谈反证法在分析学中的应用文献综述
浅谈反证法在数学分析中的应用
ｌ 一 Ａ ｌ １ （ ｌ ， ２ ， … ） ， 即３ ｅ ｏ ： １ 对Ｖ Ｎ ， ３ ｎ ｏ ＝ ２ ｋ ｏ ＞ Ｎ，
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３ — ０ ５ — １ ６
作者简介 ： 高婷 婷 （ １ ９ ７ ９ － ） ， 甘 肃礼 县 人 ， 陇 南师 范 高等 专 科 学校 数 学 系讲 师 ， 研 究方向： 应 用数 学 。
２ ０ １ ３年 １ １ 月
安 阳工 学 院学 报
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ａｎ ｙ ａ ｎ ｇ Ｉ ｎ ｓ ｔ ｉ ｔ ｕ ｔ ｅ ｏ ｆ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ
ＮＯ Ｖ ． ２ ０ １ ３
第 １ ２卷 第 ６期 （ 总第 ６ ６期 ）
Ｖ ｏ １ ． １ ２ Ｎ ｏ ． ６ （ Ｇ ｅ ｎ ． Ｎ ｏ ． ６ ６ ）
浅谈反证法在数学分析中的应用
高婷 婷 ， 张 明会
．
（ 陇南 师范等 等 专科 学校 数 学 系， 甘 肃 成县 ７ ４ ２ ５ ０ ０ ）
反证法论文：浅谈反证法及其应用
反证法论文：浅谈反证法及其应用摘要:本文主要介绍了反证法及反证法的常用场合,本文把反证法的常用场合分为八点,分别是:①命题结构采取否定形式,结论反面却是肯定判断;②有关唯一性的问题;③命题结论是“至多”“至少”形式;④命题结论涉及无限集或数目不确定的对象;⑤某些起始命题。
⑥难证的逆命题;⑦命题结论的反面较结论本身具体、简单、直接证明难以下手时;⑧直接论证不习惯,不适应。
关键词:反证法反设归谬结论矛盾一、什么是反证法1589年,25岁的意大利科学家伽俐略,登上比萨斜塔,同时丢了两个不同的铁球,用实验推翻了古希腊科学家亚里士多德的“不同重量的物体从高处下落的速度与其重量成正比”的错误论断,这是众所周知的。
但你可能不知道,伽俐略还进行了如下的推理论证:假设亚里士多德的断言是正确的。
设物体a比物体b重得多,则a应比b先落地,现在把a 和b捆在一起成为物体a+b。
一方面由于a+b比a重,它应比a先落地;另一方面,由于a比b落得快,a、b一起时,b应“拉了a的后腿”,使a下落的速度减慢,所以,a+b应比a先落地,有应比a后落地,这个矛盾来源于亚里士多德的断言。
因此,亚里士多德的断言是错误的。
伽俐略的论证是有力的,逻辑性极强的,而伽俐略所用的方法,就是我们现在要介绍的反证法。
反证法是一种间接法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设。
然后,从这个假设出发经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法。
用反证法证明一个命题的步骤大体上可以分为三个步骤:（1）反设——假设待证结论不成立,亦即肯定待证结论的反面,并将其作为增加条件,添加到给定的题设中去。
（2）归谬——从题设和反设出发,通过推理和论证,最终推出矛盾。
（3）结论——说明待证命题结论的反面不能成立,再根据排中律（否定反面,肯定正面）,从而肯定欲证命题的结论。
二、反证法的分类按照反设所涉及到的情况的多少,反证法可以分为归谬反证法与穷举反证法。
反证法在初中数学解题中的应用探讨
反证法在初中数学解题中的应用探讨初中数学作为学生学习的一门重要学科，是培养学生逻辑思维能力和解决实际问题的能力的重要途径。
在初中数学中，反证法是一种常见的证明方法，也是解决数学问题的有效手段之一。
本文将探讨反证法在初中数学解题中的应用及其重要性，帮助学生更好地理解和掌握这一证明方法。
一、反证法的基本概念我们先来了解一下反证法的基本概念。
反证法是一种证明方法，通过假设所要证明的结论不成立，推导出与已知事实矛盾的结论，从而证明原命题的方法。
简而言之，就是假设反面，然后推导出矛盾，从而推翻原假设，从而达到证明的目的。
要证明“根号2是无理数”，可以采用反证法。
假设根号2是有理数，即可以表示为一个分数a/b，其中a、b为整数，并且a、b没有公因数。
那么，根号2=a/b可得2=(a/b)²,进一步可得2b²=a²。
这时候可以得出，a²是2的倍数，那么a也是2的倍数，设a=2m,那么可以得出2b²=(2m)²,得b²=2m².可见b²也是2的倍数，那么b也是2的倍数。
而这与a、b没有公因数的前提相矛盾，所以得出根号2是无理数。
可以看出，通过反证法，我们成功地证明了根号2是无理数的结论。
二、反证法在初中数学中的应用在初中数学中，反证法常常在几何问题、不等式问题以及集合问题中得到应用。
下面我们将通过具体的数学问题来探讨反证法在初中数学中的应用。
1. 几何问题在初中数学的几何学习中，有些问题需要证明一些形状或者性质的关系，可以运用反证法。
证明平行线性质、三角形全等性质以及圆的性质等。
一般来说，通过假设反面，推导出矛盾来证明原命题的正确性。
举个例子，要证明“平行线上的等角是相等的”，可以采用反证法。
可以假设在平行线上存在两个等角，但是这两个角却不相等。
通过推导出这种假设的矛盾，可以证明原命题的正确性。
2. 不等式问题在初中数学的不等式学习中，有些问题需要证明不等式的大小关系，可以运用反证法。
浅谈中学数学中的反证法
浅谈中学数学中的反证法摘要：反证法在数学中是一种非常重要的间接证明方法，它被称为“数学家最精良的武器之一”，又称为归谬法、背理法。
反证法亦称“逆证”。
其不仅是一种论证方法，对提升学生创新性思维能力与概念思维能力具有积极作用，从某种角度可以说，反证法还是一种思维方式，其还能拓展学生的解题思路，从而使学生形成良好的数学思维。
反证法在中学数学中有着广泛的应用，如今学生在运用反证法解题中，基础一般的学生会受到思维能力的限制，如果能恰当的使用反证法，在一些有难度的题目上也许能够得到解决。
所以本文首先会叙述反证法的产生，具体阐述反证法的定义，即反证法的概念、分类、科学性，介绍逆证在中学数学中的实际运用并论述了逆证应用的具体需要注意的一些问题。
关键词：反证法；中学数学；应用；On the Proof by Contradiction in Middle SchoolMathematicsAbstract：Proof by contradiction is a very important indirect proof method in mathematics, it is called "one of the most sophisticated weapons of mathematicians", also known as reduction to absurdity, unreasonable method. Proof by contradiction is not only an argumentation method, but also a way of thinking. It plays an extremely important role in cultivating and improving students' logical thinking ability and creative thinking ability. It can also expand students' thinking of solving problems, so that students can form good mathematical thinking. Anyway, the method has been widely used in middle school mathematics. Nowadays, when students solve problems with the method of proof by contradiction, the students with general foundation are limited by their thinking ability. If the method of proof by contradiction can be used properly, they may be able to solve some difficult problems. Therefore, this paper will first describe the source of proof by contradiction, specifically elaborate the definition of proof by contradiction, that is, the concept, classification and logical basis of proof by contradiction, introduce