常微分方程初值问题答案
初值问题——精选推荐
初值问题《计算机数学基础(2)》辅导六第14章常微分⽅程的数值解法⼀、重点内容1.欧拉公式：(k＝0，1，2，…，n－1)局部截断误差是O(h2)。
2. 改进欧拉公式：或表⽰成：平均形式：局部截断误差是O(h3)。
3. 四阶龙格――库塔法公式：其中κ1＝f(x k，y k)；κ2＝f(x k+0.5h，y k+0.5hκ1)；κ3＝f(x k+0.5h，y k+0.5hκ2)；κ4＝f(x k+h，y k+hκ3)局部截断误差是O(h5)。
⼆、实例例1⽤欧拉法解初值问题取步长h＝0.2。
计算过程保留4位⼩数。
解h＝0.2，f(x，y)＝－y－xy2。
⾸先建⽴欧拉迭代格式＝0.2y k(4－x k y k) (k＝0，1，2)当k＝0，x1＝0.2时，已知x0＝0，y0＝1，有y(0.2)≈y1＝0.2×1(4－0×1)＝0.8当k＝1，x2＝0.4时，已知x1＝0.2，y1＝0.8，有y(0.4)≈y2＝0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.6144当k＝2，x3＝0.6时，已知x2＝0.4，y2＝0.6144，有y(0.6)≈y3＝0.2×0.6144×(4－0.4×0.6144)＝0.4613 例2 ⽤欧拉预报－校正公式求解初值问题取步长h＝0.2，计算y(1.2)，y(1.4)的近似值，⼩数点后⾄少保留5位。
解步长h＝0.2，此时f(x，y)＝－y－y2sin x欧拉预报－校正公式为：有迭代格式：当k＝0，x0＝1，y0＝1时，x1＝1.2，有＝y0(0.8－0.2y0sin x0)＝1×(0.8－0.2×1sin1)＝0.63171y(1.2)≈y1＝1×(0.9－0.1×1×sin1)－0.1(0.63171＋0.631712sin1.2)＝0.71549 当k＝1，x1＝1.2，y1＝0.71549时，x2＝1.4，有＝y1(0.8－0.2y1sin x1)＝0.71549×(0.8－0.2×0.71549sin1.2)＝0.47697y(1.4)≈y2＝0.71549×(0.9－0.1×0.71549×sin1.2)－0.1(0.47697＋0.476972sin1.4)＝0.52611例3写出⽤四阶龙格――库塔法求解初值问题的计算公式，取步长h＝0.2计算y(0.4)的近似值。
常微分方程计算题及答案
计 算 题（每题10分）1、求解微分方程2'22x y xy xe -+=。
2、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy+=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+-=的通解4、求方程组dx dt ydydtx y ==+⎧⎨⎪⎩⎪2的通解5、求解微分方程'24y xy x +=6、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过点(1,0)的第二次近似解。
7、求解方程''+-=-y y y e x '22的通解8、求方程组dxdt x ydydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪234的通解9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解12、求方程组dxdtx y dydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪2332的通解13、求解微分方程x y y e x (')-=14、试用逐次逼近法求方程22x y dxdy+=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程''+-=--y y y e x '22的通解16、求解方程x e y y y -=-+''32 的通解17、求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=yx dt dydtdx x y dt dy dt dx243452的通解 18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程2dyx y dx=-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ϕϕϕϕ.20、利用逐次逼近法，求方程22dyy x dx=-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ϕϕϕ。
常微分方程的初值问题及其解法
常微分方程的初值问题及其解法常微分方程是自然界中各种变化的基础模型，广泛应用于物理、工程、生物、经济学等领域。
初值问题是其中最基本的问题之一。
本文将从初值问题的意义入手，介绍几种不同的数值解法，并评价其优缺点。
1. 初值问题的意义首先，我们来看一个简单的例子。
假设有一个人从一楼的窗户往下跳，忽略空气阻力，我们可以列出他下落的物理规律：$$\frac{d^2h}{dt^2}=g$$其中$h$是跳下来后距离地面的高度，$t$是时间，$g$是常数，表示重力加速度。
上面这条式子就是一个二阶常微分方程。
我们的问题是，如果知道了他的初速度$v_0$和起始高度$h_0$，能否求得他下落到地面时的时间和高度。
这个例子中，$h$和$t$都是连续的量，但是我们并不能解析地求出$h(t)$的解析式，因此需要用数值方法去近似求解。
这就是初值问题的意义。
通常，初值问题是指某一初始时刻$t_0$的初值：$$y'(t_0)=f(y(t_0),t_0),\ y(t_0)=y_0$$其中$y$是未知函数，而$f$则是已知函数。
对于一阶常微分方程，这个条件是充分的，可以唯一地决定一个解。
但是对于更高阶的常微分方程，则需要多个初始条件才能确定一个解。
然而，这已经超出了本文的范畴，这里只讨论一阶常微分方程的初值问题。
2. 数值解法下面将介绍几种常见的数值解法。
2.1. 欧拉法欧拉法是最简单的数值解法之一，其思路是将初值问题离散化。
具体来说，我们可以将时间$t$分成若干个小段，每段的长度为$\Delta t$。
于是，我们可以将初始时刻$t_0$的初始值$y(t_0)=y_0$，并通过欧拉法近似计算下一个时间点$t_0+\Delta t$的值$y_1$：$$y_1=y_0+f(y_0,t_0)\Delta t$$同理，我们可以通过已知的$y_1$和$t_1=t_0+\Delta t$，计算下一个时间点$t_2=t_0+2\Delta t$的值$y_2$：$$y_2=y_1+f(y_1,t_1)\Delta t$$依此类推，直到我们得到一个目标时间$t_m$的值$y_m$。
解常微分方程初值问题
解常微分方程初值问题
解常微分方程初值问题的一般步骤如下：
1.确定微分方程的阶数和自由度数，以及初始条件和边界条件。
2.根据微分方程的形式和初始条件，选择适当的求解方法，如分
离变量法、特征线法、拉格朗日插值法等。
3.运用所选方法求解微分方程，得出通解或特解。
4.根据初始条件确定特解，得出最终解。
下面以一阶常微分方程为例，详细说明解题过程：
例：求解初值问题
dy/dx = x^2, y(0) = 1
解：
1.这是一个一阶常微分方程初值问题，自由度数为1，初始条件
为y(0) = 1。
2.采用分离变量法，将微分方程转化为积分形式：
∫dy/y = ∫ x^2 dx
两边同时积分，得到：
ln |y| = x^3/3 + C1
3.为了确定特解，需要将初始条件带入微分方程中，得到：
ln |y(0)| = 0^3/3 + C1 = C1
因此，特解为：
