现代控制理论及应用课题研究_v1

希望输出信号
控制系统
y(n) 自适应辨识模块 器 自适应控制模块 e(n) + — x(n)
被控试验系统
r(n)
设单输入单输出系统的状态方程和输出方程为 ������p = ������p ������p + ������p ������ ������p = ������T ������p
(1a)
式中， ������p 为 n 维状态向量， u 为控制量； ������p 为输出量； ������p 为������ × ������矩阵； ������p 为������ × 1输入向量； ������为������ × 1向量；������p 、������p 均未知或慢时变。 被控对象（1a）相应的传递函数为 ������p ������ = ������T ������������ − ������������
−1
������������ = ������������
������������ (������) 2������ ������������ (������)
式中， ������m ������ 严格正实， ������������ (������)和������������ (������)都是首一 Hurwitz 多项式， 其阶数分别为 m 和 n； ������m 为参 考模型增益。 设广义输出误差为 ������ ������ = ������m ������ − ������p ������ （3） 控制系统的设计目标为：用 Lyapunov 稳定性理论设计一个不含误差导数的自适应控制律， 并由它产生一个有界控制量输入，使广义输出误差������ ������ 满足
������p (������) ������p (������ ) ×1
(6������)
的阶数������、 m （n-m=2） ， ������p ������ 、 ������p ������ 均为首一多项式， 且������p ������
������ (������ )
m
为 Hurwitz 多项式；选择与������p ������ 相同阶数及相对阶的参考模型������m ������ = ������m ������m (������)，������m ������ 、 ������m ������ 均为首一 Hurwitz 多项式，并具有理想的动态性能； 2.选择L ������ = ������ + ������（a > 0），使L ������ ������m ������ 为严格正实函数； 3.选择������f ������ = L ������ ������m ������ ，并利用式(6)、式(7)获得辅助信号发生器状态变量； ������1 = ������f ������1 + ������f ������ ������2 = ������f ������2 + ������f ������p 4.可调参数自适应律为 ������ ������ = ������������ ������ ������ ������ ������ ������ = −������������ ������ + ������ ������ 式中，������ = ������c ������fT ������0 ������fT
式中，������m 为 n 维状态向量；������r 为分段连续一致有界输入，������������ 为参考模型输出；������������ 为������ × ������矩 阵；������������ 为������ × 1向量。 参考模型（2a）相应的传递函数为
������m ������ = ������������ ������������ − ������������
−1
������p = ������p
������p (������) 1������ ������p (������)
式中， ������p (������) 和 ������p (������) 都是首一多项式，且 ������p ������ 为 Hurwitz 多项式，其阶数分别为 m 和 n ������ ≤ ������ − 1 ；������p > 0为被控对象增益（符号已知） 。假定 m 和 n 已知，控制对象的参数未 知或慢时变。 选取参考模型为 ������m = ������m ������m + ������m ������ ������m = ������T ������m (2������)
现代控制理论及应用课题研究
有一个被控对象，其阶次为 3～5 阶（模型参数由设计者自己确定） ，请设计一个控制系 统 （要求控制系统设计过程中将被控对象作为 3～5 阶未知模型来考虑） ， 使得被控对象的输 出信号跟踪希望的输出信号（该希望的输出信号为已知的时间信号） 。希望输出信号来自控制系统控制信号
被控制对象
������r (t)为幅值为 r=1 的方波信号，仿真结果如图 1 示。
