函数对称性、周期性和奇偶性规律总结
函数的规律探究
函数的对称性、周期性、奇偶性的规律探究在学习函数这一章中，许多同学被函数的若干性质弄的头昏脑涨，事实上，只要把握其中的规律，也就不困难了。
现把规律总结如下：规律（一） 定义在R 上的函数y=f(x)满足f(x+a)=f(-x+a),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a 对称.证明：设点P （)0,0y x 是函数y=f(x)图象上的任意一点坐标，则关于直线x=a 对称点坐标P '为（2a-),00y x ,用a-0x 替换f(x+a)=f(-x+a)中的x 可得f(2a-)0x =f()0x =0y ,故点P '满足函数y=f(x)的解析式，所以点P '在函数y=f(x)的图象上，故函数y=f(x)的图象关于直线x=a 对称推论（一） 定义在R 上的函数y=f(x)满足f(x+a)=f(-x+b), 则函数y=f(x)的图象关于直线x=2b a +对称(提示：用b-0x 替换f(x+a)=f(-x+b)中的x).总结：x 的系数一个为1，一个为-1，相加除以2，可得对称轴方程规律（二）定义在R 上的函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x-a),则2a 是函数y=f(x)的一个周期。
证明：用x+a 替换f(x+a)=f(x-a)中的x ，得f(x+2a)=f(x)由周期函数的定义可得2a 是它的一个周期。
推论（二）定义在R 上的函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x-b),则a+b 是函数y=f(x)的一个周期。
（提示：用x+b 替换f(x+a)=f(x-b)中的x 即得）总结：x 的系数均为1，相减不除以2.规律（三） 定义在R 上的函数y=f(x)满足f(x+a)=f(-x+a)，且是一个奇函数，则4a 是它的一个周期。
证明：由f(x+a)=f(-x+a)可得f(-x)=f(x+2a),由奇函数的性质可得-f(x) =f(x+2a),用x+2a 替换x 得-f(x+2a)=f(x+4a),所以f(x)=f(x+4a),故 4a 是它的一个周期。
(完整版)函数奇偶性、对称性、周期性知识点总结,推荐文档
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得()f x x T ()()f x T f x +=恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（()f x T ()f x kT ）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期。
,0k Z k ∈≠()f x ()f x 分段函数的周期：设是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:)(x f y =),(x f y =。
把个单位即按向量[]a b T b a x -=∈,,)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿在其他周期的图像：)()0,(x f y kT a ==平移，即得。
[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若。
为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
函数奇偶性、对称性与周期性有关结论
函数奇偶性、对称性与周期性奇偶性、对称性和周期性是函数的重要性质，下面总结关于它们的一些重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。
一、几个重要的结论（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）2、)2()(x a f x f -=⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。
3、)2()(x a f x f +=-⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。
4、)()(x b f x a f -=+⇔)(x f y =的图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称。
5、b x a f x a f 2)()(=-++⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
6、b x a f x f 2)2()(=-+⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
7、b x a f x f 2)2()(=++-⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
8、c x b f x a f 2)()(=-++⇔)(x f y =的图象关于点),2(c b a +对称。
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称。
2、函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称3、函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称4、函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线0)()(=--+x b x a 对称 即直线2a b x -=对称 5、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于X 轴对称。
6、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称。
7、函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称（三）函数的周期性1、)()(x f T x f =+⇔)(x f y =的周期为T2、)()(b x b f a x f ++=+)(b a <⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+⇔)(x f y =的周期为a T 3= 7、1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 3= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+⇔)(x f y =的周期为a T 6=10、)(x f y =有两条对称轴a x =和b x =（)b a <⇔)(x f y =周期)(2a b T -=11、)(x f y =有两个对称中心)0,(a 和)0,(b ⇔)(x f y =周期)(2a b T -=12、)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b ⇔)(x f y =周期)(4a b T -=13、奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y =周期a T 4=。
函数的周期、对称公式大总结
