二项式定理(通项公式)
二项式定理通项公式
例3：计算0.99710 的近似值。精确到0.001
解：0.99710 1 0.00310
c100 110 c110 19 0.003 c120 18 0.003 2
根据精确度的要求，从第三项起的各项都可以省去，所以
0.997 10 110 0.003 45 1 0.000009
a b0 1
a b1 1 1
a b2 1 2 1 a b3 1 3 3 1 a b4 1 4 6 4 1 a b5 1 5 10 10 5 1 a b6 1 6 15 20 15 6 1
表中每行两端都是1，而且除1以外的每 一个数都等于它肩上两数的和.
通项公式的应用:Tk+1=Cnkan-kbk
3
(2) 求展开式中含x2 的项。
(3) 求展开式中系数最大的项和系数
最小的项。
例 的系5. 数已与知第( 三x －项x的22 )系n (数n∈的N比)的为展10开:1。式(中1)第求五展项开
3
式各项系数的和；(2) 求展开式中含 x 2的项。 (3) 求展开式中系数最大的项和系数最小的项。
分析：要灵活、正确的应用二项展开 式的 通项公式。 (1) 先根据通项公式得到第五项与第 三项 的系数，再由已知条件求出n的 值。由“赋值法”求各项系数的和。
通项公式:TK+1=Cnkan-kbk
2.二项展开式的特点 (1) 项数： 展开式有共n+1项 (2) 系数 ： 都是组合数，
依次为Cn0，Cn1，Cn2，Cn3，…Cnn (3) 指数的特点 ：
1) a的指数 由n 0 (降幂) 2) b的指数由0 n (升幂) 3) a和b的指数和为n
3.二项式定理的几个变式：
二项式定理
在展开式C中 15x(x只 3)有 24才存x的 在项 , 其系数 C15为 324 240
方法3 (x2+3x+2)5=[x2+(3x+2)]5
在展开式C 中50(3只 x有 2)5才存x的 在项 , 其系数 C15为 324 240
( x1)6(2x1)5 的通项是
CC(1)2 x s r 56
s
5s
16r2s 2
5、 的系数.
求 ( x1)6(2x1)5的展开式中 x 6 项
解：( x 1)6 的通项是 C 6 r( x)6rC 6 rx6 2r
(2 x 1)5 的通项是
C 5 s ( 2 x ) 5 s ( 1 ) s C 5 s ( 1 ) s 2 5 s x 5 s
( x1 )6(2x1 )5 的通项是
CC(1)2 x s r 56
s
5s
16r2s 2
课堂小结：
1、二项式定理、通项公式及二项式系数的性 质。
2、要区分二项式系数与展开式项的系数的异 同。
3、熟练求算二项展开式的Tr+1项、常数项、x 的r次方项等题型。
二项式定理的复习
1.二项展开式：
a bn
c n 0 a n c 1 n a n 1 b c n ra n rb r c n n b n
这个公式叫做二项式定理,等号后面的 式子叫做(a+b)n的二项展开式,其中 Cnk(k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数。
二项展开式中的第k+1项为Cnkan-kbk
用(1-x)3 展开式中的一次项乘以(1+x)10 展开式中 的x4项可得到(-3x)(C104x4)=-3C104x5；
二项式定理
§10.5 二项式定理一、内容归纳1． 知识精讲：（1）二项式定理：()nn n r r n r n n n n n nb C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110（*∈N n ）其通项是=+1r T r r n r n b a C - （r=0,1,2,……,n ），知4求1，如：555156b a C T T n n -+== 亦可写成：=+1r T rnr n aba C )(()()()n n n n r r n r n r n n n n n b C b a C b a C a C b a 11110-++-++-=--- （*∈N n ） 特别地：()n n n r n r n n n n nx C x C x C x C x +++++=+- 101（*∈N n ）其中，rn C ——二项式系数。
而系数是字母前的常数。
（2）二项展开式系数的性质：①对称性,在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即 ,,,,22110k n n k n n n n n n n n n n C C C C C C C C ---====②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。
如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即n 偶数：()122max+==n n n r nT C C ；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，即()1211212121max+++-+-====n n n nn nrnT T C C C 。
③所有二项式系数的和用赋值法可以证明等于n2即n nn n n C C C 210=+++ ；奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即131202-=++=++n n n n n C C C C（3）二项式定理的应用：近似计算和估计、证不等式，如证明：()N n n n n∈≥>,322取()nn 112+=的展开式中的四项即可。
二项式定理
二项式定理1．二项式定理2.(1)0≤k ≤n 时，C k n 与C n －k n 的关系是C k n ＝C n －kn .(2)二项式系数先增后减中间项最大当n 为偶数时，第n 2＋1项的二项式系数最大，最大值为C n2n ；当n 为奇数时，第n ＋12项和n ＋32项的二项式系数最大，最大值为(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ，C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1. 3．判断下列结论的正误(正确的打“√”错误的打“×”)(1)C r n an －r b r 是二项展开式的第r 项．(×) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(×) (3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．(√) (4)在(1－x )9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．(×)(5)若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 6＋…＋a 1的值为128.(×) (6)在(x ＋1)n 的展开式中，每一项的二项式系数就是这项的系数．(√) (7)(a ＋b )n 与(b ＋a )n 的展开式中通项公式是一样的．(×)(8)(x －y )n 的展开式中，第m 项的系数为(－1)m C m －1n .(×)(9)(1＋2x )5的展开式中含x 的项的系数为5.(×)(10)n x x )12(3 的展开式中不可能有常数项．(×)考点一 二项展开式的通项及应用[例1] (1)(2016·高考全国乙卷)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________．(用数字填写答案)解析：T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ·(x )r ＝25－r C r 5·，令5－r2＝3，得r ＝4，∴T 5＝10x 3，∴x 3的系数为10. 答案：10(2)(2016·高考四川卷)设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4 B ．15x 4 C ．－20i x 4 D ．20i x 4解析：∵T r ＋1＝C r 6x r (i)6－r ，∴含x 4的项为T 5＝C 46x 4i 2＝－15x 4.答案：A(3)(2017·河北唐山一模)322)21(-+xx 展开式中的常数项为( ) A ．－8 B ．－12 C ．－20 D ．20解析：∵322)21(-+x x ＝6)1(xx -，∴T r ＋1＝C r 6x 6－r rx )1(-＝C r 6(－1)r x 6－2r ，令6－2r ＝0，得r ＝3，∴常数项为C 36(－1)3＝－20.答案：C(4)(2015·高考课标全国卷Ⅰ)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．60 解析：法一：利用二项展开式的通项公式求解．(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.故选C.法二：利用组合知识求解．(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.答案：C[方法引航] 求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，含字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项公式即可.1．在本例(1)中，求展开式中系数最大的项是第几项． 解：设第r ＋1项的系数最大，T r ＋1＝25－r C r 5·，第r 项的系数为26－r C r －15第r ＋2项的系数为24－r C r ＋15∴⎩⎨⎧25－r C r 5≥26－r C r －1525－r C r 5≥24－r C r ＋15，1≤r ≤2当r ＝1时，T 2＝ 当r ＝2时，T 3＝故系数最大的项为T 2或T 3.2．在本例(2)中，求展开式中的常数项．解：由T r ＋1＝C r 6x6－r ·i r可知，当r ＝6时． 常数项为T 7＝C 66·i 6＝－1. 3．在本例(4)中，求展开式中含x 3y 3的系数．解析：(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有三个取y ，一个取x 2，一个取x 即可，所以x 3y 3的系数为C 35C 12C 11＝10×2×1＝20.考点二 二项展开式的系数和问题[例2] 在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和．解：设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*)各项系数和为a 0＋a 1＋…＋a 10，奇数项系数和为a 0＋a 2＋…＋a 10，偶数项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．(1)二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29， 偶数项的二项式系数和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29.(4)令x ＝y ＝1，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，① 令x ＝1，y ＝－1(或x ＝－1，y ＝1)， 得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510，②①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510，∴奇数项系数和为1＋5102；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510，∴偶数项系数和为1－5102.(5)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102； x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102.[方法引航] (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a 、b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可.(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.1.5)12)((x x x a x -+的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40 解析：选D.令x ＝1得(1＋a )(2－1)5＝1＋a ＝2，所以a ＝1.因此5)12)(1(x x x x -+展开式中的常数项即为5)12(xx -展开式中1x 的系数与x 的系数的和.5)12(xx -展开式的通项为T k ＋1＝C k 5(2x )5－k ·(－1)k ·x －k ＝C k 525－k x 5－2k·(－1)k .令5－2k ＝1，得2k ＝4，即k ＝2，因此5)12(xx -展开式中x 的系数为C 2525－2(－1)2＝80.令5－2k ＝－1，得2k ＝6，即k ＝3，因此5)12(x x -展开式中1x 的系数为C 3525－3·(－1)3＝－40. 所以5)12)(1(x x x x -+展开式中的常数项为80－40＝40.2．(2017·广西来宾一中检测)(1－x ＋x 2)3(1－2x 2)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 14x 14，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13的值为________．解析：设f (x )＝(1－x ＋x 2)3(1－2x 2)4.令x 分别取1，－1，f (1)＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 13＋a 14＝1，f (－1)＝a 0－a 1＋a 2－…－a 13＋a 14＝27，∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13＝f (1)－f (－1)2＝1－272＝－13.答案：－13考点三 二项式定理的综合应用[例3] (1)若S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727，求S 除以9的余数． 解：S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727＝227－1＝89－1 ＝(9－1)9－1＝C 09×99－C 19×98＋…＋C 89×9－C 99－1 ＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)－2.∵C 09×98－C 19×97＋…＋C 89是正整数，∴S 被9除的余数为7.(2)求1.025的近似值．(精确到两位小数)解：1.025＝(1＋0.02)5＝1＋C 15×0.02＋C 25×0.022＋…＋C 55×0.025≈1＋5×0.02＝1.10.