y x x y y pyp y x px y x x y y x x x x yy y x y k px y px y px y y x M x px y y k +=+=⨯=∴=+=-=-=∴=-∴=∴=⨯-±=∴即：代入上式，得：又整理，得：代入，得：上的点，是抛物线点 所以，过抛物线px y 22=上一点M(x 0,y 0)的切线的方程为：)(00x x p y y +=．同理：过抛物线px y 22-=上一点M(x 0,y 0)的切线的方程为：)(00x x p y y +-=过抛物线py x 22=上一点M(x 0,y 0)的切线的方程为：)(00y y p x x +=过抛物线py x 22-=上一点M(x 0,y 0)的切线的方程为：)(00y y p x x +-=。
用导数求切线方程地四种类型
用导数求切线方程的四种类型浙江 曾安雄求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =-Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+Ｄ．45y x =-解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ． 类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ） Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+=Ｄ．210x y --=解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x x y x ='==|． 01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ． 评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，故选Ｄ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例3 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x x y x ='=-|．∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程．解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x x y x ='=-|．∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--． 又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得020011(2)x x x -=--． 解得000111x y x ===，，即20x y +-=． 评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程． 解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上． 设切点为00()M x y ，，则点M 的坐标满足30003y x x =-． 因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--． 化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。
用导数求切线方程的四种类型[精选.]
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用导数求切线方程的四种类型浙江 曾安雄求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ）Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+Ｄ．45y x =-解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ）Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+=Ｄ．210x y --=解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x xy x ='==|．01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，故选Ｄ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．例3求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x xy x ='=-|． ∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程．解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x xy x ='=-|．∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--． 又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得02011(2)x x x -=--． 解得000111x y x ===，，即20x y +-=．评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上．设切点为00()M x y ，， 则点M 的坐标满足30003y x x =-．因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--．化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。