函数的周期、对称公式一、函数的周期性（识别方法：看括号里面的x 系数相同为周期）()()()..1a b x f b x f a x f -+=+的周期为，则若 ()()().2.2a x f x f a x f 的周期为，则若-=+ ()()().21.3a x f x f a x f 的周期为，则若=+()()().21.4a x f x f a x f 的周期为，则若-=+()()()().211.5a x f x f x f a x f 的周期为，则若+-=+()()()().411.6a x f x f x f a x f 的周期为，则若-+=+()()()().62.7a x f x f a x f a x f 的周期为，则若-+=+二、函数的轴对称(识别方法：看括号里面的x 系数相反为对称，若f()外的系数相同则为轴对称，简称对称轴)()()()()()()()()()()()()()().2.4.2.3..2.22.1对称的图象关于直线对称的图象关于直线对称的图象关于直线对称图象关于直线若a x x f y x a f x f a x x f y x a f x f a x x f y x a f x a f b a x b x a x x f y x b f x a f ==⇔+=-==⇔-===⇔-=++=-++==⇔-=+三、函数的点对称(识别方法：看括号里面的x 系数相反为对称，若f()外的系数相反则为点对称，简称对称中心)()()()()()()()()()()()()()()()()()()().0,.5.,22.4.,22.3.,2.2.,22.1对称的图象关于点对称的图象关于点对称的图象关于点对称的图象关于点对称图象关于点若a x f y x a f x a f b a x f y b x a f x f b a x f y b x a f x f b a x f y b x a f x a f c b a x f y c x b f x a f =⇔--=+=⇔=++-=⇔=-+=⇔=-++⎪⎭⎫⎝⎛+=⇔=-++四、奇偶性的拓展()().)0,()()(,.2;.1对称关于件是是奇函数的充分必要条对于任意对称关于件是是偶函数的充分必要条，对于任意a x f y a x f x a x x f y a x f x =+==+五、对称与周期的关系()()().2.1a b x f b x a x x f -==的周期为对称，则、关于直线若函数两线对称型()()()()().20,0,.2a b x f b a x f -的周期为对称，则、点关于点若函数两点对称型()()()().40,.3a b x f b a x x f -=的周期为对称，则及点关于直线若函数一线一点对称型六、对称与周期常用的小结论.2)()()(.1对称还关于对称，那么关于直线，且的周期为若Ta x x f a x x f T x f ±==().02)(0,)()(.2对称，还关于对称，那么关于点，且的周期为若⎪⎭⎫ ⎝⎛±T a x f a x f T x f（在已有的对称轴，对称中心上加减半个周期即可得到新的对称轴与对称中心）七、三种关系的转化（已知其一必写其二，总有一个能用于解题）()()()为偶函数对称关于直线已知a x f x a f x a f a x x f +⇔-=+⇔=)(.1。
函数的奇偶性周期性和对称性
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奇偶函数的性质
（1） 奇函数在对称区间上的单调性相同，偶 函数在对称区间上的单调性相反。 （2） 奇函数如果在x=0有意义，则f(0)=0。 （3） 奇函数的最大值与最小值互为相反数。
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2.周期性 (1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定 义域内的任何值时,都有 f(x+T)= f(x) ,那么就称函数 y=f(x)为周期函数, 称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中 存在一个最小的正 数,那么这个 最小正数就叫做 f(x)的最小正周期.
B.
2 3
C. D.1
4
3
3.函数 f(x)=(m-1)x +2mx+3 为偶函数,则 f(x)在区间(-5,-3)上( A.先减后增 B.先增后减 C.单调递减 D.单调递增
D ).
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4.若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2,则 f(3)-f(4)=( A ). A.-1 B.1 C.-2 D.2
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1.函数 f(x)= -x 的图象关于(
������
1
C
).
A.y 轴对称 B.直线 y=-x 对称 C.坐标原点对称 D.直线 y=x 对称
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������ 2.若函数 f(x)= 为奇函数,则 a=( (2������+1)(������-������)
A
).
A.
1 2
2
1.
3
2
23 .奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单 调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.
函数奇偶性对称性周期性知识点总结
函数奇偶性对称性周期性知识点总结函数的奇偶性、对称性和周期性是数学中经常研究的重要性质。
它们描述了函数的特征和性质，对于理解函数的行为和解决问题都具有重要意义。
下面将分别对这三个概念进行总结。
一、函数的奇偶性1.奇函数：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数为奇函数。
即函数在原点关于y轴对称。
奇函数的特点：-奇函数的图像关于原点(0,0)对称。
-当函数的定义域包括0时，即使x等于0，函数值仍然等于0。
常见的奇函数有：- 正弦函数sin(x)。
-奇数次幂的多项式函数，如x^3、x^5等。
2.偶函数：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=f(x)，那么称该函数为偶函数。
即函数在原点关于x轴对称。
偶函数的特点：-偶函数的图像关于x轴对称。
-当函数的定义域包括0时，对于任意的x，f(0)=f(-x)=f(x)。
常见的偶函数有：- 余弦函数cos(x)。
-偶数次幂的多项式函数，如x^2、x^4等。
3.奇偶性的判断方法：-对于已知函数，可以通过代数运算证明是否满足奇偶性的定义。
-函数图像的轴对称性可以直接判断奇偶性。
-对于周期函数，可以利用周期性的性质判断奇偶性。
二、函数的对称性1.关于y轴对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=f(x)，那么称该函数关于y轴对称。
即函数的图像左右对称。
2.关于x轴对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数关于x轴对称。
即函数的图像上下对称。
3.关于原点对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数关于原点对称。
即函数的图像关于原点对称。
三、函数的周期性1.周期函数：如果存在一个正实数T，对于函数f(x)，对于任意的x，都有f(x+T)=f(x)，那么称该函数为周期函数，T为函数的周期。
周期函数的特点：-周期函数在一个周期内的函数值是相同的。
专题05 函数周期性,对称性,奇偶性问题(学生版)-2024年高考二级结论速解技巧
f (a + x)= f (a − x)
最常逆应用：若 y
=
f (x) 关于 x
=
a
对称：可得到如下结论中任意一个：
f= ( x)
f (2a − x)
；
f (−x=) f (2a + x)
周期性与对称性记忆口诀：同号周期，异号对称.
（2）点对称：若 f (a + x) =− f (b − x) + c ,则 y = f (x) 的图象关于点 ( a + b , c ) 对称. 22
C． f (2022) = 0
D． f (2023) = 2
三、填空题
6．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，对任意的 x∈ R
都有
f
x
+
3 2
= − f
(
x)
，当
x
∈
−
3 4
,
0
时， = f ( x)
log2 (1+ x) ，则 f (2021) + f (2022) = _________
当 x ∈[−2, 0] 时， f= ( x)
1 x 3
+
b
，则
f
(log3 162)
= ___________.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (2 + x) =f (x) ，当 x ∈[0, 2]时，
f (x) = −x(x − 2) ，则方程 f (x) = lg x 有___________个根.
