2019-2020学年海南省海南中学高一下学期期中数学试卷 (解析版)

2019-2020学年海南省海南中学高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共8小题）.
1．函数的最小正周期是（）
A．B．πC．2πD．4π
2．已知复数z1＝3+4i，z2＝5﹣2i所对应的点分别是Z1，Z2，那么向量对应的复数是（）
A．3+4i B．5﹣2i C．2﹣6i D．﹣2+6i
3．在四边形ABCD中，若，则（）
A．四边形ABCD是平行四边形
B．四边形ABCD是矩形
C．四边形ABCD是菱形
D．四边形ABCD是正方形
4．已知m，n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β＝l，则直线l（）A．与m，n都相交
B．与m，n都不相交
C．与m，n中至少一条相交
D．至多与m，n中的一条相交
5．已知两个复数，，则α3+β3的值是（）A．1B．2C．﹣2D．3
6．在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝1．点M满足，则＝（）A．1B．2C．3D．4
7．在直角梯形ABCD中，AD⊥CD，AD∥BC，BC＝2AD＝2CD＝2，若将直角梯形绕AD 边旋转一周，则所得几何体的表面积为（）
A．B．C．D．
8．已知函数f（x）＝a sin x+cos x的图象的一条对称轴是，则函数g（x）＝sin x+a cos x ＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的一个初相是（）
A．B．C．D．
二、多项选择题（共4小题）.
9．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A＝60°，b＝2，，则下列说法正确的是（）
A．C＝75°或C＝105°B．B＝45°
C．D．该三角形的面积为
10．下列推理正确的是（）
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α
B．l⊄a，A∈l⇒A∉α
C．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB
D．A，B，C∈α；A，B，C∈β，且A，B，C三点不共线⇒α，B重合
11．设函数f（x）＝sin（2x+）+cos（2x+），则f（x）（）A．是偶函数
B．在区间上单调递增
C．最大值为2
D．其图象关于点对称
12．若△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且，则下列结论正确的是（）
A．∠BOC＝90°B．∠AOB＝90°C．D．
三、填空题
13．复数的虚部是．
14．已知向量与的夹角为，||＝||＝1，且⊥（﹣λ），则实数λ＝．15．阿基米德（公元前287年﹣﹣公元前212年）的墓碑上刻有“圆柱容球”（如图）这一几何图形，这是因为阿基米德在他的许许多多的科学发现中，以“圆柱容球”定理最为满意．“圆柱容球”是指圆柱的底面直径与高都等于球的直径，对圆柱与球的体积与
面积而言，写出你推出的两个结论（指相等关系）．（注：用文字或者符号表示均可）
16．在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°．BC＝2，则AB的取值范围是．四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是等腰直角三角形，且AB＝AC＝4，侧棱AA1＝5．（1）在给定的坐标系中，用斜二测画法画出该三棱柱的直观图（不要求写出画法，但要标上字母，并保留作图痕迹）；
（2）求该三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积．
18．已知向量，，，且，．（1）求与；
（2）若，，求向量，的夹角的大小．
19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3b2+3c2﹣4bc＝3a2．（1）求sin A；
（2）若3c sin A＝a sin B，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
20．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜π）的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式．
（2）将函数y＝f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．
21．如图，正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，P，Q，R分别在棱AB，BB'，CC'上，且DP，RQ 相交于点O．
（1）求证：DP，RQ，BC三线共点．