[方法引航] (1)利用二项式定理进行近似计算：当n 不很大，|x |比较小时，(1＋x )n ≈1＋nx . (2)利用二项式定理证明整除问题或求余数问题：在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都有除式的因式，要注意变形的技巧.1．将本例(1)变为S ＝1＋2＋22＋…＋25n －1.求证：S 能被31整除． 证明：∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n －12－1＝25n－1＝32n －1＝(31＋1)n －1 ＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C nn －1 ＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )，显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整数，∴原式能被31整除．2．将本例(2)改为：求1.028的近似值．(精确到小数点后三位)解：1.028＝(1＋0.02)8≈C 08＋C 18·0.02＋C 28·0.022＋C 38·0.023≈1.172.[易错警示]多次应用二项展开式通项公式搭配不全[典例] (x 2＋2)52)11(-x的展开式的常数项是( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3 [正解] 二项式52)11(-x展开式的通项为： T r ＋1＝C r 5r x-52)1(·(－1)r ＝C r 5·x 2r －10·(－1)r. 当2r －10＝－2，即r ＝4时，有x 2·C 45x －2·(－1)4＝C 45×(－1)4＝5；当2r －10＝0，即r ＝5时，有2·C 55x 0·(－1)5＝－2. ∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D. [答案] D [易误] (x 2＋2)与52)11(-x的各因式的积为常数项，不只是2与(－1)的积，还有x 2与x －2的积也为常数．[警示] 求几个二项式积的展开式中某项的系数或特定项时，一般要根据这几个二项式的结构特征进行分类搭配，分类时要抓住一个二项式逐项分类，分析其它二项式应满足的条件，然后再求解结果．[高考真题体验]1．(2015·高考课标全国卷Ⅱ)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.解析：(1＋x )4的展开式通项为C r 4x r ，其中r 可取0,1,2,3,4. x 的所有奇数次幂为a C 14x ，a C 34x 3，C 04x ，C 24x 3，C 44x 5，∴系数和为8a ＋8＝32，∴a ＝3. 答案：32．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________．(用数字填写答案)解析：(x －y )(x ＋y )8＝x (x ＋y )8－y (x ＋y )8，故展开式中x 2y 7的系数为C 78－C 68＝8－28＝－20.答案：－203．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________.(用数字填写答案)解析：∵(x ＋a )10展开式的通项为T r ＋1＝C r 10x10－r a r (r ＝0,1，…，10)， ∴(x ＋a )10的展开式中x 7的系数为C 310a 3＝15，得a ＝12. 答案：124．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8解析：选B.由题意可知a ＝C m 2m ，b ＝C m ＋12m ＋1，又13a ＝7b ，即13C m 2m ＝7C m 2m ＋1，解得m ＝6.课时规范训练 A 组 基础演练1．(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( )A ．80B ．40C ．20D ．10解析：选B.T k ＋1＝C k 515－k (2x )k ＝C k 5×2k ×x k ，令k ＝2，则可得含x 2项的系数为C 25×22＝40.2.532)2(x x -展开式中的常数项为( )A ．80B ．－80C ．40D ．－40解析：选C.T k ＋1＝C k 5(x 2)5－k kx )2(3-＝C k 5(－2)k x 10－5k，令10－5k ＝0得k ＝2.∴常数项为T 3＝C 25(－2)2＝40.3．(x －2y )8的展开式中，x 6y 2项的系数是( )A ．56B ．－56C ．28D ．－28解析：选A.二项式的通项为T r ＋1＝C r 8x 8－r (－2y )r ，令8－r ＝6，即r ＝2，得x 6y 2项的系数为C 28(－2)2＝56.4．已知8)(x a x -展开式中常数项为1 120，其中a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )A ．28B ．38C ．1或38D ．1或28解析：选C.由题意知C 48·(－a )4＝1 120，解得a ＝±2，令x ＝1，得展开式中各项系数的和为(1－a )8＝1或38.5．如果nx x )12(2+的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值为( ) A ．3 B ．5 C ．6 D ．10解析：选B.n xx )12(2+的展开式的通项为T r ＋1＝C r n ·(2x )n －r rx )1(2＝∵n ，r ∈N ，且r ≤n ，∴n ＝5r ∈N ，即n 的最小值为5.6．在n x x )12(3-的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( ) A ．－7 B ．7 C ．－28 D ．28解析：选B.由题意有n ＝8，T k ＋1＝C k 8k -8)21((－1)kx 8－43k ，k ＝6时为常数项，常数项为7. 7．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋22C 3n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn 等于( )A ．63B ．64C ．31D ．32解析：选A.逆用二项式定理得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729，即3n ＝36，所以n ＝6，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝26－C 0n ＝64－1＝63.故选A.8．若n x x )1(2-的展开式中第三项与第五项的系数之比为314，则展开式中常数项是( ) A ．－10 B ．10 C ．－45 D ．45解析：选D.因为展开式的通项公式为T r ＋1＝C r n (x 2)n －r·＝C r n (－1)r，所以C 2nC 4n＝314，解得n ＝10，所以T r ＋1＝C r 10·(－1)r ·，令20－5r 2＝0，则r ＝8.所以常数项为T 9＝C 810＝C 210＝45.9．在52)12(x x -的二项展开式中，x 的系数为( )A ．10B ．－10C ．40D ．－40解析：选D.因为T k ＋1＝C k 5(2x 2)5－k kx )1(-＝C k 525－k x 10－2k (－1)k x －k ＝C k 525－k(－1)k x 10－3k ， 令10－3k ＝1，得k ＝3，所以x 的系数为C 3525－3(－1)3＝－40. 10．(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n 等于( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9解析：选B.(1＋3x )n 的展开式中含x 5的项为C 5n (3x )5＝C 5n 35x 5，展开式中含x 6的项为C 6n 36x 6，由两项的系数相等得C 5n ·35＝C 6n ·36，解得n ＝7.B 组 能力突破1．(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( )A ．－20B ．－15C ．15D ．20解析：选C.设展开式的常数项是第k ＋1项，则T k ＋1＝C k 6·(4x )6－k ·(－2－x )k ＝C k 6·(－1)k ·212x －2kx ·2－kx＝C k 6·(－1)k ·212x －3kx ，∴12x －3kx ＝0恒成立．∴k ＝4，∴T 5＝C 46·(－1)4＝15. 2．若(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a n (1－x )n ，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n 等于( )A.34(3n －1)B.34(3n －2)C.32(3n －2)D.32(3n －1) 解析：选D.在展开式中，令x ＝2得3＋32＋33＋…＋3n ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ， 即a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)na n ＝3(1－3n )1－3＝32(3n－1)．3．设(x －1)21＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 21x 21，则a 10＋a 11＝________. 解析：a 10，a 11分别是含x 10和x 11项的系数，所以a 10＝－C 1121，a 11＝C 1021，所以a 10＋a 11＝C 1021－C 1121＝0.答案：04．(2016·高考山东卷)若52)1(xax +的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________. 解析：T r ＋1＝rrrx C a 251055--，令10－52r ＝5，解之得r ＝2，所以a 3C 25＝－80，a ＝－2.答案：－25．(2016·高考天津卷)82)1(xx -的展开式中x 7的系数为________．(用数字作答)解析：T r ＋1＝C r 8x 16－2r (－1)r x －r ＝(－1)r ·C r 8x 16－3r，令16－3r ＝7，得r ＝3，所以x 7的系数为(－1)3C 38＝－56.答案：－566．已知(1＋3x )n 的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为________．解析：由已知得C n －2n ＋C n －1n ＋C n n＝121，则12n ·(n －1)＋n ＋1＝121，即n 2＋n －240＝0，解得n ＝15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项是T 8＝C 715(3x )7和T 9＝C 815(3x )8. 答案：T 8＝C 715(3x )7和T 9＝C 815(3x )8。
二项式定理(2)
9r
r
9
展开式中的有理项
r r 9
27 r 6
27 r 3 r 令 Z 即4 Z (r 0,19) 6 6
r 3或r 9
27 r 3 3 4 4 r 3 4 T4 (1) C9 x 84 x 6 27 r 9 9 3 3 r 9 3 T10 (1) C9 x x 6 3 4 原式的有理项为:T4 84 x T10 x
二项式定理(2)
复习回顾
1、二项式定理：
1 (a b) n Cn0 a n Cn a n1b Cn2 a n2b 2 Cnr a nr b r Cnnb n
注：展开式共有n+1项
2、通项：
Tr 1 C a b
r nr r n
注：区分二项式系数和项的系数
的通项是
16 r 2 s 2
C C (1) 2
s 5 r 6 s
5 s
x
由题意知：
16 r 2 s 2
6
r 2s 4 (r 06, s 05)
解得
r 0 s 2
2 3
1 5
r 2 s 1
2 6 4
r 4 s 0
所以 x 6 . 的系数为:
2
5
15 6 1 8 1 (2) T21 C ( x ) 15 x 2 x , 2x 4x 4 15 故第3项的系数为 . 4
例1
在
2 1 x 2x
9
的展开式中，求：
(1)第6项 (2)第3项的系数(3)含x9的项(4)常数项
0 4 C5 C6 (1)0 25 640 C C (1) 2 C C (1)2
二项式定理
二项式定理1.二项式定理2.二项式系数的性质(1)C 0n ＝1，C n n ＝1. C m n ＋1＝C m －1n＋C m n . (2)C m n ＝C n －mn .(3)当n 是偶数时，12n T +项的二项式系数最大；当n 是奇数时，12n T +与112n T ++项的二项式系数相等且最大.(4)(a ＋b )n 展开式的二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n .概念方法微思考1.(a ＋b )n 与(b ＋a )n 的展开式有何区别与联系？提示 (a ＋b )n 的展开式与(b ＋a )n 的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同.2.二项展开式形式上有什么特点？ 提示 二项展开式形式上的特点 (1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C n n .3.二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？提示 不一定最大，当二项式中a ，b 的系数为1时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)C r n an －r b r是二项展开式的第r 项.( × ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( × ) (3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关.( √ )(4)(a －b )n 的展开式第r ＋1项的系数为C r n an －r b r .( × ) (5)(x －1)n 的展开式二项式系数和为－2n .( × ) 题组二 教材改编2.(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( ) A.80 B.40 C.20 D.10 答案 B解析 T r ＋1＝C r 5(2x )r ＝C r 52r x r ，当r ＝2时，x 2的系数为C 25·22＝40. 3.若⎝⎛⎭⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( ) A.10 B.20 C.30 D.120 答案 B解析 二项式系数之和2n ＝64，所以n ＝6，T r ＋1＝C r 6·x 6－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 6x 6－2r，当6－2r ＝0，即当r ＝3时为常数项，T 4＝C 36＝20.4.