过一点的切线方程公式
过一点的切线方程公式嘿，咱今天就来好好唠唠过一点的切线方程公式！在数学的奇妙世界里，过一点的切线方程公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多难题的大门。
先来说说啥是切线。
想象一下，你在一个平滑的曲线上放了一个小球，然后让它自由滚动，它滚动的那个路径就差不多可以看成是切线啦。
切线嘛，它就像曲线的“好朋友”，紧紧挨着曲线，但又不进入曲线内部。
咱们拿个简单的例子来说，比如一个二次函数 y = x²。
假如我们要找过点 (1, 1) 的切线方程，那咋整呢？这时候就得请出咱们的主角——切线方程公式啦！一般来说，如果函数是 y = f(x) ，点的坐标是 (x₀, y₀) ，那么切线的斜率 k 就等于函数在 x₀处的导数 f'(x₀) 。
就拿刚才那个二次函数来说，先对 y = x²求导，得到 f'(x) = 2x 。
把x = 1 带进去，得到 f'(1) = 2 ，这就是切线的斜率啦。
有了斜率，又知道点 (1, 1) ，那切线方程就能用点斜式写出来啦，就是 y - 1 = 2(x - 1) ，整理一下就是 y = 2x - 1 。
还记得我上高中那会，有一次数学考试，就考到了求过一点的切线方程。
我当时紧张得呀，手心都出汗了。
题目是求曲线 y = 3x² - 2x + 1过点 (2, 9) 的切线方程。
我心里一边默念着切线方程公式，一边赶紧求导，f'(x) = 6x - 2 ，把 x = 2 带进去，f'(2) = 10 。
然后用点斜式，y - 9 = 10(x - 2) ，整理出来就是 y = 10x - 11 。
等成绩出来的时候，我发现这道题做对啦，心里那叫一个美！再来说说切线方程公式的应用吧。
在物理里，有时候研究物体的运动轨迹，也会用到类似的概念。
比如说一个物体沿着某个曲线运动，要计算某个时刻的瞬时速度，其实就跟求切线的斜率有点像。
在工程领域，设计一些曲线形状的结构时，也得考虑切线的性质，保证结构的稳定性和合理性。
过点p的曲线的切线方程
过点p的曲线的切线方程曲线是数学中的重要概念，用来描述一种变化的情况。
在曲线上的每一个点，都可以有一个切线与之相切。
本文将通过一个具体的例子来解释如何求解过点p的曲线的切线方程，并给出相关指导意义。
首先，我们需要明确什么是曲线的切线。
曲线的切线可以理解为过曲线上某一点的一条直线，与曲线在该点处相切，即两者的斜率相等。
在中学数学中，我们学过了求直线的斜率公式：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)，其中(x1, y1)和(x2, y2)为直线上两个不同的点。
利用这个公式，我们可以找到曲线上与点p相切的切线的斜率。
以一条二次曲线y = ax^2 + bx + c为例，我们要求过点p(x0, y0)的切线方程。
过点p的切线的斜率k就是曲线在点p处的导数值。
根据导数的定义，我们可以求出曲线的导数y'，然后将p的横纵坐标代入导数中，得到切线的斜率。
接下来，我们介绍一个例子来说明具体的求解过点p的曲线的切线方程的步骤。
假设我们有一条曲线y = x^2 - 3x + 2，我们要求过点p(1, 0)的切线方程。
首先，求曲线的导数。
对于y = x^2 - 3x + 2，我们求导得到y' = 2x - 3。
然后，将p(1, 0)代入导数中，求出切线的斜率。
代入得到k =2(1) - 3 = -1。
最后，切线的斜率为-1，我们已经有一个点p(1, 0)，可以使用点斜式方程y - y1 = k(x - x1)来求解切线方程。
代入得到y - 0 = -1(x - 1)，简化得到y = -x + 1。
通过这个例子，我们可以总结出求解过点p的曲线的切线方程的一般步骤：求曲线的导数，代入点p求出切线的斜率，然后使用点斜式方程求解切线方程。
这个过程可能需要一些基本的数学知识和计算技巧，但是只要掌握了这些方法，就可以很轻松地求解曲线的切线方程了。
求解曲线的切线方程在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，通过求解切线方程可以得到曲线表示的运动物体在某一时刻的速度；在经济学中，可以利用切线方程来描述收益曲线的边际效益。
过抛物线一点的切线方程公式
过抛物线一点的切线方程公式过抛物线上一点的切线方程公式是一个经典的数学问题，在微积分中有详细的推导和解释。
在这篇文章中，我将详细介绍过抛物线一点的切线方程公式。
一、过抛物线一点的切线方程公式推导：我们先来回顾一下抛物线的定义和性质。
抛物线是平面上一组点的集合，满足以下的二次方程：y = ax^2 + bx + c其中，a、b和c为常数，且a不等于0。
对于一条抛物线，它有一个特殊的点，称为焦点，表示为F。
抛物线的顶点就是焦点F。
例如，对于标准的抛物线方程y=x^2，顶点即为原点(0,0)。
现在，我们假设有一条抛物线上的一点P(x0，y0)，我们要求通过这个点的切线方程。
首先，我们需要确定切线的斜率。
为了确定切线的斜率，我们可以使用导数的定义。
导数表示了函数在其中一点的瞬时变化率，也就是函数曲线在该点的切线的斜率。
我们对抛物线方程y = ax^2 + bx + c进行求导，可以得到切线的斜率：y' = 2ax + b其中，y'表示y的导数。
现在，我们将x0代入y'中，可以得到切线的斜率：k = 2ax0 + b其中，k表示切线的斜率。
我们知道，切线方程可以表示为y = kx + n，其中k为斜率，n为与x轴的交点。