最常逆应用：若 y
2.3 函数奇偶性,周期性及对称性
• 定义域关于原点对称； • f(x)为奇函数，x=0有定义,则f(0)=0; • f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称 区间单调性一致； • f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称 区间单调性相反。
函数的周期性
• 若f(x+a)=-f(x)，则f(x)的周期T=2a; 1 • 若 f x a f x ，则f(x)的周期T=2a;周期性,对称轴, Nhomakorabea称中心小结
• • • • • •
若函数f(x)有周期及对称轴,则有对称中心； 若函数f(x)有周期及对称中心,则有对称轴； 若函数f(x)有对称中心及对称轴,则有周期； 若函数f(x)2个对称轴,则有对称中心及周期； 若函数f(x)2个对称中心,则有对称轴及周期； 若函数f(x)有2个不成倍数周期,则有对称中心 及对称轴； 有“2”就有一 切
• •
1 若 f x a ，则f(x)的周期T=2a; f x
1 f ( x) 若 f x a 1 f ( x)，则f(x)的周期T=2a;
1 f ( x) f x a 1 f ( x)
• 若
，则f(x)的周期T=4a;
对称性
• • • • • •
若f(a+x)=f(a-x)，则f(x)关于x=a对称； 若f(2a-x)=f(x)，则f(x)关于x=a对称； ab x 若f(a+x)=f(b-x)，则f(x)关于 2 对称。 若f(a+x)=-f(a-x)，则f(x)关于(a,0)对称； 若f(2a-x)=-f(x)，则f(x)关于(a,0)对称； ab , 0 对称。 若f(a+x)=-f(b-x)，则f(x)关于 2
函数的奇偶性、对称性与周期性总结,史上最全
函数的奇偶性、对称性与周期性常用结论，史上最全函数是高中数学的重点与难点，在高考数学中占分比重巨大。
高考中对函数的考查灵活，相关的结论众多，有奇偶性，对称性，还有周期性，这些结论及变形能否掌握，都影响着学生的最终成绩。
本篇将函数的奇偶性、对称性与周期性常用的结论进行总结，希望对同学们有帮助。
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1.奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或奇偶函数的定义域关于原点对称。
①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-()()()0,1()f x f x f x f x +-==-- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
()()-()0,1()f x f x f x f x -==- 2.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x)()(kT x f x f x f函数周期性的几个重要结论2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2=6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3=7、 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4=9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6= 10、若.2, )2()(,0p T p px f px f p =-=>则推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A -- ②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。
函数周期性、对称性与奇偶性的关系
定理1：若定义在 上的函数 的图象关于直线 和 对称，则 是周期函数，且 是它的一个周期.
推论1：若函数 满足 及 ，则 是以 为周期的周期函数.
定理2：若定义在 上的函数 的图象关于点 和直线 对称，则 是周期函数，且 是它的一个周期.
推论2：若函数 满足 及 ，则 是以 为周期的周期函数.
性质4：设函数 ，如果对于定义域内任意的 ，都有 ，则 的图象关于点 对称.(实际上是奇函数的一般情形)广义奇函数.
【小结】函数对称性的充要条件
函数关系式( )
对称性
函数 图象是奇函数
函数 图象是偶函数
或
函数 图象关于直线 对称
或
函数 图象关于点 对称
【注】：这里代数关系式中两个“ ”（对应法则）内的“ ”（变量）前的正负号相异，如果把两个“ ”放在“ ”的两边，则“ ”前的正负号也相异.因为对称性关乎翻转.
5、若偶函数 关于直线 对称，即对于任意的实数 ,函数 满足 ，则 是以 为周期的周期函数.
6、若偶函数 关于点 对称，即对于任意的实数 ,函数 满足 ，则 是以 为周期的周期函数.
7、若奇函数 关于直线 对称，即对于任意的实数 ,函数 满足 ，则 是以 为周期的周期函数.
8、若奇函数 关于点 对称，即对于任意的实数 ,函数 满足 ，则 是以 为周期的周期函数.
四函数图象的对称轴和对称中心举例对称轴中心满足五函数周期性对称性与奇偶性的关系1定义在对称即对于任意的实数为周期的周期函数且是偶函数
函数周期性、对称性与奇偶性的关系
一、函数图象的对称性
(一)一个函数图象自身的对称性
性质1：对于函数 ，若存在常数 使得函数定义域内的任意 ，都有的图象关于直线 对称.