若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( ) A.9 B.8 C.7 D.6 答案 B解析 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16，两式相加得a 0＋a 2＋a 4＝8. 题组三 易错自纠5.(x －y )n 的二项展开式中，第m 项的系数是( )A.C m nB.C m ＋1nC.C m －1nD.(－1)m －1C m －1n答案 D解析 (x －y )n 二项展开式第m 项的通项公式为T m ＝C m －1n(－y )m －1x n －m ＋1，所以系数为C m －1n(－1)m －1. 6.已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N ＋)是一个递增数列，则k 的最大值是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案 B解析 由二项式定理知，a n ＝C n －110(n ＝1,2,3，…，11).又(x ＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项， 所以a 6＝C 510，则k 的最大值为6.7.(x y －y x )4的展开式中，x 3y 3项的系数为 . 答案 6解析 二项展开式的通项是T r ＋1＝C r 4(x y )4－r ·(－y x )r ＝()422241C r r rrx y-+-，令4－r 2＝2＋r2＝3，解得r ＝2，故展开式中x 3y 3的系数为(－1)2C 24＝6.题型一 二项展开式命题点1 求指定项(或系数)例1 (1)(2017·全国Ⅰ)⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为( ) A.15 B.20 C.30 D.35 答案 C解析 因为(1＋x )6的通项为C r 6x r ，所以⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中含x 2的项为1·C 26x 2和1x 2·C 46x 4. 因为C 26＋C 46＝2C 26＝2×6×52×1＝30， 所以⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为30. 故选C.(2)在(x 2－4)5的展开式中，含x 6的项为 . 答案 160x 6解析 因为(x 2－4)5展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r (－4)r ＝(－4)r C r 5x10－2r，令10－2r ＝6，得r ＝2，所以含x 6的项为T 3＝(－4)2·C 25x 6＝160x 6.(3)(x 2＋x ＋y )4的展开式中，x 3y 2的系数是 . 答案 12解析 方法一 (x 2＋x ＋y )4＝[(x 2＋x )＋y ]4，其展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 4(x 2＋x )4－r y r ， 因为要求x 3y 2的系数，所以r ＝2，所以T 3＝C 24(x 2＋x )4－2y 2＝6(x 2＋x )2y 2. 因为(x 2＋x )2的展开式中x 3的系数为2， 所以x 3y 2的系数是6×2＝12.方法二 (x 2＋x ＋y )4表示4个因式x 2＋x ＋y 的乘积，在这4个因式中，有2个因式选y ，其余的2个因式中有一个选x ，剩下的一个选x 2，即可得到含x 3y 2的项，故x 3y 2的系数是C 24·C 12·C 11＝12. 命题点2 求参数例2 (1)(2018·郑州调研)若(x 2－a )⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( ) A.13 B.12 C.1 D.2 答案 D解析 由题意得⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 10x 10－2r ，⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中含x 4(当r ＝3时)，x 6(当r ＝2时)项的系数分别为C 310，C 210，因此由题意得C 310－a C 210＝120－45a ＝30，由此解得a ＝2，故选D.(2)若⎝⎛⎭⎫x 2＋1ax 6的展开式中常数项为1516，则实数a 的值为( ) A.±2 B.12 C.－2 D.±12答案 A解析 ⎝⎛⎭⎫x 2＋1ax 6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ·⎝⎛⎭⎫1ax r ＝C r 6⎝⎛⎭⎫1a r x 12－3r ，令12－3r ＝0，得r ＝4. 故C 46·⎝⎛⎭⎫1a 4＝1516，即⎝⎛⎭⎫1a 4＝116，解得a ＝±2，故选A. 思维升华 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r ＋1，代回通项公式即可. 跟踪训练1 (1)(2017·全国Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A.－80 B.－40 C.40 D.80 答案 C解析 因为x 3y 3＝x ·(x 2y 3)，其系数为－C 35·22＝－40， x 3y 3＝y ·(x 3y 2)，其系数为C 25·23＝80. 所以x 3y 3的系数为80－40＝40. 故选C.(2)(x ＋a )10的展开式中，x 7项的系数为15，则a ＝ .(用数字填写答案) 答案 12解析 通项为T r ＋1＝C r 10x10－r a r，令10－r ＝7， ∴r ＝3，∴x 7项的系数为C 310a 3＝15，∴a 3＝18，∴a ＝12. 题型二 二项式系数的和与各项的系数和问题例3 (1)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝ . 答案 3解析 设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5， 令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32， 解得a ＝3.(2)(2018·南昌质检)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为 . 答案 1或－3解析 令x ＝0，则(2＋m )9＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，令x ＝－2，则m 9＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9， 又(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9)＝39， ∴(2＋m )9·m 9＝39，∴m (2＋m )＝3， ∴m ＝－3或m ＝1.(3)若⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为 . 答案 255解析 ⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 展开式的第r ＋1项为 T r ＋1＝C r n(x 2)n －r ·⎝⎛⎭⎫－1x r＝C r n (－1)r x2n－3r，当r ＝5时，2n －3r ＝1，∴n ＝8. 对(1－3x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8， 令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝28＝256. 又当x ＝0时，a 0＝1， ∴a 1＋a 2＋…＋a 8＝255.思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法.(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.跟踪训练2 已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7. 求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.解 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.② (1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093.(4)方法一 ∵(1－2x )7展开式中，a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝1 093－(－1 094)＝2 187. 方法二 |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|即为(1＋2x )7展开式中各项的系数和，令x ＝1， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝37＝2 187. 题型三 二项式定理的应用例4 (1)设a ∈Z 且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整除，则a 等于( ) A.0 B.1 C.11 D.12 答案 D解析 512 012＋a ＝(52－1)2 012＋a ＝C 02 012·522 012－C 12 012·522 011＋…＋C 2 0112 012·52·(－1)2 011＋C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ，∵C 02 012·522 012－C 12 012·522 011＋…＋C 2 0112 012·52·(－1)2 011能被13整除且512 012＋a 能被13整除， ∴C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ＝1＋a 也能被13整除，因此a 的值为12. (2)设复数x ＝2i 1－i (i 是虚数单位)，则C 12 017x ＋C 22 017x 2＋C 32 017x 3＋…＋C 2 0172 017x 2 017等于( ) A.i B.－i C.－1＋i D.－1－i答案 C解析 x ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，C 12 017x ＋C 22 017x 2＋C 32 017x 3＋…＋C 2 0172 017x2 017 ＝(1＋x )2 017－1＝i 2 017－1＝i －1. 思维升华 (1)逆用二项式定理的关键根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解.(2)利用二项式定理解决整除问题的思路 ①观察除式与被除式间的关系；②将被除式拆成二项式； ③结合二项式定理得出结论.跟踪训练3 (1)(2018·咸阳模拟)1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)r 90r C r 10＋…＋9010C 1010除以88的余数是( ) A.－1 B.1 C.－87 D.87 答案 B解析 1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)r 90r C r 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1.(2)若(1－2x )2 018＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 018x 2 018，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018＝ .答案 －1解析 当x ＝0时，左边＝1，右边＝a 0，∴a 0＝1. 当x ＝12时，左边＝0，右边＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018，∴0＝1＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018，即a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018＝－1.1.(2018·商丘联考)在⎝⎛⎭⎫x 2－2x 6的展开式中，常数项为( ) A.－240 B.－60 C.60 D.240 答案 D解析 ⎝⎛⎭⎫x 2－2x 6的展开式中，通项公式为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝⎛⎭⎫－2x r ＝(－2)r C r 6x 12－3r，令12－3r ＝0，得r ＝4，故常数项为T 5＝(－2)4C 46＝240，故选D. 2.(2018·洛阳联考)⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中x 3项的系数为( ) A.80 B.－80 C.－40 D.48 答案 B解析 ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r ·25－r ·C r 5·x 5－2r ，令5－2r ＝3，得r ＝1.于是展开式中x 3项的系数为(－1)·25－1·C 15＝－80，故选B.3.(2018·南昌模拟)(x ＋y )(2x －y )6的展开式中x 4y 3的系数为( ) A.－80 B.－40 C.40 D.80 答案 D解析 (2x －y )6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r (－y )r ，当r ＝2时，T 3＝240x 4y 2，当r ＝3时，T 4＝－160x 3y 3，故x 4y 3的系数为240－160＝80，故选D. 4.(1＋3x )n 的展开式中x 5与x 6的系数相等，则x 4的二项式系数为( ) A.21 B.35 C.45 D.28 答案 B解析 ∵T r ＋1＝C r n (3x )r ＝3r C r n x r ，由已知得35C 5n ＝36C 6n ，即C 5n ＝3C 6n ，∴n ＝7，因此，x 4的二项式系数为C 47＝35，故选B.5.(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( )A.－20B.－15C.15D.20 答案 C解析 设展开式中的常数项是第r ＋1项，则T r ＋1＝C r 6·(4x )6－r ·(－2－x )r ＝C r 6·(－1)r ·212x －2rx·2－rx＝C r 6·(－1)r ·212x －3rx，∵12x －3rx ＝0恒成立，∴r ＝4， ∴T 5＝C 46·(－1)4＝15. 6.若在(x ＋1)4(ax －1)的展开式中，x 4项的系数为15，则a 的值为( ) A.－4 B.52 C.4 D.72答案 C解析 ∵(x ＋1)4(ax －1)＝(x 4＋4x 3＋6x 2＋4x ＋1)(ax －1)，∴x 4项的系数为4a －1＝15， ∴a ＝4.7.