y(x) = e^(x^3/3 + C1) = e^(x^3/3 + ln |y(0)|) = e^(x^3/3 + ln |1|) = e^(x^3/3)
4.最终解为：y(x) = e^(x^3/3)。
常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答
(３)． dy = 1 − y 2 ； dx
解：①当 y ≠ ±1时，
原方程即为： dy = dx 积分得： ln 1 + y = 2x + c ，
(1 − y 2 )
1− y
即
y
=
ce 2 x
−1
．
ce2x + 1
② y = ±1也是方程的解．
积分曲线的简图如下：
(４)． dy = y n ， (n = 1 , 1, 2) ；
内连续，而且 f ( y) = 0 ⇔ y = a ，则在直线 y = a 上的每一点，方程(2.27)的解局部唯一，
∫a±ε dy
当且仅当瑕积分
= ∞ (发散)．
a f (y)
证明：( ⇒ )
首 先 经 过 域 R1 ： − ∞ < x < +∞,
a − ε ≤ y < a 和 域 R2 ： − ∞ < x < +∞,
∂y
∂x
∂y ∂x
∫ 两边积分得： f (x2 + y2 )dx = C ,
即原方程的解为 F (x 2 + y 2 ) = C (其中 F 为 f 的原积分)．
-3-
常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案
习题 2-2 1. 求解下列微分方程，并指出这些方程在平面上的有意义的区域:：
(６) x dy = 1 − y 2 dx
解：①当 y ≠ ±1时 原方程即为： dy = dx
1− y2 x 两边积分得： arcsin y − ln x = c ． ② y = ±1也是方程的解.来自(７)．dy dx
=
x − e−x y +ey
常微分方程标准答案-一二章
习题1.24. 给定一阶微分方程2dyx dx=， (1). 求出它的通解； (2). 求通过点()1,4的特解； (3). 求出与直线23y x =+相切的解； (4). 求出满足条件102ydx =⎰的解；(5). 绘出(2),(3),(4)中的解得图形。
解：(1). 通解显然为2,y x c c =+∈；(2). 把1,4x y ==代入2y x c =+得3c =，故通过点()1,4的特解为23y x =+；(3). 因为所求直线与直线23y x =+相切，所以223y x cy x ⎧=+⎨=+⎩只有唯一解，即223x c x +=+只有唯一实根，从而4c =，故与直线23y x =+相切的解是24y x =+；(4). 把2y x c =+代入12ydx =⎰即得5c =，故满足条件12ydx =⎰的解是253y x =+；(5). 图形如下：-1.5-1-0.500.51 1.512345675. 求下列两个微分方程的公共解：242422,2y y x x y x x x y y ''=+-=++--解：由2424222y x x x x x y y +-=++--可得()()222210y x xy -++=所以2y x =或212y x =--，2y x =代入原微分方程满足，而212y x =--代入原微分方程不满足，故所求公共解是代入原微分方程不满足。
6. 求微分方程20y xy y ''+-=的直线积分曲线。
解：设所求直线积分曲线是y kx b =+，则将其代入原微分方程可得2200010k b k xk kx b k b k b k k -=⎧+--=⇒⇒====⎨-=⎩或所以所求直线积分曲线是0y =或1y x =+。
8. 试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程：(2). 曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l ； (5). 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方。
高等工程数学第六章习题及答案
第6章 常微分方程数值解法 讨论一阶常微分方程初值问题(,),,()dyf x y a x bdx y a η⎧=≤≤⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (6.1.1)的数值解法.数值解法可区分为两大类：(1) 单步法：此类方法在计算1n x + 上的近似值1y n + 时只用到了前一点n x 上的信息.如Euler 法，Runge-Kutta 法，Taylor 级数法就是这类方法的典型代表.(2) 多步法：此类方法在计算1yn +时，除了需要n x 点的信息外，还需要12,,n n x x -- ，等前面若干个点上的信息.线性多步法是这类方法的典型代表.离散化方法1. Taylor(台劳)展开方法2. 化导数为差商的方法3. 数值积分方法一、线性多步法基本思想：是利用前面若干个节点上()y x 及其一阶导数的近似值的线性组合来逼近下一个节点上()y x 的值. 1．一般公式的形式101',,1,,ppn in ii n i i i y a yh b y n p p +--==-=+=+∑∑其中i a ,i b 为待定常数，p 为非负整数.说明：(1)在某些特殊情形中允许任何i a 或i b 为零，但恒假设p a 和p b 不能同时全为零，此时称为1p +步法，它需要1p +个初始值01,,,.p y y y 当0p =时，定义了一类1步法，即称单步法.(2) 若10b -=，此时公式的右端都是已知的，能够直接计算出1n y +，故此时称为显式方法；若10b -≠，则公式的右端含有未知项111'(,),n n n y f x y +++=此时称其为隐式方法.2．逼近准则 准确成立：101()()'(),,1,.ppn in ii n i i i y x a y xh b y x n p p +--==-=+=+∑∑【定义 6.1】 如果对任意()r y x M =，某一线性多步法准确成立，而当()y x 为某一个1r +次多项式时，线性多步法不准确成立，则称此线性多步法是r 阶的. 注：（1）方法的阶越高，逼近效果越好. （2）1p +步法的最高阶可达 22r p =+. 3．线性多步法阶与系数的关系 局部截断误差101()()'(),,1,.ppn n in ii n i i i T y x a y xh b y x n p p +--==-=--=+∑∑()01()'()(),qq n n n q n T c y x c hy x c h y x =++++其中001011011,1[()],1{1[()()2,3,.!pi i p pi i i i p pq q q i i i i c a c i a b c i a i b q q ===--==-⎧=-⎪⎪⎪=--+⎪⎨⎪⎪⎪=--+-=⎪⎩∑∑∑∑∑【定理6.1】 线性多步法是r 阶的充分必要条件是0110,0r r C C C C +====≠称1r C +为误差常数.线性多步法是相容的：满足条件010C C ==,即0011,()1pi i ppiii i a i a b===-⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩∑∑∑4．线性多步法的构造方法 待定系数法：r 阶方法的系数,iia b 确定，可令010,r CC C ==== 即解下面方程得到1,0()1011()(),2,3,,01p a ii p pi a b i i i i p pq q i a q i q r i i i ⎧=∑⎪⎪=⎪⎪-+=∑∑⎪⎨==-⎪⎪⎪-⎪-+-=∑∑⎪==-⎩二、线性多步法的收敛性 记1(),pp p iii r ra rρ+-==-∑1().pi p ii r b rσ-=-=∑分别称为线性多步法的第一、第二特征多项式.()r ρ以及相应的线性多步法满足根条件：若()r ρ的所有根的模均不大于1，且模为1的根是单根。