the application of proof by contradiction in middle school mathematics and explain the problems to be noticed in the application of proof by contradiction.Keywords：proof by contradiction; Middle school mathematics; Application;目录目录浅谈中学数学中的反证法 (1)1 引言 (1)2 反证法的产生 (1)2.1古希腊的反证法 (1)2.2 中国古代数学中的反证法 (2)3 反证法的定义与步骤 (2)3.1 反证法的定义 (2)3.2反证法的解题步骤 (2)4 反证法的分类与科学性 (4)4.1反证法的分类 (4)4.1.1归谬法例题 (4)4.1.2穷举法例题 (4)4.2反证法的科学性 (5)4.2.1反证法的理论依据 (5)4.2.2反证法的可信性 (5)4.3为什么要使用反证法 (6)5 反证法在中学数学中的应用 (6)5.1基本命题，即学科中的起始性命题 (6)5.2命题采取否定形式 (7)5.3有关个数的命题 (9)5.4结论涉及无限集或数目不确定的命题 (10)5.5不等式类型 (11)5.6几何类型题 (12)6 使用反证法解题过程中要注意的问题 (13)6.1反设要正确 (13)6.2 要明确推理特点 (13)6.3能灵活运用 (13)6.4 反证法与举反例不等同 (14)6.5熟悉矛盾的种类 (14)7 总结 (14)参考文献 (14)致谢 (15)浅谈中学数学中的反证法1 引言反证法是间接论证的方法之一，亦称“逆证”、矛盾证法;。
反证法的文献综述
反证法的文献综述
反证法也被称为反论法或归结法，它是一种博弈论/演绎逻辑学中使用
的数学技术，用于判断某一命题是否成立，而非对其进行讨论与分析。
反证法的主要思想是，如果将某一命题假定为假，则可以得到与事实
不符的结果。
反证法的应用可以追溯至古代哲学家柏拉图的作品中，然而，20世纪初，当数学演绎加入归结逻辑学中时，反证法这一概念得以发展和广
泛应用。
从20世纪的随后几十年中，英国经验主义哲学家皮亚芙提出
了著名的“双重标准原则”，将不同类型的论证区分开来，使反证法更
加突出，使它成为发展和应用最广泛的武器。
随着科学研究的不断深入，反证法也在不断发展和改进，如在数学上，以及统计结果复发检验，贝叶斯分析，量子力学中采用反证法进行假
设检验；在心理学上，反证法被用来检测非科学的思想；在社会学上，反证法也被用来进行政策反馈性分析；在气候学研究中，又被用来证
明气候变化和自然灾害之间的关系；此外，反证法也被用于基因工程
的研究、计算机科学的软件验证和新兴信息学的预言。
总之，反证法是一种博弈/演绎逻辑学中常用的工具，用于检验、分析、识别和论证某一命题是否成立，它已经得到了广泛的应用，被广泛应
用于许多不同的领域，如数学、心理学、社会学、气候学和信息学中的研究。
谈反证法在分析学中的应用文献综述
谈反证法在分析学中的应用XXX(莆田学院数学学院指导教师: XXX)一、研究背景及动态反证法的应用是分析学中的一个非常重要的课题，它不但是高等数学和数学分析中许多问题的解题基础,并且它也为许多数学分支,如微分几何、常微分方程、泛函分析等的进一步研究提供了坚实的理论依据。
目前国内外已经有很多学者研究反证法在分析学中的应用这个课题。
一般而言，在现在的大学学习阶段，对于反证法的应用提及的不少,但只是说到一些表面的应用，而且没有针对反证法的应用进行分类归纳。
而现行的数学专业教材中则很少对此作出总结，文献综述也较为分散,本课题是在前人学者研究的基础之上针对教材相关知识点的概括和升华.对以后解决相关的命题可能会起到不可替代的作用，为我们进一步学习和掌握相关内容提供了更好更全的方法。
二、评述从命题结论的反面出发,引出矛盾,从而证明原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。
反证法是一种十分重要的数学证明方法，它的使用可以上溯到毕达哥拉斯学派，与无理数的发现密切相关。
法国数学家阿达玛（J.Hamdamard，1865～1963）对反证法的实质做过概况:“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。
英国数学家牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。
正是由于前人学者对于反证法的重视和研究，也是由于反证法的重要性，以至于现在我们不得不重新审视反证法，对于反证法的应用再次进行归纳总结和推广。
陈艳凌、陈继龙、张锐梅几位学者在“关于数学分析中宜用反证法证明的问题"一文中指出，运用反证法证明的习题类型及规律是：1.证明“函数某个特定常数”；2.在已知极限存在货易证出极限存在的前提下,证明“极限等于零”或“极限等于某个特定常数”；3.证明有关“不存在”的题目；4。
证明“至少有一点"的题目，对于题设中函数不具连续条件者，有时适宜用实数理论找点，再用反证法证明为所求；5.证明集合个数为“有限个"；6。
谈谈“反证法”证明题中的应用
谈谈“反证法”证明题中的应用【摘要】在数学问题的证明中，反证法是一种重要的证明方法，用反证法证明命题成立的基本步骤可以简单地概括为“否定-推理-反驳-肯定”。
【关键词】反证法存在性否定性唯一性证明矛盾在数学问题证明中，反证法是一种重要的证明方法，反证法经常被用来证明存在性、否定性、唯一性等一些不易直接下手的命题。
要证命题“若A则B”正确，途径之一是证与其等价的逆否命题正确。
即从否定B出发，作出一系列正确、严密、合乎逻辑的推理，最后推出与A矛盾的结论，即原命题得证。
用反证法证明命题成立的基本步骤可以简单地概括为“否定-推理-反驳-肯定”四个步骤。
下面通过不同的例题来说明反证法应用。
1 存在性命题例1：证明任何大于1的整数一定有素因子。
分析：用反证法，首先要找出问题的否定形式，即否命题。
本题结论的反面是：至少存在一个大于1的整数没有素因子，我们设法导出矛盾。
证明：假设有一个大于1的整数A没有素因子，则A本身一定不是素数，又A>1，故A为合数，则它一定有一个异于1和A的真因子B，故而A>B>1，且B也不是素数（否则B为A的素因子），同理B又有一个素因子C，满足A>B>C>1，且C亦不为素数，由此我们得到A>B>C>D>…>1，也就是说，在A 和1之间有无穷多个正整数，这当然是不可能的，故而假设不成立，原命题获证。
例2：证明：A，B，C，D，E五数之和等于5，则其中必有一个不小于1。
分析：这个问题看上去很简单，但是要直接证明却不容易。
那么应用反证法，就可以轻松获证。
证明：假设A，B，C，D，E都小于1，那么A+B+C+D+EAM，同理，AB>BM，即在△AMB，AB大于其他两边。
由“大边对大角”知，∠AMB>∠ABM，同理，∠AMB>∠BAM。
所以3∠AMB>∠ABM+∠AMB+∠BAM=180°，所以∠AMB>60°。
浅谈反证法的原理及应用
高 教 视 野
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浅谈反 。 谨滚渤原理 、 庭
◎张双红 李犀子 （ 吉林师 范大学数 学学 院， 吉林 四平 １ ３ ６ ０ ０ ０ ）
【 摘要】 反证法之妙用， 使其被誉为“ 数学家最精 当的武
器之一” ． 在数学解题 中， 会有 一 些用直接 证 明方 法仍 然无 从下手和 突破 的命题 ， 此时如果 我们 运用 反证 法这 种 间接 方法来证 明， 效果往 往 出人意料． 本 文 深入 浅 出， 开篇 简单 介绍反证 法由来 、 概念 、 原理 、 分 类和作用 ； 重 点论 述反 证 法 的应用 ， 其 中包括 反证法在高等 数学 中的使 用和 实践 ， 并提 出应用反 证法应该 注意的 问题和方法．
侧 异 号 ， 有 上 ， （ ） ｓ ｉ ｎ （ 一 。 ） ≠ ０ ・
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在 数学 中有着举 足轻重 的地位 ， 应 用也是 相当广泛 ． 在 数学 证明 中， 会 遇到一些通过直接证 明证 明极 其烦琐 的命题 ， 经 常可用反证法进 行 间接证 明． 反证 法包 含 了较 丰 富 的辩 证 思维原理 ， 从反证法 观 点出发 ， 运 用反 向思维 ， 可 以克 服 思 维定式 ， 因此 ， 对 培养 学生 的发 散思 维 ， 拓展 学 生的 解题 思 路都很有 帮助 ， 并且在解题 中也有重要的作用 ． 与 直接 证明法相 同 ， 反证 法 的推理 过程 也严 格 按照 形 式 逻辑 ， 遵循其基本 规则． 它能 概括为“ 先 否定 ， 继而 得出矛 盾后再 次否定”， 即从否定结论开始 ， 归 纳出矛盾 ， 从 而形成