（2）若正方体的棱长为2，且P，R分别是线段AB，CC'的中点，求三棱锥O﹣PB'R 的体积．
22．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a cos B＝2c﹣b．（1）若cos（A+C）＝﹣，求cos C的值；
（2）若b＝5，•＝﹣5，求△ABC的面积；
（3）若O是△ABC外接圆的圆心，且•+•＝m，求m的值．
参考答案
一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数的最小正周期是（）
A．B．πC．2πD．4π
【分析】套用正弦型三角函数的最小正周期计算公式，即可算出结果．
解：因为，
所以．
故选：D．
2．已知复数z1＝3+4i，z2＝5﹣2i所对应的点分别是Z1，Z2，那么向量对应的复数是（）
A．3+4i B．5﹣2i C．2﹣6i D．﹣2+6i
【分析】由已知求得与的坐标，得到的坐标，则答案可求．
解：∵复数z1＝3+4i，z2＝5﹣7i所对应的点分别是Z1，Z2，
∴，，
∴向量对应的复数是2﹣4i．
故选：C．
3．在四边形ABCD中，若，则（）
A．四边形ABCD是平行四边形
B．四边形ABCD是矩形
C．四边形ABCD是菱形
D．四边形ABCD是正方形
【分析】利用向量加法的平行四边形法则，判断选项即可．
解：在四边形ABCD中，，由向量加法的平行四边形法则，可知四边形ABCD 是平行四边形．
故选：A．
4．已知m，n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β＝l，则直线l（）A．与m，n都相交
B．与m，n都不相交
C．与m，n中至少一条相交
D．至多与m，n中的一条相交
【分析】利用同一个平面内两条直线的位置关系以及空间里两条直线的位置关系解答．解：因为已知m，n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β＝l，所以直线l与m共面于平面α，与n共面于平面β，
如果l与m平行，则l与n必相交；如果与n平行与m必相交；排除A；
如果l与m不平行只有相交，同理，与n不平行必相交；所以得直线l可以同时与l，m 都相交，但是交点不重合，由此能排除选项D；
故选：C．
5．已知两个复数，，则α3+β3的值是（）A．1B．2C．﹣2D．3
【分析】展开立方和公式，代入α，β的值，再由复数代数形式的四则运算得答案．解：∵，，
∴α3+β3＝（α+β）（α2﹣αβ+β7）
＝﹣1×（﹣1）＝2．
故选：B．
6．在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝1．点M满足，则＝（）A．1B．2C．3D．4
【分析】由题意知，△ABC为等腰直角三角形，点A为线段BM的中点，＝（）•，展开后结合平面向量数量积运算法则进行求解即可．
解：由题意知，△ABC为等腰直角三角形，
∴AC＝，∠BAC＝45°．
∴＝（）•＝+•＝+2×cos45°＝3．
故选：C．
7．在直角梯形ABCD中，AD⊥CD，AD∥BC，BC＝2AD＝2CD＝2，若将直角梯形绕AD 边旋转一周，则所得几何体的表面积为（）
A．B．C．D．
【分析】几何体为圆柱中挖去一个小圆锥，计算各面的面积即可得出表面积．
解：将直角梯形绕AD边旋转一周，则所得几何体为底面半径为1，高为2的圆柱中挖去一个同底的，高为1的圆锥，
圆锥的母线为，
故选：B．
8．已知函数f（x）＝a sin x+cos x的图象的一条对称轴是，则函数g（x）＝sin x+a cos x ＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的一个初相是（）
A．B．C．D．
【分析】运用辅助角公式可得f（x）＝sin（x+θ）（θ为辅助角），代入x＝﹣，得到方程解得a，再由两角差的正弦公式即可得到初相．
解：函数f（x）＝a sin x+cos x＝sin（x+θ）（θ为辅助角），
则由题意：a sin（﹣）+cos（﹣）＝±，
解得：a＝﹣，
则函数g（x）的初相为﹣．
故选：A．
二、多项选择题：在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求．
9．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A＝60°，b＝2，，则下列说法正确的是（）
A．C＝75°或C＝105°B．B＝45°
C．D．该三角形的面积为
【分析】由余弦定理求出a的值，再由正弦定理求得角B，
利用三角形内角和定理求出C的值，再计算△ABC的面积．
解：△ABC中，A＝60°，b＝2，，
由余弦定理得，a2＝22+﹣2×2×（+1）×cos60°＝6，
由正弦定理得，＝，
又b＜a，所以B＝45°，所以B正确；
所以△ABC的面积是S△ABC＝×2×（+1）×sin60°＝，所以D错误．故选：BC．
10．下列推理正确的是（）
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α