若二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 7的展开式中的各项系数之和为－1，则含x 2项的系数为( ) A.560 B.－560 C.280D.－280答案 A解析 取x ＝1，得二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 7的展开式中的各项系数之和为(1＋a )7，即(1＋a )7＝－1，解得a ＝－2.二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x 7的展开式的通项为T r ＋1＝C r 7·(x 2)7－r ·⎝⎛⎭⎫－2x r ＝C r 7·(－2)r ·x 14－3r.令14－3r ＝2，得r ＝4.因此，二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x 7的展开式中含x 2项的系数为C 47·(－2)4＝560，故选A. 8.若(1－3x )2 018＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 018x 2 018，x ∈R ，则a 1·3＋a 2·32＋…＋a 2 018·32 018的值为( ) A.22 018－1 B.82 018－1 C.22 018 D.82 018答案 B解析 由已知，令x ＝0，得a 0＝1，令x ＝3，得a 0＋a 1·3＋a 2·32＋…＋a 2 018·32 018＝(1－9)2 018＝82 018，所以a 1·3＋a 2·32＋…＋a 2 018·32 018＝82 018－a 0＝82 018－1，故选B.9.若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝ .(用数字作答) 答案 10解析 f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5，它的通项为T r ＋1＝C r 5(1＋x )5－r·(－1)r ， T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10.10.若⎝⎛⎭⎫ax 2＋bx 6的展开式中x 3项的系数为20，则log 2a ＋log 2b ＝ . 答案 0解析 ⎝⎛⎭⎫ax 2＋b x 6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6a 6－r ·b r x 12－3r ，令12－3r ＝3，则r ＝3，∴⎝⎛⎭⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为C 36a 3b 3＝20，∴ab ＝1，∴log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )＝log 21＝0. 11.9192除以100的余数是 . 答案 81解析 9192＝(90＋1)92＝C 0929092＋C 1929091＋…＋C 9092902＋C 919290＋C 9292＝k ×100＋92×90＋1＝k ×100＋82×100＋81(k 为正整数)， 所以9192除以100的余数是81.12.(2018·南昌模拟)若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝ .(用数字作答)答案 364解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1，∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12. 令x ＝0，得a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12－1＝364.13.(2018·开封模拟)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)等于( )A.45B.60C.120D.210答案 C解析 因为f (m ，n )＝C m 6C n 4，所以f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.14.(2018·赣州模拟)已知⎝⎛⎭⎫x －12x n (n ∈N ＋)的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为p ，q ，则p ＋64q 的最小值为 .答案 16解析 显然p ＝2n .令x ＝1，得q ＝12n .所以p ＋64q ＝2n ＋642n ≥22n ·642n ＝16，当且仅当2n ＝642n ，即n ＝3时取等号，此时p ＋64q 的最小值为16.15.⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －35的展开式中常数项是 . 答案 －1 683解析 ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －35表示五个⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －3相乘，则展开式中的常数项由三种情况产生，第一种是从五个⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －3中分别抽取2x,2x ，1x ，1x，－3，则此时的常数项为C 25·C 23·22·(－3)＝－360，第二种情况是从五个⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －3中都抽取－3，则此时的常数项为(－3)5＝－243，第三种情况是从五个⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －3中分别抽取2x ，1x ，－3，－3，－3，则此时的常数项为C 15·C 14·21·(－3)3＝－1 080，则展开式中常数项为－360－243－1 080＝－1 683.16.若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋24x n 展开式中前三项的系数和为163，求： (1)展开式中所有x 的有理项；(2)展开式中系数最大的项.解 易求得展开式前三项的系数为1,2C 1n ，4C 2n .由题意得1＋2C 1n ＋4C 2n ＝163，可得n ＝9.(1)设展开式中的有理项为T r ＋1，由T r ＋1＝C r 9(x )9－r⎝ ⎛⎭⎪⎫24x r ＝183492C r r r x -， 又∵0≤r ≤9，∴r ＝2,6.故有理项为18322234392C 144,T x x -⨯⋅=＝1836664792C 5376.T x -⨯⋅⋅=＝(2)设展开式中T r ＋1项的系数最大，则⎩⎪⎨⎪⎧2r C r 9≥2r ＋1C r ＋19，2r C r 9≥2r －1C r －19， ∴173≤r ≤203， 又∵r ∈N ，∴r ＝6，故展开式中系数最大的项为T 7＝5 376.。
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【最新整理，下载后即可编辑】二项式定理二项式知识回顾 1. 二项式定理0111()n n n k n k kn nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++,以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项.（请同学完成下列二项展开式）0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++-，1(1)k k n k kk n T C a b -+=-01(1)n k k n nn n n n x C C x C x C x +=+++++ ①0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++②① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 012n n n n n C C C +++=，即二项式系数和等于2n ；偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即021312n n n n n C C C C -++=++=② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和. 2. 二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n m n n C C -=.（2）二项式系数k n C 增减性与最大值： 当12n k +<时，二项式系数是递增的；当12n k +≥时，二项式系数是递减的.当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n nC -和12n nC +相等，且同时取得最大值.3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1) ⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)n a n =f(-1)⑶a0+a2+a4+a6……=2)1 ()1(-+ff⑷a1+a3+a5+a7……=2)1 ()1(--ff经典例题1、“n ba)(+展开式：例1．求4)13(xx+的展开式；【练习1】求4)13(xx-的展开式2.求展开式中的项例2.已知在n的展开式中，第6项为常数项.（1）求n；（2）求含2x的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.【练习2】若n展开式中前三项系数成等差数列.求：（1）展开式中含x的一次幂的项；（2）展开式中所有x的有理项.3.二项展开式中的系数例3.已知22x的展开式的二项式系数和比(31)n)nx-的展开式的二项式系数和大992，求21-的展开式中：（1）二项式系数最(2)nxx大的项；（2）系数的绝对值最大的项[练习3]已知*22)()n n N x∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.(1)求展开式中含32x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例4．72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ；5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例5（04安徽改编）3)21(-+xx 的展开式中，常数项是 ；6、求中间项例6求（103)1xx -的展开式的中间项；例7 103)1(xx -的展开式中有理项共有 项；8、求系数最大或最小项（1） 特殊的系数最大或最小问题例8（00上海）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ；（2） 一般的系数最大或最小问题例9求84)21(xx +展开式中系数最大的项；（3） 系数绝对值最大的项例10在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是 ；9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例11．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+， 则2312420)()(a a a a a +-++的值为 ；【练习1】若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-，则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；【练习2】设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-， 则=++++6210...a a a a ；【练习3】92)21(xx 展开式中9x 的系数是 ；。
二项式定理(通项公式)
二项式定理二项式知识回顾1. 二项式定理0111()n n n k n k kn nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++,以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k kk n T C a b -+=叫做二项展开式的通项.（请同学完成下列二项展开式）0111()(1)(1)n n n k k n k kn n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++-，1(1)k k n k kk n T C a b -+=-01(1)n k kn nn n n n x C C x C x C x +=+++++ ① 0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++ ②① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 012n n n n n C C C +++=，即二项式系数和等于2n；偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即021312n n n n n C C C C -++=++=② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.2. 二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n mn n C C -=.（2）二项式系数kn C 增减性与最大值： 当12n k +<时，二项式系数是递增的；当12n k +≥时，二项式系数是递减的. 当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n nC -和12n nC+相等，且同时取得最大值.3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1)⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)na n =f(-1) ⑶ a 0+a 2+a 4+a 6 (2)1()1(-+f f⑷ a 1+a 3+a 5+a 7……=2)1()1(--f f经典例题1、“n b a )(+展开式：例1．求4)13(xx +的展开式；【练习1】求4)13(xx -的展开式2.求展开式中的项例2.已知在n 的展开式中，第6项为常数项.（1） 求n ； （2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.【练习2】若n 展开式中前三项系数成等差数列.求：（1）展开式中含x 的一次幂的项；（2）展开式中所有x 的有理项.3.二项展开式中的系数例3.