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现在欧几里得编写 的《 几何原本》 中． 反证法有诸 多不 同版本 的定 义 以及描 述 ， 但 其本 质都
毕业论文：浅谈中学数学中的反证法,审核通过
毕业论文学生姓名XXX学号1610010XXX 学院数学科学学院专业数学与应用数学题目浅谈中学数学中的反证法XXX 副教授/博士指导教师2014年5月摘要: 反证法是从反面的角度来思考问题的证明方法.在此文章中主要阐明了反证法的概念、证明的一般步骤、反证法的种类及其在中学数学中的应用.关键词：反证法，适用范围，假设Abstract: Proof by contradiction is a method to prove the problem from the opposite point of view. In this article, we mainly dicuessed the definition of proof by contradiction and the general steps of it. Furthermore, we applied it in Mathematics in middle school.Key word: Proof by contradiction, scope of application , hypothesis目录1引言 (4)2反证法的概述 (4)3 反证法的适用范围 (5)4运用反证法应该注意的问题 (10)总结 (11)参考文献 (12)致谢 (13)1 引言1589年，意大利的科学家伽利略登上了比萨斜塔，同时丢了两个不同质量的铁球.用实验推翻了古希腊科学家亚里士多德的“不同重量的物体从高处下落的速度与其重量成正比”的论断.而在此之前伽利略做了如下的推理论证：假设假设亚里士多德的断言是正确的.设物体比物体的重量重很多，则应比先a b a b落地.现在把物体和绑在一起成为物体，则=+.一方面，由于比要重，它应该a b c c a b c aa ab a b b a比先落地.另一方面，由于比落得快，、一起的时候，应该是“拉了的后腿”a c a c a a 迫使的下落速度减慢，所以，物体应该比后落地.这样一来，应比先落地又应比后落地，这样产生了矛盾，所以假设是不成立的.因此亚里士多德的断言是错误的.伽利略的论证是有力的，逻辑性极强的，而伽利略的这种方法就是我们现在将要介绍的反证法.反证法在初中高中数学学习中有很多的运用，乃至大学或者更高的学习中都会用到反证法.它不仅是一种解题方法，更是一种锻炼学生逆向思维的手段.本文重点总结了反证法的概念，反证法的一般步骤，以及反证法的种类和适用范围等方面，同时指出了使用反证法时应该注意的问题.2 反证法的概述2.1 反证法的概念反证法就是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发.根据命题的条件和已知的真命题，经过推理论证得出与已知事实（条件，公理，定义，定理，法则，公式等）相矛盾的结果.这样就证明了结论的否定是不成立的，从而间接的肯定了原命题的结论成立.”这种证明方法叫做反证法.还有人将反证法总结为证明逆否命题的方法.他们认为证明原命题的真假，就是证明原命题的逆否命题是否成立.若一个命题为“若则”,当为真，则（其中A B A B⌝⇒⌝⇒B A⌝B A B表示命题的否定）为真，当为假，则为假.B⌝⇒⌝⇒B A2.2 运用反证法的步骤运用反证法证题一般分为三个步骤：1）假设原命题不成立；2）从这个结论出发，经过推理论证得出矛盾；3）由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题的结论正确.即先提出假设，然后推出矛盾，最后肯定结论.2.3 反证法的种类应用反证法的关键在于归谬，因此，反证法又称为归谬法.按照反设所涉及到的情况多少，反证法可以分为归谬反证法和穷举反证法两种.1）若结论的反面只有一种情况，那么，反设单一只须驳倒这种情况便可以达到反设的目的，这叫归谬反证法.2）若结论的反面不止一种情况，那么，要将各个反面情形都一一驳倒，最终才能肯定原命题正确，这叫穷举反证法.3 反证法的适用范围我们知道，若一个数学命题形如“若A 则B ”式，一般都能够用反证法来证明.证题的实践告诉我们，下面几种命题用反证法来证明时，显得更加方便、有效.3.1 否定性命题否定性命题即结论以“没有……”、“不是……”、“不能……”等形式出现的命题.这样的命题在用直接证法时一般不易入手，而此时使用反证法则能另辟蹊径，有望成功.例1 设、是公比不相等的两个等比数列.，证明数列不是等比数}{n a }{n b n n n c a b =+}{n c 列.证明 假设是等比数列.则 ,即}{n c 221n n n c c c ++=,()()()22211n n n n n n a b a b a b ++++++=+整理得到 . 22222211112n n n n n n n n n n n n a a a b b a b b a a b b ++++++++++++=++()*因为 ，是等比数列，所以 , .由式可得}{n a }{n b 221n n n a a a ++=221n n n b b b ++=()*.22112n n n n n n a b b a a b +++++=设 , ，则11n n a a q +=12n n b b q +=.2221122n n n n n n a b q b a q a q b q +=因为 ，所以 .即 ，所以 与已知条件两个等n n a b 0≠2221122q q q q +=()2120q q -=12q q =比数列公比不相等矛盾.所以不是等比数列.}{n c 分析 在这题中要求证明不是等比数列，而直接证明一个数列不是等比数列并没有}{n c 条件可寻，因此，在此时使用反证法，假设是等比数列，一个数列是等比数列是有条}{nc 件的，这使得证明变得有迹可循.3.2 限定性命题限定性命题即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题.这类命题在证明时巧妙运用反证法会给证明带来意想不到的简便效果.例2 把44位同学分成若干小组，使每组至少有1人，且任意两组的人数不相等，则证明至多分成8组.证明 假设44位同学分成组，且 .因为任意两组人数不相等，所以 n ()n N *∈9n ≥n 个小组的同学总共至少有人数为.()+1123++=2n n n ++ 因为，所以总共人数人，超过了已知的44人，与已知矛盾.所以 9n ≥()+12n n ≥910452⨯=至多分成8组.例3 设,则，，至少有一个不大于.(),,,0a b c ∈-∞1a b +1b c+1c a +2-证明 假设，，都大于.即1a b +1b c +1c a+2- , , .12a b +>-12b c +>-12c a+>-将三个式子相加，得++. （1）1a b +1b c +16c a +>-又因为 , ,.将三个式子相加，得12a a +≤-12b b +≤-12c c +≤-++. （2）1a b +1b c +1c a+6≤-结合（1）（2）两式，发现相互矛盾,则假设是错误的.所以，，至少有一个1a b +1b c +1c a +不大于.2-3.3 无穷性命题无穷性命题即涉及到各种“无限”结论的命题.证明无穷性命题时，直接证明故然能够得到结论，但运用反证法来证明可以简易很多.例4证明 质数的个数是无穷的.证明 假设质数的个数是有限的.不妨设有个质数，则可以将全体质数列举如下k .1,2,3,......k p p p p 令，123........+1k q p p p p =其中，是自然数.且不能被中任何一数整除，所以是质数.这与假设只有q q 1,2,3,......k p p p p q 个质数矛盾，因此质数的个数是无穷的.k 1,2,3,......k p p p p 3.4 唯一性命题唯一性命题即结论有“有且仅有”，“只有一个”等词语的论题.由做题的实践经验告诉我们，在证明唯一性命题时，使用反证法最为直接有效.例5 证明 过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行.已知点，直线.求证过点和直线平行的直线有且只有一条.p l p l a 证明 假设过点还有一条直线与直线平行. 因为 点在直线外,所以 点和直p b l p l p 线确定一个平面.在平面内过点能作出一条直线与直线平行.（由平面几何知识得）l ααp l 所以直线存在.因为直线// //,所以直线//.这与直线，共过点矛盾，故假设a l a l b a b a b p 不成立,所以直线是唯一的.故，过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行.a 3.5 整除性命题整除性命题即结论有“能够整除”或者“能够被整除”等相近词语的论题.