09圆轴扭转时的变形、应变能
材料力学 第五章扭转变形.强度、刚度条件(6,7,8)汇总
( 4)
例题 6-6
5. 实心铜杆横截面上任意点的切应力为 Ta Ga M e 0 ra ρa I pa Ga I pa Gb I pb 空心钢杆横截面上任意 点的切应力为
b
Tb Gb M e I pb Ga I pa Gb I pb
2
1 dV (dxdydz ) 2 dV dW v dV dxdydz 1 v 2
一、密圈螺旋弹簧
——螺旋角
F
O
d
d ——簧丝横截面的直径 D ——弹簧圈的平均直径
O D
密圈螺旋弹簧 ——螺旋角<5°时的圆柱形弹簧
§4.5
密圈螺旋弹簧的计算
O F
例题 6-6
Me Tb Ta
解： 1. 实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩分别为Ta 和Tb(图b)，但只有一个独立平衡方程 Ta+Tb= Me (1) 故为一次超静定问题。
例题 6-6
Me Tb Ta
2. 位移相容条件为实心杆和空心杆的B截面相对 于A截面的扭转角相等。在图b中都用表示（设 A端固定）。 Ba Bb ( 2)
a
b
ra
ra
a rb
切应力沿半径的变化 情况如图c所示。
ra
rb
(c)
§5-8非圆截面等直杆扭转的概念
圆截面杆扭转时的应力和变形公式,均建立在平 面假设 的基础上。对于非圆截面杆,受扭时横截面不 再保持为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲 面。这一现象称为截面翘曲。因此,圆轴扭转时的应 力、变形公式对非圆截面杆均不适用。
(2)
工程力学-第9章 扭转
第9章扭转（6学时）教学目的：理解圆轴扭转的受力和变形特点，剪应力互等定理；掌握圆轴受扭时的内力、应力、变形的计算；熟练掌握圆轴受扭时的强度、刚度计算。
教学重点：外力偶矩的计算、扭矩图的画法；纯剪切的切应力；圆杆扭转时应力和变形；扭转的应变能。
教学难点：圆杆扭转时截面上切应力的分布规律；切应力互等定理，横截面上切应力公式的推导，扭转变形与剪切变形的区别；掌握扭转时的强度条件和刚度条件，能熟练运用强度和刚度计算。
教具：多媒体。
通过工程实例建立扭转概念，利用幻灯片演示和实物演示表示扭转时的变形。
教学方法：采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
通过例题、练习和作业熟练掌握强度和刚度计算。
本章中给出了具体情形下具体量的计算公式，记住并会使用这些公式，强调单位的统一，要求学生在学习和作业中体会。
教学内容：扭转的概念；扭转杆件的内力（扭矩）计算和画扭矩图；切应力互等定理及其应用，剪切胡克定律与剪切弹性模量；扭转时的切应力和变形，圆杆扭转时截面上切应力的分布规律；扭转杆件横截面上的切应力计算方法和扭转强度计算方法；扭转杆件变形（扭转角）计算方法和扭转刚度计算方法。
教学学时：6学时。
教学提纲：9.1 引言工程实际中，有很多构件，如车床的光杆、搅拌机轴、汽车传动轴等，都是受扭构件。
还有一些轴类零件，如电动机主轴、水轮机主轴、机床传动轴等，除扭转变形外还有弯曲变形，属于组合变形。
例如，汽车方向盘下的转向轴，攻螺纹用丝锥的锥杆（图9-1）等，其受力特点是：在杆件两端作用大小相等、方向相反、且作用面垂直于杆件轴线的力偶。
在这样一对力偶的作用下，杆件的变形特点是：杆件的任意两个横截面围绕其轴线作相对转动，杆件的这种变形形式称为扭转。
扭转时杆件两个横截面相对转动的角度，称为扭转角，一般用φ表示（图9-2）。
以扭转变形为主的杆件通常称为轴。
截面形状为圆形的轴称为圆轴，圆轴在工程上是常见的一种受扭转的杆件。
图9-1图9-2本章主要讨论圆轴扭转时的应力、变形、强度及刚度计算等问题，同时非圆截面杆进行简单介绍。
材料力学(第五版)扭转刚度
d
于弹簧的中径D的情况，
max
8FD
d 3
在考虑簧丝的曲率和 1 分布不均匀时：
max
k
8FD
d 3
k—修正系数（曲度系数）
k 4c 1 0.615 4c 4 c
弹簧的强度条件：
c D d
max
（三）、弹簧的变形计算
弹簧的压缩（拉伸）变形
外力功：
2
由功能原理： V W
1 2
F
4F 2D3n Gd 4
弹簧的变形 8F D3 n Gd4
Fλ
弹簧的变形
8FD3n Gd 4
令：
C Gd 4 8D3n
C 弹簧刚度
F
C
Fλ
BC段：
TBC 1.2 kN m
A
mA
T (kN m)
Байду номын сангаас
B
C
mB
mC
Wt
BC
d13 16
503 109 16
24.54106 m3
1.2 3.0
(max )BC
TBC
Wt
BC
1200 24.54 106
