节点导纳矩阵法

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节点电流方程（基尔霍夫电流定律）
写成向量形式： I = YU Y : 待定导纳矩阵 I : 外电流向量 U : 节点电压向量 其中 − ykk = ∑ ykj
j =1 j ≠k n
I = [i1 i2 L in ]
T T
U = [u1 u2 L un ]
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待定导纳矩阵Y
当电路具有n个节点时，Y 为n × n矩阵： ⎛ n ⎜ ∑ y1 j − y12 L ⎜ j =2 n ⎜ ⎜ − y21 ∑ y2 j L j =1 ⎜ j≠2 ⎜ M ⎜ M ⎜ ⎜ − yn1 − yn 2 L ⎜ ⎝ 3个节点时： ⎡ y12 + y13 ⎢ −y 21 ⎢ ⎢ ⎣ − y31 − y12 y21 + y23 − y32 ⎞ − y1n ⎟ ⎟ ⎟ − y2 n ⎟ ⎟ ⎟ M ⎟ ⎟ n −1 ynj ⎟ ∑ ⎟ j =1 ⎠ − y13 ⎤ − y23 ⎥ ⎥ y31 + y32 ⎥ ⎦
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图解建立电路导纳矩阵的步骤
对于第二个元件有： &( 2) ⎤ ⎡Y ( 2) Y ( 2) ⎤ ⎡V &⎤ ⎡I 1 11 12 2 ⎢ ( 2) ⎥ = ⎢ ( 2) ⎥ ⎢ ⎥ 2 ( ) & & ⎢ ⎣I2 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣Y21 Y22 ⎥ ⎦ ⎣V3 ⎦
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图解建立电路导纳矩阵的步骤
对于理想变压器，是不存在导纳矩 阵的，所以它对应的不定导纳矩阵 也是不存在的。因此在节点导纳矩 阵法中只能对理想变压器作近似处 理，常采用包含一个串联电阻R→0 的近似电路。
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微波半导体器件 常见的半导体器件有晶体管、场效应管 和各种二极管等。这些器件通常用其集总参 数等效电路表示，因此它们的不定导纳矩阵 原则上可按公式导出。对于晶体管和场效应 管，其等效电路中包含受控电流源，因此其 不定导纳矩阵将受到受控源参数的影响。
−1
% ] 为归一化导纳矩阵， 其中[ y [ I ]为单位矩阵， ⎡ y01 ⎢ ⎡ y0 ⎤ = ⎢ O ⎣ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ 0
0
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ y0 n ⎥ ⎦
y01 , y02 ,L , y0 n为n端口元件各端外接传输线特性导纳。
22
3.2.4 电路导纳矩阵的建立方法
z 1. 建立电路导纳矩阵的步骤： 首先对电路所有节点进行编号，编号从1开始直至n（n 为正整数），接地节点不编号或编为零号。显然，最大 编号数n即为电路的总节点数，由此可得电路导纳矩阵 为n×n矩阵。 对各元件的端点进行编号并建立不定导纳矩阵。 将各元件不定导纳矩阵的元素（除与接地点相关的元素 外）逐一加入电路导纳矩阵。
2j
∑y
j =1 j ≠2
n
2j
L
− y2 n M
M − yn 2 L
∑y
j =1
n −1
M − yn 2 L
nj
− yn1
∑y
j =1
n −1
nj
0 − y21 = M − yn1
n
0
L
2j
0 − y2 n =0 M
∑y
j =1 j≠2
L
M − yn 2 L
∑y
j =1
n −1
nj
12
z 性质四：若网络的第t个节点接地（ut=0），则其 不定导纳矩阵降1阶，降阶后的矩阵称为确定导纳 矩阵。
13
3.2.3 微波元器件的待定导纳矩阵 z 在用节点导纳矩阵分析微波电路时，先要 求出电路的导纳矩阵，而电路导纳矩阵[Y] 可从电路各元器件的不定导纳矩阵中求 出，所以我们先讨论如何形成微波电路中 各元器件的不定导纳矩阵。
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集总参数元件
⎡ y − y⎤ [Y ] = ⎢ ⎥ ⎣− y y ⎦
对于第三个元件有： &( 3) ⎤ ⎡Y (3) Y (3) Y (3) ⎤ ⎡V ⎡I &⎤ 1 11 12 13 3 ⎢ ( 3) ⎥ ⎢ ( 3) ⎥ ⎢ ⎥ ( 3) ( 3) & & ⎢ I 2 ⎥ = ⎢Y21 Y22 Y23 ⎥ ⎢V2 ⎥ ⎢ &( 3) ⎥ ⎢ ( 3) ( 3) ( 3) ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎣ I3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣Y31 Y32 Y33 ⎥ ⎦⎣ ⎦
j =1 n
k = 1, 2,L , n
又由于u1 =u2 = L =un ≠ 0，所以
∑y
j =1
n
1j
= ∑ y2 j = L = ∑ ynj = 0
j =1 j =1
n
n
11
z 性质三：Y的行列式值为零。
∑y
j =2 n 1j
− y12
L L
− y1n − y2 n M
− y21 M − yn1
2
3.2.1 待定导纳矩阵的定义
z 设某个电路网络有n个节点，在分析过程中电路不 接地，这样更具有通用性。上图表示的是给定n个 节点网络的局部电路。节点j与节点k之间导纳用
ykj或yjk表示，ykj=yjk。当k节点与任意节点j （j=1,2,…,n,且j≠k）有支路直接相连时，此两 节点之间的导纳才能定位ykj（=yjk）；而与k节点 不直接相连接的各节点x与k之间的导纳应定为 零，即ykx=0。
2. 3.
