§11.1 随机事件与古典概型(讲解部分)

e-1, e2-1},{0,- e-1, e-1,- e2-1},{0,- e-1,- e2-1, e2-1},{0, e-1,- e2-1, e2-1},{0,- e-1, e-1,- e2-1, e2-1}.则满足这样条件的定义域集合的个数为9, 从满足条件的所有定义域集合中选出2个集合,
基本事件总数n=C92 =36, 取出的2个集合中各有三个元素的集合个数m=C24 =6, ∴取出的2个集合中各有三个元素的概率P= m = 1 .
⑤ 1-P(B) .
考点二 古典概型
1.古典概型的两个特点
(1)有限性:试验中所有可能出现的基本事件只有⑥ 有限个 .
(2)等可能性:每个基本事件出现的可能性⑦ 相等 .
2.古典概型的概率公式
(1)在基本事件总数为n的古典概型中,每个基本事件发生的概率都是相等
的,即每个基本事件的概率都是 1 .
n
最高气温 [10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率; (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一 天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率. 解析 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于 25 ℃, 由表格数据知,最高气温低于25 ℃的频率为 2 16 36 =0.6,
3.事件的关系与运算
名称
定义
符号表示
包含关系
相等关系 并事件 (和事件)
如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或 B⊇A(或A⊆B) 称事件A包含于事件B)
若B⊇A,且B⊆A,那么称事件A与事件B相等
A=B
若某事件发生当且仅当事件A或事件B发生,则称此事件为事 A∪B(或A+B) 件A与事件B的并事件(或和事件)
90
所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6. (2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时, 若最高气温不低于25 ℃,则Y=6×450-4×450=900;
若最高气温位于区间[20,25), 则Y=6×300+2×(450-300)-4×450=300; 若最高气温低于20 ℃,则Y=6×200+2×(450-200)-4×450=-100. 所以,Y的所有可能值为900,300,-100. Y大于零当且仅当最高气温不低于20 ℃, 由表格数据知,最高气温不低于20 ℃的频率为 36 25 7 4 =0.8,
则P(A1)=
5 12
,P(A2)=
4 12
=
1 3
,
P(A3)=
2 12
=
1 6
,P(A4)=
1 12
.
根据题意知,事件A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥事件的概率公式,得
(1)取出1球是红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=
5 12
+
4 12
=
3 4
.
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率为
P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= 5 + 4 + 2 = 11.
12 12 12 12
方法总结 求复杂互斥事件概率的方法 1.直接求解法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和, 运用互斥事件的概率加法公式计算; 2.间接求解法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P( A)求解, 即正难则反的数学思想.特别是“至多”“至少”型题目,用间接求解法比 较简单. 提醒 应用互斥事件概率的加法公式,一定要注意首先确定各个事件是 否彼此互斥,然后求出各个事件发生的概率,再求和(或差).
考点清单
考点一 事件与概率
1.事件的分类
确定 事件
必然事件
一般地,我们把在条件S下,一定 会发生的事件叫做相对于条件S 的必然事件
不可能 事件
在条件S下,一定不会发生的事 件叫做相对于条件S的不可能事 件
随机事件
在条件S下,① 可能发生也可能不发生 的事件叫做相对于条件 S的随机事件
2.频率与概率
交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称 A∩B(或AB) 此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
互斥事件
若A∩B为不可能事件,那么称事件A与事件B互斥
A∩B=⌀
对立事件
若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A A∩B=⌀且A∪B=U(U为全
与事件B互为对立事件
考法二 互斥事件、对立事件概率公式的应用
例2 一盒中装有12个球,其中5个红球,4个黑球,2个白球,1个绿球.从中随 机取出1球,求: (1)取出1球是红球或黑球的概率; (2)取出1球是红球或黑球或白球的概率.
解析 记事件A1={任取1球为红球},
A2={任取1球为黑球},A3={任取1球为白球},A4={任取1球为绿球},
90
因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
方法总结 1.频率与概率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,而概率是一个确 定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率作 为随机事件概率的估计值. 2.随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率,即通过大量的重复试验,事件发生的频 率会逐渐趋近于某一个常数,这个常数就是概率.
(1)频数与频率:在相同条件S下进行n次试验,观察某一事件A是否出现,则
称在n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数;事件A出现的比例
fn(A)=②
nA n
为事件A出现的频率.
(2)概率:对于给定的随机事件A,如果随着试验次数n的增加,事件A发生的
频率fn(A)稳定在某个常数上,则把这个常数记作P(A),称为事件A的概率.
A包含的基本事件的个数
(2)对于古典概型,任何事件的概率为P(A)=⑧
基本事件的总数
.
知能拓展
考法一 随机事件百度文库频率与概率
例1 某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元, 售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完. 根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气 温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300 瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计 了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
集)
4.概率的几个基本性质
(1)概率的范围:[0,1].(2)必然事件的概率为③ 1 .
(3)不可能事件的概率为0.(4)概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=④ P(A)+P(B) .
(5)对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件,则A∪B为必然事件,P(A∪B)=1,P(A)=
n6
答案 A
方法总结 1.古典概型的概率求解步骤
2.基本事件个数的确定方法 (1)列举法:此法适合于基本事件个数较少的古典概型. (2)列表法:此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成坐标法. (3)画树状图法:画树状图法是进行列举的一种常用方法,适用于有顺序的 问题及较复杂问题中基本事件个数的探求. (4)运用排列组合知识计算.
考法三 古典概型概率的求法
例3 若函数f(x)=ln(x2+1)的值域为{0,1,2},从满足条件的所有定义域集合
中选出2个集合,则取出的2个集合中各有三个元素的概率是 ( )
A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
6
7
8
9
解题导引
解析 令ln(x2+1)=0,得x2+1=1,∴x=0,令ln(x2+1)=1,得x2+1=e, ∴x=± e-1 ,令ln(x2+1)=2,得x2+1=e2,∴x=± e2-1. 则满足值域为{0,1,2}的定义域集合为 {0,- e-1,- e2-1 },{0,- e-1, e2-1},{0, e-1,- e2-1},{0, e-1, e2-1},{0,- e-1,