48.8MPa
轴的强度符合要求
A
Tl
GIP
Me
l
Me
φ 相距 l 的两个截面之间的相对扭转角
φ
弧度
GIP
圆轴的抗扭刚度
对于阶梯轴，以及等直圆轴但扭矩为阶梯形变化的情况，
分段计算，求代数和
Tl GIP
二、圆轴扭转刚度的计算
圆轴扭转时的应力和强度计算
本章结束
延安大学西安创新学院建筑工程系
延安大学西安创新学院建筑工程系
解： 1、计算轴的扭矩T
将轴在离左端任一距离处用截面切开， 取左段为脱离体，画出其受 力图如下图， 由平衡条件可得：T=M
2、校核强度
此轴满足强度要求
延安大学西安创新学院建筑工程系
§6-3 圆轴扭转时的变形与刚度计算
目的要求：掌握圆轴扭转的变形计算和刚度条 件。
§6-1 圆轴扭转时的应力和强度计算
目的要求：掌握扭转横截面上的应力分 布规律和强度条件的应用。
教学重点：强度条件及其应用。 教学难点：切应力互等定理和剪切胡克
定律。
延安大学西安创新学院建筑工程系
一、 切应力互等定理和剪切胡克定律 １、 切应力互等定理 相互垂直两个平面上的切应力必然成 对存 在，且大小相等、方向都垂直指向 或背离两平面的交线。
延安大学西安创新学院建筑工程系 （３） 指定截面扭矩的计算方法。
延安大学西安创新学院建筑工程系
用一假想的截从要求内力处将 杆件切开 分成两段，取其中的任意一段为研究对 象，画出其受力图，利用平衡方程，求 出 内力（扭矩）
注意：在受力图中，扭矩最好假设成正 方向，如上图。
由力偶平衡得： Me-T=0 即：T=Me
一、 圆轴扭转的概念与实例
1、扭转的概念
杆件的两端受到大小相等、转向相反且作
用平面直垂于杆轴线的力偶的作用，致使杆件
各横截面都绕杆轴线发生相对转动，杆件表面
的纵向线将变成螺旋线。
2、扭转的受力特点：受一对等值、反向、
作用面在横截面内的力偶作用时，圆轴产生扭
转变形。
3、圆轴扭转的变形特点：各横截面绕杆
6圆轴扭转的识别和应用
《机械基础》教案（2009～ 2010学年第二学期）学院山西省工贸学校系（部）机电系教研室教师梁少宁山西省工贸学校③学生学案课题名称：圆轴扭转的识别和应用班级：姓名：(一)、工作任务：拿出一根塑料管在扭转的过程中，手上的力是怎样用的？然后拿出一根粉笔，它在扭转力的作用下断裂后，这个断裂面是什么样子的？(二)、学习目标：1、理解材料力学的任务和研究对象。
2、理解构件圆轴扭转时的受力特点、变形特点及应用实例。
3、能够在以后的工作当中根据构件的受力方式正确选择构件的形状和尺寸。
(三)、回答问题1、拿出一根塑料管在扭转的过程中，手上的力是怎样用的？2、然后拿出一根粉笔，它在扭转力的作用下断裂后，这个断裂面是什么样子的？(四)、分析该资料，完成项目任务：一、关于扭矩、剪应力与剪应变以及相对扭转角等概念扭转——直杆的两端，在垂直杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶，使杆件各横截面发生绕轴线相对转动。
这种变形形式称为扭转。
轴——以扭转变形为主要变形的杆件称为轴。
横截面为圆形的轴称为圆轴。
扭矩——在外力偶作用下，应用截面法，圆轴横截面上的分布内力组成一合力偶与外力偶平衡，这一内力合力偶的力偶矩称为扭矩，用T表示。
剪应力互等定理——由受扭圆轴上扭截取的微六面体（微元），在两个互相垂直的截面上的剪应力数值相等，其方向同时指向或背离该交线。
此关系称为剪应力互等定理。
纯剪状态——微元的四个侧面上只有剪应力而无正应力，则该微元的受力状态称为纯剪状态。
剪应变——剪应力作用下，微元的直角改变量称为剪应变（或切应变）。
剪切胡克定律——在弹性范围内，剪应力与剪应变成正比，即τ=Gγ,式中G是剪切弹性模量，与拉、压杆的弹性模量E相似，表示材料的弹性常数，随材料而异，由实验测定。
单位为MPa。
扭转角——轴在受扭时，两横截面间绕轴线相对转动的角度，称为相对扭转角，用φ表示，用来表示轴的扭转变形。
二、扭矩计算、扭转剪应力与变形分析1、外力偶矩的计算作用在轴上的外力是外力偶，其力偶矩用m表示。
刘鸿文《材料力学》(第5版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-扭转(圣才出品)
（1）一般矩形截面( h 10) b
分布特点：周边各点切应力与周边相切，没有垂直于周边的切应力分量，顶点处切应力 等于零，切应力变化情况如图 3-3（a）所示。
横截面上的最大切应力 max 发生在长边中点处
短边上切应力最大值发生在中点处
矩形截面扭转时，相对扭转角
7 / 44
；R 为弹簧圈平均半径， 。
6 / 44
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