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图解建立电路导纳矩阵的步骤
设一微波电路如图所示，它由两个三端元件和一个二端 元件连接组成，图中的三个元件分别用Y(1)，Y(2)，Y(3)表 示，括号里的编号为各元件端点编号，圆内编号为电路端点 编号。
24
图解建立电路导纳矩阵的步骤
1.
首先对电路所有节点进行编号，编号从①开始直至③， 接地节点不编号或编为零号。显然，最大编号数3即为 电路的总节点数，由此可得电路导纳矩阵为3×3矩阵。
3
节点电流方程（基尔霍夫电流定律）
ik + ∑ ( u j − uk ) ykj = 0
j =1 j ≠k n
展开得到： ik = ∑ uk ykj − ∑ u j ykj
j =1 j ≠k j =1 j≠k n n
4
节点电流方程（基尔霍夫电流定律）
引入符号：ykk = −∑ ykj
j =1 j≠k n
5
节点电流方程（基尔霍夫电流定律）
全电路共有n个节点：
n ⎧ ⎪i1 = −∑ u j y1 j j =1 ⎪ n ⎪ ⎪i2 = −∑ u j y2 j j =1 ⎨ ⎪M ⎪ n ⎪ ⎪in = −∑ u j ynj j =1 ⎩
6
节点电流方程（基尔霍夫电流定律）
全电路节点方程组： ⎛ i1 ⎞ ⎛ − y11 ⎜ ⎟ ⎜ i y − 2 ⎜ ⎟ = ⎜ 21 ⎜M⎟ ⎜ M ⎜ ⎜i ⎟ ⎟ ⎜ ⎜−y ⎝ n ⎠ ⎝ n1 − y12 L − y1n ⎞ ⎛ u1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ − y22 L − y2 n ⎟ ⎜ u2 ⎟ M M ⎟⎜ M ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ − yn 2 L − ynn ⎠ ⎝ un ⎟ ⎠
3.2 节点导纳矩阵法（待定导纳矩阵法） Admittance Matrix Method
1
一般电路
端点：元件与外部连线的衔接点； 端口：电路网络的输入与输出口， 一个端口由两个端点构成； 节点：元件与元件的端点互相连接 之处； 支路：两个节点之间的通路； 回路：由一个节点出发，再回到该 节点的一组支路。
n
n
节点电压u j 可为任何值 → 各项系数为零
∑y
k =1
n
k1
= ∑ yk 2 = L = ∑ ykn = 0
k =1 k =1
10
n
n
z 性质二：行元素之和为零。
假设各节点电位都相等且不为零（u1 =u2 = L =un ≠ 0）。 由于节点间无电位差，所以各电流都为零。 ik = −∑ u j ykj = 0
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微波半导体器件
根据基尔霍夫电流定律： I1 + jωC2 (V2 − V1 ) + ( G1 + jωC1 )(V3 − V1 ) = 0 I 2 + jωC2 (V1 − V2 ) + ( G2 + jωC3 )(V3 − V2 ) − g m (V1 − V3 ) = 0 I 3 + ( G1 + jωC1 )(V1 − V3 ) + ( G2 + jωC3 )(V2 − V3 ) + g m (V1 − V3 ) = 0
25
图解建立电路导纳矩阵的步骤
2.