函数的奇偶性对称性与周期性总结史上最全
函数的奇偶性对称性与周期性总结史上最全1.函数的奇偶性在介绍函数的奇偶性之前，我们先来回顾一下函数的定义。
函数是一种映射关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
在数学中，常用的函数表示方法是y=f(x)，其中x表示自变量，y表示因变量。
一个函数被称为奇函数，当且仅当对于任意x，f(-x)=-f(x)成立。
换句话说，奇函数关于y轴对称。
例如，y=x^3就是一个奇函数，因为f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)。
一个函数被称为偶函数，当且仅当对于任意x，f(-x)=f(x)成立。
换句话说，偶函数关于y轴对称。
例如，y=x^2就是一个偶函数，因为f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)。
有些函数既不是奇函数也不是偶函数，它们被称为非奇非偶函数。
例如，y=x是一个非奇非偶函数，因为f(-x)=-x=-f(x)不成立，f(-x)也不等于f(x)。
2.函数的对称性函数的对称性是指函数图像在其中一种变换下保持不变。
常见的对称性有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称。
关于y轴对称是指函数图像关于y轴对称，即对于任意的x，f(-x)=f(x)。
这时函数的奇偶性可以被判断出来，如果f(-x)=f(x)，则函数是一个偶函数；如果f(-x)=-f(x)，则函数是一个奇函数。
关于x轴对称是指函数图像关于x轴对称，即对于任意的x，f(x)=f(-x)。
这时函数可以被看作是一个非奇非偶函数。
关于原点对称是指函数图像关于原点对称，即对于任意的x，f(x)=-f(-x)。
这时函数可以被看作是一个非奇非偶函数。
3.函数的周期性一个函数被称为周期函数，当且仅当存在一个正数T，对于任意的x，f(x+T)=f(x)成立。
换句话说，函数的值在周期T内不发生变化。
周期函数的最小正周期被称为函数的周期。
周期函数是一类特殊的函数，它在一些范围内不断重复。
我们可以通过观察函数的图像来判断函数是否具有周期性。
如果函数的图像在一个范围内不断重复，则函数是一个周期函数；如果函数的图像没有重复的部分，则函数是一个非周期函数。
函数的奇偶性、周期性、对称性
【知识梳理】 一、函数的奇偶性
1．函数奇偶性的定义：函数 f (x) 的定义域必须关于原点对称，对定义域内的任意一个 x 都满足
① f (x) f (x) 函数 f (x) 为偶函数；
② f (x) f (x) f (x) f (x) 0 函数 f (x) 为奇函数. 2．奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于 y 轴对称；反过来如果一个函数的图像关于原点对称，
②函数 y f (x) 的图像关于点 (a,0) 对称 f (x) f (2ax) f (a x) f (a x) .
③函数 y f (x) 满足 f (a x) f (b x) ，则 y f (x) 的图像关于直线 x ba 对称. 2
④若函数 y f (x) 对定义域中任意 x 均有 f (a x) f (b x) c 0 ，则函 b](0 a b) 上单调递增（减），则 f (x) 在区间[b, a] 上也是单调递增（减）；
③偶 函数 在 关于 原 点 对称 的 区间 上 若有 单 调 性， 则 其单 调 性恰 恰 相反 .即 偶函 数 f (x) 在 区间
[a, b](0 a b) 上单调递增（减），则 f (x) 在区间[b, a] 上也是单调递减（增）；
( a b , c ) 成中心对称图形. 22
5．高中涉及对称性问题的几个基本函数的对称轴、对称中心的问题 ①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直 线均为它的对称轴. ②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直 线均为它的对称轴.
④ 任 意 定 义 在 R 上 的 函 数 f (x) 都 可 以 唯 一 地 表 示 成 一 个 奇 函 数 与 一 个 偶 函 数 的 和 . 即
函数奇偶性、对称性、周期性知识点总结
函数奇偶性、对称性、周期性知识点总结推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称推论2:函数)(x fy-=图象关于直线afay=与)2(xx=对称推论3:函数)fy+=图象关于直线aa2(xf(xy-=与)=x-对称（三）抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质1 若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x)性质2 若函数y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a＋x)＝－f(a－x)（2）f(2a－x)＝－f(x)（3）f(2a＋x)＝－f(－x)易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a＝0时的特例。
2、复合函数的奇偶性定义1、若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，则复数函数y＝f[g(x)]为偶函数。
函数奇偶性、对称性与周期性结论汇总
函数奇偶性、对称性与周期性结论汇总奇偶性、对称性和周期性是函数的重要性质，下面总结关于它们的一些重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。
一、几个重要的结论（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）1、)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。
2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。
3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。
4、)()(x b f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称。
5、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
6、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
7、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
8、c x b f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),2(c b a +对称。
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称。
2、函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称3、函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称4、函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线0)()(=--+x b x a 对称，即直线2a b x -=对称 5、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于X 轴对称。
6、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称。
函数的性质(三性)：奇偶性、周期性、对称性