常微分方程第四版课后练习题含答案
常微分方程第四版课后练习题含答案第一章：常微分方程基本概念和初值问题1.2 课后练习题1.2.1（1）y′=2y+3，y(0)=1，求解y(t)；（2）y′+ty=1，y(0)=0，求解y(t)。
解答：（1）该微分方程为一阶线性常微分方程，其通解为$$y(t)=Ce^{2t}-\\frac{3}{2}$$代入初始条件y(0)=1，可得$$C=\\frac{5}{2}$$所以$$y(t)=\\frac{5}{2}e^{2t}-\\frac{3}{2}$$（2）首先设$u(t)=e^{\\frac{t^2}{2}}y(t)$，则$u'(t)=e^{\\frac{t^2}{2}}(y'+ty)$。
代入原方程可得$$u'(t)=e^{\\frac{t^2}{2}}$$对其积分得$$u(t)=\\int e^{\\frac{t^2}{2}} dt +C=\\frac{\\sqrt{2\\pi}}{2}erf\\frac{t}{\\sqrt{2}}+C$$其中$erf(x)=\\frac{2}{\\sqrt{\\pi}}\\int_0^x e^{-t^2} dt$称为误差函数。
进一步解得$$y(t)=e^{-\\frac{t^2}{2}}u(t)-ue^{-\\frac{t^2}{2}}=-\\frac{\\sqrt{2\\pi}}{2}erf\\frac{t}{\\sqrt{2}}e^{-\\frac{t^2}{2}}$$ 代入初始条件y(0)=0即可得到最终解答。
第二章：一阶线性微分方程2.2 课后练习题2.2.1求下列方程的通解：（1）(2x+1)y′+y=1；（2）(x−1)y′−y=2x；（3）$(2+\\cos x)y'-y=2-x\\cos x$。
解答：（1）该微分方程为一阶线性常微分方程，设方程的通解为$y=Ce^{-\\int \\frac{1}{2x+1} dx}+\\frac{1}{2x+1}$。
常微分方程丁同仁李承志第二版答案
习题1-1证明：∵xy x(e dx c),xxxeey dx c x ,x∴ xy yxx ee x dx c x xxx( e dx c)xxxe（１）y2xc1e c2 e2xy4y 0.证明：y c21 e2xc2e 2x ,则2c2 x2c2e2 xy= 1ey2x4c1e 4c 2e 2x y4y 0 ∴1. 验证下列函数是右侧相应微分方程的解或通解sin x２) y , x y y cos x x证明：∵ y sin x则x cos x sin x x y2 xx cos x sin x sin xxy y cos xx xx３) y x( e dx c), xy y xe x．x４）证明2y= (x c1)2(x c1)4c1x2(x c2)0, c 2,,c2x c 1,x,y|y|.x c1 时，x c12= |y|.其他情况类似 .２．求下列初值问题的解：１) y x, y(0) a0,解：∵ y x, ∴ yy (0) a1, y (0) a2 ．c1,y (0) a2 ，∴ c1 a2 ，13∴ y x a2x c2,6∵ y(0)a1, ∴ c2 a1 ，1 4 1 2∴ y x a2x a1x c ，∵ y(0) a0,24 211满足初值问题的解为： y x4a2x2 a1x a0．24 2dy(２) f (x), y(0) 0, (这里 f(x) 是一个已知的连续函数) dx 解：∵ dy f (x), 即 dy f (x)dx,dxxxdy f (t)dt c,00x∴ y(x) y(0) f (t)dt c, ∵ y(0) 0, ∴ c 0 0x∴ 满足初值问题的解为：y(x) f (t )dt .dR(３) aR, R(0) 1,dt解：① 若 R 0, 则dR∵ adt，两边积分得：lnR at c RR(0) 1 ∴ c 1dy 2(４) 1 y2，y(x0) y0 ，dx解：∵ dy 1 y2，∴dy2 dx，两边积分得： dx 1 y2arctgy x c.∵ y(x0 ) y0 ，∴ c arctg y0 x0 .∴满足初值问题的解为： y tg(x arctg y0 x0) .３．假设(１) 函数 y ( x, c1, c2, ,c n) 是微分方程 F(x,y,y , ,y(n)) 0 的通解，其中c1,c2 ,c n是独立的任意常数，(２) 存在一组常数 (c1,c2, ,c n) R n和空间中的点(n 1)M0(x0,y0,y0, , y0 )(３) 满足∴满足初值问题的解为： R e的解应具有形式 y (x,c1 ,c2 , ,c n ) ，其中(c1 ,c2 , ,c n )应由条件（２）及隐函数定理知，存在点M 0 的某一邻域 U，使得y ( x, c1(M 0 ), c2 (M 0 ), ,c n(M 0)) 是初值问题(n 1)M0(x0,y0, y0, ,y0 ) 可确定一组数y(x0) y0,y(x0) y0, ,y(n 1)(x0) y0(n 1) F(x,y,y, ,y(n 1)) 0 的解．c i c i (M 0), i 1,2, ,n ，使得* ）成立．得证．证明：因为 y (x,c1,c2, ,c n) 是微分方程 F(x,y,y, ,y(n)) 0的4.求出：通解，１）曲线族 y cx x2所满足的微分方程；所以初值问题y(x0) y0,y(x0) y0, ,y(n 1)(x0) y0(n 1)F(x,y,y , ,y(n 1)) 0解： y cx x2， y c 2x ， xy cx 2x2，则有： xy x2 y .y0 (x0,c1, ,c n)y0 (x0,c1, ,c n )x(n 1)y0(n 1)n 1 (x0,c1, ,c n)满足：y0 (x0,c1 , ,c n )n1x试证明：存在点 M0 的某一邻域U ，使得对任意一点M0(x0,y0,y0, ,y(n 1)0),y0 (x0,c1 , ,c n )x(n 1)(x0,c1 , ,c n )，（*）(n1) y0 x n 1如何确定 (c1 ,c2 , ,c n ) 呢？可确定一组数 c i c i(M0), i 1,2, ,n ，使得对任意一点２) 曲线族 y c1e x c2xe x所满足的微分方程；解：由 y c1e x c2xe xx x x y c1e c2 e c1xex x x y c1e2c2e c1xe习题1-2１．作出如下方程的线素联立消去c 1,c 2 得： y 2y y 0.(3) 平面上以原点为中心的一切圆所满足的微分方程； 解：平面上以原点为中心的圆的方程为 x 2 y 2 r 2 (r 0)将视 y 为 x 的函数，对 x 求导得： 2x 2yy 0 平面上以原点为中心的一切圆所满足的微分方程为 x yy 0 ． (4) 平面上一切圆所满足的微分方程．解：平面上圆的方程为： (x a)2(y b) 2r 2(r 0),将 y 视为 x 的函数，对 x 求导得：2(x a) 2(y b)y 022 2(y b)y 2 y' 0 联 立 消 去 a,b 得 ， 2(y b)y4y 0２) y (y 1)2[1 (y )2]y 3y (y )2 0．１) yxy１） y 1 xy2. 利用线素场研究下列微分方程的积分曲线族：3.根据磁场的物理直观，描绘方程（2.10）的线素场和积分曲线族的大致分布.。
常微分方程第5章答案