对各元件的端点进行编号并建立不定导纳矩阵。设端点 ①、②、③对地的电压分别为 V1，V2，V3。
26
图解建立电路导纳矩阵的步骤
对于第一个元件有： &(1) ⎤ ⎡Y (1) Y (1) Y (1) ⎤ ⎡V ⎡I &⎤ 1 11 12 13 1 ⎢ (1) ⎥ ⎢ (1) ⎥ (1) (1) ⎢ ⎥ & ⎥ = ⎢Y Y Y ⎢I 2 21 22 23 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ &(1) ⎥ ⎢ (1) &⎥ (1) (1) ⎥ ⎢V I Y Y Y ⎣ ⎢ 32 33 ⎥ ⎣ 3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ 31 ⎦ 2⎦
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利用S参数求待定导纳矩阵 实际电路中尚有一些微波元器件，它们 的导纳矩阵或等效电路中 Ykj 不可能精确的 从理论分析中导出。对于这类元器件，一般 采用测量方法测出其散射矩阵参数，然后将 它变换成导纳矩阵参数，再求出待定导纳矩 阵。
21
利用S参数求待定导纳矩阵
[S ] → [ y] :
% ] = ([ I ] − [ S ]) ([ I ] + [ S ]) [y ⎤ % ⎡ ⎤ [ y] = ⎡ ⎣ y0 ⎦ [ y ] ⎣ y0 ⎦
9
3.2.2 待定导纳矩阵的性质
z 性质一：列元素之和为零。
全部流入电路的外电流总和为零： ⎛ n ⎞ ik = ∑ ⎜ ∑ ykj u j ⎟ = 0 ∑ k =1 k =1 ⎝ j =1 ⎠
nห้องสมุดไป่ตู้n
∑y
k =1
n
k1 1
u + ∑ yk 2u2 + L + ∑ ykn un = 0
k =1 k =1
i1 = − y11u1 − y12u2 L − y1t ut L − y1nun i2 = − y21u1 − y22u2 L − y2t ut L − y2 nun LLLLLLLLLLLLLLL it = − yt1u1 − yt 2u2 L − ytt ut L − ytnun LLLLLLLLLLLLLLL in = − yn1u1 − yn 2u2 L − ynt ut L − ynnun ut = 0 → 去掉第t列 性质一 → 去掉第t行
⎧1 R ⎪ y = ⎨ jωC ⎪1 jω L ⎩
电阻 电容 电感
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均匀传输线
θ ⎧ = Y jY tg ⎪ 1 0 2 ⎨ ⎪Y2 = − jY0 csc θ ⎩
⎛ ⎜ − jY0 ctgθ ⎜ Y = ⎜ jY0 csc θ ⎜ ⎜ θ ⎜ jY tg − 0 ⎜ 2 ⎝
jY0 csc θ − jY0 ctgθ − jY0tg
上式右边第一项：
∑u
j =1 j ≠k
n
k
ykj = uk ∑ ykj = uk ( − ykk ) = −uk ykk
j =1 j ≠k
n
节点电流方程写为： ⎛ ⎞ n n ik = − ⎜ uk ykk + ∑ u j ykj ⎟ = −∑ u j ykj ⎜ ⎟ j =1 j =1 ⎜ ⎟ j≠k ⎝ ⎠
∑y
j =1 j ≠2
n
⎛ ⎞ n n n −1 ⎛ n ⎞ ⎜ n ⎛ n −1 ⎞ ⎟ ⎜ ∑ y1 j − ∑ y1 j ⎟ ⎜ ∑ y2 j − ∑ y2 j ⎟ L ⎜ ∑ ynj − ∑ ynj ⎟ j =2 j =1 j =1 1 ⎟ ⎝ j =2 ⎠ ⎜ jj = ⎝ j =1 ⎠ j ≠2 ⎝ ≠2 ⎠ = − y21 M
19
微波半导体器件
整理得到： − jωC2 − ( G1 + jωC1 ) ⎤ ⎡V1 ⎤ ⎡ I1 ⎤ ⎡ G1 + jω ( C1 + C2 ) ⎥⎢ ⎥ ⎢I ⎥ = ⎢ g − j ω C G + j ω C + C − G + g + j ω C ( ) ( ) m m 2 2 2 3 2 3 ⎥ ⎢V2 ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎢ − ( G2 + jωC3 ) G1 + G2 + g m + jω ( C1 + C3 ) ⎥ ⎣ I3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣V3 ⎥ ⎦ ⎣ − ( G1 + g m + jωC1 ) ⎦⎢ → 待定导纳矩阵 − jωC2 − ( G1 + jωC1 ) ⎡ G1 + jω ( C1 + C2 ) ⎤ ⎥ g j ω C G j ω C C G g j ω C − + + − + + ( ) ( ) [Y ] = ⎢ m 2 2 2 3 2 m 3 ⎢ ⎥ ⎢ − ( G2 + jωC3 ) G1 + G2 + g m + jω ( C1 + C3 ) ⎥ ⎣ − ( G1 + g m + jωC1 ) ⎦
θ
2
2⎟ ⎟ θ − jY0tg ⎟ 2⎟ θ⎟ 2 jY0tg ⎟ ⎟ 2⎠
16
− jY0tg
θ⎞
理想变压器
⎛ 1 ⎜ ⎜ R ⎜ 1 Y = ⎜− ⎜ nR ⎜ 1− n ⎜ ⎝ nR
1 − nR 1 n2 R n −1 n2 R
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 ( n − 1) ⎟ ⎟ n2 R ⎠ 1− n nR n −1 n2 R