五、非圆截面杆扭转的概念 1．基本概念 （1）翘曲：扭转变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。 （2）自由扭转：等直杆两端受扭转力偶作用，且翘曲不受任何限制的扭转。 变形和受力特点：各横截面的翘曲程度相同，纵向纤维的长度无变化；横截面上只有切 应力。 （3）约束扭转：等直杆两端受扭转力偶作用，且翘曲受到限制的扭转。 变形和受力特点：各横截面的翘曲程度不同，相邻两截面间纵向纤维的长度改变；横截 面上有切应力和正应力。
WP
=
D3 16
式中， = d 。 D
上述公式只适用于等直杆和线弹性范围。 （2）强度条件 对于等直杆
对于变截面杆件需综合考虑 T 和 Wt，以求得切应力的最大值。
强度条件的应用：
①强度校核
Tmax [ ] Wt
4 / 44
圣才电子书
②截面选择
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
G
=
E
2(1+
)
4．剪切应变能
在应力小于剪切比例极限的情况下，单位体积内的剪切应变能密度为
=
1 2
=
2 2G ， v
= 1 2
上述公式主要用于线弹性范围内纯剪切应力状态下剪切应变能密度的计算。
圆轴扭转的受力特点和变形特点
圆轴扭转的受力特点和变形特点
圆轴在受到扭矩作用时，其受力特点和变形特点与直轴不同。
下面我们来详细探讨一下圆轴扭转的受力特点和变形特点。
一、受力特点
在圆轴扭转过程中，受到的力主要是扭矩。
扭矩是使物体产生转动的力，其大小可以用公式T=FT*d来计算，其中T是扭矩，F是力，T是距离，d是轴的直径。
在圆轴扭转时，扭矩会使圆轴上的横截面产生剪切应力，剪切应力的大小与扭矩成正比。
二、变形特点
圆轴在受到扭矩作用时，会产生扭转变形。
这种变形主要表现为圆轴的各个横截面发生相对转动。
在圆轴扭转时，横截面之间的距离保持不变，因此不会出现拉伸或压缩变形。
同时，由于圆轴的刚度较大，所以扭转变形量相对较小。
三、影响圆轴扭转的因素
圆轴的扭转性能受到多种因素的影响，包括材料性质、截面形状、尺寸和边界条件等。
例如，圆轴的材料强度越高，其抵抗扭矩的能力就越强；截面形状和尺寸也会影响圆轴的扭转性能；边界条件如支撑条件和固定方式也会对圆轴的扭转性能产生影响。
四、圆轴扭转的应用
圆轴的扭转性能在机械工程中有着广泛的应用。
例如，在汽车和自行车中，车轴就是一种圆轴，它们需要承受来自轮子和车轮的扭矩。
在设计这些车轴时，需要考虑其受力特点和变形特点，以确保其具有足够的强度和刚度。
此外，在建筑工程和桥梁工程中，钢结构和钢筋混凝土结构的连接节点也需要利用圆轴的扭转性能来传递力和转矩。
圆轴扭转时的变形和刚度计算
轴的最大切应力为 τmax=Tma /Wp=2.86×103N·m/1.43×104m
=20×106Pa=20MPa<［τ］=60MPa 可见强度满足要求。
4） 刚度校核。轴的单位长度最大扭转角为 θmax=Tmax/GIp×180/π
=2.86×103N·m/8.0×1010Pa×6.44×106m4×180/3.14 =0.318°/m＜［θ］=1.1°/m 可见刚度也满足要求。材Βιβλιοθήκη 力学圆轴扭转时的变形和刚度计算
1.1圆轴扭转时的变形 圆轴扭转时的变形通常是用两个横截面绕轴线转动的相对扭转角 φ来度量的。在上节中已得到式（3-5），即 dφ/dx=T/GIp
式中：dφ——相距为dx的两横截面间的扭转角。 上式也可写成 dφ=T/GIpdx
因此，相距为l的两横截面间的扭转角为 φ=∫ l dφ=∫(T l /GIp)dx （3-12 若该段轴为同一材料制成的等直圆轴，并且各横截面上扭矩T的 数值相同，则上式中的T、G、Ip均为常量，积分后得
得 D≥（16T/π［τ］）1/3
=（16×39.6×103/π×88.2×106）1/3m
=0.131m=131mm
2） 按刚度条件设计轴的直径。由刚度条件式（3-16），即 θmax=Tmax/GIp×180/π
=32×180Tmax/Gπ2D4≤ ［θ 得
D=（32×180T/Gπ2［θ］）1/4 =（32×180×39.6×103/79×109×π2×0.5）1/4m =0.156m=156mm 故取D＝160mm，显然轴能同时满足强度条件和刚度条件。
【例3-6】一钢制传动圆轴。材料的切变模量G=79×103MPa， 许用切应力［τ］=88.2MPa，单位长度许用扭转角［θ］ =0.5°/m，承受的扭矩为T=39.6kN·m。试根据强度条件和 刚度条件设计圆轴的直径D。
材料力学-第9章 扭转
其中， 为该轴的角速度 (rad s) ， 2 则 M e 9549
Pk n
n 。若 Pk 的单位为千瓦 (kw ) ， 60
(9 1)
( N m)
