状态转移矩阵计算

e()的阶次低于()。
最小多项式(5/3)
由于(A)=0和(A)=0,所以必然有e(A)=0。 考虑到()为矩阵A的最小多项式,所以不存在比() 阶次还低的A的零化多项式,故e()必为零,即有 ()=g()()
又因为(A)=0,所以()可写为 ()I=(I-A)H()
3

1 3/2 1
3. 由系统矩阵和矩阵指数函数的变换关系,分别有
1 0 0
A~

P
1
AP


0
2
0

0 0 3
et 0 0
e A~t


0
e2t
0

0 0 e3t
3et - 3e2t e3t
e At

Pe A~t P1
3.2 状态转移矩阵计算
在状态方程求解中,关键是状态转移矩阵(t)的计算。
对于线性定常连续系统,该问题又归结为矩阵指数函数 eAt的计算。
上一节已经介绍了基于拉氏反变换技术的矩阵指数函数
eAt的计算方法,下面讲述计算矩阵指数函数的下述其他3
种常用方法。
重点推荐
级数求和法
约旦规范形法
e2t 0 0
e A~t


0
et
te
t

0 0 et
e2t (8 6t)et

1 9

2e2t
-
4e2t
(2 6t)et (-4 6t)et
2e2t (-2 3t)et 4e2t (5 - 3t)et 8e2t (-8 3t)et
式中,H()为()的一个因子矩阵,故 ()I=g()()I=g()(I-A)H()
将上式与(I-A)B()=()I比较,有 B()=g()H()
最小多项式(6/3)
又因为B()的n2个元素的最高公约式为1,因此 g()=1
于是
()=() 因此,由前面证明的|I-A|=d()()而证明了最小多项式()为
级数求和法(3/3)—例3-4
例3-4 用直接计算法求下述矩阵的矩阵指数函数: 0 1
A 2 3
解 按矩阵指数函数的展开式计算如下:
eAt I At A2t 2 ... Akt k ...
2!
k!

1 0
0 1

0 2
1 3t
f(A)=An+a1An-1+…+an-1A+anI = 0 上述特征多项式亦称为矩阵A的零化特征多项式。
□
证明 因为
凯莱-哈密顿定理(2/4)
I=(I-A)-1(I-A)=[adj(I-A)/|I-A|](I-A)
故
|I-A|I=adj(I-A)(I-A)
由伴随矩阵的定义可知,伴随矩阵adj(I-A)可表示为如下
约旦规范形法(7/8)—例3-6
例3-6 试求如下系统矩阵的矩阵指数函数
0 1 0 A 0 0 1
2 3 0
解 1. 先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为
1=2 2=3=-1
2. 由于矩阵A为友矩阵,故将A变换成约旦矩阵的变换矩阵P和其 逆阵P-1分别为
1 1 0
P 2 1
1

4 1 2
1 2 1
P
1
Fra Baidu bibliotek

1 9
8 6
2 3
1 1
约旦规范形法(8/8)--例3-6
3. 由系统矩阵和矩阵指数函数的变换关系,分别有
2 0 0
A~ P1AP 0
1
1

0 0 1
e At Pe A~t P1
2. 最小多项式
最小多项式 (1/3)
根据凯莱-哈密尔顿定理,任一n×n维矩阵A满足其自身的特 征方程,即特征多项式为A的一个零化多项式。
f(A)=An+a1An-1+…+an-1A+anI = 0 n阶 矩阵A的特征多项式为
f()=|I-A|=n+a1n-1+…+an-1+an
然而特征多项式不一定是A的最小阶次的零化多项式。
凯莱-哈密顿定理(4/4)
上式中,令等号两边的同幂次项的系数相等,则有
a1I-B2+A=0 a2I-B3+AB2=0
… an-1I-Bn+ABn-1=0 anI+ABn=0 因此,将上述各等式从上至下依次右乘以An-1,…,A,I,然后 将各等式相加,即得 An+a1An-1+…+an-1A+anI=0 故矩阵A满足其本身的零化特征多项式。 •
最小多项式(4/3)
由于首一多项式d()的最高阶次的系数为1,所以()的最高
阶次的系数也应为1。 因此,综合上两式,可得
(I-A)B()=()I
因而
(A)=0 即()亦为A的零化多项式。 设()为A的最小多项式,因此零化多项式()可写为
()=g()()+e() 其中g()和e()分别是多项式()除以()的商和余项,且
可通过线性变换将一般形式的矩阵变换成对角线
矩阵或约旦矩阵,
再利用上述特殊形式矩阵的矩阵指数函数来快速
计算矩阵矩阵指数函数。 下面讨论之。
下面首先讨论矩阵指数函数的一条性质: 对矩阵A,经变换矩阵P作线性变换后,有
A P1AP
则相应地有如下矩阵指数函数的变换关系
约旦规范形法(2/8)
1. 凯莱-哈密顿定理
凯莱-哈密顿定理(1/4)
凯莱-哈密顿定理是矩阵方程分析和求解中非常重要的定理, 其表述和证明如下。
定理3-1(凯莱-哈密顿定理) 设nn矩阵A的特征多项式为
f()=|I-A|=n+a1n-1+…+an-1+an
则矩阵A必使由上述特征多项式决定的矩阵多项式函数
化eAt为A的有限多项式矩阵函数法
级数求和法(1/3)
3.2.1 级数求和法
由上一节对矩阵指数函数的定义过程中可知:
eAt I At A2t 2 ... Akt k ...
2!
k!
矩阵指数函数eAt的计算可由上述定义式直接计算。
由于上述定义式是一个无穷级数,故在用此方法计算eAt时必须 考虑级数收敛性条件和计算收敛速度问题。
定理3-2 设首一多项式d()是I-A的伴随矩阵adj(I-A)的所有
元素的最高公约式,则最小多项式为
I A ()
d ( )
()=m+1m-1+…+m-1+m
最小多项式(3/3)
证明 由假设知,矩阵adj(I-A)的最高公约式为d(),故 adj(I-A)=d()B(),
e At Pe A~t P1 e A~t P1e At P
约旦规范形法(3/8)
该结论可简单证明如下:
eA~t I A~t A~2t 2 ... A~kt k ...
2!
k!
I P1APt (P1AP)2t 2 ... (P1AP)k t k ...
1,2和3所对应的特征向量分别为
p1=[1 0 1] p2=[1 2 4] p3=[1 6 9]
约旦规范形法—例3-5
故将A变换成对角线矩阵的变换矩阵P及其逆阵P-1为
1 1 1 P 0 2 6
1 4 9
3 5/2 2
P1 3 4
e2t (-1- 3t)et
2e2t