例6 设，都是整数，能被整除，证明 和都能被整除.a b 22a b +3a b 3证明 分三种情况：，都不能被整除.()1a b 3因为不能被整除，故不能被整除.同理 不能被整除.所以 不能被a 32a 32b 322a b +3整除，与已知相矛盾.能被整除，不能被整除.()2a 3b 3由此可知，能被整除，不能被整除,所以不能被整除，与已知相矛盾.2a 32b 322a b +3 不能被整除，能被整除,()3a 3b 3与同理，不能被整除，与已知相矛盾.()222a b +3由、、与已知矛盾可知，假设不成立.所以原命题成立.()1()2()33.6 某些存在性命题某些存在性命题即某些结论有“存在……使……、“存在满足条件的……”等词语的论题.这些命题在证明时需要更加灵活的运用反证法.例7设，求证：对于，存在有满足条件的，使得(),0,1m n ∈,A R B R ∈∈,m n 13mn Am Bn --≥成立.证明 假设对于一切的，使恒成立.[],0,1m n ∈13mn Am Bn --<令 ，则 .0,1m n ==13B <令 ，则 .1,0m n ==13A <令 ,得 .1m n ==113A B --<而 , 则产生矛盾.所以假设不成立，原命题成立.111111333A B A B --≥-->--=3.7 不等性命题不等性命题即如不等式等形式的论题. 在使用反证法时要注意结论的反面情况，若结论的反面情况有无穷多种，那么就不能够使用反证法.例8 当，证明 .330,0,2p q p q >>+=2p q +≤证明 假设则，即2p q +>()38p q +>,333()8p q pq p q +++>因为，故.于是332p q +=()2pq p q +>.()()3322()2pq p q p q p q p pq q +>=+=+-+又因为，即,所以，即, 此式不成立.所以假0,0p q >>0p q +>22pq p pq q >-+()20p q -<设不成立，当时.330,0,2p q p q >>+=2p q +≤例9 已知，且，证明.,,,a b c d R ∈1ad bc -=22221a b c d ab cd +++++≠证明 假设.22221a b c d ab cd +++++=把代入前式可得1ad bc -=,22220a b c d ab bc ad cd +++++-+=即.()()()()22220a b b c c d a d ++++++-=因为，所以.因为，则,,,a b c d R ∈0a b b c c d a d +=+=+=-=a b c d ===0ad bc -=与矛盾.所以假设不成立，原命题成立.1ad bc -=3.8 起始性命题学科中的起始性命题即是基本的定理、公理.此类命题因为已知条件和能应用的定理、公式、法则较少，或能推论出的结论很少，故用直接证明法较难，应用反证法来证明.例10 证明 两条相交直线有且只有一个交点.已知直线，相交于点，证明 ，只有一个交点.x y P x y P 证明 假设直线，相交不止一个交点.则至少有两个交点，.则直线是由，x y P Q x P 两点确定的直线，直线是由，两点确定的直线.即由，两点确定了两条直线，Q y P Q P Q ，.与已知公理“两点只确定一条直线”矛盾.所以 假设不成立，则两条相交直线有且x y 只有一个交点.例11 证明在一个三角形中，不能有两个钝角.已知是的三个内角，求证 中不能有两个钝角.,,A B C ∠∠∠ABC ∆,,A B C ∠∠∠证明 假设中有两个钝角.不妨设.则,,A B C ∠∠∠90,90B C ∠>︒∠>︒,.180A B C A ∠+∠+∠>∠+︒0A ∠>︒则.180A B C ∠+∠+∠>︒与已知公理“三角形的内角和为”矛盾.故假设不成立，即在一个三角形中，不能有两180︒个钝角.例12直线与平面相交于，过点在平面内引直线、、、PO αO O αOA OB OC ，证明 .POA POB POC ∠=∠=∠PO ⊥α （图1）证明 假设不垂直于平面.如图1所示，作并与平面相交于点，此时PO αPH ⊥ααH 、不重合，连接.由作于，于，根据三垂线定理知：H O OH P PE ⊥OA E PF ⊥OB F HE ,.⊥OA HF ⊥OB 因为, 是公共边，所以 .因此=.又=POA POB ∠=∠PO Rt POE Rt POF ∆≅∆OE OF OH ，所以 .所以 .因此，是的平分线.同理，OH Rt OFH Rt OEH ∆≅∆FOH EOH ∠=∠OH AOC ∠是的平分线.而和是两条不重合的直线，不可能同时作为和OH AOC ∠OB OC OH AOB ∠的平分线.产生矛盾.所以假设不正确.所以原命题成立，.AOC ∠PO ⊥α分析 在证明此类基本命题时，使用反证法证明比起直接证明有的好处是不必要再结合另外太多的定理，给论题的证明缩小了范围，同时也带来了方便和新的开拓思路.4运用反证法应该注意的问题4.1 必须正确否定结论运用反证法证明命题的第一步就是：假设命题的结论不成立.即假设结论的反面成立.在这一步骤中，须注意反设的正确，如果错误的“否定结论”，即使推理再好也会前功尽弃.要做出正确的反设，必须注意以下几点：1）分清命题的条件与结论、结论与反设间的逻辑关系.2）结论的反面常常不止一种，则需要反设后，分别就各种情况归谬，做到无一遗漏.3）一些常用词的否定形式列表词语词语的否定词语词语的否定是不是必有1个1个也没有n至多个一定是一定不是至少有个1n-都是不都是至多有1个至少有2个n至少有个大于小于或等于至多有个n+1xx存在一个不成立小于大于或等于所有都成立x 且或所有不成立x存在一个成立4.2必须明确推理特点否定结论从而导出矛盾是反证法的任务.但何时出现矛盾，出现什么矛盾是不可预测的，也没有一个机械标准.但一般总是在相关领域里考虑（相关的公理、定义、定理等），这是反证法的推理特点.因此，在推理前不必要先规定好要得出什么矛盾，只要正确的否定结论，严格遵循推理规则进行每一步有理有据的推理，总会出现矛盾.而矛盾一经出现，证明即告结束.4.3 了解矛盾种类反证法推理过程中，出现的矛盾是多样的，推理导出的结果可能与题设或部分题设矛盾，也可能与已知的定义或公理，定理或性质相矛盾，可能与临时假设矛盾，也可能是推出一对相互矛盾的结果.总结反证法在中学数学中占有重要的地位，是一种重要的证明方法.反证法在数学命题的证明中有着直接证明所起不到的作用，若恰当的使用反证法，就可以化繁为简、化难为易、化不可能为可能.反证法在数学学习的很多方面有着特殊的、不可替代的作用.它用其独特的思维方式和证明方法对培养学生的逻辑性思维能力和创造性思维能力有着重要意义.数学的证明时千变万化的，然而不变的是证明的步骤和证明的方法，反证法这种证明方法不仅可以在证明论题时单独使用，也可以结合其他的证明方法一起使用，在证明论题时灵活多变.而在证明较为复杂的论题时，反证法可以多次使用，只要我们熟练的掌握了反证法，在证明时能够正确又灵活的运用反证法，就能够做到精巧、有力、方便直接、论证严谨、有理有据、巧解难题，提高我们解数学题的能力.然而，反证法却是数学学习中比较难教和难学的内容.如何有效的提高和改良反证法的教学，是摆在中学数学教师面前的一个重要课题.我们要进行有效的数学教学，让学生真正的理解它、掌握它，从而能够熟练而灵活的运用它.参考文献[1] 蓝涧，南秀全，初中数学奥林匹克竞赛全真试题[M]，武汉：湖北教育出版社，2012.[2] 曲一线. 五年高考三年模拟高考理数[M]，北京：首都师范大学出版社，2013.[3] 高珑珑. 反证法例说[J]，中学数学月刊，1997,4:19-21.[4] 龙朝阳. 反证法的理论基础与适用范围[J]. 安顺师专学报，1999,2:3-4.[5] 程里春，张庆毓. 反证法[M].广州：广东人民出版社，2001.[6] 赵刊. 常见反证法解题的几种类型[J]. 中学数学教与学，2002,12:16-19.[7] 曹金敏. 浅谈数学证明中的反证法[J].现代交际，2010，12:40-43.致谢在论文即将完成之际，我的心情十分激动，从论文的选题、资料的收集、内容的排版到格式的规范，我得到了来自身边的老师、朋友、同学以及前辈们的热情帮助.首先，我要感谢我的论文指导老师，张新建老师，她是我见过最耐心最温柔最令人折服的老师，一开始我对于论文很是不知所措，选题还是收集资料都很迷茫，是张老师给我指点迷津，帮助我选出适合我的论文题，又为我开拓研究思路，在初期填写论文任务书时，我的填写格式总是不符合要求，已经晚上十一点了，是张老师守在电脑那头悉心帮我指出问题，并为我改正，也因此加长了张老师的工作时间，也影响了她的休息，可是张老师并没有任何怨言，她的耐心和对工作的一丝不苟给了我很大的启发和感动.在修改论文的过程中，张老师精心点拨、热忱鼓励我，就算是再细小的问题，她也及时指出并告诉我怎样改正，张老师用她严谨求实的态度和踏踏实实的精神再一次教给了我什么是老师，什么才叫为人师表，我要向张老师学习，虽然只有短短的几个月，可张老师教会我的远远不止写论文那么简单，她给了我终生受益之道，对张老师的感激之情是我无法用任何语言来表达的.其次，我要感谢我的朋友们，是他们在我遇到难题和写作瓶颈的时候给我帮助和鼓励.我想我不会忘记我们一起写论文，一起讨论问题，一起相互监督、相互加油打气的日子，在我写作论文的日子里，感谢有你们的陪伴和帮助.在此，我还要感谢已经毕业的学长学姐们，虽然我并不认识他们，也和他们不是同校毕业的，但是他们还是通过互联网给了我许多建议和意见，告诉我写论文常出现的问题，同时也帮助我规范了论文的格式.最后，我还要感谢我的母校，淮阴师范学院，在这四年里，我离开了家，离开了父母亲，来到了淮师，母校就是我这四年里的母亲，它养育了我，教育了我，相处四年，母校的教室、母校的操场、母校的一草一木我都会记在心间，在母校里是我一生中最美的时光，别了，淮师.由于我的学术水平有限，此篇论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友们批评指正.。