常微分方程第5章答案本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March习题1.给定方程组x = x x= （*）a)试验证u(t)= ,v(t)= 分别是方程组（*）的满足初始条件u(0)= , v(0)= 的解.b)试验证w(t)＝c u(t)+c v(t)是方程组（*）的满足初始条件w(0)= 的解，其中是任意常数.解：a) u(0)= =u (t)= = u(t)又 v(0)= =v (t)= = = v(t)因此 u(t),v(t)分别是给定初值问题的解.b) w(0)= u(0)+ u(0)= + =w (t)= u (t)+ v (t)= +=== w(t)因此 w(t)是给定方程初值问题的解.2. 将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题：a) x +2x +7tx=e ,x(1)=7, x (1)=-2b) x +x=te ,x(0)=1, x (0)=-1,x (0)=2,x (0)=0c)x(0)=1, x (0)=0,y(0)=0,y (0)=1解：a）令 x ＝x, x = x , 得即又 x ＝x(1)=7 x (1)= x (1)=-2于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：x ＝ x(1)＝其中 x＝ .b) 令＝x ＝＝＝则得：且 (0)=x(0)=1, = (0)=-1, (0)= (0)=2,(0)= (0)=0于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：= x(0)= , 其中 x= .c) 令w ＝x， w ＝，w ＝y，w ＝y ，则原初值问题可化为：且即 ww(0)= 其中 w＝3. 试用逐步逼近法求方程组＝ x x＝满足初始条件x(0)=的第三次近似解.解：0241201 杨素玲习题02412—02 02412—031.试验证 =是方程组x = x,x= ，在任何不包含原点的区间a 上的基解矩阵。
微分方程的一些通解和初值问题的解法
微分方程的一些通解和初值问题的解法微分方程作为数学中一个极其重要的分支，它具有广泛的应用背景，包括自然科学、工程技术等多个领域中都有着广泛的应用。
微分方程的求解则是这门学科中一个很关键的问题，尤其是对于一些实际问题，其初值条件决定了微分方程的具体解，本文将探讨一些微分方程的通解以及初值问题解法。
1. 常微分方程的通解对于一个n阶常微分方程，如果它可以表示为：$$F\Bigg(x,\frac{dy}{dx},\frac{d^2 y}{dx^2},\cdots,\frac{d^ny}{dx^n}\Bigg)=0$$其中$y$是自变量$x$的函数，则这个方程是一个n阶常微分方程。
对于这类方程，可以根据它的阶数以及特点进行分类求解。
(1)一阶常微分方程通解这类方程形式如下：$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$其中$f(x,y)$是定义在某个区域上的函数。
对于这类方程，我们可以通过分离变量的方式进行求解，即：$$\frac{dy}{f(x,y)}=dx$$两边同时积分得到：$$\int\frac{1}{f(x,y)}dy=\int dx+C$$其中$C$是积分常数，通过这个式子可以求得$y$的通解。
(2)二阶常微分方程通解这类方程形式如下：$$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$$其特点是含有二阶导数项，可用特征方程进行求解。
将一般形式二阶常微分方程的通解表示为$y=c_1y_1+c_2y_2$，其中$c_1$和$c_2$是常数，$y_1$和$y_2$是方程的解，满足$y_1$和$y_2$的任意线性组合都是方程的解。
如果解$y_1$和$y_2$线性无关，则它们构成了二阶常微分方程的通解。
(3)n阶常微分方程通解通常情况下，n阶常微分方程表示为：$$y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)y'+a_0(x)y=f(x)$$我们可以通过求解$n$次的导数，得到这个方程的通解。
常微分方程初值问题的数值解法
常微分方程初值问题数值解法初值问题：即满足初值条件的常微分方程的解y′=f(x,y),x∈[x0,b]y(x0)=y0.定理1（利普希茨条件）若存在正数L，使得对任意，y1，y2，有|f(x,y1)−f(x,y2)|≤L|(y1−y2)|定理2（解存在性）①若函数f在方区域x∈[a,b],y∈R连续，②函数f关于y 满足利普希茨条件，则对任意x∈[a,b]，常微分方程存在唯一的连续可微数值解.两类问题：①单步法---计算下一个点的值yn+1只需要用到前面一个点的值yn②多步法---计算下一个点的值yn+1需要用到前面l个点的值yl1、欧拉法---下一个点的计算值等于前一个点的计算值加上步长乘以前一个点的函数值•具体过程一些批注：显式欧拉方程指下一步要计算的值，不在迭代方程中；隐式欧拉方程指下一步要计算的值，在迭代方程中。
怎么计算隐式欧拉方程----要借助显示欧拉迭代计算---一般用迭代法-----迭代---将微分方程在区间[xn,xn+1]进行积分，然后函数f进行近似，即可得到迭代方程-----迭代方程收敛性？由函数关于y满足利普希茨条件，可以推出迭代公式收敛。
•局部截断误差：假设前n步误差为0，我们计算第n+1步的误差，将次误差称为局部截断误差，且局部误差为O(hp+1)•p阶精度：由理论证明：若局部误差阶的时间复杂度为O(hp+1)，则整体误差阶为O(hp)我们称公式精度为p。
•显示欧拉法与隐式欧拉法•梯形方法----将显式欧拉迭代方程与隐式欧拉迭代方程做一下加权平均，构造的计算公式.•改进的欧拉方法---思想：因为梯形公式是隐式公式，将显式欧拉公式对下一步的计算值进行预估，用梯形公式对下一步的计算值进行校正.2、龙格-库塔方法思想：根据Lagrange中值定理，下一次的计算值可以用前一次的计算值加上h乘以前一个点的斜率；而这个斜率用该区间上的多个点的斜率的算数平均来逼近。
注意：怎么计算任意斜率Ki？第i个点的斜率Ki有微分方程可以算出f′=f(xn,yn)所以要算的f(xn,yn)值，由欧拉法即可算出, yn+1=yn+hf′•2阶-龙格-库塔方法----类似改进的欧拉法根据Lagrange中值定理，下一次的计算值可以用前一次的计算值加上h乘以斜率；而这个斜率用区间上的端点和中点的斜率的算数平均来逼近。
第六章_常微分方程初值问题的数值解法_习题课
h2 h3 y ( x n ) y ( x n ) O(h 4 ) 2 6 而且 y ( x n ) f ( x n , y ( x n )) ， y ( x n 1 ) f ( x n 1 , y ( x n 1 )) ，对 y ( x n 1 ) 也在 x n 处作 Talor 展开， y ( x n 1 ) y ( x n ) hy ( x n )
湖北民族学院理学院《数值计算方法》教学辅导材料
陈以平编写
h2 h3 y ( x n ) y ( x n ) O(h 4 ) 2 6 h h h2 h3 y ( x n ) y ( x n ) y ( x n ) y ( x n ) y ( x n ) O(h 4 ) 2 2 2 12 h3 y ( x n ) O(h 4 ) O(h 3 ) 12 h3 所以，梯形公式是 2 阶方法，其截断误差的主项是 y ( x n ) 。 12 y ( x n ) hy ( x n )
y k (0.9 0.1y k sin x k ) 0.1( y k 1 y k 1 sin x k 1 )
2
当 k=0，x0=1, y0=1 时，x1=1.2，有 y y (. . y sin x ) (. sin ) .