(-2

3t)et

4e2t (5 - 3t)et
塞尔维斯特内插法(1/1)
3.2.3 塞尔维斯特内插法
在讨论塞尔维斯特(Sylvester)内插法计算矩阵指数函数eAt时,需 要用到关于矩阵特征多项式的凯莱-哈密顿(Cayley-Hamilton)定 理以及最小多项式的概念。 因此,首先给出凯莱-哈密顿定理 及最小多项式的概念, 再讨论塞尔维斯特内插法。 下面依次介绍: 凯莱-哈密顿定理 最小多项式 塞尔维斯特内插法 计算 矩阵指数函数
多项式矩阵函数:
adj(I-A)=n-1I+n-2B2+…+Bn-1+Bn
其中矩阵B2,B3,…,Bn为nn维的常数矩阵。 因此由前面两式,有
(n+a1n-1+…+an-1+an)I=(n-1I+n-2B2+…+Bn-1+Bn)(I-A)
整理得
(n+a1n-1+…+an-1+an)I =nI+(B2-A)n-1+…+(Bn-Bn-1A)-BnA

0 2
1 2 3
t2 2!

...

1 t 2 ...
2t 3t 2 ...
t 3t 2
1 3t
2 ...
...

约旦规范形法 (1/8)
3.2.2 约旦规范形法
上节给出了对角线矩阵、块对角矩阵和约旦块三种特殊形 式矩阵的矩阵指数函数。 由于任何矩阵都可经线性变换成为对角线矩阵或约旦 矩阵,因此
类似于标量指数函数eat,
对所有有限的常数矩阵A和有限的时间t来说,矩阵 指数函数eAt这个无穷级数表示收敛。
级数求和法(2/3)
显然,用此方法计算eAt一般不能写成封闭的、简洁的解析形 式,只能得到数值计算的近似计算结果。 其计算精度取决于矩阵级数的收敛性与计算时所取的 项数的多少。 如果级数收敛较慢,则需计算的级数项数多,人工计算是 非常麻烦的,一般只适用于计算机计算。 因此,该方法的缺点: 计算量大 精度低 非解析方法,难以得到计算结果的简洁的解析表达 式。
约旦规范形法(4/8)—例3-5
例3-5 试求如下系统矩阵的矩阵指数函数
0 1 1
A 6
11
6

6 11 5
解 : 1. 先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为
1=-1 2=-2 3=-3
2. 求特征值所对应的特征向量。由前述的方法可求得特征值


- 6e2t 6e3t
3et -12e2t 9e3t
5et /2 - 4e2t 3e3t /2 - 8e2t 9e3t
5et /2 -16e2t 27e3t /2
- 2et 3e2t - e3t
6e2t - 6e3t

- 2et 12e2t - 9e3t
Ch.3 线性系统的时域分析
目录
概述 3.1 线性定常连续系统状态方程的解 3.2 状态转移矩阵及其计算 3.3 线性时变连续系统状态方程的解 3.4 线性定常连续系统的离散化 3.5 线性定常离散系统状态方程的解 3.6 Matlab问题 本章小结
目录(1/1)
状态转移矩阵计算(1/1)
2!
k!

P1 I

At
A2t 2 2!
...
Ak t k k!
...P
P1e At P
根据上述性质,对任何矩阵A,
可先(1)通过线性变换方法得到对角线矩阵或约旦矩阵,
然后(2)利用该类特殊矩阵的矩阵指数函数,由矩阵指数函数 的变换关系来求原矩阵A的矩阵指数函数。
将矩阵A满足的最小阶次的首一零化多项式称为最小多 项式,也就是说,定义n×n维矩阵A的最小多项式为满足
(A)=Am+1Am-1+…+m-1A+mI=0, m阶
的阶次最低的首一多项式
mn
()=m+1m-1+…+m-1+m
最小多项式(2/3)
最小多项式在矩阵多项式的分析与计算中起着重要作用。 定理3-2给出了特征多项式与最小多项式的关系。
式中,B()的n2个元素(为的函数)的最高公约式为1。
由于
(I-A)adj(I-A)=|I-A|I
可得
d()(I-A)B()=|I-A|I 由上式可知,特征多项式|I-A|可被整除d()。
因此设d()整除|I-A|得到的因式记为(),故有 |I-A|=d()(),
I A ()
d ( )
最小多项式(7/3)
根据上述定理3-2,n×n维矩阵A的最小多项式可按以下步骤求 出。
1) 根据伴随矩阵adj(I-A),写出作为的因式分解多项式的 adj(I-A)的各元素;
2) 确定作为伴随矩阵adj(I-A)各元素的最高公约式d()。 选取d()的最高阶次系数为1。 如果不存在公约式,则d()=1;