5-1定积分的概念

1 2 0 x dx
0 n
15
1 1 1 1 lim i xi lim 1 2 . n n 3 n 6 0 i 1
n 2
例2 利用定义计算定积分 Example 2. Evaluate
1
2
1 dx. by the definition x
1 x dx ; 4
2
cos xdx 2 cos xdx ;
2 0
五、水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力，已知 闸门上水的压强 P 是 水深 h 的 函数，且有 p 9.8h(千米 米 2 ) ，若闸门高H 3米 ，宽 L 2米 ，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水 压力 P （见教材图 5-3）.

Hale Waihona Puke Baidu


14
例1 利用定义计算定积分
i 1
i 1 2 2 f ( i )xi i xi xi xi i 1 n n
n n n
n
n 1 小区间[ x i 1 , x i ]的长度 x i ，(i 1,2, , n ) n 取 i x i ，(i 1,2,, n ) 2
23
练习题
一、填空题： 1、函数 f ( x ) 在 a , b 上的定积分是积分和的极限， 即 f ( x )dx _________________ .
b a
2、定 积 分 的 值 只 与 ______ 及 _______ 有 关 ， 而 与 _________的记法无关 . 3、定积分的几何意义是_______________________ . 4、区间 a , b 长度的定积分表示是_____________ .
定理2
[ 设函数 f ( x ) 在区间 a , b] 上有界，
且只有有限个间断点，则 f ( x ) 在
区间[a , b ]上可积.
12
四、定积分的几何意义 Geometric meaning
f ( x ) 0, f ( x ) 0,
a f ( x )dx A
b
b
曲边梯形的面积
的负值
１．定积分的实质：特殊和式的极限．
２．定积分的思想和方法：
分割 化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
求和
取极限
积零为整
取极限
精确值——定积分
21
思考题
将和式极限：
1 2 ( n 1) lim sin sin sin n n n n n
表示成定积分.
a f ( x )dx A 曲边梯形的面积
A1
A3 A2
A4
a f ( x )dx A1 A2
b
A3 A4
13
几何意义 Geometric meaning：
它是介于 x 轴、函数 f ( x ) 的图形及两条 直线 x a, x b 之间的各部分面积的代 数和． 在 x 轴上方的面积取正号； x 轴下方的面 在 积取负号．
18
极限运算与对数运算换序得
e
1 2 n n f f f lim ln n n n n
1 i lim ln f n n n i 1
e

n
e
i1 lim ln f n n n i 1
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．
7
（1）分割 Dividing
T1 t0 t1 t 2 t n1 t n T2
(2) 近似 Replacing approximately 部分路程值
25
9
i 1
怎样的分法， 也不论在小区间[ x i 1 , x i ] 上
点 i 怎样的取法，只要当 0 时，和 S 总趋于
I 确定的极限 ， 我们称这个极限 为函数 f ( x ) I 在区间[a , b] 上的定积分， 记为
积分上限
积分和
Upper a limit … 积分下限
Lower limit of the integral
i 1 i 1
Example 1. Evaluate x 2dx. by the definition 0 解 将[0,1]n 等分，分点为 x i ，(i 1,2, , n ) i
1
1 n 2 1 n( n 1)(2n 1) 1 1 1 2 1 , 3 i 3 6 n n 6 n i 1 n
n
t i t i t i 1
si v( i )t i
某时刻的速度
（3）求和 Summing
s v ( i )t i
i 1
（4）取极限 Taking the limit
max{t1 , t 2 ,, t n }
路程的精确值
s lim v ( i )t i
试证 lim n
n
ln f ( x )dx . e
0
1
证明
利用对数的性质得
1 lim n f n n
2 n f f n n
e
1 2 n ln lim n f f f n n n n
二、利用定积分的定义计算由抛物线 y x 2 1 , 两直线 x a , x b ( b a ) 及横轴所围成的图形的面积 . 三、利用定积分的定义计算积分 xdx ，( a b ) .
b a
24
四、利用定积分的几何意义，说明下列等式： 1、 2、
0

