高中数学常用公式及定理

高中数学常用公式及定理

1．熟悉这些解题小结论，启迪解题思路、探求解题佳径，防止解题易误点的产生，对提升数

学成绩将会起到很大的作用。

2．所有定义、概念、公式、解题方法都须熟记，且应在弄清它们的来龙去脉后再熟记。

1.元素与集合的关系：U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.

2.德摩根公式：();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.

3.包含关系

A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=Φ()U C A B R ⇔= 4.容斥原理

()()card A B cardA cardB card A B =+-

()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-

()()()()card A B card B C card C

A card A

B

C ---+.

5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n －1个；非空子集有2n －1个；非

空的真子集有2n －2个. 6.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠； (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠； (3)两根式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.

7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式：()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<； 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21

等价于“0)()(21

2211k k a

b k +<-<”或“0)(2=k f 且22122k a

b k

k <-<+”

9.闭区间上的二次函数的最值

二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在a

b

x 2-

=处及区间的两端点处取得，具体如下：

(1)当a>0时，若[]q p a b

x ,2∈-

=，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=； 若[]q p a b

x ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =.

(2)当a<0时，若[]q p a b

x ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =；

若[]q p a

b

x ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =.

10.一元二次方程的实根分布

依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设2()f x x px q =++，则

（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为()0f m <或2402()0

p q p m f m ⎧-≥⎪

⎪->⎨⎪≥⎪⎩ .

（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2

()0

()0402

f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪

⎪<-<⎪⎩或

()0()02f m f n p m n ⎧⎪=⎪

>⎨⎪⎪<-<⎩或()0

()02

f n f m p m n ⎧

⎪=⎪>⎨

⎪⎪<-<⎩ . （3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f

n <或240

2()0

p q p

n f n ⎧-≥⎪⎪-<⎨⎪≥⎪⎩ . 11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据：

(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∈.

(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≤(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∈.

(3)4

2

()0(0)f x ax bx c a =++>>恒成立的充要条件是020b

a c ⎧-≤⎪⎨⎪>⎩或20240

b a b a

c ⎧->⎪⎨

⎪-<⎩

. 12.真值表

13.常见结论的否定形式

14.四种命题的相互关系

互

否

若非ｐ则非ｑ互逆若非ｑ则非ｐ

15.充要条件

⇒，则p是q充分条件.

（1）充分条件：若p q

（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.

（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性

(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么

[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2121在⇔>--上是增函数；

[]1212()()()0x x f x f x --<⇔

[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2

121在⇔<--上是减函数.

(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.

17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数；如

果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.

18．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．

19.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；

若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+，并且()y f x =关于x a =对称. 20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数

2b a x +=

;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2

b a

x -=对称. 21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2

(a

对称；若)()(a x f x f +-=,则函

数)(x f y =为周期为a 2的周期函数. 22．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=++

+的奇偶性

多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.