反证法的原理及其应用
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工程领域中的应用
结构优化：通过反证法寻找最优结构 系统设计：利用反证法进行系统优化设计 故障诊断：通过反证法进行故障定位和诊断 工程决策：利用反证法进行风险评估和决策制定
03
反证法的注意事项
前提条件的正确性
反证法需要假设一个与结论相反 的前提条件
前提条件的选择需要符合逻辑和 实际情况
缺点
反证法需要假设一个结论的反面成立，这可能会导致逻辑上的错误。
反证法可能需要大量的计算和证明，这可能会导致时间上的浪费。 反证法可能需要对问题进行深入的理解和分析，这可能会导致理解上的困 难。 反证法可能需要对问题进行多次尝试和调整，这可能会导致尝试上的失败。
05
反证法的发展趋势
在理论方面的研究
反证法的起源和发展历程 反证法在数学、逻辑学等领域的应用 反证法与其他证明方法的比较和结合 反证法在现代科学研究中的作用和意义
在实际应用方面的拓展
反证法在数学领域的应用：如证明定理、解决数学问题等 反证法在逻辑学领域的应用：如论证逻辑命题、分析逻辑结构等 反证法在计算机科学领域的应用：如程序验证、软件测试等 反证法在其他领域的应用：如法律推理、决策分析等
感谢观看
汇报人：
解决难题：利用反证法解决数 学难题
逻辑推理：通过反证法进行逻 辑推理
数学教育：在数学教育中引入 反证法，提高学生的逻辑思维 能力
科学领域中的应用
数学领域：用 于证明定理、 公式等
物理领域：用 于推导物理定 律、解释实验 现象等
化学领域：用 于预测化学反 应、解释实验 结果等
生物领域：用 于研究基因表 达、蛋白质结 构等
浅析反证法在解题中的运用
浅析反证法在解题中的运用反证法是从否定命题的结论入手,并把对命题结论的否定作为推理的已知条件,进行正确的逻辑推理,使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛,矛盾的原因是假设不成立,所以肯定了命题的结论,从而使命题获得了证明的证明方法叫反证法。
它是属于“间接证明法”一类,是从反面的角度思考问题的证明方法,即:肯定题设而否定结论,从而导出矛盾推理而得。
反证法是一种间接证明命题的基本方法。
在证明一个数学命题时,如果运用直接证明法比较困难或难以证明时,可运用反证法进行证明。
反证法的基本思想:通过证明命题的否定是假命题,从而说明原命题是真命题。
基本步骤是:第一步:审题,弄清命题的前提和结论;第二步:否定原命题,由假设条件及原命题构成推理的基础;第三步:由假设出发,根据公理、定义、定理、公式及命题的条件,正确逻辑推理,导出逻辑矛盾。
因此,在以下例题中展现出反证法在解题中的运用。
一、在证明几何题类中的运用例子1:“在ΔABC中,若∠C是直角,那么∠B一定是锐角。
”显然命题的结论是正确的,但直接证明是较困难的,而用反证法就容易证明之。
请一同学证明。
(注意:因∠B不是锐角有两种情况,即∠B为直角或钝角,必须对两种可能均加以否定,才能证明∠B一定是锐角。
)由此在运用反证法证明命题中如果命题结论的反面不止一个时,必须将结论所有反面的情况逐一驳证,才能肯定原命题的结论正确。
例子2:用反证法证明:圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。
已知:在⊙0中,弦AB、CD交于点P,且AB、CD不是直径。
求证:弦AB、CD不被P平分。
证明:假设弦AB、CD被P平分,连结OP,由平面几何知识可推出:OP⊥AB且OP⊥CD又推出:在平面内过一点P有两条直线AB和CD同时与OP垂直,这与垂线性质矛盾,则原命题成立。
例子3:已知:如图,⊙O的两弦AB、CD相交于圆内一点,且AB、CD都不是⊙O的直径。
求证:AB与CD不能互相平分。
论文 浅谈反证法
华中师范大学高等教育自学考试本科毕业生论文评审表论文题目：浅谈反证法准考证号：姓名：***专业：数学教育学生类型：独立本科段(助学班/独立本科段)2011年 12 月 20日华中师范大学高等教育自学考试办公室印制论文内容摘要目录1引言 (3)2反证法的定义及步骤 (4)2.1反证法的定义 (4)2.2反证法的步骤 (4)3反证法的逻辑依据及分类 (5)3.1反证法的逻辑依据 (5)3.2反证法的分类 (5)4反证法如何正确的作出反设 (6)5反证法如何正确的导出矛盾 (9)6何时宜用反证法 (10)6.1基本命题，即学科中的起始性命题 (10)6.2命题结构采取否定形式,结论反面却是肯定判断 (11)6.3有关唯一性的问题 (11)6.4命题结论是“至多”“至少”形式 (12)6.5命题结论涉及无限集或数目不确定的对象 (12)6.6某些起始命题 (13)6.7难证的逆命题 (13)6.8命题结论的反面较结论本身具体、简单、直接证明难以下手时 (13)7在中学数学中常用的反证法思想的题型分析 (14)7.1结论本身以否定形式出现的一类命题例 (14)7.2有关结论是以“至多...”或“至少...”的形式出现的一类命题例 (14)7.3关于存在性、唯一性的命题例 (14)7.4结论的反面比原结论更具体更容易研究和掌握的命题例 (15)7.5无穷性命题 (15)8结论 (16)参考文献 (17)1引言南方某风水先生到北方看风水，恰逢天降大雪。
乃作一歪诗：“天公下雪不下雨，雪到地上变成雨；早知雪要变成雨，何不当初就下雨。
”他的歪诗又恰被一牧童听到，亦作一打油诗讽刺风水先生：“先生吃饭不吃屎，饭到肚里变成屎；早知饭要变成屎，何不当初就吃屎。
［1］”实际上，小牧童正是巧妙运用了反证法，驳斥了风水先生否定事物普遍运动的规律，只强调结果，不要变化过程的形而上学的错误观点：假设风水先生说的是真理，只强调变化最后的结果，不要变化过程也可，那么，根据他的逻辑，即可得出先生当初就应吃屎的荒唐结论。
浅谈反证法的原理及应用（最新整理）
浅谈反证法的原理及应⽤（最新整理）摘要反证法是⼀种重要的证明⽅法,它不仅对数学科学体系⾃⾝的完善有促进作⽤,⽽且对⼈的思维能⼒的培养和提⾼也有极其重要的作⽤.如果能恰当的使⽤反证法,就能达到化繁为简,化难为易,化不能为可能的⽬的.反证法的逻辑思维强,数学语⾔准确性⾼,对培养学⽣严谨的逻辑思维能⼒,阅读能⼒,树⽴正确的数学观具有重要的意义.本论⽂主要研究的内容有反证法的由来;具体阐述了反证法的定义,即反证法的概念、分类和作⽤;反证法具有⼴泛应⽤的科学根据;并且着重介绍了反证法的应⽤,包括反证法在初等数学和⾼等数学的应⽤,并提出应⽤反证法应注意的问题;针对各种问题提出⼀些具体的教学建议,从⽽为改进反证法教学提供参考.