第六讲 函数的奇偶性、周期性、对称性一 函数奇偶性的判定(1)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x；(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2； (3)f (x )＝1－x 2|x ＋2|－2； (4)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2 (x >0)0 (x ＝0)－x 2－2 (x <0).解析：(1)由1－x1＋x ≥0，得－1<x ≤1，所以函数f (x )＝(x ＋1)·1－x1＋x的定义域是 (－1,1]，不关于原点对称，所以函数f (x )是非奇非偶函数．(2)由⎩⎨⎧x 2－1≥01－x 2≥0，得x ＝±1，所以函数f (x )的定义域是{－1,1}，此时f (x )＝0， 所以f (x )＝1－x 2＋x 2－1既是奇函数又是偶函数．(3)由⎩⎨⎧1－x 2≥0|x ＋2|－2≠0，解得－1≤x <0或0<x ≤1，它关于原点对称，且此时|x ＋2|－2＝x ＋2－2＝x ，从而f (x )＝1－x 2x ，从而f (－x )＝1－(－x )2－x ＝－1－x 2x ＝－f (x )，所以f (x )＝1－x 2|x ＋2|－2是奇函数．(4)当x >0时，－x <0，则f (－x )＝－(－x )2－2＝－(x 2＋2)＝－f (x )； 当x <0时，－x >0，则f (－x )＝(－x )2＋2＝x 2＋2＝－(－x 2－2)＝－f (x )； 当x ＝0时，f (x )＝0＝－f (－x )．综上有，对一切实数x ，f (－x )＝－f (x )恒成立，故f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2 (x >0)0 (x ＝0)－x 2－2 (x <0)是奇函数．【拓展演练1】 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝(x －2)2＋x 2－x ；(2)f (x )＝lg (1－x 2)|x 2－2|－2；(3)f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2 (x <－1)0 (|x |≤1)－x ＋2 (x >1).解析：(1)由2＋x2－x≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f (x )为非奇非偶函数． (2)由⎩⎨⎧1－x 2>0|x 2－2|－2≠0得定义域为(－1,0)∪(0,1)，f (x )＝lg (1－x 2)－(x 2－2)－2＝－lg (1－x 2)x 2.因为f (－x )＝－lg[1－(－x )2](－x )2＝－lg (1－x 2)x 2＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(3)x ＜－1时，f (x )＝x ＋2，－x ＞1，所以f (－x )＝－(－x )＋2＝x ＋2＝f (x )， 当x ＞1时，f (x )＝－x ＋2，－x ＜－1，所以f (－x )＝－x ＋2＝f (x )． 娄－1≤x ≤1时，f (x )＝0，－1≤－x ≤1，所以f (－x )＝0＝f (x )． 所以对定义域内的每一个x 都有f (－x )＝f (x )．因此f (x )是偶函数． 二 函数奇偶性的应用【例2】若f (x )＝x 5＋ax 3＋bx ＋3在(0，＋∞)上的最大值是8，求f (x )在(－∞，0)上的最小值．解析：当x >0时，f (x )≤8，则当x <0时，－x >0，f (－x )≤8，设x ∈(－∞，0)，则f (x )＝x 5＋ax 3＋bx ＋3＝－[(－x )5＋a (－x )3＋b (－x )＋3]＋6 ＝－f (－x )＋6≥－8＋6＝－2.所以f (x )在(－∞，0)上的最小值是－2.【拓展演练2】(1)已知f (x )与g (x )都是定义在R 上的奇函数，若F (x )＝af (x )＋bg (x )＋3，且F (－2)＝5，则F (2)＝ ；(2)已知函数f (x )＝x 3＋sin x 的定义域为(－1,1)，则满足不等式f (a 2－1)＋f (1－2a )<0的a 的取值范围是 .解析：(1)因为f (x )与g (x )都是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝－g (x )， 所以F (x )＋F (－x )＝af (x )＋bg (x )＋3＋a [－f (x )]＋b [－g (x )]＋3＝6， 所以F (x )＝6－F (－x )，所以F (2)＝6－F (－2)＝6－5＝1. (2)因为f (x )＝x 3＋sin x ，x ∈(－1,1)是奇函数，且单调递增， 所以f (a 2－1)＋f (1－2a )<0，即f (a 2－1)<f (2a －1)．所以⎩⎨⎧－1<a 2－1<1－1<1－2a <1a 2－1<2a －1⇒⎩⎨⎧－2<a <0或0<a <20<a <10<a <2⇒0<a <1.故a 的取值范围是(0,1)．三函数的周期性及应用2、类比“三角函数图象”得：①若y=f(x)图象有两条对称轴x=a,x=b(a≠b)，则y=f(x)必是周期函数，且一周期为T=2|a-b|；②若y=f(x)图象有两个对称中心A(a,0),B(b,0)(a≠b)，则y=f(x)是周期函数，且一周期为T=2|a-b|；③如果函数y=f(x)的图象有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b(a≠b)，则函数y=f(x)必是周期函数，且一周期为T=4|a-b|.【例3】设f(x)是定义在R上的奇函数，且其图象关于直线x＝1对称，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)．解析：(1)证明：因为y＝f(x)的图象关于x＝1对称，且f(x)为奇函数，所以f(2－x)＝f(x)．因为f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．(2)因为x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.设x∈[－2,0]，则－x∈[0,2]，又f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－[2(－x)－(－x)2]＝2x＋x2.当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，所以f(x)＝f(x－4)＝2(x－4)＋(x－4)2＝2x －8＋x 2－8x ＋16＝x 2－6x ＋8. 即当x ∈[2,4]时，f (x )＝x 2－6x ＋8. (3)由x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2， 可得f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，又x ∈[2,4]时，f (x )＝x 2－6x ＋8，可得f (3)＝－1， 所以f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝0，而f (x ＋4)＝f (x )， 所以f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2013)＝[f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)]×503＋f (0)＋f (1)＝1. 【拓展演练3】设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足： ①f (x )＝f (2－x )；②当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2. (1)判断函数f (x )是否是周期函数； (2)求f (5.5)的值．解析：(1)⎩⎨⎧f (x )＝f (2－x )f (x )＝f (－x )⇒f (－x )＝f (2－x )⇒f (x )＝f (x ＋2)⇒f (x )是周期为2的周期函数． (2)f (5.5)＝f (2×3－0.5)＝f (－0.5)＝f (0.5)＝0.25. 【拓展演练4】(2013·衡阳市模拟题)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数有( )A ．6B ．7C ．8D ．9 解析：作出f (x )的图象如下：四 函数性质的综合应用【例4】定义在实数集R 上的函数f (x )，对任意x 、y ∈R ，有f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )·f (y )且f (0)≠0.(1)求证：f (0)＝1； (2)判断y ＝f (x )的奇偶性； (3)若存在正常数C ，使f (C2)＝0.①求证：对任意x ∈R ，有f (x ＋C )＝－f (x )成立；②试问函数f (x )是不是周期函数？如果是，找出它的一个周期；如果不是，请说明理由解析：(1)证明：令x ＝y ＝0，则2f (0)＝2f 2(0)． 又f (0)≠0，所以f (0)＝1.