图 2 基于 Narendra 自适应辨识算法的控制效果 仿真程序如下： %基于 Narendra 自适应辨识控制 clear all; close all; h=0.02; M=40/h; %数值积分步长、仿真步数 nump=[1 4]; denp=[1 9 24 20]; [Ap,Bp,Cp,Dp]=tf2ss(nump,denp); n=length(denp)-1; %对象参数 numm=2*[1 1.5]; denm=[1 6 11 6]; [Am,Bm,Cm,Dm]=tf2ss(numm,denm); %参考模型参数 L=[1 2]; %稳定多项式 L=s+a(a>0)，使 L*Gm 严格正实 Df=conv(L,numm); %辅助信号发生器传递函数分母多项式 Af=[[zeros(n-2,1),eye(n-2)];-Df(n:-1:2)]; %辅助信号发生器状态矩阵 Bf=[zeros(n-2,1);1]; %辅助信号发生器输入矩阵 yr0=0; yp0=0; u0=0; e0=0; %初值 v10=zeros(n-1,1); v20=zeros(n-1,1); %辅助信号发生器状态初值 xp0=zeros(n,1); xm0=zeros(n,1); %状态向量初值 theta0=zeros(2*n,1); %可调参数向量初值 zeta0=zeros(2*n,1); %滤波向量初值 r=1; yr=r*[ones(1,M/4) -ones(1,M/4) ones(1,M/4) -ones(1,M/4)]; %参考输入信号 Gamma=10*eye(2*n); %自适应增益矩阵（正定矩阵） for k=1:M time(k)=k*h; xp(:,k)=xp0+h*(Ap*xp0+Bp*u0); yp(k)=Cp*xp(:,k)+Dp*u0; %计算 yp xm(:,k)=xm0+h*(Am*xm0+Bm*yr0);
0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋯ ⋮ ������f = 0 0 ⋯ 1 ⋯ −������f1 −������f2 −������f ������−1 ������f = 0 0 ⋯ 1 T ∈ ������ ������−1 ⋯ ������������−1 ������T f = 0 0 T ������f = ������1 ������2 ⋯ ������������−1 基于 Narendra 自适应控制器设计方案如下: 1.已知被控对象������p ������ = ������p
图 1 基于 Narendra 自适应控制方案 ������f ������ = ������ n −1 + ������������ n −1 ������ n −2 + ⋯ + ������f2 s + ������f1 ������c ������ = ������n −1 ������ n −2 + ������n −2 ������ n −3 + ⋯ + ������2 s + ������1 ������d ������ = ������n −1 ������ n −2 + ������n −2 ������ n −3 + ⋯ + ������2 s + ������1 且������f 是待选的 ������ − 1 × ������ − 1 渐进稳定矩阵，������f 和������f 为n − 1维列向量，可表示成 (6������)
T
(7)
(8) ������p
T ������2 T
∈ ������2������ ×1 ，������ = yr
T ������1
∈ ������2������ ×1 ，������ ������ = ������m t −
������p t ，������ ∈ ������2������ ×2������ 为正定对称矩阵。 5.自适应控制律为 ������ ������ = ������������ ������ ������ ������ + ������ ������ ������������ ������ ������������ ������ (9) 具体算法如下： 已知：被控对象������p ������ 的阶数 n、m（n-m=2） 。 Step1.选择参考模型������m ������ 为稳定最小相位系统，与������p ������ 阶数及相对阶相同，并具有理想的 动态性能； Step2.选择L ������ = ������ + ������（a > 0），使L ������ ������m ������ 为严格正实函数，并利用L ������ ������m ������ 构造辅 助信号发生器状态矩阵������f ； Step3.设置初值������ 0 ，选择自适应增益矩阵������和输入信号������r ������ ，并初始化相关数据； Step4.采样当前参考模型输出������m ������ 和系统输出������p ������ ，并由式（3）计算������ ������ ； Step5.利用式（7）计算������1 和������2 ； Step6.利用式（8）计算������ ������ 、������ ������ ； Step7.组建������ ������ 、并由式（9）计算������ ������ Step8.������ → ������ + ℎ，返回 Step4，继续循环。 考虑如下被控对象 ������p ������ = 选择参考模型 ������m ������ = 取L ������ = ������ + 2，可验证L ������ ������m 2（������ + 1.5） + 6������ 2 + 11������ + 6 ������ 严格正实。取自适应增益矩阵Γ = 10������6×6 ，参考输入信号 ������ 3 ������ 3 + 9������ 2 ������ + 4 + 24������ + 20