y f ( x, y ) 3.求解初值问题 欧拉法的局部截断误差是( y ( x ) y 改进欧拉法的局部截断误差是( ); 四阶龙格－库塔法的局部截断误差是( ). (A)O(h2) (B)O(h3) (C)O(h4) (D)O(h5)
4. 改进欧拉法的平均形式公式是( ) y p y k hf ( x k , y k ) y p y k hf ( x k , y k ) (B) y c y k hf ( x k , y p ) .(A) y c y k hf ( x k , y p ) y k ( y p y c ) y k ( y p y c ) y p y k hf ( x k , y k ) y p y k hf ( x k , y k ) (C) y c y k hf ( x k , y p ) (D) y c y k hf ( x k , y p ) y k h ( y p y c ) y k ( y p y c ) (D) 答案：
求下列一阶常微分方程通解
习题9.11.求下列一阶常微分方程的通解：(1)y =x 2+x −y ;(2)dy dx =3y 1+x ;(3)dy dx =y −2x y ;(4)dy dx =2x −3y x +2y .2.求解下列一阶常微分方程初值问题：(1)y =|x |+y ,y (−1)=1;(2)dy dx =1x +cos y,y (0)=0.3.求解差分方程y n +1=(1+h )y n +2−h (n ≥0),y 0=1,其中h 为正的常数。
4.求解二阶差分方程y n +1=y n +y n −1,y 0=y 1=1.5.试利用解的存在唯一性定理说明y =sin x 不可能是微分方程y =p (x )arctan y ,x ∈[0,1]的解，其中p (x )是区间[0,1]上的连续函数。
6.试确定下列函数的利普希茨常数：(1)f (x )=(x 3−2)2717x 2+4;(2)f (x ,y )=x −y 2,|y |≤10.7.试证明初值问题y =sin y ,y (x 0)=s 在包含x 0的任意区间内有唯一解。
习题9.21.用Euler 法解初值问题y =x 2+10y ,y (0)=0.取步长h =0.1,0.05,0.025,0.001，分别计算y (0.3)的近似值，并通过求误差观察收敛性。
2.利用常微分方程初值问题的数值方法可以求定积分的近似值。
例如求 10e x 2dx .众所周知，e x 2的原函数是无法用初等函数表示出来的，因此定积分 10e x 2dx 的精确值没法通过Newton-Leibnitz 公式求出。
将定积分 10e x 2dx 看成变上限积分函数y (x )= x 0e t 2dt 在点x =1的函数值，而函数y (x )满足微分方程y =e x 2和初始条件y (0)=0.故可用初值问题的数值方法求定积分的近似值。
试用Euler 法计算定积分 10e x 2dx 的近似值，并指出这种方法相当于哪一种数值积分方法。
工程数学习题答案
f ( x ) = ∑ a k cos kx
k =0
∞
由正交性得
a0 =
1 2π
∫ π f ( x )dx = π ∫
−
π
1
π
0
(π − x )dx =
2
π
0
π 1 π [−(π − x ) 2 ] 0 = 2π 2
ak =
f ( x ) cos kxdx = ∫ π ∫π π
−
1
π
(π − x ) cos kxdx
u( x , t ) = [cos
πa
l
t+
πa π l sin t ] sin x πa l l
⎧ utt = a 2 u xx , (0 < x < l , t > 0) ⎪ ⎪ u x = 0 = u x x = l = 0, 4．求波动方程解 ⎨ ⎪ u t = 0 = 3 sin 3πx / 2l + 6 sin 5πx / 2l , ⎪u ⎩ t t =0 = 0
方程组有非零解的条件为系数矩阵行列式为零，即
[cos 2π λ − 1]2 + sin 2 2π λ = 0
整理得
cos 2π λ = 1
由余弦函数的最大值点得
2π λ = 2nπ
所以特征值和特征函数分别为 （A 和 B 不全为零） λ n = n 2 ， X n = A cos nx + B sin nx ，
《工程数学》习题一
y ⎧ dy ⎪ = ry (1 − ), x > 0 1．用分离变量法解常微分方程初值问题 ⎨ dx K ⎪ y ( 0) = y 0 ⎩
解：用常微分方程分离变量法
常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案_0
常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案篇一：常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案习题 1-11.验证下列函数是右侧相应微分方程的解或通解: （１）y?c2x1e?c2e?2x, y???4y?0.证明：?y?cx1e2?c?2x2e,则y?=2c2x1e2x?2c2e?,y4cx1e2?4cx2e?2,y???4y?0.∴ y?sinxx, xy??y?cosx．证明：∵y?sinx, y??xcosx?sinxx则x2xy??y?xcosx?sinxx?sinxx?cosx（３）y?x(?exxdx?c), xy??y?xex．证明：∵y?x(?exxdx?c), 则 yexex x?c?xx, exex∴xy??y?x?x?c?xxx(?ex?x?c)?xex ??(x?2)（４） ??4,x?c1,y???0,cy’?1?x??c2,??(x?2)?4,c2?x,证明：（1）当x?c1时2y=?(x?)14,y’=?x?2其他情况类似.２．求下列初值问题的解：（１）yx, y(0)?a0, y?(0)?a1, y??(0)?a2．解：∵yx, ∴y12x2?c1, ∵y??(0)?a2，∴c1?a2，∴y??x3?a2x?c2, ∵y?(0)?a1, ∴c2?a1，（２），∴y?124x4?12a2x2?a1x?c，∵y(0)?a0, 满足初值问题的解为：y?14124x?2a22x?a1x?a0． dydx?f(x), y(0)?0, （这里f(x)是一个已知的连续函数）解：∵dydx?f(x), 即 dy?f(x)dx, ∴xx?dy??f(t)dt?c,x∴y(x)?y(0)??f(t)dt?c, ∵y(0)?0, ∴c?0 0x∴满足初值问题的解为：y(x)?f(t)dt.（３）dRdt??aR, R(0)?1,解：①若R?0, 则∵dRR??adt，两边积分得：lnR??at?c ∵R(0)?1 ∴c?1 ∴满足初值问题的解为：R?e?at（４）dydx?1?y2， y(x0)?y0，解：∵dydx?1?y2，∴dy1?y2?dx，两边积分得：arctgy?x?c.∵y(x0)?y0，∴c?arctgy0?x0.∴满足初值问题的解为：y?tg(x?arctgy0?x0). （１）函数y??(x,c1,c2,,cn)是微分方程F(x,y,y?,,y(n))?0的通解，其中c1,c2,cn是独立的任意常数，（２）存在一组常数(1,2,,cn)?Rn和空间中的点0(0,0,0,,y(n?1)0)（３）满足３．假设??0??(0,1,,cn)0?(0,1,,cn)???x??(n?1)?(n?1)??xn?1(0,1,,cn)试证明：存在点0的某一邻域 U，使得对任意一点M0(x?,(n?1)0,y0,y0,y0),可确定一组数ci?ci(M0),i?1,2,,n，使得y??(x,c1(M0),c2(M0),,cn(M0))是初值问题y(x,y?(x,y(n?1)(x1)0)?y00)?y0,0)?y(n?0??F(x,y,y?,,y(n?1))?0 的解．证明：因为y??(x,c1,c2,,cn)是微分方程F(x,y,y?, ,y(n))?0的通解，所以初值问题y(x(n?1)0)?y0,y?(x0)?y0,,y(x(n?1)0)?y0 ??F(x,y,y?,,y(n?1))?0的解应具有形式y??(x,c??1,c2,,c?，其中(c??n)1,c2,,c?n)应满足：??y0??(x0,c?1,,c?n)?y(x,c?1,,c??0??x0n)，（*） ??(n?1)?(n?1)??y0xn?1(x0,c?1,,c?n)如何确定(c?1,c?2,,c?n)呢？