关键词:反证法,否定,⽭盾,应⽤Principle and application of the reduction to absurdityABSTRACT:Reduction to absurdity is an important method, it not only to improve its own system of mathematical science have stimulative effect, but also has an extremely important role in cultivating and improving the people's thinking ability. If you use apagoge properly, can be simplified, the difficult easy, words can not be as likely to. The logical thinking of reduction to absurdity, the language of mathematics of high accuracy, to cultivate students' rigorouslogical thinking ability, reading ability, is of great significance to establish a correct conception of mathematics.The origin of the main content of the paper is the reduction to absurdity;expounds the definition of absurdity, and concept, apagoge classification; the reduction to absurdity has wide application of scientific basis; and introducesthe application of reduction to absurdity, including the application of reduction to absurdity in elementary mathematics and higher mathematics, and proposed should note that the application of reduction to absurdity problems;to solve these problems and puts forward some specific suggestions for teaching, so as to provide reference for the improvement of the teaching of reduction to absurdity.Keywords: reduction to absurdity, negation, contradiction, application⽬录⼀、引⾔ (1)⼆、反证法的由来 (1)三、反证法的概念及分类 (1)（⼀）反证法的定义 (1)（⼆）反证法的分类 (2)1．归谬法 (2)2．穷举法 (2)（三）反证法的作⽤ (2)四、反证法的科学依据 (3)（⼀）反证法的理论依据 (3)（⼆）反证法的步骤 (3)（三）反证法的可信性 (4)五、反证法的应⽤ (4)（⼀）反证法在初等数学中的应⽤ (4)（⼆）反证法在⾼等数学中的应⽤ (6)1．在数学分析中的应⽤ (6)2．在⾼等代数中的应⽤ (8)（三）应⽤反证法应注意的问题 (9)1．反设要正确 (9)2．明确推理特点 (9)3．善于灵活运⽤ (10)4．了解⽭盾种类 (10)六、反证法的教学价值及建议 (10)（⼀）反证法的教学价值 (10)1．训练逆向思维 (10)2．促进数学思维的形成 (10)3．培养思维严密性 (11)4．渗透数学史 (11)（⼆）反证法的教学建议 (11)1．多次反复,螺旋上升 (11)2．精⼼研究,训练反设 (12)3．渗透数学思想⽅法,训练严密 (12)七、结束语 (12)⼋、参考⽂献 (13)必为假.再根据“排中律”,“原结论”与“否定的原结论”这⼀对⽴的互相否定的判断不能同时为假,必有⼀个是真,⽽“否定的原结论”为假,于是我们得到“原结论”必为真.综上,我们可以看出反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据,通过逻辑推理,得出令⼈信服的正确结论.反证法也是唯物辩证法中“否定之否定”原理在数学中的具体应⽤.五、反证法的应⽤本部分主要总结反证法在初等数学和⾼等数学的应⽤.（⼀）反证法在初等数学中的应⽤之前我们主要介绍了⼀些反证法的概念,对于反证法的定义、历史及逻辑基础有了⼀定的了解,反证法这种间接证明⽅法理论上可以⽤于证明任何题⽬,但是它像直接证明⼀样总有局限性,这部分我们主要介绍常⽤反证法的⼏类命题.否定性命题:结论以“没有”、“不是”、“不能”等形式出现的命题,直接证法不容易⼊⼿,反证法可以发挥它的作⽤.例1.求证:在⼀个三⾓形中,不能有两个⾓是钝⾓.证明:已知、、是三⾓形的三个内⾓.A ∠B ∠C ∠ABC 求证:中不能有两个钝⾓.C B A ∠∠∠、、证明:假如中有两个钝⾓,C B A ∠∠∠、、则有,这与“三⾓形和为”产⽣⽭盾,所以,⼀>∠+∠+∠180C B A ?180个三⾓形不可能有两个钝⾓.关于唯⼀性、存在性、⾄多⾄少命题:例2.已知,求证关于的⽅程有且只有⼀个根.0≠a x b ax =证明:假设⽅程（）⾄少存在两个根,0=+b ax 0≠a 不妨设其中的两根分别为,且,则,21x x 、21x x ≠b ax b ax ==21， ,21ax ax =∴,021=-∴ax ax ,()021=-∴x x a ,0,2121≠-≠x x x x 与已知⽭盾,0=∴a 0≠a 故假设不成⽴,结论成⽴.⽭盾,证明也就结束了.3．善于灵活运⽤虽然数学证明题⼀般都可采⽤反证法,但并不是说,所有证明题都应该使⽤反证法来证明,就多数题⽬来说,⽤直接证法就可以证出,不能⼀味往反证法上⾯靠,要灵活运⽤反证法,毕竟我们平时训练的题⽬多是运⽤的直接证法.对待⽤反证法证题的策略思想是:⾸先试⽤直接证法,若⼀时不能成功,即可使⽤反证法.4．了解⽭盾种类反证法推理过程中出现的⽭盾种类是多种多样的,推理导出的结果可能与题设或部分题设⽭盾,可能与已知真命题（定义或公理、或定理、或性质）相⽭盾,可能与临时假设⽭盾或推出⼀对相互⽭盾的结果等.六、反证法的教学价值及建议关于反证法的教学,从早期就要向学⽣渗透这种思想,凡事不⼀定⾮常谨慎,只要学⽣能够明⽩、认可其中的原理即可.（⼀）反证法的教学价值1．训练逆向思维为了解决⼀个⾯临的数学问题,通常总是先从正⾯⼊⼿进⾏思考,即根据问题中的已知条件,搜索运⽤已掌握的数学知识去推理运算逐步由已知导出未知.若从正⾯⼊⼿繁琐或难度较⼤,不妨考虑问题的相反⽅⾯,往往会绝处逢⽣,开拓解题思路.这种逆向思维,在数学解题中有4种形式:正逆运算转化、条件,结论转化、互为反函数间的转化、以反证法解题,反证法的教学能摆脱学⽣的思维定势、简化运算过程,明晰解题思路,提⾼解题速度,促进创新思维.2．促进数学思维的形成数学思想⽅法是科学思维的⽅法和技术,是数学的精髓,它为揭⽰数学本质,提供了有⼒的思想武器.数学思想⽅法是动态思辩的,重在培养创造性、开拓性⼈才.新⼀轮课程教学改⾰强调创造性、⽣成性,得以形成数学⽂化、数学思维,如何去做是我们关注的.中国初等数学教育明显的好于西⽅,但到⼤学阶段的学⽣却缺少创造性,很难有所成就 ,更不必说获诺贝尔奖,这种情况早就应引起我们反思.我们的数学教学偏重于解题训练,题海战术,⽽启发性思维、理解、悟得思想⽅法的不多.因⽽形成学⽣成绩的两极分化,讨厌数学,甚⾄数学尖⼦⽣也远离数学,回想起数学来就⼼⽣畏惧.加强思想⽅法教学是数学的本质要求,是当下世界经济竞争的需要,也是提⾼全民族整体素质的重要举措,是社会发展的需要,更是提⾼数学质量的基本保证.⽽通过反证法的训练是培养数学思想⽅法的很好途径.欧⼏⾥得很喜欢运⽤的归谬法,它是数学家最有⼒的⼀件武器,⽐起象棋开局时牺牲⼀⼦以取得全局的让⼦法,它还要⾼明.象棋奕者不外牺牲⼀卒或顶多⼀⼦,数学家索性把全局拱⼿让给对⽅,这种先弃后取、欲擒故纵的策略实在是数学证明中极为有效的⼀种⽅法.3．培养思维严密性训练逻辑思维能⼒,反证法是典型的间接证法,也是通过证明原命题的等价命题从⽽证明原命题.在证明过程中的每⼀环节都要全⾯、不遗漏.⽐如否定原题结论反设后有⼏种情况,必须进⾏分类讨论⼀⼀加以否定.反证法与直接证法是密切联系的,⼆者相结合往往相辅相成,相得益彰.就全局⽽⾔是反证法,但从局部看,在作反设后的推理过程⽤的是直接证法.有时在基本直接证法的推理中,⼜会穿插⼀段反证法,以确定某些所需论据,反设时,必须注意弄清原题结论的反⾯,周密地列出与原题结论相悖的所有不同情况,再否定,不能有所遗漏.4．渗透数学史提⾼辩证思维的能⼒,反证法是⼀种重要的证明⽅法,⽆论在初等数学还是⾼等数学中,都有⼴泛的应⽤,数学中⼀些基本性质,重要定理甚⾄某些著名的数学难题,往往⽤反证法证得.举世闻名的费尔马⼤定理,这个多年前的数学难题被攻克,就是反证法的的功绩,欧⼏⾥得曾⽤它证明素数有⽆穷多个.因此反证法对训练学⽣辨证思维,提⾼哲学修养很有价值.（⼆）反证法的教学建议由于反证法的逻辑依据是逻辑学和集合论,⽐较复杂,所以书上没有给出其概念,从⼩学、初中、到⾼中都会⽤到,代数、⼏何都有使⽤,为此教学⼯作如下设想.1．多次反复,螺旋上升反证法的知识本⾝很难,学⽣多次学习都感到似懂⾮懂,下次见到⼜是⽣⾯孔,因此,不能期待⼀次完成,⼀蹴⽽就,要通过看书、⽰范例题、探索解题、回顾推敲、揭⽰内涵、思悟提⾼等慢慢地掌握 .2．精⼼研究,训练反设在反证法证明中准确了解掌握命题结构,列出其否定式是⼗分重要的.3．渗透数学思想⽅法,训练严密先由教师引导,将思想隐于分析过程中,再师⽣共同概括提炼,加以量化.然后由学⽣探索分析问题思想,以达到提⾼、升华.最后,⼒求使学⽣学会运⽤反证法思想武器指导思维活动,在⾼层次感受其威⼒.