已知22)n x 的展开式的二项式系数和比(31)nx -的展开式的二项式系数和大992，求21(2)nx x-的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项[练习3]已知*22)()n n N x∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.(1)求展开式中含32x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例4．72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ；5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例5（04改编）3)21(-+xx 的展开式中，常数项是 ；6、求中间项例6求（103)1xx -的展开式的中间项；例7 103)1(xx -的展开式中有理项共有 项；8、求系数最大或最小项（1） 特殊的系数最大或最小问题例8（00）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ；（2） 一般的系数最大或最小问题 例9求84)21(xx +展开式中系数最大的项；（3） 系数绝对值最大的项例10在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是 ；9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例11．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+， 则2312420)()(a a a a a +-++的值为 ；【练习1】若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-， 则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；【练习2】设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-， 则=++++6210...a a a a ；【练习3】92)21(xx -展开式中9x 的系数是 ；。
二项式定理知识点总结
二项式定理知识点总结二项式定理专题一、二项式定理：二项式定理是一个重要的恒等式，它表示了任意实数a,b 和正整数n之间的关系。
具体地，对于任意正整数n和实数a,b，有以下恒等式成立：a+b)^n = C(n,0)*a^n + C(n,1)*a^(n-1)*b +。
+ C(n,n-1)*a*b^(n-1) + C(n,n)*b^n其中，C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，也就是n个元素中取k个元素的方案数。
右边的多项式叫做(a+b)的二项式展开式，其中各项的系数C(n,k)叫做二项式系数。
二项式定理的理解：1）二项展开式有n+1项。
2）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1到0；字母b按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n。
3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a,b，等式都成立。
通过对a,b取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。
例如，当a=1，b=x时，有以下恒等式成立：1+x)^n = C(n,0) + C(n,1)*x +。
+ C(n,n-1)*x^(n-1) +C(n,n)*x^n4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式(a+b)展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式(a+b)^n。
二、二项展开式的通项公式：二项展开式的通项公式是指，二项式展开式中第k+1项的系数C(n,k)的公式。
具体地，对于任意正整数n和实数a,b，有以下通项公式成立：T(k+1) = C(n,k)*a^(n-k)*b^k其中，T(k+1)表示二项式展开式中第k+1项的系数。
通项公式体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心。
它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用。
三、二项展开式系数的性质：在二项式展开式中，二项式系数具有以下性质：①对称性：与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C(n,0) = C(n,n)。
二项式定理公式常用结论
二项式定理公式常用结论二项式定理可是咱数学里相当重要的一块儿内容！咱先来说说二项式定理公式到底是啥。
这公式啊，简单来说就是$(a+b)^n=\sum_{r=0}^n C_n^r a^{n-r}b^r$ 。
这里面的$C_n^r$ 叫组合数，算起来就是 $C_n^r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ 。
那这二项式定理公式有啥常用结论呢？比如说，二项式展开式的通项公式$T_{r+1}= C_n^r a^{n-r}b^r$ ，通过这个通项，咱能方便地找到展开式里的任意一项。
再比如说，二项式系数之和为 $2^n$ 。
这个结论很有用哦！我想起之前给学生们讲这部分内容的时候，有个学生特别有意思。
当时我在黑板上写了一道题：求$(x + 2)^5$ 的展开式中$x^3$ 的系数。
我刚写完题目，就看见这个学生皱着眉头，嘴里还嘟囔着：“这可咋整啊？”我就引导他们先写出通项公式，然后再找$x^3$ 的系数。
等我讲完这道题，再问大家有没有明白，那个学生眼睛一下子亮了，大声说：“老师，我懂啦！”看着他那兴奋的样子，我心里也特别开心。
还有啊，二项式展开式中奇数项系数之和等于偶数项系数之和，都等于 $2^{n-1}$ 。
这个结论有时候能让一些复杂的计算变得简单不少。
在解题的时候，咱们得灵活运用这些结论。
比如说，让你求二项式展开式中某一项的系数，或者让你证明一些和二项式系数相关的等式，这时候这些常用结论就能派上大用场啦。
咱再来说说二项式定理在实际生活中的应用。
你别觉得这只是数学课本里的枯燥知识，其实在很多领域都能看到它的影子。
比如说在概率统计里，计算某些事件发生的概率可能就会用到二项式定理。
还有啊，在计算机算法里，二项式定理也能帮助优化一些计算过程。
就像咱们平时用手机、电脑，背后的程序运行说不定就有它的功劳呢。
总之，二项式定理公式的常用结论虽然看起来有点复杂，但只要咱们多做几道题，多琢磨琢磨，就能熟练掌握，让它成为咱们解决数学问题的有力工具。
二项式定理
二项式定理要点一：二项式定理1.定义一般地,对于任意正整数n ,都有：nn n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110)((*N n ∈)，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式。
式中的r n r r n C a b -做二项展开式的通项，用T r+1表示，即通项为展开式的第r+1项：1r n r r r n T C a b -+=，其中的系数r n C （r=0，1，2，…，n ）叫做二项式系数，2．二项式(a+b)n 的展开式的特点：(1)项数：共有n+1项，比二项式的次数大1；(2)二项式系数：第r+1项的二项式系数为r n C ，最大二项式系数项居中；(3)次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n ．字母a 降幂排列，次数由n 到0；字母b 升幂排列，次数从0到n，每一项中，a，b 次数和均为n；3.两个常用的二项展开式：①011()(1)(1)n n n r r n r r n n nn n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-⋅++-⋅ (*N n ∈)②122(1)1n r r nn n n x C x C x C x x +=++++++ 要点二、二项展开式的通项公式公式特点：①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是r n C ；②字母b 的次数和组合数的上标相同；③a 与b 的次数之和为n。
要点诠释：（1）二项式(a+b)n 的二项展开式的第r+1项r n rr n C ab -和(b+a)n 的二项展开式的第r+1项r n r rn C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换位置的．（2）通项是针对在(a+b)n 这个标准形式下而言的，如(a －b)n 的二项展开式的通项是1(1)r r n r rr n T C a b -+=-（只需把－b 看成b 代入二项式定理）。
二项式定理
二项式定理一．基础知识总结１．二项式定理公式()01-1+=++n n n n n a b C a C a b …＋-k n k k n C a b ＋…＋()*n n n C b n N ∈叫做二项式定理 ２．通项-+1=k n k k k n T C a b 为展开式中的第ｋ＋１项注：（１）-+1=k n k k k n T C a b 为展开式中的第ｋ＋１项，而不是第ｋ项（２）通项公式中的ａ，ｂ的位置不能颠倒（３）通项公式中含有ａ，ｂ，ｎ，ｋ，+1k T 五个元素，知道其中的四个可求第五个３．二项式系数的性质（１）对称性：与首末距离相等的两个二项式系数相等，即n-=m m n nC C （２）单调性：二项式系数k n C ，当ｋ＜+12n 时，二项式系数是递增的；当ｋ＞+12n ，二项式系数是递减的（３）最值：当ｎ时偶数时，中间一项（第+12n ）取最大，最大值为2n n C ；：当ｎ时奇数时，中间两项-1+122=n n n nC C ，且同时取得最大值 （４）()+n a b 的展开式的各个二项式系数的和为2n ，即01++n n C C …＋n nC ＝2n 二项式展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项系数的和，即02++n n C C …＋13=++n n C C …＝-12n（５）注意：二项式系数与系数的区别二．跟踪练习 １．5232-x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是 Ａ．８０ Ｂ．－８０ Ｃ．４０ Ｄ．－４０２．若()423401234-1=++++x a a x a x a x a x ，则024++a a a ＝ Ａ．９ Ｂ．８ Ｃ．７ Ｄ．６ ３．已知()+1nax 的展开式中，二项式系数和为３２，各项系数和为２４３，则a ＝ Ａ．－２ Ｂ．２ Ｃ．－３ Ｄ．３４．使3n x⎛ ⎝展开式中含有常数项最小的ｎ为 Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．７５．在10的展开式中，有理项的个数是 Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ６．若6x⎛ ⎝的展开式中3x 的系数为Ａ，二项式系数为Ｂ，则A B ＝ Ａ．４ Ｂ．－４ Ｃ．62 Ｄ．－62７．若二项式3n x ⎫⎪⎭展开式各项的系数和为a ，所有二项式的系数和为ｂ，且a ＋２ｂ＝８０，则ｎ的值是Ａ．８ Ｂ．４ Ｃ．３ Ｄ．２ ８．若()()()92012+2+=++1++1x m a a x a x ＋…＋()99+1a x ，且()()229028139+++-+++=3a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则实数ｍ的值为 Ａ．１，－３ Ｂ．－１,３ Ｃ．１ Ｄ．－３ ９．15(1+2)x 的二项式展开式中系数最大的项是第（ ）项Ａ．８ Ｂ．９ Ｃ．８,９ Ｄ．１１１０．22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第６项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 Ａ．３６０ Ｂ．１８０ Ｃ．９０ Ｄ．４５ １１．已知()1-n x 的展开式中所有项的系数的绝对值之和为３２，则()1-n x 的展开式中系数最小的项的是１２．二项式()5+x y 的展开式中，含23x y 项的系数是 １３．若1223+3+3+n n n C C C …＋-2-1-13+3n n n n C ＝８５，则ｎ＝１４．二项式()6-4-2x x 的展开式中的常数项是１５．设ｎ为正整数，()2+n x y 展开式的二项式系数的最大值为ａ，()2+1+n x y 展开式的二项式系数的最大值是ｂ，若１３ａ＝７ｂ则ｎ＝参考答案-10x１２．１０１３．４１—１０．ＣＢＢＢＣＡＣＡＤＢ１１．3１４．１５１５．６。
二项式定理