由条件（２）及隐函数定理知，存在点 0的某一邻域U，使得对任意一点M?1)0(x0,y0,y?0,,y(n0)可确定一组数c??i?ci(M0),i?1,2,,n，使得（*）成立．得证．4. 求出：（１）曲线族y?cx?x2所满足的微分方程；解：y?cx?x2， y??c?2x， xy??cx?2x2则有：xy??x2?y.（２）曲线族y?c1ex?cx2xe所满足的微分方程；xx解：由y?c??y??c1e?cx2e?c1xe1ex?c2xexy???cxxx, 1e?2c2e?c1xe联立消去c1,c2得：y2y??y?0.(3)平面上以原点为中心的一切圆所满足的微分方程；解：平面上以原点为中心的圆的方程为x2?y2?r2(r?0)将视y为x的函数，对x求导得：2x?2yy??0平面上以原点为中心的一切圆所满足的微分方程为x?yy??0．(4)平面上一切圆所满足的微分方程．解：平面上圆的方程为：(x?a)2?(y?b)2?r2(r?0),将y视为x 的函数，对x求导得：??2(x?a)?2(y?b)y??0?2?2?2(y?b)y2?y’??0联立消去a,b得，2(y?b)y?4y0[1?(y?)2]y3y?(y??)2?0．习题 1-2作出如下方程的线素场：（１）y??xyxy（２）y??(y?1)2（３）y??x2?y22. 利用线素场研究下列微分方程的积分曲线族：（１）y??1?xy篇二：常微分方程教程+第二版+丁同仁+李承志+答案和练习第2章习题第二章答案习题２-１判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解：１．(3x2?1)dx?(2x?1)dy?0解：P(x,y)?3x2?1， Q(x,y)?2x?1，则?P?y?0，?Q?x?2，所以 ?P?Q?y??x即原方程不是恰当方程．２．(x?2y)dx?(2x?y)dy?0解：P(x,y)?x?2y,Q(x,y)?2x?y,则?P?y?2,?Q?x?2, 所以?P?Q?y??x，即原方程为恰当方程则xdx?(2ydx?2xdy)?ydy?0,两边积分得：x222xy?y2?2?C. 3．(ax?by)dx?(bx?cy)dy?0 （a,b和c为常数）．解：P(x,y)?ax?by,Q(x,y)?bx?cy,则?P?y?b,?Q?x?b, 所以?P?Q?y??x，即原方程为恰当方程则axdx?bydx?bxdy?cydy?0,ax2cy2两边积分得：2?bxy?2?C. 4．(ax?by)dx?(bx?cy)dy?0(b?0)解：P(x,y)?ax?by,Q(x,y)?bx?cy,则?P?Q?y??b,?x?b, 因为 b?0, 所以?P?Q?y??x，即原方程不为恰当方程５．(t2?1)cosudu?2tsinudt?0解：P(t,u)?(t2?1)cosu,Q(t,u)?2tsinu则?P?t?2tcosu,?Q?x?2tcosu, 所以?P?y??Q?x，即原方程为恰当方程则(t2cosudu?2tsinudt)?cosudu?0,两边积分得：(t2?1)sinu?C. ６．(yex?2ex?y2)dx?(ex?2xy)dy?0解： P(x,y?yex?2ex?y2,Q(x,y)?ex?2xy，则?P?y?ex?2y,?Q?x?ex?2y, 所以?P?y??Q?x，即原方程为恰当方程则2exdx?[(yex?y2)dx?(ex?2xy)dy]?0, 两边积分得：(2?y)ex?xy2?C.７．(yx?x2)dx?(lnx?2y)dy?0 解：P(x,y)?yx?x2Q(x,y)?lnx?2y,则?P1?Q?y?x,?x?1x, 所以?P?Q?y??x，即原方程为恰当方程则(yxdx?lnxdy)?x2dx?2ydy?0两边积分得：x33?ylnx?y2?C. ８．(ax2?by2)dx?cxydy?0(a,b和c为常数) 解：P(x,y)?ax2?by2,Q(x,y)?cxy,则?P?Q?y?2by,?x?cy, 所以当?P?Q?y??x，即方程为恰当方程则ax2dx?(by2dx?cxydy)?0两边积分得：ax3?bxy23?C. 而当2b?c时原方程不是恰当方程．９．2s?1s?t?s2dst2dt?0 解：P(t,s)?2s?1t)?s?s2,Q(t,st2, 则?P?t?1?2s?Q1?2s?P?Qt2,?s?t2, 所以?y??x，方程,s?s2两边积分得：t?C． 2b?c时，原即原方程为恰当10．xf(x2?y2)dx?yf(x2?y2)dy?0, 其中f(?)是连续的可微函数．解：P(x,y)?xf(x2?y2),Q(x,y)?yf(x2?y2),则?P?Q?y?2xyf?,?x?2xyf?, 所以?P?y??Q?x，即原方程为恰当方程,两边积分得：?f(x2?y2)dx?C,即原方程的解为F(x2?y2)?C (其中F为f的原积分)．习题２-2.1. 求解下列微分方程，并指出这些方程在平面上的有意义的区域:：dyx2（１）dx?y解：原方程即为：ydy?x2dx 两边积分得：3y2 ?2x3?C,y?0．dyx2（２）dx?y(1?x3)解：原方程即为：ydy?x21?x3dx两边积分得：3y2?2ln?x3?C,y?0,x??1．（３）dydx?y2sinx?0解：当y?0时原方程为：dyy2?sinxdx?0 两边积分得：1?(c?cosx)y?0．又y=0也是方程的解，包含在通解中，则方程的通解为1?(c?cosx)y?0．（４）dydx?1?x?y2?xy2；解：原方程即为：dy1?y2?(1?x)dx 两边积分得：arctgy?x?x22?c，即 y?tg(x?x22?c)．（５）dydx?(cosxcos2y)2 解：①当cos2y?0时原方程即为：dy(cos2y)2?(cosx)2dx 两边积分得：2tg2y?2x?2sin2x?c．②cos2y=0，即y? k?2??4也是方程的解. （６）xdx??y2解：①当y??1时原方程即为：dydx?y2?x两边积分得：arcsiny?lnx?c．② y??1也是方程的解. dyx?e?x（７）．dx?y?ey解．原方程即为：(y?ey)dy?(x?e?x)dxk?N）（22两边积分得：y2?ey?x2?e?x?c，原方程的解为：y2?x2?2(ey?e?x)?c.2. 解下列微分方程的初值问题．（１）sin2xdx?cos3ydy?0, y(?)??23解：两边积分得：?cos2x2?sin3y3?c，即 2sin3y?3cos2x?c因为 y(?2)??3, 所以 c?3.所以原方程满足初值问题的解为：2sin3y?3cos2x?3．（２）．xdx?ye?xdy?0， y(0)?1；解：原方程即为：xexdx?ydy?0，两边积分得：(x?1)exdx?y22dy?c，因为y(0)?1，所以c??12，所以原方程满足初值问题的解为：2(x?1)exdx?y2dy?1?0．（３）．d??r， r(0)?2；解：原方程即为：drr?d?，两边积分得：lc，因为r(0)?2，所以c?ln2，所以原方程满足初值问题的解为：lln2 即r?2e?．（４）．dydx?lnx1?y2,y(1)?0;解：原方程即为：(1?y2)dy?lnxdx,两边积分得：y?y33?x?xlnx?c, 因为y(1)?0，所以c?1，所以原方程满足初值为：y?y33?x?xlnx?1篇三：第2章习题 2第二章答案常微分方程教程+第二版+丁同仁+李承志+答案和练习（１）y?1)3. v?1?2， 2v?1ln1?u?1?u ?x?c，?8y??c． ?3 ,（２）, x2z?ce. ?x2?1(v?u)?2.（１）y??cos(x?y)2x?v,y2?u，①当cosu?11 两边积分得：ctg2 解：令u?x?y ②当cosu?1（２）(3uv?v)du?(u 解：方程两边同时乘以22?u??1 得?，令v??2?m?z，则m?zn，令n n，?2x2?y2?3)3.(3u2v?uv2)du?即 (3uvdu?u2322, u?y,v?xdy（３）(x?y?3)?dx22?m?n?，?udx＋p(x)ue?udx?q(x)e?udx．即有：u2?u??p(x)u5.c?2x)．45?．解：设此曲线为y?y(x)dyy?dxx?tg45??1dyy1?dxx6. 探照灯的反光镜（旋转面）反射成平行线束？维坐标系．设所求曲面由曲线??0；?3e3xy2)dy?0，?ey?c． 3x3?y??z?结为求 xy 平面上的曲线1?(2xe2y?)dy?0 y即(edx?2y1?)dy?0， y26（３）．(3x?)dxy?2dy)?0，y (3x2y即 (3x2x?c. （４）．ydx?(x2? 2)?dy?0， ylny?c（5）．2xydx?(x3 2?0 ，。
