高中数学教学设计三垂线定理的推导

高中数学教学设计
课题：三垂线定理的推导
三维目标：
1．几何图形具有直观形象的特征，在教学过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学定理形成过程的真谛，学会通过观察、类比、归纳三垂线定理。

2．通过实例，培养学生观察、归纳能力。

体会从特殊到一般的思想。

3．能够用三垂线定理解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习立体几何的必要性和重要性，增强学生学习立体几何的紧迫感，激发学生学习的积极性。

重点难点：
教学重点：三垂线定理的推导。

教学难点：从问题中探究规律。

课时安排：1课时
教学过程：
一、从课本题目引出问题
请同学们翻开课本P28第6题：
问题1：“经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，设它和已知角的两边的夹角为锐角且相等，求证这条斜线在平面上的射影是这个角的平分线。

”
已知：如图1，∠BAC在平面α上，直线PA是平面α的一条斜线，∠CAP与∠BAP是锐角且相等。

求证：AO是∠BAC的平分线。

A
B
C
O
P
F
E
图1
α
1
2
学生思考3分钟，请学生谈解题思路。

（教师点拨）作PO ⊥面α，O 为垂足。

又作PE ⊥AB 于E,PF ⊥AC 于F 。

连结AO 、EO 、FO 。

先证△APE ≌△APF ，再证△POE ≌△POF,最后证明△AOE ≌△AOF,即得AO 是∠BAC 的角平分线方程。

如果我们调换以上问题的条件和结论中的一部分，得到：
问题2： “经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线。

如果斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线，那么斜线和这个角的两边的夹角相等。

” 已知：如图1，∠BAC 在平面α内，直线PA 是平面α的一条斜线，PO ⊥面α，O 为垂足，且AO 是∠BAC 的平分线。

求证：∠CAP=∠BAP
（教师点拨）借助上图1，作PE ⊥AB 于E,PF ⊥AC 于F 。

连结EO 、FO 。

调整一下证明的顺序，先证△AOE ≌△AOF,再证△POE ≌△POF, 最后证明△APE ≌△APF 即可得出结论。

二、引导学生探究问题
经过一个角的顶点所指的角是任意角，如果把它换成平角，结果会怎样？请
同学们思考：
问题3：“经过一条直线上的一点引这条直线所在平面的斜线，如果斜线在平面上的射影和这条直线垂直，那么，这条斜线也和这条直线垂直。

”
把“经过一条直线上的一点引这条直线所在平面的斜线”修改一下，得到： 问题4： “经过一条直线所在平面上的一点引这条直线所在平面的斜线，如果斜线在平面上的射影和这条直线垂直，那么，这条斜线也和这条直线垂直。

”命题还成立吗？
B A
C
P
O
α
P
O
A
B C
图 2
3
请学生思考问题，踊跃发言。

如果将条件再修改一下，“平面内一条直线”变成“一条直线”，得到： 问题5“一条直线与平面内的一条斜线在平面内的射影垂直，那么，这条斜线也和这条直线垂直。

” 还成立吗？若不成立，请举例说明。

请学生思考问题，谈谈自己的想法。

三、引导学生归纳总结问题
请学生试着归纳上述问题，教师引导学生得出下面一般性结论：
（三垂线定理） 经过一条直线所在平面上的一点引这条直线所在平面的斜线。

如果斜线在平面上的射影与这条直线垂直，那么，斜线也和这条直线垂直。

如果上述命题的条件结论交换位置，结论是否还成立呢？请学生陈述总结： （三垂线逆定理）经过一条直线所在平面上的一点引这条直线所在平面的斜线。

如果这条直线和斜线垂直，那么，这条直线也在与斜线在平面上的射影垂直。

四、课堂小结
1、本节课的思路是：由课本习题经过适当改编，将一般角变成平角，由一般到特殊再到一般，最后导出三垂线定理。

从而说明事物之相互联系、相互转化。

2、任何一个定理都有其成立的条件，缺少了条件，结论就不一定成立。

例如，命题5。

五、布置作业
用三垂线定理重新做P 28 T 6，感受不同的解题方法难易程度大不一样。

P
O
A
B C α
α
图 3 图 4。