(2)令x ＝0，则f (y )＋f (－y )＝2f (0)f (y )＝2f (y )， 所以f (y )＝f (－y )，即f (x )＝f (－x )， 又x ∈R ，所以f (x )为偶函数(3)①证明：用x ＋C 2，C2(C >0)替换x ，y ， 则f (x ＋C 2＋C 2)＋f (x ＋C 2－C 2)＝2f (x ＋C 2)·f (C2)． 又f (C2)＝0，所以f (x ＋C )＋f (x )＝0， 即f (x ＋C )＝－f (x )；②由①的结论知f (x ＋2C )＝－f (x ＋C )＝f (x )(C >0)， 所以f (x )是周期函数，2C 就是它的一个周期． 课堂练习1.(2013·广东卷)定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．5 解析：奇函数有y ＝x 3与y ＝2sin x ，故选C.2.已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝( )A．－2 B．0 C．1 D．2解析：因为函数f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2，选A.3.(2012·山东卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2012)＝( ) A．335 B．338 C．1678 D．2012解析：由f(x)＝f(x＋6)知函数f(x)的周期为6，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(6)＝1，f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)＝335[f(1)＋f(2)＋…＋f(6)]＋f(1)＋f(2)＝335×1＋3＝338. 4.已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝.解析：y＝f(x)＋x2是奇函数，则f(－1)＋(－1)2＝－[f(1)＋12]＝－2，所以f(－1)＝－3，故g(－1)＝－1.5.(2011·浙江卷)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝.解析：因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即x2－|x＋a|＝(－x)2－|－x＋a|⇒|x＋a|＝|x－a|，所以a＝0.课后练习1.若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域均为R ，则( C )A ．f (x )与g (x )均为偶函数B ．f (x )与g (x )均为奇函数C ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数D ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数 解析：f (－x )＝3－x ＋3x ＝f (x )，g (－x )＝3－x －3x ＝－g (x )，故选C. 2.(2012·广东省六校第四次联考)函数f (x )＝log 21＋x1－x的图象( A )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称解析：因为f (－x )＝log 21－x 1＋x ＝log 2(1＋x 1－x )－1＝－log 21＋x1－x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，故函数f (x )的图象关于原点对称．3.函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (m )＝2，则f (－m )的值为( B )A ．3B ．0C ．－1D ．－2解析：因为f (m )＝m 3＋sin m ＋1＝2，所以m 3＋sin m ＝1， 所以f (－m )＝－m 3－sin m ＋1＝－1＋1＝0，故选B.4.f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R 总有f (x ＋32)＝－f (x )，则f (－92)的值为( A )A ．0B ．3 C.32 D ．－92解析：由f (x )＝－f (x ＋32)，知函数f (x )的周期为3，则f (－92)＝f (－92＋2×3)＝f (32)， 又函数f (x )是奇函数，则f (－92)＝－f (92)＝－f (92－3)＝－f (32)， 故f (32)＝－f (32)，所以f (－92)＝0，故选A.5.设a 为常数，函数f (x )＝x 2－4x ＋3，若f (x ＋a )为偶函数，则a 等于 2 .解析：(方法一)因为f (x )＝(x －2)2－1，对称轴方程为x ＝2， 又f (x ＋a )为偶函数，其图象关于y 轴对称， 所以需将f (x )图象向左平移2个单位长度，故a ＝2. (方法二)因为f (x )＝x 2－4x ＋3，所以f (x ＋a )＝x 2＋(2a －4)x ＋(a 2－4a ＋3)， 而f (x ＋a )为偶函数，所以2a －4＝0，所以a ＝2.6.设f (x )是定义在实数集R 上的函数，若函数y ＝f (x ＋1)为偶函数，且当x ≥1时，有f (x )＝1－2x ，则f (32)、f (23)、f (13)的大小关系是 f (23)>f (32)>f (13) . 解析：由已知得f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，所以y ＝f (x )的对称轴方程是x＝1，则f (32)＝f (12)．当x ≥1时，f (x )＝1－2x 是递减的，所以当x <1时，f (x )递增，故f (23)>f (12)>f (13)，即f (23)>f (32)>f (13)．7.(2011年济南模拟)设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图象， 则f (2 011)＋f (2 012)＝( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：由于f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，所以f (2 011)＋f (2 012)＝f (670×3＋1)＋f (671×3－1)＝f (1)＋f (－1)，而由图象可知f (1)＝1，f (－1)＝2，所以f (2 011)＋f (2 012)＝1＋2＝3.答案：A9.已知f (x )是定义在(－3,3)上的奇函数，当0<x <3时，f (x )的图象如图所示，那么不等式xf (x )<0的解集为 (－1,0)∪(0,1) .解析：因为f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，所以当x ∈(－3，－1)∪(0,1)时，f (x )<0；当x ∈(－1,0)∪(1,3)时，f (x )>0，故xf (x )<0的解集为(－1,0)∪(0,1)． 9.已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0. 解析：(1)因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0， 即－1＋b 2＋a ＝0，解得b ＝1，则f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.又由f(1)＝－f(－1)，知－2＋14＋a＝－－12＋11＋a，解得a＝2.(2)由(1)知f(x)＝－2x＋12x＋1＋2＝－12＋12x＋1.易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－1)＝f(－2t2＋1)．因为f(x)是减函数，所以t2－2t>－2t2＋1，即3t2－2t－1>0，解不等式可得t>1或t<－1 3.故不等式的解集为{t|t>1或t<－1 3}．第二课时 补充例4．已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数()y f x =（x ∈[1,1]-）是奇函数，又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x =时函数取得最小值5-．（1）证明： (1)(4)0f f +=；（2）求(),[1,4]y f x x =∈的解析式； （3）求()y f x =在[4,9]上的解析式．