圆锥曲线中的轨迹方程(带答案)

第六讲 求轨迹方程的六种常用技法

1．直接法

根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。

例1．已知线段6=AB ，直线BM AM ,相交于M ，且它们的斜率之积是

4

9

，求点M 的轨迹方程。

练习：

1．平面内动点P 到点(10,0)F 的距离与到直线4x =的距离之比为2，则点P 的轨迹方程是 。

2．设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2

2

24x y +=交于A 、B 两点，P 是l 上满足1PA PB ⋅=的点，求点P 的轨迹方程。

3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 （ ） A ．直线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线 2．定义法

通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。

例2．若(8,0),(8,0)B C -为ABC ∆的两顶点，AC 和AB 两边上的中线长之和是30，则ABC ∆的重

心轨迹方程是_______________。

练习：

4．方程|2|x y ++表示的曲线是 （ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．线段 D ．抛物线

3．点差法

圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得12x x +，12y y +，12x x -，12y y -等关系式，由于弦AB 的中点(,)P x y 的坐标满足122x x x =+，

122y y y =+且直线AB 的斜率为

21

21

y y x x --，由此可求得弦AB 中点的轨迹方程。

例3．椭圆22

142

x y +=中,过(1,1)P 的弦恰被P 点平分,则该弦所在直线方程为_________________。

练习：

5．已知以(2,2)P 为圆心的圆与椭圆2

2

2x y m +=交于A 、B 两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程。

6．已知双曲线2

2

12

y x -=，过点(1,1)P 能否作一条直线l 与双曲线交于,A B 两点，使P 为线段AB 的中点？

4．转移法

转移法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的。 当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求其轨迹方程： ①某个动点P 在已知方程的曲线上移动； ②另一个动点M 随P 的变化而变化； ③在变化过程中P 和M 满足一定的规律。

例4． 已知P 是以12,F F 为焦点的双曲线

22

1169

x y -=上的动点，求12F F P ∆的重心G 的轨迹方程。

练习：

7．已知(1,0),(1,4)A B -，在平面上动点Q 满足4QA QB ⋅=，点P 是点Q 关于直线2(4)y x =-的对称点，求动点P 的轨迹方程。

5．参数法

求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系。在确定了轨迹方程之后，有时题目会就方程中的参数进行讨论；参数取值的变化使方程表示不同的曲线；参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同；参数取值的变化引起另外某些变量的取值范围的变化等等。

例6．过点(2,0)M -作直线l 交双曲线2

2

1x y -=于A 、B 两点，已知OP OA OB =+。

（1）求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；

（2）是否存在这样的直线l ，使OAPB 矩形？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由。

8．设椭圆方程为14

2

2

=+y x ,过点(0,1)M 的直线l 交椭圆于点A 、B ,O 是坐标原点,点P 满足)(21OB OA OP +=

,点N 的坐标为)2

1

,21(,当l 绕点M 旋转时,求: (1)动点P 的轨迹方程； (2)||NP 的最小值与最大值。

9．设点A 和B 为抛物线2

4(0)y px p =>上原点O 以外的两个动点，且OA OB ⊥，过O 作

OM AB ⊥于M ，求点M 的轨迹方程。

6．交轨法

若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程，也可以解方程组先求出交点的参数方程，再化为普通方程。

例7．已知MN 是椭圆12222=+b

y a x 中垂直于长轴的动弦，A 、B 是椭圆长轴的两个端点，求直线MA 和NB 的交点P 的轨迹方程。

10．两条直线01=++y ax 和)1(01±≠=--a ay x 的交点的轨迹方程是___ ______。

总结归纳

1．要注意有的轨迹问题包含一定隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围．由曲线和方程的概念可知，在求曲线方程时一定要注意它的“完备性”和“纯粹性”，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明x 的取值范围，或同时注明,x y 的取值范围。

2．“轨迹”与“轨迹方程”既有区别又有联系，求“轨迹”时首先要求出“轨迹方程”，然后再说明方程的轨迹图形，最后“补漏”和“去掉增多”的点，若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的完整性。