七、结束语反证法的应⽤是相当⼴泛的,在数学各个分⽀中都有体现,对于数学的创造发展也是极重要的⼯具之⼀.尽管其应⽤不如直接证法普遍,但它在数学命题的证明中能起到直接证法所起不到的作⽤,不少数学命题的证明当使⽤直接证法⽐较⿇烦或⽐较困难甚⾄不可能时,如能恰当地使⽤反证法,就可以化繁为简,化难为易,化不能为可能.当然,反证法不是万能的,⼀般地是在否定论题结论,得到⽭盾论题后,显得⽐原论题更具体、更简明时适⽤反证法.反证法作为⼀种重要的间接论证⽅法,与直接证法的着眼点和理论依据等⽅⾯都不尽相同,构成反证法的智⼒动作与辩证思维密切相关,尤其是按照相反论点的结论进⾏推理的分析思维形式和综合法的逻辑过程,对于训练学⽣的思维能⼒是⾮常重要的.⼋、参考⽂献[1] 中国⼈民⼤学哲学系逻辑教研室.逻辑学[M].北京:中国⼈民⼤学出版社,1996,317.[2] Thompson,D.R.1996.Leanring and teaehing indireet Proof. MathematicsTeacher,89:474⼀482[3] 邹⼤海.刘徽的⽆限思想及其解释[J].⾃然科学史研究,1995,14(1):12-21[4]张⽲瑞《⾼等代数》（第五版）[M].⾼等教育出版社[5]刘⽟琏《数学分析》（第五版）[M].⾼等教育出版社[6] 伊夫斯H.数学史概论[M].欧阳绛译.太原:⼭西经济出版社,1986,285.[7] 周春荔.数学观与⽅法论[M].北京:⾸都师范⼤学出版社,1996.。
反证法在分析学中的应用
反证法在分析学中的应用临沂大学理学院毕业论文（设计）反证法在分析学中的应用专业数学与应用数学系（院）理学院摘要“反证法”是数学证明中的一种重要方法，运用起来简明间接，是一种重要的数学思想方法.本文主要介绍了“反证法”的逻辑依据和步骤.列举了一些在分析学中比较适合用反证法解决的问题.同时指出了如何正确的运用反证法.关键字：数学分析反证法应用ABSTRACT"Reductio ad absurdum" is an important method of mathematical proof, use condensed indirect, is an important mathematical thinking. This paper describes the rationale of the "reductio ad absurdum" and steps. Examples reductio ad absurdum more suitable for use in the analysis of learning to solve problems.Also pointed out how to properly use reductio ad absurdumKey words: mathematical analysis, reductio ad absurdum, the application目录1，引言 (1)2．，反证法的原理和步骤 (1)3，反证法的应用 (1)3.1应用类型一 (2)3.2应用类型二 (3)3.3应用类型三 (5)3.4应用类型四 (8)3.5应用类型五 (9)4.结束语 (10)参考文献 (12)致谢 (13)1 引言反证法是分析学中经常要用到的解题方法之一.无论是在定理证明中还是在解题中，经常都要用到反证法.并且相对对一些比较抽象或者是用直接证法比较困难的命题而言，反证法具有一定的优势，效果非常明显.此外，反证法作为一种间接证明的方法在分析学中应用非常广泛.首先我们来了解一下反证法.2，反证法的原理和步骤反证法就是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设二否定结论，通过推理导出矛盾，进而证明命题.反证法证明命题的具体步骤：（1）反设，即作出与求证结论相反的假设；（2）由反设与题设条件出发，推出与公理，定义，已知定理或题设相矛盾的结果.（3）存真，即由所得矛盾证明了反设不成立，从而肯定了原结论正确.3，反证法的应用反证法运用巧妙，适用范围广泛。
反证法解题方法及应用研究
反证法解题方法及应用研究
反证法解题方法及应用研究
反证法是一种研究问题的有效方法，在数学、哲学、经济学等多个领
域都被广泛应用。
首先，本文将概述反证法的定义。
然后，本文将探
讨反证法用于解决问题的方法，以及在各种领域中的应用研究。
一、反证法的定义
反证法，简称反证，是一种数学证明的方法，主要用于证明一个定理/
论点/命题的正确性，以及证明其是唯一的解决方案。
一般来说，先假
设这个主题是错误的，然后证明此假设的结果与已知事实相矛盾，从
而推断出这个主题必然是正确的。
二、反证法用于解决问题的方法
反证法用于解决问题需要经过以下几个步骤：首先，清楚地定义问题，明确需要解决的某一种定理或论点；其次，假设这个定理或论点是错
误的，做适当的学习与推理；再次，给出可以完全与实际情况相矛盾
的假设结果；最后，以上述结果就可以推断出这个定理或论点是正确的。
三、反证法在多个领域的应用
1. 数学领域：反证法在数学中得到广泛应用，如证明行列式、三角函数、排列组合等都是反证法。
2. 哲学领域：反证法也常用于哲学上，如证明先验原则、矛盾原理、正义原则等都是反证法的具体运用。
3. 经济学领域：经济学家们也使用反证法解释和推理经济学问题，如关于市场价格的信息处理、自发定价机制、市场效率等都是反证法的运用的经济学问题。
四、结论
反证法是一种有效的研究问题的方法，它在数学、哲学、经济学等多个领域均有广泛的应用，需要通过清楚定义问题，假设这个定理或论点是错误的，给出可以完全与实际情况相矛盾的假设结果，推断出这个定理或论点是正确的，来解决各类问题。
浅谈反证法在数学分析
浅谈反证法在数学分析中的应用作者张晓数学与应用数学专业2003级专升本指导教师陈怀堂数学系教授摘要：数学问题千变万化,不可能用一种或几种方法全部解决！在众多的数学方法中，反证法是数学证明中的一种重要工具 .反证法是一种间接的证明方法，它的基本思想是“否定-推理-矛盾-肯定”.反证法历史悠久，曾被用来解决数学中许多重要结论.要能熟练掌握一种解题方法，仅仅满足于会用这种方法解个别题目是不够的，还要在解题的证明中注意积累经验，总结规律，解决何时可以用这种方法来解决的问题，这有利于进一步加深对这种解题的方法实质的理解.关键词：反证法；有界性；否定词分类号： O17Abstract ：The mathematical problem is changeable. It is impossible to solve all problems by one or several kinds of methods! In numerous mathematical methods,reduction to absurdity is a sort of important tool in mathematics. Reduction to absurdity is a sort of indirect method for proving propositions. Its basic principle is "denial-consequence-contradiction-affirmation ". Reduction to absurdity has a long history, which is ever used for solving a lot of important problems in mathematics. In order to master a method for solving a kind of problem, it is insufficient to learn such a method for solving one or two problems. You should pay special attention to accumulating experiences, summing up rules, and knowing when you can use this method to solve the problem. It is useful for you to deepen the understanding of the essential of the method.Keywords: reduction to absurdity; bound; denialCategory number: O171 反证法的基本思想反证法是一种间接的证明方法，它的基本思想是“否定-推理-矛盾-肯定”，这种证明方法之所以令学生难以理解，是因为在证明过程中，每一步的结论到下一步完全符合逻辑，但每一步的结论却其实不能发生，从逻辑的观点来看，反证A→逻辑等价的命题为真，从而间接证明了命题法实际上是通过证明与命题BA→的结论的否定B，反证法历A→，显然这个等价命题的条件中含有命题BB史悠久，曾被用来解决数学中许多重要结论.2 怎样正确否定数学分析中的一些命题在运用反证法论证命题时，首先要求能很正确的否定命题的结论，这是正确证明命题的基础，在有些情况下，一个结论的否定往往很容易得到.