若 Pk 的单位为马力 (1hp 735.5 W) ，则
M e 7024 Pk n
( N m)
(9 2 )
r l
(a)
利用上述薄壁圆筒的扭转，可以实现纯切实验。实验结果表明，当切应力不
超过材料的剪切比例极限 p 时， 扭转角 与扭转力偶矩 M e 成正比。 由式 (9 3) 和 式 (a ) 可以看出, 与 只相差一个比例常数，而 M e 与 也只差一个比例常数。 所以上述实验结果表明：当切应力不超过材料的剪切比例极限 p 时，切应变 与 切应力 成正比（图 9-9） 。这就是材料的剪切虎克定律，可以写成
图 9-8 在纯剪切情况下，单元体的相对两侧面将发生微小的相对错动，图 9-7 (e) ， 原来相互垂直的两个棱边的夹角， 改变了一个微量 ， 这就是切应变。 由图 9-7 (b) 可以看出，若 为薄壁圆筒两端截面的相对转角， l 为圆筒的长度，则切应变应 为
式中 r 为薄壁圆筒的平均半径。
动轮 A 输入功率 PA 50hp ，从动轮
B 、 C 、 D 输出功率分别为 PB PC 15hp ， PD 20hp ，轴的转
速为 n 300 r min ，试画出轴的扭矩 图。 解 按公式 (9 2) 计算出作用于
各轮上的外力偶矩。
M eA 7024 M eB M eD
T2 M eC M eB 0
T2 M eC M eB 702 N m
材料力学课件 第四章扭转
直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
17
Ip A 2dA 单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
只是Ip值不同。
一、传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系：
m
9.55
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.024
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.121
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（HP） n — 转速，转/分（rpm）
22
[例2]有一阶梯形圆轴，如图(a)所示轴的直径分别d为1 50mm,d2 80mm 。扭转力偶矩分别为 Me1 0.8kN m ，Me2 1.2kN m ，M e3 2kN m。若 材料的许用切应力 [ ] 40MPa ，试校核该轴的强度。
解： 方法一（理论计算法） 用截面法求出圆轴各段的扭矩，如图(b)所示。 由扭矩图可见，CD段和DB段的直径相同，但DB段的扭矩大 于CD段，故这两段只要校核DB段的强度即可。AC段的扭矩 虽然也小于DB段，但其直径也比DB段小，故AC段的强度也 需要校核。
2GI p
W
U ;
64PR3n Gd 4
P K
;
K
Gd 4 64R3n
为弹簧常数。
36
[例3] 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直 径为：d =18mm，受拉力 P=500N 的作用，试求最大剪应力 的近似值和精确值；若 G =82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm， 问：弹簧至少应有几圈？
工程力学09-圆轴扭转的应力
计算轴的最大切应力 Mx 1500 N.m 6 tmax= = -6m3 = 51×10 Pa =51MPa ≤[t ] WP 29.4×10 故：传动轴满足强度条件 2）将轴该实心，在相同条件下确定轴的直径 ∵ M实(=[t ]WP实)=M空(= [t ]WP空) ∴ WP实= WP空
3 pD1 WP实= = WP空 = 29.4×10-6m3
9.1 工程中上传递功率的圆轴 及其扭转变形
工程实例
M
扭转变形
Me γ Me
j
受力特点：横截面上作用有一对力偶Mx
变形特点：相邻横截面发生绕轴线相对力学》
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
pD4(1-a4)
32
《工程力学》
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
9.3 圆轴扭转时的切应力分析
Me Me x
j
dx
公式推导（略） 截面上任意点切应力 Mxr (9-8) t(r)= Ip
《工程力学》
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
9.4 承受扭转时圆轴的 强度设计与刚度设计