二项式定理一、基础知识 1.二项式定理(1)二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)；(2)通项公式：T k ＋1＝C k n an －k b k ，它表示第k ＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C 0n ，C 1n ，…，C n n .2.二项式系数的性质(1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n . 二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指C 0n ，C 1n ，…，C n n ，它只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ，b 的值有关.如(a ＋bx )n 的二项展开式中，第k ＋1项的二项式系数是C k n ，而该项的系数是C k n an －k b k .当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.考点一 二项展开式中特定项或系数问题考法(一) 求解形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例1] (1)(2018·全国卷Ⅲ)52)2(xx +的展开式中x 4的系数为( )A.10B.20C.40D.80(2)(2019·合肥调研)若(2x －a )5的二项展开式中x 3的系数为720，则a ＝________. (3)(2019·甘肃检测)已知5)(xa x -的展开式中x 5的系数为A ，x 2的系数为B ，若A ＋B ＝11，则a ＝________. [解析] (1)52)2(xx +的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·)2(xr ＝C r 5·2r ·x 10－3r，令10－3r ＝4，得r ＝2.故展开式中x 4的系数为C 25·22＝40. (2)(2x －a )5的展开式的通项公式为T r ＋1＝(－1)r ·C r 5·(2x )5－r ·a r ＝(－1)r ·C r 5·25－r ·a r ·x 5－r ，令5－r ＝3，解得r ＝2，由(－1)2·C 25·25－2·a 2＝720，解得a ＝±3. (3)5)(x a x -的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r ·r xa )(-＝C r 5(－a )rx 5－32r .由5－32r ＝5，得r ＝0，由5－32r ＝2，得r ＝2，所以A ＝C 05×(－a )0＝1，B ＝C 25×(－a )2＝10a 2，则由1＋10a 2＝11，解得a ＝±1. [答案] (1)C (2)±3 (3)±1 [解题技法]求形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r ，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r ；第三步，把r 代入通项公式中，即可求出T r ＋1，有时还需要先求n ，再求r ，才能求出T r ＋1或者其他量. 考法(二) 求解形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例2] (1)(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数是( )A.－4B.－3C.3D.4(2)(2019·南昌模拟)已知(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，则正实数a ＝________.[解析] (1)法一：(1－x )6的展开式的通项为C m 6·(－x )m ＝C m 6(－1)m x m 2，(1＋x )4的展开式的通项为C n 4·(x )n＝C n 4x n 2，其中m ＝0,1,2，…，6，n ＝0,1,2,3,4.令m 2＋n 2＝1，得m ＋n ＝2， 于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数等于C 06·(－1)0·C 24＋C 16·(－1)1·C 14＋C 26·(－1)2·C 04＝－3. 法二：(1－x )6(1＋x )4＝[(1－x )(1＋x )]4(1－x )2＝(1－x )4(1－2x ＋x ).于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数为C 04·1＋C 14·(－1)1·1＝－3. (2)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为C 46a 2，含x 项的系数为C 56a ，由(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，可得－C 46a 2＋C 56a ＝0，因为a 为正实数，所以15a ＝6，所以a ＝25.[答案] (1)B (2)25[解题技法]求形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步，根据二项式定理把(a ＋b )m 与(c ＋d )n 分别展开，并写出其通项公式；第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a ＋b )m 与(c ＋d )n 的展开式中的哪些项相乘得到； 第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 考法(三) 求形如(a ＋b ＋c )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例3] (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式中x 5y 2的系数为( )A.10B.20C.30D.60(2)将3)44(-+xx 展开后，常数项是________. [解析] (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r ·y r ，令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，又(x 2＋x )3的展开式的通项为T k ＋1＝C k 3(x 2)3－k ·x k ＝C k 3x 6－k ，令6－k ＝5，则k ＝1，所以(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.(2)3)44(-+x x ＝6)2(x x -展开式的通项是C k 6(x )6－k ·k x)2(-＝(－2)k ·C k 6x3－k. 令3－k ＝0，得k ＝3.所以常数项是C 36(－2)3＝－160.[解析] (1)C (2)－160 [解题技法]求形如(a ＋b ＋c )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步，把三项的和a ＋b ＋c 看成是(a ＋b )与c 两项的和； 第二步，根据二项式定理写出[(a ＋b )＋c ]n 的展开式的通项；第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a ＋b )n －r 的展开式中的哪些项和c r 相乘得到的；第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.[题组训练]1.(2018·洛阳第一次统考)若a ＝⎰πs inxdx ，则二项式6)1(xx a -的展开式中的常数项为( )A.－15B.15C.－240D.240解析：选D 由a ＝∫π0 sin x d x ＝(－cos x )|π0＝(－cos π)－(－cos 0)＝1－(－1)＝2，得6)12(xx -的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(2x )6－rr x )1(-＝(－1)r C r 6·26－r ·x 3－32r ，令3－32r ＝0，得r ＝2，故常数项为C 26·24＝240.2.(2019·福州四校联考)在(1－x 3)(2＋x )6的展开式中，x 5的系数是________.(用数字作答)解析：二项展开式中，含x 5的项是C 562x 5－x 3C 2624x 2＝－228x 5，所以x 5的系数是－228.答案：－228 3.5)212(++x x (x ＞0)的展开式中的常数项为________. 解析：5)212(++x x (x ＞0)可化为10)12(xx +，因而T r ＋1＝C r 10)21(10－r (x )10－2r ，令10－2r ＝0，得r ＝5，故展开式中的常数项为C 510·)21(5＝6322. 答案：6322考点二 二项式系数的性质及各项系数和[典例精析](1)若nxx )1(3+展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( ) A.63x B.4x C.4x 6x D.4x或4x 6x(2)若nxx )1(2-的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________.(3)若(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________. [解析] (1)令x ＝1，可得nxx )1(3+的展开式中各项系数之和为2n ，即8＜2n ＜32，解得n ＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C 24(x )223)1(x ＝63x .(2)nxx )1(2-的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r n (x 2)n －r ·r x)1(-＝C r n (－1)r x2n－3r，因为含x 的项为第6项，所以r ＝5,2n －3r ＝1，解得n ＝8， 在(1－3x )n 中，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝(1－3)8＝28， 又a 0＝1，所以a 1＋…＋a 8＝28－1＝255.(3)设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5， 令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5，② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3. [答案] (1)A (2)255 (3)3[解题技法]1.赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x ，y 的一切值都成立.因此，可将x ，y 设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令x ，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值.如： (1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可. (2)形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可. 2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法 若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中 (1)各项系数之和为f (1).(2)奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2.(3)偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.[题组训练]1.(2019·包头模拟)已知(2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝( )A.1B.243C.121D.122 解析：选B 令x ＝1，得a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝1，① 令x ＝－1，得－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝－243，② ①＋②，得2(a 4＋a 2＋a 0)＝－242， 即a 4＋a 2＋a 0＝－121.①－②，得2(a 5＋a 3＋a 1)＝244，即a 5＋a 3＋a 1＝122. 所以|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝122＋121＝243.2.若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________.解析：令x ＝0，则(2＋m )9＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，令x ＝－2，则m 9＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9， 又(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9)＝39，∴(2＋m )9·m 9＝39，∴m (2＋m )＝3， ∴m ＝－3或m ＝1. 答案：－3或13.已知(1＋3x )n 的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为________.解析：由已知得C n －2n ＋C n －1n ＋C n n＝121，则12n ·(n －1)＋n ＋1＝121，即n 2＋n －240＝0，解得n ＝15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项为T 8＝C 715(3x )7和T 9＝C 815(3x )8. 答案：C 715(3x )7和C 815(3x )8考点三 二项展开式的应用[典例精析]设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 018＋a 能被13整除，则a ＝( )A.0B.1C.11D.12 [解析] 由于51＝52－1，512 018＝(52－1)2 018＝C 02 018522 018－C 12 018522 017＋…－C 2 0172 018521＋1，又13整除52，所以只需13整除1＋a ，又0≤a ＜13，a ∈Z ，所以a ＝12.[答案] D[解题技法]利用二项式定理解决整除问题的思路(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：①余数的范围，a ＝cr ＋b ，其中余数b ∈[0，r )，r 是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；②二项式定理的逆用.[题组训练]1.使得多项式81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1能被5整除的最小自然数x 为( )A.1B.2C.3D.4解析：选C ∵81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1＝(3x ＋1)4，∴上式能被5整除的最小自然数为3.2.1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数为________. 解析：∵1－90C 110＋902C 210＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910，∴8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数为1.答案：1[课时跟踪检测]A 级 1.(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)342)2(x x -的展开式中的常数项为( )A.－32B.32C.6D.－6 解析：选D 通项T r ＋1＝C r 3)2(2x3－r ·(－x 4)r ＝C r 3(2)3－r·(－1)r x －6＋6r ，当－6＋6r ＝0，即r ＝1时为常数项，T 2＝－6，故选D.2.设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，则a 2＋a 4a 1＋a 3的值为( )A.－6160B.－122121C.－34D.－90121解析：选C 由二项式定理，得a 1＝－C 1524＝－80，a 2＝C 2523＝80，a 3＝－C 3522＝－40，a 4＝C 452＝10，所以a 2＋a 4a 1＋a 3＝－34.3.若二项式72)(xax +的展开式的各项系数之和为－1，则含x 2项的系数为( )A.560B.－560C.280D.－280解析：选A 取x ＝1，得二项式72)(xa x +的展开式的各项系数之和为(1＋a )7，即(1＋a )7＝－1,1＋a ＝－1，a ＝－2.