【解析】（1）∵()f x 是以5为周期的周期函数，∴(4)(45)(1)f f f =-=-，又 ∵()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(1)(1)0f f +-=，∴(1)(4)0f f +=． （2）当[1,4]x ∈时，设2()(2) 5 (0)f x a x a =-->，∵(1)(4)0f f +=，∴22(12)5(42)50a a --+--=，解得2a =，∴2()2(2)5(14)f x x x =--≤≤．（3）∵()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(0)0f =，又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，设()(01)f x kx x =≤≤，而2(1)2(12)53f =--=-，∴3k =-，∴当01x ≤≤时，()3f x x =-， 当10x -≤<时，()()3f x f x x =--=-，故11x -≤≤时，()3f x x =-． ∴当46x ≤≤时，有151x -≤-≤，∴()(5)3(5)315f x f x x x =-=--=-+． 当69x <≤时，154x <-≤，∴22()(5)2[(5)2]52(7)5f x f x x x =-=---=--．∴2315,46()2(7)5,69x x f x x x -+≤≤⎧=⎨-- <≤⎩． 课堂练习1．若()f x 是R 上周期为3的奇函数，且(1)1f >，(2)f a =，则（ ） A ． 2a > B ．2a <- C ．1a > D ．1a <- 【答案】D【解析】∵(2)(23)(1)(1)1a f f f f ==-=-=-<-．2．（2012惠州调研）已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)()4(x f x f =+，当(0,2)x ∈时，2)(+=x x f ，则=)7(f ( )A ．3-B ．3C ．1-D ．1【答案】A【解析】(7)(142)(1)(1)3f f f f =-+⨯=-=-=-．11 3．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f (－52)＝( )A ．－12B ．－14 C.14 D.12【解析】 ∵函数f (x )是周期为2的奇函数，∴f (－52)＝－f (52)＝－f (12)，又当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，因此f (－52)＝－f (12)＝－2×12×(1－12)＝－12.4．已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足(2)()f x f x +=，则(4)f =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．25．若函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝2，若f (0)＝2，则f (2 012)＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．2 0106．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，则有①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________．7．（2013重庆高考）已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“)(x f 为]1,0[上的增函数”是“()f x 为]4,3[上的减函数”的（ ）A ．既不充分也不必要的条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．充要条件【答案】D【解析】∵)(x f 为偶函数，∴当)(x f 在]1,0[上是增函数，则)(x f 在]0,1[-上则为减函数， 又函数)(x f 的周期是2，∴在区间]4,3[也为减函数.若)(x f 在区间]4,3[为减函数，根据函数的周期可知)(x f 在]0,1[-上则为减函数， 又函数)(x f 为偶函数，根据对称性可知，)(x f 在]1,0[上是增函数，综上可知，“)(x f 在]1,0[上是增函数”是“)(x f 为区间]4,3[上的减函数”成立的充要条件.。
函数对称性周期性和奇偶性规律总结
函数对称性周期性和奇偶性规律总结
一、函数的对称性
1、定义：
函数的对称性是指函数在满足一些特定条件时，其图像在其中一特定
轴对称的特性。
例如：函数y=f(x)当满足f(-x)=f(x)时，则说函数具有
x轴对称性；若满足f(x)=f(-x)时，则说函数具有y轴对称性。
2、简单的函数对称性推理：
（1）当函数只含有常数项时，看其系数即可判断它是否具有对称性，如果系数都为正，则函数具有x轴对称性，即f(-x)=f(x)；如果系数都
为负，则函数具有y轴对称性，即f(x)=f(-x)。
（2）当函数含有一项x的乘方因子时，只要满足乘方因子的指数为
偶数，则说明函数具有x轴对称性；当乘方因子的指数为奇数时，则说明
函数具有y轴对称性。
（3）函数中有分母时，我们可以将分母的部分分开考虑，如果分母
部分满足前面所列出的三种情况，且分子与分母都具有同一种对称性，则
说明函数也具有相同的对称性。
3、函数具有的对称性类型：
（1）函数具有特殊的对称性，比如偶函数、奇函数和极坐标函数等，它们在特定的轴上有着特殊的对称性特点。
（2）除此之外，函数还可以具有一般性的对称性，在满足一定条件时，函数会具有一般的对称性。
二、函数的周期性
1、定义：。
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函数对称性、周期性和奇偶性关岭民中数学组(一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性：（奇偶性是一种特殊的对称性）1、奇偶性:（1） 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f（2）偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =-2、奇偶性的拓展 : 同一函数的对称性（1）函数的轴对称：函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 若写成：)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =关于直线22)()(b a x b x a x +=-++= 对称 证明：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。
得证。
说明：关于a x =对称要求横坐标之和为2a ，纵坐标相等。
∵1111(,)(,)a x y a x y +-与 关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+∵1111(,)(2,)x y a x y -与关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称⇔)2()(x a f x f -=∵1111(,)(2,)x y a x y -+与关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称⇔)2()(x a f x f +=-（2）函数的点对称：函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2,2(c b a + 对称证明：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+- 可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点 )2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称 得证。
说明: 关于点),(b a 对称要求横坐标之和为2a ,纵坐标之和为2b ,如())a x a x +-与（ 之和为 2a 。
（3）函数)(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y =对称。
但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。
（4）复合函数的奇偶性的性质定理：性质1、复数函数y ＝f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]。