9.4.1 扭转实验与扭转破坏现象 韧性材料：以达到屈服强度ts为破 坏标志；试件断口为横截面。 破坏表现为受切应力作用而 被剪切断裂 脆性材料：以达到强度极限tb为破 坏标志；试件断口为45°螺旋面。 破坏表现为微元体受拉断裂
扭转刚度
T
D
D 2
FD 扭矩： 扭矩： T = 2
簧丝横截面上的应力： 簧丝横截面上的应力：
FS
1、剪力 F 引起的 τ1 近似 、 S 认为是均匀分布 2、扭矩 T 引起的 τ 2 按照 、 圆轴扭转计算
τ1
τ 2max
簧丝横截面上的应力： 簧丝横截面上的应力：
τ1 =
π
F d2
4F = πd 2
τ1
A d
簧丝横截面上的应力： 簧丝横截面上的应力：
τ max
8FD d = +1 A 3 πd 2D
τ1
τ 2max
A
对于簧丝的直径 d 远小 于弹簧的中径D的情况 的情况， 于弹簧的中径 的情况，
d
τ max
8FD ≅ πd 3
在考虑簧丝的曲率和
τ1 分布不均匀时： 分布不均匀时：
二、圆轴扭转刚度的计算 ϕ ′= ϕ 单位长度扭转角
l
T 显然 ϕ′ = GIP
圆轴扭转刚度条件为： 圆轴扭转刚度条件为：
ϕ′ ≤ [ϕ′]
单位长度扭转角的许可值
[ϕ′] ( ) m
0
圆轴扭转刚度条件为： 圆轴扭转刚度条件为：
T 180 GI × π ≤ [ϕ′] P m ax
Tmax =155 N ⋅ m
轴的强度条件为： 轴的强度条件为：
Tmax 16Tmax = = ≤ [τ ] 3 πD W t
16Tmax
MⅡ
T(N ⋅ m)
MⅢ
MⅣ
τ max
D≥3
π [τ ]
=3
16×155 π × 40×106
39.3
材力A复习课09年
材料力学（A）总复习 解：1．内力分析
Mmax =7kN.m
M z ,max M max cos = 6.58kN.m
Fy Fy
M y ,max M max sin =2.39kN.m
2.应力分析
Fz
y
Fz
表查: Wz＝141×103 mm3 z 3 mm3 Wy＝21.2×10 M ymax M zmax 1max 46.67MPa 2max W 112.74MPa y Wz
解： 外伸梁
A
qa 2 2
B a b
C
Mb b B B ① 转角： 3EI 3EI
qa
qa2/2 wA1
B
② 线位移：截面B的转动， 带动AB段一起作刚体转 动，从而使A端产生位 移 wA1 。
wA2 qa
qa2/2
材料力学（A）总复习
qa b wA1 B a wA1 （ ） 6 EI
max 26.52MPa
材料力学（A）总复习 2、按第三强度理论计算图示单元体的相当 应力σr3= 。
30MPa
50 MPa
答案：
r 3 80MPa
材料力学（A）总复习 3、图示应力状态，按第三强度理论校核， 强度条件为：
( A) xy [ ]
( B) 2 xy [ ]
材料力学（A）总复习
二、强度理论 第一、第三、第四强度理论的适用范围 相当应力的表示 三、广义胡克定律
四、组合变形
①斜弯曲 矩形、工字形，圆截面
②拉伸或压缩与弯曲的组合( 截面核心） ③弯扭组合：圆截面 解题步骤
材料力学（A）总复习 1、关于铸铁力学性能有以下四个结论，正确
工程力学第9章圆轴的扭转
τ ′d x d z
d
τ
c
τ d yd z
x
∑F = 0 ∑F = 0 ∑M = 0
y x z
自动满足 存在τ'
(τ d y d z ) d x = (τ ′ d x d z ) d y
得
τ′ =τ
y
τ'
a dy b z
切应力互等定理 d
在相互垂直的两个面上， 在相互垂直的两个面上，切 应力总是成对出现，并且大小相 应力总是成对出现，并且大小相 等，方向同时指向或同时背离两 个面的交线。 个面的交线。
一、圆轴扭转时横截面上的应力 1、几何关系：由实验找出变形规律 应变的变化规律 几何关系 由实验找出变形规律→应变的变化规律 1）实验： 实验：
2）观察变形规律： 观察变形规律：
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 形状、大小、间距不变， 圆周线 形状 了一个不同的角度。 了一个不同的角度。 纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。 倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。 纵向线 倾斜了同一个角度 扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面， 扭转平面假设 变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大 小 以及间距不变，半径仍为直线。 以及间距不变，半径仍为直线。