因此，我们需要确定切线的截距n。
我们将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，可以得到：y0 = kx0 + n现在，我们来解这个方程，求出切线的截距n。
n = y0 - kx0现在，我们已经得到了切线的斜率k和截距n，可以写出过抛物线一点的切线方程了：y = kx + n将k和n的值代入方程中，就得到了过抛物线一点的切线方程。
二、过抛物线一点的切线方程实例：为了更好地理解切线方程的应用，我们可以通过一个实例来演示。
假设有一条抛物线y=2x^2+3x+1，我们要求过点P(2,11)的切线方程。
首先，我们计算导数：y'=4x+3然后，我们将x0=2代入导数中，得到过点P(2,11)的切线斜率：k=4*2+3=11接下来，我们计算截距n：n=11-11*2=-11然后，我们将斜率和截距代入切线方程：y=11x-11所以，过点P(2,11)的切线方程为y=11x-11三、过抛物线一点的切线方程的几何意义：切线方程的求解过程很有意义，可以帮助我们更好地理解抛物线的性质和几何意义。
过一点求曲线的切线方程的三种类型
过一点求曲线的切线方程的三种类型舒云水过一点求曲线的切线方程有三种不同的类型，下面举例说明﹒1.已知曲线y f (x) 上一点P( x0, f ( x0))，求曲线在该点处的切线方程﹒这是求曲线的切线方程的基本类型，课本上的例、习题都是这种类型﹒其求法为：先求出函数 f (x) 的导数 f (x) ，再将x0代入 f( x) 求出 f ( x0 ) ，即得切线的斜率，后写出切线方程y f ( x0 ) = f(x0 ) ( x x0 ) ，并化简﹒例 1求曲线 f ( x)x33x23在点P(1,1)处的切线方程﹒解：由题设知点P 在曲线上，∵ y 3x 26x ，∴曲线在点的切线方程为y 13( x1) ，即2. 已知曲线y f (x)上一点P(1,1) 处的切线斜率为 f (1) 3 ，所求y3x 4 ﹒A( x1 , f ( x1 )) ，求过点A的曲线的切线方程﹒这种类型容易出错，一般学生误认为点 A 一定为切点，事实上可能存在过点 A 而点 A 不是切点的切线，如下面例2，这不同于以前学过的圆、椭圆等二次曲线的情况，要引起注意，这类题型的求法为：设切点为 P( x0 , f (x0 )) ，先求出函数f ( x) 的导数 f ( x) ，再将x0代入 f (x)求出 f ( x0 ) ，即得切线的斜率（用 x0表示），写出切线方程y f ( x0 ) = f (x0 ) ( x x0 ) ，再将点A坐标 (x1 , y1 ) 代入切线方程得y1 f (x0 ) = f (x0 ) ( x1 x0 ) ，求出 x0，最后将 x0代入方程yf ( x 0 ) = f ( x 0 ) ( x x 0 ) 求出切线方程﹒例 2 求过曲线 yx32x 上的点 (1, 1) 的切线方程﹒解：设切点为点 ( x 0 , x 0 3 2 x 0 ) ， y3x22 ，切线斜率为 3x 022 ，切线方程为 y ( x 032x 0 )(3x 0 2 2)( x x 0 ) ﹒又知切线过点 (1, 1) ，把它代入上述方程，得1 32x 0 ) (3x 0 2)(1 x 0 ) ﹒(x 0解得 x 01 ，或 x 01 ﹒2(1(31) ，所求切线方程为 y (12)(3 2)( x 1)，或 y1) 2)(x842即 xy 2 0 ，或 5x 4y 1 0 ﹒上面所求出的两条直线中，直线x y 2 0是以 (1, 1) 为切点的切线，而切线 5x 4 y 1 0 并不以 (1, 1) 为切点，实际上它是经过了点 (1, 1)且以 ( 1 , 7) 为切点的直线，如下图所示﹒这说明过曲线上一点的切2 8线，该点未必是切点﹒3. 已知曲线 y f (x)外一点 A( x 1 , f ( x 1 )) ，求过点 A 作的曲线的切线 方程﹒这种类型的题目的解法同上面第二种类型﹒例 3过原点 O 作曲线 y x 4 3x 2 6 的切线，求切线方程﹒（2009年全国卷Ⅰ文 21 题改编 ）解：由题设知原点O 不在曲线上，设切点坐标为P (x 0 , x 043x 0 26) ， y4x 3 6x ，切线斜率为（ 4x 036x 0 ），切线方程为：423y ( x 03x 06) ( 4x 0 6x 0 )( x x 0 ) ﹒又知切线过点 (0,0) ，把它代入上述方程，得0 426)3 6x 0 )( x 0 ) ﹒(x 0 3x 0( 4x 0整理得： ( x 0 2 1)( x 0 2 2)0 ﹒解得 x 02 ，或 x 0 2 ﹒所求切线方程为： y 2 2x 或 y 2 2x ﹒练习： 1.求曲线 f (x) x34 x21在点 P(1, 2) 处的切线方程﹒2. 求过曲线 y1 x 3 4上的点 ( 2,4) 的切线方程﹒333.过点 (0,2) 作抛物线 y x2x 1的切线，求切线方程﹒ 答案： 1.5x y3 0；2. 4 x y 4 0 或 x y2 0 ；3.3x y 2 0或 x y 2 0 ﹒。
过曲线上一点切线方程
过圆锥曲线上一点的切线方程赵广华 尼志福枣庄市第三中学 山东枣庄277100摘要 在做解析几何大题时，需要求过曲线上一点切线方程，那么过圆锥曲线上一点的切线方程有没有一般形式呢？我们研究一下。
关键词 切线方程在做解析几何大题时，我们经常需要求过曲线上一点切线方程。
最常用的方法就是设出方程，然后联立直线方程与曲线方程，再利用0= 求解。
这种做法思路简单，但运算量大，尤其当曲线方程含有参数时，运算量更大，更不易做对。
那么过圆锥曲线上一点的切线方程有没有一般形式呢？我们研究一下。
问题1 求过圆222(0)x y r r +=>上一点00(,)P x y 的切线方程。