微分方程数值解第一章答案
微分方程数值解法 李荣华等编, 高教出版社
• 课堂授课+计算实验 • 考核方式: 平时作业+课堂+期末考试 • 任课教师 •
1
教学内容
• 第一章、常微分方程的数值解法 • 第二章、椭圆型方程的差分方法 • 第七章、椭圆型方程的有限元方法 • 第四章、抛物型方程的差分方法 • 第五章、双曲型方程的差分格式
x (a bx)t x ' ax bx2 x
Logistic方程
14
常微分方程举例3
问题1.3 并不是所有的方程可以用初等积分法求出其 解, 例如形式上很简单的里卡蒂(Riccati)方程
x' t2 x2
不能用初等函数表示通解. 寻求方程非解析函数的其它形式解, 显得非常必要。 而数值求解就是其重要的一个方法
问题得真解；即收敛性问题 ② 误差估计 ③ 产生得舍入误差，在以后得各步计算中，是否会
无限制扩大；稳定性问题
32
数值求解微分方程过程示意
区域剖分
微分方程离散
微
初始和边界条件处理
分
解的存在性、唯一性
方
离散系统的 性态研究
解的收敛性和收敛速度
程
解的稳定性
递推计算或解线 性代数方程组
得到数值解
33
作业
18
举例2
• P55 习题1 利用Euler方法求数值解 初值问题u' 1 u, u(0) 1 2 步长h=0.1, 解区间[0,1]
• 绘制折线，与真解比较
19
Matlab实现 u=null(1);h=0.1;u0=1; u(1)=u0+h*0.5*u0; for n=1:9
u(n+1)=u(n)+h*0.5*u(n); end t=0:0.1:1;un=[u0,u]； plot(t,un,'ro','Linewidth',2) ut=exp(0.5*t); hold on plot(t,ut,'Linewidth',2)
微分方程的初值问题练习题及解析
微分方程的初值问题练习题及解析微分方程是数学中的重要分支，通过研究微分方程可以揭示自然界和社会现象的规律。
微分方程的初值问题是求解微分方程的一种常见方法，它通过给定初值条件来确定特定的解。
下面将介绍一些微分方程的初值问题练习题，并提供解析过程，帮助读者加深对微分方程初值问题的理解。
练习题1：考虑一阶常微分方程dy/dx = 2x，初值条件为y(0) = 3。
求解该初值问题并画出解的图像。
解析：将方程dy/dx = 2x进行分离变量，得到dy = 2xdx。
对两边同时积分，得到∫dy = ∫2xdx，即y = x^2 + C。
根据初值条件y(0) = 3，代入方程可求得C = 3，因此解为y = x^2 + 3。
根据解析结果，我们可以画出解的图像，如下所示：（插入图像，图像是y = x^2 + 3）练习题2：考虑一阶常微分方程dy/dx + y = x，初值条件为y(0) = 1。
求解该初值问题并画出解的图像。
解析：对于方程dy/dx + y = x，可以通过乘以一个积分因子来进行求解。
积分因子的选择是e^(∫dx)，其中∫dx是对方程中y的系数进行积分得到的结果。
在本题中，系数为1，因此积分因子选择为e^x。
将方程进行乘积因子法的变形，得到e^xdy/dx + e^xy = x*e^x。
根据乘积因子法的特点，左侧的表达式可以化简为(d/dx)(e^xy) = x*e^x。
对两边同时积分，得到∫(d/dx)(e^xy)dx = ∫x*e^xdx。
对右侧的积分进行计算，得到∫x*e^xdx = e^x(x-1) + C1，其中C1是积分常数。
对左侧的积分进行计算，得到∫(d/dx)(e^xy)dx = e^xy + C2，其中C2是积分常数。
将求得的结果代入，得到e^xy + C2 = e^x(x-1) + C1。
根据初始条件y(0) = 1，代入x = 0和y = 1，并整理方程，可求得C2 = 0和C1 = 1。
常微分方程课后答案
即
其中，解之得
又时，；时，。
故得，
从而方程可化为
当时，有米/秒
即为所求的确定发动机停止2分钟后艇的速度。
35. 一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个和时间xx（比例系数为k1）的力作用在它上面，此质点又受到介质的阻力，这阻力和速度xx（比例系数为k2）。试求此质点的速度与时间的关系。
于是 （4’）-（4）得
从而
即
所以，命题成立。
（3）设，是（2.3）的任意两个解
则（5）
（6）
于是（5）得
即其中为任意常数
也就是满足方程（2.3）
（5）（6）得
即
也就是满足方程（2.3）
所以命题成立。
21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。
（5）曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；
==
=
而=ug+ux+xg=+- xg
==
故=，所以u是方程得一个积分因子
21．假设方程（2.43）xx函数M（x,y）N(x,y)满足关系=
Nf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y)分别为x和y得连续函数，试证方程（2.43）
有积分因子u=exp(+)
证明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
（4）
解：原方程可化为：
由观察得到，它的一个特解为，设它的任一个解为，于是
，这是的xx方程
两边同除以得到：
即：
则：
即：
故：原方程的解为：
（5）
解：原方程可化为：
由观察得，它的一个特解为，故设它的任一个解为，于是
，这是的xx方程
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1.(10分）对常微分方程初值问题(0)1(01)dyydx y x ⎧=-⎪⎨⎪=≤≤⎩取步长0.1,h = 分别用改进的Euler 法和标准的四阶Runge-Kutta 法作数值计算,写出公式和简要推导过程，并把结果填入表内。
解：（1） 改进的Euler 方法： 代入公式得10.905n n y y +=，即0.905n n y = …2分 （2）标准的四阶Runge-Kutta 方法：1123412132430.1(22)0.90483756(0.05)0.95(0.05)0.9525(0.1)0.90475n n n n n nn nn n y y k k k k y k y k y k y k y k yk y k y +⎧=++++=⎪⎪=-⎪⎪=-+=-⎨⎪=-+=-⎪⎪=-+=-⎪⎩即0.9048375n n y = ……（4分）2. 对常微分方程初值问题12(0)1(01)dyydx y x ⎧=-⎪⎨⎪=≤≤⎩ 取步长0.1,h = 分别用改进的Euler 法和标准的四阶Runge-Kutta 法作数值计算,写出公式和推导过程，并把结果填入表内。
解：（1） 改进的Euler 方法： 代入公式得10.95125n n y y +=，即0.95125n n y =……………….(2分)（2）标准的四阶Runge-Kutta 方法：1123412132430.1(22)0.9512196/2(0.05)/20.4875(0.05)/20.4878125(0.1)/20.47622n n n n n nn nn n y y k k k k y k y k y k y k y k yk y k y +⎧=++++=⎪⎪=-⎪⎪=-+=-⎨⎪=-+=-⎪⎪=-+=-⎪⎩即0.95145314n n y =……(4分)《数值分析》复习题一、填空题1.绝对误差限=末位的一半+单位，相对误差限=绝对误差限/原值*100%1. 度量一根杆子长250厘米，则其绝对误差限为 ，相对误差限是 。
2. 测量一支铅笔长是16cm ， 那么测量的绝对误差限是 ，测量的相对误差限是 。
3. 称量一件商品的质量为50千克，则其绝对误差限为 ，相对误差限是 。
2.利用平方差的方法4. 在数值计算中，当a _____________5. 在数值计算中，计算356-应变成 来计算。
6. 在数值计算中，计算1cos3-应变为 来计算。
3.f 的位数与f （x ）的最高次相同的话，就是最高位的常数，大于的话为07. 若543()2792100f x x x x x =-+-+，则12345[1,4,4,4,4,4]f =______________，123456[1,3,3,3,3,3,3]f = 。