3
) 16T 3 16(1.5×103N⋅m = = 0.0535 m d ≥ 6 π(50×10 Pa) π[τ ]
m 取： d = 54 m
2. 确定空心圆轴内、外径 确定空心圆轴内、
Wp =
3
πD3 16
(1−α )
4
16T π 3 D (1−α 4) 16
结论： 结论：
横截面上
09扭转(阅读版)教程
力学关系 ( 切应力对轴的合力矩即截面上的扭矩 )
相对转角表达式及切应力表达式
1、变形几何关系
m
变形前
变形后
R A
O
dx
E
E
O1
γ
γ
B B
d
BB γ d x BB R d γd x R d
C
§9.2
动力传递与扭矩
一、功率、转速与扭力偶矩之间的关系
设某传动轴,其传递的功率为P千瓦(kW),转速为n转／分（r／min）,
1秒内输入的功 力偶矩m的功
W P t P 1000 1 1000 P( N m)
则：
n mnπ W m m 2π ( N m) 60 30 W W
P m 9549 n
P m 7024 n
P ( N m) 9.55 n
P ( N m ) 7.02 n
(kN m)
若已知外力偶传递的功率为P马力（PS）,转速为n转／分（r／min）， 则
( kN m )
运用上二式时，应特别注意各量的单位。
二、扭矩与扭矩图 1、扭矩
dx
dy
a
d c
b
C、切应力大小
（1）由于沿圆周线方向各点的 变形相同，同一圆周线上各点的 R0相同，故可认为切应力沿圆周 线处处相等。 （2）又因壁厚很薄，又可近似 的认为沿壁厚方向均匀分布。 因此认为切应力在横截面均匀分布 横截面上内力系对O点的力矩为：
2 π R 0 R 0 2 π R 02
China University of Mining & Technology
6第六章 扭 转
第六章 扭转以横截面绕轴线作相作旋转为主要特征的变形式（图6-1），称为扭转。
横截面间绕轴线的相对角位移，称为扭转角。
凡是以扭转变形为主要变形的直杆，称为轴。
本章研究轴的内力、应力与变形，并在此基础上研究轴的强度与刚度问题。
研究对象以圆截面轴为主，包括实心与空心圆截面轴，同时也研究薄壁截面轴，并简要介绍矩形与椭圆等非圆截面实心轴的应力与变形。
此外，本章既研究静定轴也研究超静定轴。
并讨论了弹簧的应力与变形。
图6-1扭转轴§6.1 扭矩一、外力偶矩的计算作用在轴上的扭力偶矩，一般可通过力的平移，并利用平衡条件确定。
但是，对于传动轴等转动构件，通常只知道它们的转速与所传递的功率。
因此，在分析传动轴等转动类构件的内力之前，首先需要根据转递与功率计算轴所受承受的扭力偶矩。
由动力学可知，力偶在单位时间内所作之功即功率P ，等于该力偶之矩e M 与相应角速度Ω的乘积，即Ω=e M P (a)在工程实际中，功率P 的常用单位为kW ，力偶矩e M 与转速n 的常用单位分别为m N ⋅与min r ，于是式(a)变为6021000e n M P π⨯=⨯ (b) 由此得 {}{}{}minr kW m N e 5499n P M =⋅ (6-1) 二、扭矩1．扭矩的符号规定作用在轴上的外力偶矩确定后，现在研究轴的内力。
在矩为M 的扭力偶作用下（图6-2a ），横截面上的分布内力必构成一力偶（图6-2b ），而且，该力偶的矢量方向垂直于截面。
矢量方向垂直于横截面的内力偶矩，即扭矩，并用T 表示。
通常规定：按右手螺旋法则将扭矩用矢量表示，若矢量方向与横截面的外法线方向一致，则该扭矩为正，“+”。
按此规定，图6-2b 所示扭矩为正。
2．截面法用截面假想地把轴分成两部分，以显示并确定扭矩的方法称为截面法。
可将其归纳为以下四个步骤：① 截． 欲求某一截面上的扭矩时，就沿该截面假想．．地把轴分成两部分。
② 取． 原则上取受力简单．．的部分作为研究对象，并弃去另一部分。
圆轴扭转的变形特点是杆件的各横截面绕杆轴线发生相对转动
圆轴扭转的变形特点是杆件的各横截面绕杆轴线发生相
对转动
1.扭转角度分布：沿着杆件的轴线方向，各横截面相对于杆轴线发生
相对转动，即发生扭转角。
在较小的纵向位置x处，扭转角θ与x之间
的关系满足线性的关系，即θ∝x。
这表明扭转变形是沿杆件轴线方向均
匀分布的。
2.变形分布：由于扭转变形的存在，杆件的各横截面之间会发生相对
转动，因此各个截面之间存在一定的位移差，即由轴线到各点的距离发生
了变化。
在一个环形截面上，截面内的各点具有不同的位移，距离轴心越
远的点位移越大。
这种位移差随着距离轴心的增加而增加。
3.外观特点：当杆件的圆轴扭转时，可以观察到杆件表面发生了特征
性的变化。
沿着杆件轴线方向，杆件的表面呈现出螺旋状纹理或者所谓的
对角纹理。
这是由于杆件各横截面之间相对转动的结果。