B．l⊄a，A∈l⇒A∉α
C．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB
D．A，B，C∈α；A，B，C∈β，且A，B，C三点不共线⇒α，B重合
【分析】利用平面的基本性质对四个命题分别分析解答．
解：对于A，A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，根据平面的基本性质得到l⊂α正确；
对于B，l⊄a，A∈l，根据线和面的位置关系以及点和面的位置关系可得A可能在α内，也可能不在，故B错误；
对于D，A，B，C∈α，A，B，C∈β且A，B，C不共线，根据不共线的三点确定一个平面，容易得到α与β重合；正确；
故选：ACD．
11．设函数f（x）＝sin（2x+）+cos（2x+），则f（x）（）A．是偶函数
B．在区间上单调递增
C．最大值为2
D．其图象关于点对称
【分析】首先，根据辅助角公式得到f（x）＝cos2x，
由于f（﹣x）＝f（x），可得y＝f（x）为偶函数，可得A正确；
利用余弦函数的单调性可得B选项不符合题意；
利用余弦函数的性质可得f（x）的最大值是，可得选项C不符合题意；
利用余弦函数的对称性可得当k＝0时，其图象关于点对称，可得D正确，由此得解．
解：∵函数f（x）＝sin（2x+）+cos（2x+）
＝sin[（2x+）+]
＝cos2x，
∵f（﹣x）＝cos（﹣2x）＝cos2x＝f（x），y＝f（x）为偶函数，故A正确；
f（x）的最大值是，故选项C不符合题意．
故选：AD．
12．若△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且，则下列结论正确的是（）
A．∠BOC＝90°B．∠AOB＝90°C．D．
【分析】可由得，两边平方，再根据
，可算出的值，同理可算出的值，则问题可迎刃而解．
解：由已知得：，
因为，所以，
解得≠0，故A错误；
故，故∠AOB＝90°，故B正确；
＝＝，故D正确．
故选：BD．
三、填空题
13．复数的虚部是﹣2．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
解：∵＝，
∴的虚部为﹣2．
故答案为：﹣2．
14．已知向量与的夹角为，||＝||＝1，且⊥（﹣λ），则实数λ＝2．【分析】根据条件即可得出，由即可得出，进行数量积的运算即可求出λ．
解：∵向量与的夹角为，||＝||＝1，且；
∴；
故答案为：2．
15．阿基米德（公元前287年﹣﹣公元前212年）的墓碑上刻有“圆柱容球”（如图）这一几何图形，这是因为阿基米德在他的许许多多的科学发现中，以“圆柱容球”定理最为满意．“圆柱容球”是指圆柱的底面直径与高都等于球的直径，对圆柱与球的体积与面积而言，写出你推出的两个结论V球＝V圆柱，S球＝S圆柱侧（指相等关系）．（注：用文字或者符号表示均可）
【分析】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，根据球与圆柱的体积和表面积公式，计算即可得出结论．
解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R．
∴球的体积为V球＝R3，表面积为S球＝5πR2；
侧面积为S圆柱侧＝2πR•2R＝4πR2；
故答案为：V球＝V圆柱，S球＝S圆柱侧．
16．在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°．BC＝2，则AB的取值范围是（﹣，+）．
【分析】如图所示，延长BA，CD交于点E，设AD＝x，AE＝x，DE＝x，CD＝m，求出x+m＝+，即可求出AB的取值范围．
解：方法一：
如图所示，延长BA，CD交于点E，则
∴设AD＝x，AE＝x，DE＝x，CD＝m，
∴（x+m）sin15°＝1，
∴0＜x＜4，
∴AB的取值范围是（﹣，+）．
方法二：
当直线移动时，运用极限思想，
①直线接近点C时，AB趋近最小，为﹣；
②直线接近点E时，AB趋近最大值，为+；
故答案为：（﹣，+）．
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是等腰直角三角形，且AB＝AC＝4，侧棱AA1＝5．（1）在给定的坐标系中，用斜二测画法画出该三棱柱的直观图（不要求写出画法，但要标上字母，并保留作图痕迹）；
（2）求该三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积．
【分析】（1）根据斜二测画法作图即可；
（2）三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积S＝+++2S
．
△ABC
解：（1）该三棱柱的直观图如图所示．
＝AB•AA1+AC•AA1+BC•BB1+6×AB•AC
＝56+20．
18．已知向量，，，且，．（1）求与；
（2）若，，求向量，的夹角的大小．