二项式72)2(xx -的展开式的通项T r ＋1＝C r 7·(x 2)7－r ·)2(x-r ＝C r 7·(－2)r ·x 14－3r.令14－3r ＝2，得r ＝4.因此，二项式72)2(xx -的展开式中含x 2项的系数为C 47·(－2)4＝560.4.(2018·山西八校第一次联考)已知(1＋x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A.29B.210C.211D.212解析：选A 由题意得C 4n ＝C 6n ，由组合数性质得n ＝10，则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29. 5.二项式92)21(x x-的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( )A.－671B.671C.672D.673解析：选B 令x ＝1，可得该二项式各项系数之和为－1.因为该二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 9)1(x9－r·(－2x 2)r ＝C r 9(－2)r ·x 3r －9，令3r －9＝0，得r ＝3，所以该二项展开式中的常数项为C 39(－2)3＝－672，所以除常数项外，各项系数的和为－1－(－672)＝671.6.(2018·石家庄二模)在(1－x )5(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为( )A.－5B.－15C.－25D.25解析：选B 由题意含x 4项的系数为－2C 35＋C 45＝－15.7.(2018·枣庄二模)若(x 2－a )10)1(xx +的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13B.12 C.1 D.2 解析：选D 10)1(xx +的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·r x)1(＝C r 10·x 10－2r，令10－2r ＝4，解得r ＝3，所以x 4项的系数为C 310.令10－2r ＝6，解得r ＝2，所以x 6项的系数为C 210.所以(x 2－a )10)1(xx +的展开式中x 6的系数为C 310－a C 210＝30，解得a ＝2.8.若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( )A.1或3B.－3C.1D.1或－3解析：选D 令x ＝0，得a 0＝(1＋0)6＝1.令x ＝1，得(1＋m )6＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6.∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6＝63，∴(1＋m )6＝64＝26，∴m ＝1或m ＝－3.9.(2019·唐山模拟)(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)解析：(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项是第四项，系数是C 3623(－1)3＝－160.答案：－16010.(2019·贵阳模拟)9)(xa x +的展开式中x 3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________. 解析：二项展开式的通项T r ＋1＝C r 9x9－rr xa)(＝a r C r 9x 9－2r ，令9－2r ＝3，得r ＝3，所以a 3C 39＝－84，解得a＝－1，所以二项式为9)1(xx -，令x ＝1，则(1－1)9＝0，所以展开式的各项系数之和为0. 答案：011.5)11(++xx 展开式中的常数项为________. 解析：5)11(++x x 展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·)1(xx +5－r .令r ＝5，得常数项为C 55＝1，令r ＝3，得常数项为C 35·2＝20，令r ＝1，得常数项为C 15·C 24＝30，所以展开式中的常数项为1＋20＋30＝51. 答案：51 12.已知n xx )21(4+的展开式中，前三项的系数成等差数列.(1)求n ；(2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中系数最大的项.解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C 0n ，12C 1n ，14C 2n ， 由已知得2×12C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ，解得n ＝8(n ＝1舍去). (2)84)21(xx +的展开式的通项T r ＋1＝C r 8(x )8－r·)21(4xr ＝2－r C r 8x 4－3r4(r ＝0,1，…，8)， 要求有理项，则4－3r 4必为整数，即r ＝0,4,8，共3项，这3项分别是T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x 2.(3)设第r ＋1项的系数a r ＋1最大，则a r ＋1＝2－rC r8，则a r ＋1a r ＝2－r C r82－(r －1)C r －18＝9－r 2r ≥1，a r ＋1a r ＋2＝2－r C r 82－(r ＋1)C r ＋18＝2(r ＋1)8－r≥1， 解得2≤r ≤3.当r ＝2时，a 3＝2－2C 28＝7，当r ＝3时，a 4＝2－3C 38＝7，因此，第3项和第4项的系数最大，B 级1.在二项式nxx )1(-的展开式中恰好第五项的二项式系数最大，则展开式中含有x 2项的系数是( )A.35B.－35C.－56D.56解析：选C 由于第五项的二项式系数最大，所以n ＝8.所以二项式8)1(xx -展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8x 8－r (－x －1)r ＝(－1)r C r 8x8－2r，令8－2r ＝2，得r ＝3，故展开式中含有x 2项的系数是(－1)3C 38＝－56.2.已知C 0n －4C 1n ＋42C 2n －43C 3n ＋…＋(－1)n 4n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn 的值等于( )A.64B.32C.63D.31解析：选C 因为C 0n －4C 1n ＋42C 2n －43C 3n ＋…＋(－1)n 4n C n n ＝729，所以(1－4)n ＝36，所以n ＝6，因此C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n －1＝26－1＝63.3.(2019·济南模拟)5)12)((xx x ax --的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x 4项的系数为________. 解析：令x ＝1，可得5)12)((xx x a x --的展开式中各项系数的和为1－a ＝2，得a ＝－1，则5)12)(1(xx x x -+展开式中含x 4项的系数即是5)12(xx -展开式中的含x 3项与含x 5项系数的和.又5)12(xx -展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(－1)r ·25－r ·x 5－2r，令5－2r ＝3，得r ＝1，令5－2r ＝5，得r ＝0，将r ＝1与r ＝0分别代入通项，可得含x 3项与含x 5项的系数分别为－80与32，故原展开式中含x 4项的系数为－80＋32＝－48.答案：－484.设复数x ＝2i 1－i(i 是虚数单位)，则C 12 019x ＋C 22 019x 2＋C 32 019x 3＋…＋C 2 0192 019x 2 019＝( ) A.i B.－i C.－1＋i D.－i －1解析：选D 因为x ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，所以C 12 019x ＋C 22 019x 2＋C 32 019x 3＋…＋C 2 0192 019x 2 019＝(1＋x )2 019－1＝(1－1＋i)2 019－1＝i 2 019－1＝－i －1.5.已知(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2的值为( )A.39B.310C.311D.312解析：选D 对(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9两边同时求导，得9(x ＋2)8＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋8a 8x 7＋9a 9x 8，令x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9＝310，令x ＝－1，得a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9＝32.所以(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2＝(a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9)(a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9)＝312.6.设a ＝⎠⎛012x d x ，则二项式62)1(xax -展开式中的常数项为________.解析：a ＝⎠⎛012x d x ＝x 2⎪⎪⎪10＝1，则二项式62)1(x ax -＝62)1(xx -，其展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ·)1(x-r ＝(－1)r C r 6x12－3r，令12－3r ＝0，解得r ＝4.所以常数项为(－1)4C 46＝15.答案：15。
二项式定理(通项公式)
二项式定理二项式知识回顾1. 二项式定理0111()n n n k n k kn nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++,以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k kk n T C a b -+=叫做二项展开式的通项.（请同学完成下列二项展开式）0111()(1)(1)n n n k k n k kn n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++-，1(1)k k n k kk n T C a b -+=-01(1)n k kn nn n n n x C C x C x C x +=+++++ ① 0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++ ②① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 012n n n n n C C C +++=，即二项式系数和等于2n；偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即021312n n n n n C C C C -++=++=② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.2. 二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n mn n C C -=.（2）二项式系数kn C 增减性与最大值： 当12n k +<时，二项式系数是递增的；当12n k +≥时，二项式系数是递减的. 当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n nC -和12n nC+相等，且同时取得最大值.3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1)⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)na n =f(-1) ⑶ a 0+a 2+a 4+a 6 (2)1()1(-+f f⑷ a 1+a 3+a 5+a 7……=2)1()1(--f f经典例题1、“n b a )(+展开式：例1．求4)13(xx +的展开式；【练习1】求4)13(xx -的展开式2.求展开式中的项例2.已知在n 的展开式中，第6项为常数项.（1） 求n ； （2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.【练习2】若n 展开式中前三项系数成等差数列.求：（1）展开式中含x 的一次幂的项；（2）展开式中所有x 的有理项.3.二项展开式中的系数例3.已知22)n x 的展开式的二项式系数和比(31)nx -的展开式的二项式系数和大992，求21(2)nx x-的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项[练习3]已知*22)()n n N x∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.(1)求展开式中含32x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例4．72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ；5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例5（04安徽改编）3)21(-+xx 的展开式中，常数项是 ；6、求中间项例6求（103)1xx -的展开式的中间项；例7 103)1(xx -的展开式中有理项共有 项；8、求系数最大或最小项（1） 特殊的系数最大或最小问题例8（00上海）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ；（2） 一般的系数最大或最小问题 例9求84)21(xx +展开式中系数最大的项；（3） 系数绝对值最大的项例10在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是 ；9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例11．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+， 则2312420)()(a a a a a +-++的值为 ；【练习1】若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-， 则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；【练习2】设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-， 则=++++6210...a a a a ；【练习3】92)21(xx -展开式中9x 的系数是 ；。