4.扭转变形的比例：扭转变形的比例与杆件的材料性质和几何尺寸有关。
通常情况下，杆件的扭转变形与受到的扭矩成正比，材料的剪切模量
和几何尺寸成反比。
这意味着扭转刚度随着杆件截面积的增加和材料剪切
刚度的减小而增加。
总之，圆轴扭转的变形特点是杆件的各横截面绕杆轴线发生相对转动，扭转角度沿着杆件的轴线方向均匀分布，各个截面之间存在位移差，杆件
表面呈现螺旋状纹理，扭转变形的比例与材料性质和几何尺寸有关。
圆轴承受扭矩t0作用时,最大切应力正好达到屈服极限
当圆轴承受扭矩t0作用时，最大切应力正好达到屈服极限。
这意味着圆轴承所承受的切应力达到了材料的屈服强度。
屈服强度是材料在受力下开始发生塑性变形的临界点，超过这个临界点，材料将会产生永久性的形变。
在这种情况下，圆轴承可能会发生塑性变形或者损坏。
因此，需要根据设计要求和工作条件来评估圆轴承的可靠性和安全性。
为了确保圆轴承的可靠性，设计中通常会考虑一些安全系数。
这些安全系数可以基于材料的强度特性、应力分布、工作环境等因素来确定。
通过增加安全系数，可以提高圆轴承的抗载能力，降低出现失效的风险。
因此，如果最大切应力正好达到屈服极限，那么有必要对设计进行重新评估，可能需要增加材料的强度或者调整设计参数，以确保圆轴承在实际工作中具有足够的安全性和可靠性。
1。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
B
b
e
A
a
c
d
ae. 因各条纵向纤维的应变相等，所以上边纤维长，伸长量也大。
2、图示直杆，其抗拉刚度为EA，试 求杆件的轴向变形△L，B点的位移
δB和C点的位移δC
A L
F
F
δB
=
∆LAB
=
FL EA
B
C
L
δC
=
δB
=
FL EA
3、塑性材料冷作硬化后，材料的力学性能 发生了变化。试判断以下结论哪一个是正确 的： （A）屈服应力提高，弹性模量降低； （B）屈服应力提高，塑性降低； （C）屈服应力不变，弹性模量不变； （D）屈服应力不变，塑性不变。 正确答案是（ B ）
lAB
A
lAC
ϕCA C
纯剪切应力状态下的应变能密度( τ ≤ τ p )
y
τ
dz γ dτ'
aτ
τ
dy
τp
O
b
τ' c
x
z
dx
O
γ
dW = 1 (τ d y d z)(γ d x)= 1τγ (d x d y d z)
vε
=
dVε dV2 = dWdV=1τγ2
(d
x
d
y
d
z
2
)
=
1
τγ
dxd ydz 2
例题4-4
例题4-5
传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A 输入功率 P1=400kW，从动轮C，B 分别输出功率P2=160kW，P3=240kW。 已知[τ]=70MPa，[φˊ]=1°/m，G=80GPa。
(1)试确定AC 段的直径d1 和BC 段的直径d2； (2)若AC 和BC 两段选同一直径，试确定直径d；
d
A
∫ =
l ×T2
2G
I
2 p
×
ρ2 d A
A
= T 2l 2GI p
例3-7 试用能量法求图示杆系截面C处的扭转角。
图中Me，l1，l2，D1，d1，d2及杆材的切变模量G均 为已知。
I
I-I
A
刚性板
d2 d1 D1
Me
B
C
I l1
l2
解： 已求得两轴的扭矩
T1 = −M e
T2 = M e
杆系扭转应变能为
τ = Gγ
vε
=
τ2
2G
vε
=
Gγ
2
2
等直圆杆的扭转应变能与应变能密度的关系
∫ ∫ ∫ Vε = V vε dV = l A vε d Adx
扭矩T为常量时，长为 l 的等直圆杆的应变能为
Me
Me ϕ
γ
∫ ∫ ∫ Vε =
τ2
d Ad x A 2G
=1 2G
dx
l
A
⎜⎜⎝⎛
Tρ
Ip
⎟⎞ 2 ⎟⎠
Me
Me ϕ
γ
Vε
=W
=
1 2
M
eϕ
=
1 2
M e2l GI p
= 1 T 2l 2 GIp
或
Vε
=
1 GIp 2l
ϕ2
Me
Me
ϕ = Mel
GI p
ϕ
ϕ
当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时
∑ Vε
=
n i=1
Ti 2li 2GI p
或
∑ Vε
=
n i=1
GI p 2li
ϕi2
M2 Ⅰ
M1
Ⅱ
M3
d
ϕAB B
2、 α = −45o σ max = +τ
σmin
τx
45°
α = +45o σ min = −τ
σmax
此时切应力均为零。
τ'
Ⅲ、强度条件 等直圆轴
τ max ≤ [τ ] Tmax ≤ [τ ]
Wp
材料的许用切应力
σ max = τ
1. 等截面圆轴：
2. 阶梯形圆轴：
五、圆轴扭转时的强 刚度设计