【分析】（1）由平面向量的共线定理和垂直的定义，列方程求出x、y的值即可；
（2）由平面向量的数量积求向量的夹角即可．
解：（1）向量，，，
由，得1•x﹣2×3＝0，
所以＝（3，6）；
解得y＝﹣1，
（2）由＝2（1，2）﹣（3，6）＝（﹣8，﹣2），
所以•＝﹣1×3﹣2×1＝﹣5，
所以cosθ＝＝＝﹣，
所以向量，的夹角为θ＝．
19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3b2+3c2﹣4bc＝3a2．（1）求sin A；
（2）若3c sin A＝a sin B，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【分析】（1）先把题设条件代入关于A的余弦定理中，求得cos A的值，进而利用同角三角函数的基本关系求得sin A的值．
（2）由已知及正弦定理可解得b＝，利用三角形的面积公式可求c的值，进而可求b，利用余弦定理可求a，即可得解△ABC的周长的值．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）∵3b2+4c2﹣4bc＝4a2，
又0＜A＜π，
（2）∵3c sin A＝a sin B，
∵△ABC的面积为＝bc sin A＝×，
∴b＝3，…11分
∴a＝＝，可得：△ABC的周长a+b+c＝2+3+…
12分
20．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜π）的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式．
（2）将函数y＝f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．
【分析】（1）由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，有特殊点的坐标求出A，可
得函数的解析式．
（2）利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．
解：（1）根据函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜π）的部分图象，
可得•＝﹣，∴ω＝1．
再根据函数的图象经过点（7，2），可得A sin＝2，
（2）将函数y＝f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，可得y ＝7sin（2x+）的图象．
令2kπ﹣≤5x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得g（x）的减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
21．如图，正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，P，Q，R分别在棱AB，BB'，CC'上，且DP，RQ 相交于点O．
（1）求证：DP，RQ，BC三线共点．
（2）若正方体的棱长为2，且P，R分别是线段AB，CC'的中点，求三棱锥O﹣PB'R 的体积．
【分析】（1）由题意利用公理3即可证明DP，RQ，BC三线共点；
（2）由已知证明Q为棱BB′上靠近B的四分之一分点，然后求出△OB′R的面积，再由等体积法求三棱锥O﹣PB'R的体积．
解：（1）证明：∵DP∩RQ＝O，∴O∈RQ且O∈DP，
又DP⊂平面ABCD，RQ⊂平面BB′C′C，
又面ABCD∩面BCC1B1＝BC，
∴DP，RQ，BC三线共点；
∴B为OC的中点，又，∴BQ＝RC＝＝．
则S△OB′R＝S△OB′Q+S△QB′R＝．
∴V O﹣PB′R＝V P﹣OB′R＝．
22．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a cos B＝2c﹣b．（1）若cos（A+C）＝﹣，求cos C的值；
（2）若b＝5，•＝﹣5，求△ABC的面积；
（3）若O是△ABC外接圆的圆心，且•+•＝m，求m的值．【分析】（1）利用正弦定理化简条件可得A＝60°，cos B＝，利用和角公式求出cos C；
（2）根据＝和•＝﹣5列方程即可求出c，代入面积公式即可；
（3）式子两边同乘，根据正弦定理及数量积的定义化简即可得出m．
解：（1）由2a cos B＝2c﹣b，得2sin A cos B＝2sin C﹣sin B，
∴2sin A cos B＝3sin（A+B）﹣sin B，即2cos A sin B﹣sin B＝0，
由cos（A+C）＝﹣cos B＝﹣，知cos B＝，
所以cos C＝cos（120°﹣B）＝﹣cos B+sin B＝．
又b＝5，解得c＝8，
（3）由•+•＝m，
∵O是△ABC外接圆的圆心，
又||＝，
即cos B sin C+cos C sin B＝m，
∴m＝2（cos B sin C+sin B cos C）＝2sin（B+C）＝2sin A＝．。