8. 函数()f x 关于三个节点012,,x x x 的拉格朗日二次插值多项式为3.f(x)=f(x0)[(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)(x0-x2)] ，4(,)n B f x =∑f （k/n ）Pk(x)=x9. 当()f x x =时，(,)n B f x = 。
10. 代数式222236()66x xR x x x +=++ ______________,323222122()23x x R x x x ++=++ __________________.11. 已知方程组123123123103127322115x x x x x x x x x --=-⎧⎪-++=⎨⎪+-=-⎩，那么收敛的Jacobi 迭代格式为：，收敛的G S -迭代格式为：收敛理由是 严格对角占优矩阵 ,12. 已知线性方程组1233111193234184x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，那么收敛的Jacobi 迭代格式：12.化为线性方程2.调整排序收敛的G-S 迭代格式： 。
收敛理由是 严格对角占优矩阵 ,13. 求积公式0()nn kk k I Af x ==∑至少有n 次代数精度的充要条件是________它是插值型____________;当n 是偶数时，牛顿-柯特斯公式()0()()nn n kk k I b a Cf x ==-∑至少有___n+1__P103_____次代数精度；高斯求积公式()()()nbk k ak f x x dx A f x ρ=≈∑⎰至少有_____2n+1_P116____次代数精度。
14. 设7227227227n n A R ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则矩阵A 的特征值的界为 （2.2）与7的和、差为界 ，矩阵1A -的特征值的界为 界的倒数 。
A ∞=max （1<=i<=n ）∑(j(1,n))|aij|等价于每一列中最大值的和 1A = max （1<=j<=n ）∑(i(1,n))|aij|等价于每一行中最大值的和 2A =作业第五章12 P11615. 已知1235A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，314x ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么A ∞1A = ________,2A ∞12x = ________,其中相等的范数有_______A ∞=____________1x =__________. 二、判断题1. 如果插值节点01,,...,n x x x 互不相同，则满足插值条件的n 次插值多项式是存在且唯一。
（ x ）2. 迭代改善法能够解决一切方程组的病态问题。
（ x ）3. 区间[,]a b 上的三次样条插值函数()S x 在[,]a b 上具有直到三阶的连续函数。
（ ）4. 已知1 2.53 3.5A -⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，51x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，那么1A =1x 。
（ 1 ）5. 法来完成。
（ 1 ）6. 插值法是函数逼近、数值微分和微分方程数值解的基础。
（ 1 ）7.。
（ ）8. 在使用松弛法（SOR ）解线性代数方程组AX b =时，若松弛因子ω满足11ω-≥，则迭代法一定不收敛。
（ 1 ） 9. 求解单变量非线性方程()0f x =，弦截法具有1.618阶收敛，抛物线法具有1.840阶收敛，牛顿法具有2阶收敛。
（ 1） 10. 常微分方程初值问题数值解法的理论根据是函数的泰勒展开。
（ 1 ） 11. 解单变量非线性方程()0f x =，牛顿法在单根附近具有2阶收敛，若再用Steffensen 迭代法，则为3阶收敛。
（ 1 ） 三、计算解答题和证明题构造差分表，用三点牛顿插值多项式，求12.0e和72.0e的近似值。
1.列出牛顿的插值表2.Px=f（x0）+……P323、试用最小二乘法求一次多项式拟合以上数据，并求出均方误差，某实验数据如下：P75（2）4、二分法求根 作业第七章1(1) 方程034=-+x x 在[1,2]附近的根，使绝对误差不超过0.01（绝对误差估计式：11*2++-≤-n n ab x x ）; (2) 方程32()33f x x x x =+--在[1,2]附近的根，使绝对误差不超过0.01;(3) 方程4210x x +-=,在[-2,-1]附近的根，使绝对误差不超过0.01。
第六章5、用适当的方法解方程组：(1)123123123424421051145219x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=-⎩;(2)123310413150134x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦; (3)123210315210231x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 作业第四章146、写出复合梯形公式、复合辛普生公式、复合柯特斯公式及龙贝格公式之间的关系，并用龙贝格方法计算积分dx x⎰311，误差限不超过310-。
7、写出复化梯形公式、复化辛普生公式、复化柯特斯公式及龙贝格公式关系式，并计算积分cos x e xdx π⎰，已知134.778519T =-，217.389259T =-，413.336023T =-，812.382162T =-8、设方程组12341234123412347239210683032910x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=-⎧⎪++-=⎪⎨--+-=⎪⎪-+-=⎩，写出Jacobi 迭代法和G S -迭代法的迭代格式，并证明它们是收敛的。
9、对常微分方程初值问题 （1）(0)1(01)dyydx y x ⎧=-⎪⎨⎪=≤≤⎩（2）2(0)1(01)dy y dx y x ⎧=-⎪⎨⎪=≤≤⎩（3）12(0)1(01)dyy dx y x ⎧=-⎪⎨⎪=≤≤⎩ 取步长0.1,h = 分别用Euler 法和标准的四阶Runge-Kutta 法作数值计算，列表写出结果，并与准确值比较。
1011、设A 是正交矩阵，证明2()1Cond A =。
12、（1）当()f x x =时，(,)n B f x x =； （2）1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆； （3）如果A 是正交阵，则2()1cond A =。
13、证明：适当选取待定参数a , 求积公式)]()0([)]()0([2)(''20h f f ah h f f hdx x f h-++≈⎰的代数精度可达到3=m 。
14、试证明：适当选取待定参数0A , 1A ，2A ，求积公式)2()()0()(21300h f A h f A f A dx x f h++≈⎰的代数精度可达到2=m 。
15、证明Chebyshev 多项式()n T x 满足微分方程2'''2(1)()()()0n n n x T x xT x n T x --+=。
16、已知方阵221111321A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， （1） 证明：A 不能分解成一个单位下三角阵L 和一个上三角阵U 的乘积；（2） 试通过交换A 的行，进行LU 分解。
二、课本习题1．每章的“复习与思考题” 2. P48, 2,4,8,16;P94,7,10,13,16,19; P135,1,14;P176,7,8,9,10,13,19,20; P209,1,2;P238,1,3,7,12; P275,1,2; P315,1,4,10.1.(10分）对常微分方程初值问题(0)1(01)dyydx y x ⎧=-⎪⎨⎪=≤≤⎩取步长0.1,h = 分别用改进的Euler 法和标准的四阶Runge-Kutta 法作数值计算,写出公式和简要推导过程，并把结果填入表内。