例3-8 圆柱螺旋弹簧如图(簧杆斜度α < 5°) 受轴向
压力(拉力) F 作用。已知：簧圈平均半径 R，簧杆 直径 d，弹簧的有效圈数 n，簧杆材料的切变模量 G ，且簧圈平均直径 D >> d 。 试推导弹簧的应力
和变形计算公式。
解：1、 求簧杆横截面上的内力
分离体的平衡
剪力 FS = F 扭矩 T = FR
2、求簧杆横截面上的应力
a) 略去与剪力相 应的切应力
b) D >> d 时略去 簧圈的曲率影响
τ max
=T Wp
=
FR π d3
= 16FR πd 3
16
3、求簧杆的变形
实验证明，当弹簧受力在一定限度内，其变形 与外力F成正比。
外力功：
W = 1 F∆ 2
弹簧内的应变能
Vε
=
1 2
T 2l GI p
d = d1 = 86.4mm
6.将主动轮按装在 两从动轮之间
d1
C d2
A
B
M e1
M e2
M e3
(− )
4580N ⋅ m
7640N ⋅ m
受力合理
d1
A d2
C
B
M e2
M e1
M e3
(+)
3060N ⋅ m
(−)
4580N ⋅ m
§3-6 等直圆杆扭转时的应变能
等直圆杆仅在两端受外力偶矩 Me 作用且 τ ≤ τ p 时
2d d
T
G2 O G1
(A)
(B)
(C)
(D)
答案：C
6、圆轴上装有四个齿轮，A为主动轮，传递的扭转外力偶矩
MeA=60k。B、C、D为从动轮，传递的扭转外力偶矩分别为
MeB=30kNm、MeC=15 kNm、MeD=15 kNm。四个齿轮自左
向右合理的排列是
。
A. A、B、C、D； C. C、B、A、D；
§3-5、圆轴扭转时的变形计算
一、扭转变形
四、圆轴扭转时的变形计算
相对扭转角
抗扭刚度
∑n
ϕ=
Ti li
i=1 GI Pi
单位长度扭转角 扭转刚度条件
许用单位扭转角
扭转强度条件 扭转刚度条件
•已知T 、D 和[τ]，校核强度 •已知T 和[τ]， 设计截面 •已知D 和[τ]，确定许可载荷
•已知T 、D 和[φ/]，校核刚度 •已知T 和[φ/]，设计截面 •已知D 和[φ/]，确定许可载荷
=
(FR)2 2πRn
2GI p
其中：
Ip
=
πd 4
32
由 W = Vε
即：
∆ = 2W = 2Vε = 2(FR)2 2πRn
FF
F.2GI p
= 2FR3πn.32 = 64FR3n
G.πd 4
Gd 4
令弹簧刚度系数：
k
=
Gd 4 64R3n
则： ∆ = F k
思考题
1、图示为一端固定的橡胶板条，若在加力前在板 表面划条斜直线AB，那么加轴向拉力后AB线所在
作业
• P94 3-13、 3-14、 3-15
B. B、A、C、D； D. B、C、A、D。
(B)
30
60
15
15
思考题
薄壁圆筒纯扭转时，如果在其横截面及径向截 面上存在正应力，试问分离体能否平衡？
P90 思考题 3-5
图示单元体，已知右侧面上有y方
τ 向成 θ 角的切应力 ，试根据
切应力互等定理，画出其它面上 的切应力。
思考题
试绘出图示圆轴的横截面和径向截面上切应力 变化情况。
圆轴扭转应力
T
ρ
O
τmax
τρ
d
τρ
= Tρ
Ip
τ max
=
T Wp
实心轴与空心轴 Ip 与 Wp 对比
斜截面上的应力
τ
e σα α τα
η
α
x
b
f
τ'
讨论：
ξ
σα = −τ sin 2α τα = τ cos 2α
τ'
45°
1、
α = 0o α = 90o
τ max = τ
σmax τ
σmin
4、低碳钢材料在拉伸实验过程中，不发生明显的塑 性变形时，承受的最大应力应当小于的数值，有以 下4种答案，请判断哪一个是正确的： （A）比例极限； （B）屈服极限； （C）强度极限； （D）许用应力。 正确答案是（ B ）
5、由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切 变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如图所示。 圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上 的切应力分布，有图中（A）、（B）、（C）、（D）所 示的四种结论，请判断哪一种是正确的。
(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?
d1
C d2
A M e1
M e2
B
M e3
解：1.外力
M e1
= 9549 P1 n
=
9549× 400 500
= 7640N ⋅ m
M e2
=
9549× 160 500
=
3060N
⋅m
M
e3
=
9549
×
240 500
=
4580N