解：设(,)M x y 是曲线上任意一点，则0OP PM =即 0000(,)(,)0x y x x y y --= 整理得2200001x x y y x y +=+=所以切线方程为001x x y y +=问题2求过圆()()()2220y b r r +-=>x-a 上一点00P(x ,)y 的切线方程。
用解决问题1的方法我们可以得到问题2的答案2)()b y b r --=00（x -a)(x-a)+(y 类比过圆上一点的切线方程的形式我们猜想结论1过椭圆22221x y a b +=上一点00P(x ,)y 的切线方程为00221x x y y a b +=结论2过双曲线22221x y a b-=上一点00P(x ,)y 的切线方程为00221x x y y a b -=结论3过抛物线22y px =上一点00P(x ,)y 的切线方程为00y y px px =+ 上述类比推理得到的结论是否正确？我们用大学的知识来证明一下。
证明过椭圆22221x y a b+=上一点00P(x ,)y 的切线方程为00221x x y y a b +=22221x y a b += ∴等式两边同时对x 求导得'22221x yy a b += ∴2'2b x y a y =- ∴切线斜率02'020x x x b k y a y ===- 切线方程为200020()x b y y x x a y -=--整理得22000022221x x y y x y a b a b+=+= 结论得证。
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过一点求曲线的切线方程的三种类型
舒云水
过一点求曲线的切线方程有三种不同的类型，下面举例说明﹒
1.已知曲线)(x f y =上一点))(,(00x f x P ，求曲线在该点处的切线方程﹒
这是求曲线的切线方程的基本类型，课本上的例、习题都是这种类型﹒其求法为：先求出函数)(x f 的导数)(x f '，再将0x 代入)(x f '求出)(0x f '，即得切线的斜率，后写出切线方程)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -，并化简﹒
例1 求曲线33)(23+-=x x x f 在点)1,1(P 处的切线方程﹒
解：由题设知点P 在曲线上，
∵x x y 632-='，∴曲线在点)1,1(P 处的切线斜率为3)1(-='f ，所求的切线方程为)1(31--=-x y ，即43+-=x y ﹒
2. 已知曲线)(x f y =上一点))(,(11x f x A ，求过点A 的曲线的切线方程﹒
这种类型容易出错，一般学生误认为点A 一定为切点，事实上可能存在过点A 而点A 不是切点的切线，如下面例2，这不同于以前学过的圆、椭圆等二次曲线的情况，要引起注意，这类题型的求法为：设切点为))(,(00x f x P ，先求出函数)(x f 的导数)(x f '，再将0x 代入)(x f '求出)(0x f '，即得切线的斜率（用0x 表示），写出切线方程
)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -，再将点A 坐标),(11y x 代入切线方程得)(01x f y -=)(0x f ')(01x x -，求出0x ，最后将0x 代入方程
)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -求出切线方程﹒
例2 求过曲线x x y 23-=上的点)1,1(-的切线方程﹒ 解：设切点为点)2,(0300x x x -，232-='x y ，切线斜率为2320-x ， 切线方程为))(23()2(020030x x x x x y --=--﹒
又知切线过点)1,1(-，把它代入上述方程，得 )1)(23()2(100030x x x x --=---﹒
解得10=x ，或2
10-=x ﹒
所求切线方程为)1)(23()21(--=--x y ，或)21)(243()181(+-=+--x y ，即02=--y x ，或0145=-+y x ﹒
上面所求出的两条直线中，直线02=--y x 是以)1,1(-为切点的切线，而切线0145=-+y x 并不以)1,1(-为切点，实际上它是经过了点)1,1(-且以)87,21(-为切点的直线，如下图所示﹒这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点﹒
3. 已知曲线)(x f y =外一点))(,(11x f x A ，求过点A 作的曲线的切线方程﹒
这种类型的题目的解法同上面第二种类型﹒
例3 过原点O 作曲线6324+-=x x y 的切线，求切线方程﹒（2009年全国卷Ⅰ文21题改编 ）
解：由题设知原点O 不在曲线上，设切点坐标为P )63,(20400+-x x x ， x x y 643-='，切线斜率为（03064x x -），切线方程为：
))(64()63(003
02040x x x x x x y --=+--﹒ 又知切线过点)0,0(，把它代入上述方程，得
))(64()63(0003
02040x x x x x --=+--﹒ 整理得：0)2)(1(2020=-+x x ﹒ 解得20-=x ，或20=x ﹒ 所求切线方程为：x y 22-=或x y 22=﹒
练习：1.求曲线14)(23+-=x x x f 在点)2,1(-P 处的切线方程﹒
2. 求过曲线34313+=x y 上的点)4,2(的切线方程﹒
3.过点)2,0(作抛物线12++-=x x y 的切线，求切线方程﹒ 答案：1.035=-+y x ；2.044=--y x 或02=+-y x ；3.023=+-y x 或02=--y x ﹒。