二项式定理
二项式定理1．二项式定理2.二项式系数的性质(1)C 0n ＝1，C n n ＝1. C m n ＋1＝C m －1n ＋C m n . (2)C m n ＝C n －m n .(3)当n 是偶数时，12n T +项的二项式系数最大；当n 是奇数时，12n T +与112n T ++项的二项式系数相等且最大．(4)(a ＋b )n 展开式的二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n .概念方法微思考1．(a ＋b )n 与(b ＋a )n 的展开式有何区别与联系？提示 (a ＋b )n 的展开式与(b ＋a )n 的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同．2．二项展开式形式上有什么特点？ 提示 二项展开式形式上的特点 (1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C n n .3．二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？提示 不一定最大，当二项式中a ，b 的系数为1时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)C r n an －r b r 是二项展开式的第r 项．( ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．( )(4)(a －b )n 的展开式第r ＋1项的系数为C r n an －r b r .( ) (5)(x －1)n 的展开式二项式系数和为－2n .( ) 题组二 教材改编2．(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( ) A ．80 B ．40 C ．20 D ．103．若⎝⎛⎭⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )A ．10B ．20C ．30D ．1204．若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 题组三 易错自纠5．(x －y )n 的二项展开式中，第m 项的系数是( ) A ．C m nB ．C m ＋1nC ．C m －1nD ．(－1)m －1C m －1n6．已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N ＋)是一个单调递增数列，则k 的最大值是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．87．(x y －y x )4的展开式中，x 3y 3项的系数为________．题型一 二项展开式命题点1 求指定项(或系数)例1 (1)(2017·全国Ⅰ)⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为( ) A ．15 B ．20 C ．30 D ．35(2)在(x 2－4)5的展开式中，含x 6的项为________．命题点2 求参数例2 (1)(2019·大连调研)若(x 2－a )⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13B.12 C ．1 D ．2(2)若⎝⎛⎭⎫x 2＋1ax 6的展开式中常数项为1516，则实数a 的值为( ) A ．±2 B.12 C ．－2 D ．±12跟踪训练1 (1)(2017·全国Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40 D ．80(2)(x ＋a )10的展开式中，x 7项的系数为15，则a ＝______.(用数字填写答案) 题型二二项式系数的和与各项的系数和问题例3 (1)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝____________.(2)(2018·沈阳质检)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________．(3)若⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________．跟踪训练2 已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7. 求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|题型三 二项式定理的应用例4 (1)设a ∈Z 且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整除，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12(2)设复数x ＝2i 1－i (i 是虚数单位)，则C 12 017x ＋C 22 017x 2＋C 32 017x 3＋…＋C 2 0172 017x 2 017等于( ) A ．i B ．－i C ．－1＋i D ．－1－i思维升华 (1)逆用二项式定理的关键根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解．(2)利用二项式定理解决整除问题的思路 ①观察除式与被除式间的关系； ②将被除式拆成二项式； ③结合二项式定理得出结论．跟踪训练3 (1)1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)r 90r C r 10＋…＋9010C 1010除以88的余数是( )A ．－1B ．1C ．－87D ．87(2)若(1－2x )2 018＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 018x 2 018，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018＝________.1．在⎝⎛⎭⎫x 2－2x 6的展开式中，常数项为( ) A ．－240 B ．－60 C ．60 D ．2402．(2018·沈阳联考)⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中x 3项的系数为( ) A ．80 B ．－80 C ．－40 D ．483．(x ＋y )(2x －y )6的展开式中x 4y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40 D ．804．(1＋3x )n 的展开式中x 5与x 6的系数相等，则x 4的二项式系数为( ) A ．21 B ．35 C ．45 D ．285．(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( ) A ．－20 B ．－15 C ．15 D ．206．若在(x ＋1)4(ax －1)的展开式中，x 4项的系数为15，则a 的值为( ) A ．－4 B.52 C ．4 D.727．若二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 7的展开式中的各项系数之和为－1，则含x 2的项的系数为( ) A ．560 B ．－560 C ．280 D ．－2808．若(1－3x )2 018＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 018x 2 018，x ∈R ，则a 1·3＋a 2·32＋…＋a 2 018·32 018的值为( ) A ．22 018－1 B ．82 018－1 C ．22 018 D ．82 0189．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝______.(用数字作答)10．若⎝⎛⎭⎫ax 2＋bx 6的展开式中x 3项的系数为20，则log 2a ＋log 2b ＝________.11．9192除以100的余数是________．12．(2018·沈阳模拟)若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝____.(用数字作答)13．在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)等于( )A ．45B ．60C ．120D ．21014．(2018·大连模拟)已知⎝⎛⎭⎫x －12x n (n ∈N ＋)的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为p ，q ，则p ＋64q 的最小值为________．。
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二项式定理(通项公式)
二项式定理
二项式知识回顾
1. 二项式定理
0111
()n n n k n k k
n n
n n n n a b C a C a b C a b C b --+=++
++
+,
以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项.
（请同学完成下列二项展开式）
0111
()(1)(1)n n n k k n k k
n n n
n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-+
+-，
1(1)k k n k k k n T C a b -+=- 01(1)n k k
n n
n n n n x C C x C x C x +=++
++
+ ①
01
11
(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k
n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=++
++
+
1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=++++
+
②
① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 012n
n n
n n C C C +++=，即二项式系数
和等于2n ；
偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即
02
13
12n n n n n C C C C -++
=++
=
② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和. 2. 二项式系数的性质
（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即
m n m
n n C C -=.
（2）二项式系数k n C 增减性与最大值：
当12n k +<
时，二项式系数是递增的；当1
2
n k +≥时，二项式系数是递减的. 当n 是偶数时，中间一项2n
n
C 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n n
C -和12n n
C
+相等，且同时取得最大值.
3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,...,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3......+a n x n ⑴ a 0+a 1+a 2+a 3......+a n =f(1) ⑵ a 0-a 1+a 2-a 3......+(-1)n a n =f(-1) ⑶ a 0+a 2+a 4+a 6 (2)
1()1(-+f f ⑷ a 1+a 3+a 5+a 7……=
2
)
1()1(--f f 经典例题
1、“n b a )(+展开式：
例1．求4)13(x
x +的展开式；
【练习1】求4)13(x
x -的展开式
2.求展开式中的项
例2.已知在
n 的展开式中，第6项为常数项.
（1） 求n ； （2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.
【练习2】若
n 展开式中前三项系数成等差数列.求：
（1）展开式中含x 的一次幂的项；（2）展开式中所有x 的有理项.
3.二项展开式中的系数
例3.已知22)n x +的展开式的二项式系数和比(31)n x -的展开式的二项式系数
和大992，求21
(2)n x x -的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的
绝对值最大的项
[练习3]已知*22)()n n N x
∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.
(1)求展开式中含3
2
x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.
4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数
例4．
72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ；
5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数
例5（04安徽改编）3)21(-+x
x 的展开式中，常数项是 ；
6、求中间项
例6求（103)1x
x -的展开式的中间项；
例7 103)1
(x x -的展开式中有理项共有 项；
8、求系数最大或最小项
（1） 特殊的系数最大或最小问题
例8（00上海）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ；
（2） 一般的系数最大或最小问题 例9求84)21(x
x +展开式中系数最大的项；
（3） 系数绝对值最大的项
例10在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是 ；
9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和 例11．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+， 则2312420)()(a a a a a +-++的值为 ；
【练习1】若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-， 则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；
【练习2】设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-， 则
=++++6210...a a a a ；
【练习3】9
2)21(x
x -展开式中9x 的系数是 ；。