复合函数y ＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]。
性质2、复合函数y ＝f(x ＋a)为偶函数，则f(x ＋a)＝f(－x ＋a)；复合函数y ＝f(x ＋a)为奇函数，则f(－x ＋a)＝－f(a ＋x)。
性质3、复合函数y ＝f(x ＋a)为偶函数，则y ＝f(x)关于直线x ＝a 轴对称。
复合函数y ＝f(x ＋a)为奇函数，则y ＝f(x)关于点(a,0)中心对称。
总结：x 的系数一个为1，一个为-1，相加除以2，可得对称轴方程总结：x 的系数一个为1，一个为-1，f(x)整理成两边，其中一个的系数是为1，另一个为-1，存在对称中心。
总结：x 的系数同为为1，具有周期性。
(二)、两个函数的图象对称性1、()y f x =与()y f x =-关于X 轴对称。
证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以()y f x =-经过点11(,)x y -∵11(,)x y 与11(,)x y -关于X 轴对称，∴11()y f x =与()y f x =-关于X 轴对称. 注：换种说法：)(x f y =与()()y g x f x ==-若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=y 对称。
2、()y f x =与()y f x =-关于Y 轴对称。
证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以()y f x =-经过点11(,)x y - ∵11(,)x y 与11(,)x y -关于Y 轴对称，∴()y f x =与()y f x =-关于Y 轴对称。
注：因为11(,)x y -代入()y f x =-得111(())()y f x f x =--=所以()y f x =-经过点11(,)x y -换种说法：)(x f y =与()()y g x f x ==-若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=x 对称。
()(())()g x f x f x -=--=3、()y f x =与(2)y f a x =-关于直线x a = 对称。
证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以(2)y f a x =-经过点11(2,)a x y -∵11(,)x y 与11(2,)a x y -关于x a =轴对称，∴()y f x =与(2)y f a x =-关 于直线x a = 对称。
注：换种说法：)(x f y =与()(2)y g x f a x ==-若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。
4、)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。
证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以)(2x f a y -=经过点11(,2)x a y -∵11(,)x y 与11(,2)x a y -关于y a =轴对称，∴)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称.注：换种说法：)(x f y =与()2()y g x a f x ==-若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对称。
5、)2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(a,b)对称。
证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以2(2)y b f a x =--经过点11(2,2)a x b y --∵11(,)x y 与11(2,2)a x b y --关于点(a,b)对称，∴)2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(a,b)对称.注：换种说法：)(x f y =与()2(2)y g x b f a x ==--若满足b x a g x f 2)2()(=-+，即它们关于点(a,b)对称。
(2)2(2(2))2()g a x b f a a x b f x -=---=-6、)(x a f y -=与()y f x b =-关于直线2b a x +=对称。
证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以()y f a x =-经过点11(,)a x y -,()y f b x =-经过点11(,)b x y +,∵11(,)a x y -与11(,)b x y +关于直线2b a x +=对称， ∴)(x a f y -=与()y f x b =-关于直线2b a x +=对称。
三、总规律：定义在Ｒ上的函数()x f y =，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在。
一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)(一)、函数的周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
1、周期性：（1）函数)(x f y =满足如下关系式，则T x f 2)(的周期为A 、)()(x f T x f -=+B 、)(1)()(1)(x f T x f x f T x f -=+=+或 C 、)(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或)(1)(1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立） D 、其他情形（2）函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+且)()(x b f x b f -=+，则可推出 )](2[)]2([)]2([)2()(a b x f b x a b f b x a b f x a f x f -+=---=--+=-=即可以 得到)(x f y =的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x 轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”（3）如果奇函数满足)()(x f T x f -=+则可以推出其周期是2T ，且可以推出对称 轴为kT T x 22+=)(z k ∈，根据)2()(T x f x f +=可以找出其对称中心为 )0(kT ，)(z k ∈（以上0≠T ）如果偶函数满足)()(x f T x f -=+则亦可以推出周期是2T ，且可以推出对称中心为)0,22(kT T +)(z k ∈，根据)2()(T x f x f +=可以推出对称轴为kT T x 2+=)(z k ∈ （以上0≠T ）（4）如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是 以4T 为周期的周期性函数。
如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+ （0≠T ），则函数)(x f y =是以2T 为周期的周期性函数。
定理1：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f -=+)(（其 中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期.定理2：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f --=+)(，且()x b f x b f --=+)( （其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期.定理3：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其 中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -4为周期.定理4：若函数f(x)的图像关于直线x=a 和x=b 都对称，则f(x)是周期函数，2（b-a ）是它的一个周期（未必是最小正周期）。