1
2 2

n
指数上可理解为：ln f ( x ) 在 0,1] 区间 [ n 上的一个积分和． 分割是将[0,1] 等分
i 分点为 xi ，（i 1,2,, n ） n
19
因为 f ( x ) 在区间[0,1] 上连续，且 f ( x ) 0
所以ln f ( x ) 在[0,1] 上有意义且可积 ,
n
1
2
1 1 dx lim xi lim n( 2 1) ln 2. 0 i 1 n x i
17
n
1 n
例3
设函数 f ( x ) 在区间[0,1] 上连续，且取正值.
1 f n 2 n f f n n
2 n 1 解 在[1,2]中插入分点 q , q ,, q ,
典型小区间为[q
i 1
, q i ]，（i 1,2,, n ）
i i 1
小区间的长度x i q q
取 i q
i 1
q
i 1
(q 1) ,
，（i 1,2, , n ）
n

i 1
n
1 i 1 f ( i )xi xi i 1 q (q 1) i 1 q i 1 i
而与积分变量的字母无关.
a f ( x )dx a f (t )dt a f (u)du
（2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
b
b
b
[ （3）当函数 f ( x ) 在区间 a , b] 上的定积分存在时，
称 f ( x ) 在区间[a , b] 上可积.
11
三、存在定理
当函数 f ( x ) 在区间[a , b ]上连续时， 定理1 Theorem 1 If a function f(x) is continuous on an interval 则 f ( x ) 在区间[a , b ]上可积. then it is integrable on that interval
1
n
16
(q 1) n(q 1)
i 1
n
取 q 2 即q 2
n
1 n
f ( i )xi n(2
i 1
1 x
n
1 n
1),
1 x
2 1 ln 2, lim x(2 1) lim x x 1 1 x n lim n( 2 1) ln 2,
实例2 （求变速直线运动的路程） Distance traveled by a variable motion
设某物体作直线运动，已知速度v v (t ) 是 t 时 间 间 隔 [T1 , T2 ] 上 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v ( t ) 0 ，求物体在这段时间内所经过的路程.
把区间 [a , b] 分成 n 个小区间[ xi 1 , xi ]， 长度为 xi xi xi 1 ;
y
在每个小区间[ xi 1 , xi ] 上任取一点 i，
o a
x1
x i 1 i x i
xn1 b
x
以 [ xi 1 , xi ]为底， (i ) 为高的小矩形面积为 f
x i x i x i 1 ，( i 1,2,) ，在各小区间上任取
一点 i （ i xi ），作乘积 f ( i )x i ( i 1,2,)
并作和 S f ( i )x i ，
n
记 max{x1 , x 2 , , x n }，如果不论对[a , b ]

b
f ( x )dx I lim f ( i )x i
0 i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
[a , b] 积分区间 积 分 Interval of integration 变 量 Variable of integration
10
注意：
（1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关，
0 i 1
8
n
二、定积分的定义 Definition of the definite integral
定义 设函数 f ( x ) 在[a , b]上有界， [a , b ]中任意插入 在
若干个分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b
n 把区间[a , b] 分成 个小区间，各小区间的长度依次为
y
y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
3
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
播放
4
曲边梯形如图所示， 在区间 [a , b]内插入若干
个分点，a x0 x1 x2 xn1 xn b,
22
思考题解答
原式
1 2 ( n 1) n lim sin sin sin sin n n n n n n
n 1 1 i sin i lim sin lim n n n n n n i 1 i 1 i x i 1 sin xdx. 0 n
Ai f ( i )xi
5
曲边梯形面积的近似值为
A f ( i )xi
i 1
n
当分割无限加细即小区间的最大长度 ,
max{x1 , x2 ,xn }
趋近于零 ( 0) 时，
曲边梯形面积为 A lim f ( i )xi
0 i 1
n
6
一、问题的提出
实例1:求曲边梯形的面积 Area of a curvilinear trapezoid
曲边梯形由连续曲线
y f ( x ) ( f ( x ) 0) 、
x 轴与两条直线 x a 、
y
y f ( x)
A?
o
a b x
x b 所围成.
2
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
1 i 1 lim ln f 0 ln f ( x )dx n i 1 n n
n
1 故 lim n f n n
1 0
2 n f f n n
ln f ( x )dx . e
20
五、小结