例如命题“n n a ∞→lim ≤n n b ∞→lim ”的否定就是“n n n n b a ∞→∞→>lim lim ”，但对命题“f 在D 上有界”，尽管其否定很显然就是“f 在D 上无界”，若要用它做进一步推理时，还需要对函数有界与无界的定义深刻的认识，所谓“f 在D 上有界”是指“存在某个正数M ，对所有的D x ∈，使得)(x f M ≤成立”，这类命题中出现了量词“对所有的”和“存在”，要写出它们的否定形式相对就比较困难了.一般地，命题中若出现量词“对所有的”或“存在”时，其否定形式必须将“对所有的”变成“存在”，“存在”变成“对所有的”，并否定“这件事情发生”.于是，要将命题“f 在D 上有界”否定，其形式应为“对所有的正数M ，存在D x ∈，使得M x f ≤)(成立”.在数学分析中，运用这种方法来否定一个命题是屡见不鲜的. 由于在数学中经常用符号“∀”作为“对所有的”这些词的简写，用符号“∃”作为“存在”一词的简写，所以下面我们将用符号来说明：命题“A x f x x =→)(lim 0”， 即“εδδε<-<-<∀>∃>∀A x f x x x )(,0,0,00有的满足：使得”，其否定形式为000)(,0,0,0εδδε≥-<-<∃>∀>∃A x f x x x 有的满足”命题“f 在I 上一致连续”，即“εδδε<-<-∈∀>∃>∀)()(,,,,0,0212121x f x f x x I x x 有只要使得”,其否定 形式为 “ 02121210)()(,,,,0,0εδδε≥-<-∈∃>∀>∃x f x f x x I x x 但尽管满足 ”3数学分析中几类常用反证法的证明要能熟练掌握一种解题方法，仅仅满足于会用这种方法解个别题目是不够的，还要在解题的证明中注意积累经验，总结规律，解决何时可以用这种方法来解决的问题，这有利于进一步加深对这种解题的方法实质的理解.下面就数学分析中几类常见的运用反证法证明的命题类型，举例说明反证法的应用.3.1 当题目中含有否定词“无”或者“非”时，一般用反证法.例1 试证明：若函数f ()x 在有限区间()b a ,内可微，但无界，则其导函数)(x f '也无界.证明 设 )(x f '在()b a ,内有界，即M x f b a x M ≤'∈∀>∃)(),,(,0有,取定),,(),,(0b a x b a x ∈∀∈对由拉格朗日中值定理知,在0x 与x 之间存在ξ，使得)()()()(00a b M x x f x f x f -≤-'=-ξ，而)()()()()(00a b M x f x f x f x f -≤-≤-，故)()()(0a b M x f x f -+≤，此与已知)(x f 无界相矛盾，故)(x f '无界. 例2 若函数f 在区间I 内可导，则其导函数不可能有第一类间断点. 证明 设0x 为)(x f '在区间I 内的第一类间断点，则)(x f '在0x 处的左、右极限都存在，由0'lim x x →)(x f '存在可推知：)(lim )(lim )(lim )()(lim )()(0000000x f f f x x x f x f x f x f x x x x x x x '='='=--='='++++→→→→+ξξξ， 由_0x x lim →)(x f '存在可推得)(lim )()(000x f x f x f x x '='='-→-,于是得)(lim )(lim )(000x f x f x f x x x x '='='-+→→，因而)(x f '在0x 处连续，此与假设矛盾.从而证明了)(x f '不可能有第一类间断点.3.2 当结论以“至多”或“至少”形式出现时用反证法可以收到良好的效果. 例3 设]2,0[)(πc x f ∈ ,且 ⎰⎰==20200cos )(sin )(ππxdx x f xdx x f ，证明：)(x f 在 (0,)2π内至少有两个零点. 证明)1(若)(x f 在(0,)2π内没有零点，则)(x f 在(0,)2π内恒正或恒负，不妨设)(x f 恒证，即)(x f >0，则⎰>200s i n )(πx d x x f ，这与 ⎰=200sin )(πxdx x f 矛盾，所以)(x f 在(0,)2π内至少有一个零点，下面证明零点不唯一. )1(若)(x f 在(0,)2π内只有一个零点0x （除 0x 外无零点），则)(x f 在(0, 0x )与 (0x ，)2π内分别保持不变号. '1 )(x f 在(0, 0x )与(0x ，)2π若符号相异，)sin()(0x x x f -恒正或恒负，即⎰>-2000)sin()(πdx x x x f ，这与⎰⎰⎰=-=20202000cos )(sin sin )(cos sin )(πππxdx x f x xdx x f x xdx x f o 矛盾 '2 )(x f 在(0, 0x )与(0x ，)2π若符号相同，则同样可以推出矛盾.则由'1，'2知：)(x f 在(0,)2π上可能只有一个零点，又由（1）知肯定存在一个零点，则至少存在两个零点.3.3 当结论中出现“唯一”或量词“只有一个”时，运用反证法也比较适宜.例4 若极限 )(lim 0p f p p →存在，则它只有一个极限. 证明 假若不然，设数b a ,都是)(p f 在0p p →时的极限（不妨设b a <）,则对 0,02>∃>-=δεa b ，∀ 满足不等式δρ<<)p ,p (00时的P ，有ε<-a p f )(与 ε<-b p f )(同时成立，即有2)(b a p f +<，且2)(b a p f +>，这是两个自相矛盾的结论，从而证得只能有一个极限.这类命题往往也可用统一法进行证明，但用反证法证明则显得更加清楚，而且使用范围也更加广泛.3.4 当结论涉及到量词“对所有的”时，运用反证法可以变无限为有限或变有限为无限，从而容易探求到一条证明结论成立的有效途径.这种类型的问题在数学分析中经常遇到，具体的运用反证法对证明函数具有下述性质具有一定帮助.3.4.1证明函数在某集合内恒为定值.例5 设)(x f 满足 0)()()()(=-'+''x f x g x f x f ，其中()x g 为任意函数，证明：若)(0)()(1010x x x f x f <==，则f 在],[10x x 上恒等于0.证明 假设存在一点()101x ,x ∈ξ ，使得0)(f 1≠ξ，不妨设0)(1>ξf ，则f 必在 ],[10x x 的某一内点 ξ 处取得最大值（同时也是极大值），0)(>ξf ,因此有 ()ξf '=0，从而由题设条件0)()(>=''ξξf f ，于是)(ξf 为严格极小值，这与)(ξf 为极大值矛盾，则得证.例6 设)(x f 在()∞,0上满足函数方程)()2(x f x f =,并且A x f x =∞→)(lim ，证 明 A x f ≡)(,),0(∞∈x证明 假设存在),0(0∞∈x ，使得A B x f ≠=)(0，则由已知的函数方程推得：A x f x f x f x f B n ≠=====)2()2()2()(00200 2,1n =，另一方面由于A x f x =∞→)(lim ，则对于00>-=B A ε， 0>X ，当X x >时，有0)(ε<-A x f ，取足够大的n ，可设X x n >02，此时应满足B A A x f -=<-0)2(ε ，导致出现矛盾的关系式B A A B -<-，于是证明了 A x f ≡)( , ),0(∞∈x3.4.2证明函数在其集合内有界例7 设)(x f ⎰⎰==∈10100)(,0)(]1,0[dx x xf dx x f c ，则]1,0[0∈∃x ，使4)(0≥x f 证明 假设4)(0<x f 即]1,0[∈∀x 有4)(0<x f ，)1,0(∈∀t ，1=dx x f t x ⎰-10)()(= dx t x dx x f t x dx x f t dx x xf ⎰⎰⎰⎰-<-≤-101010104)()()(=])()([401⎰⎰-+-t t dx t x x t = )122(22+-t t 令()()(),04t ,21t ,24t t ,12t 2t t 2>=''=-='+-=ϕϕϕ又稳定点则 ()()()[]4x f 1,0x ,121*211212100≥∈∃∴=<=⎪⎭⎫ ⎝⎛∴使矛盾，得代入ϕ 4)(],1,0[0≥∈∃∴x f x 使例8 设函数f 在[]b a ,上连续，则f 在 []b a , 上有界证明 假若f 在[]b a ,上没有上界，则n ∀，必有],[b a x n ∈，使得N x f n >)(，依次取....2.1=n ，便得一列含于[]b a , 的数列}{n x ，因而它含有一个收敛子列{}nk x ，设ξ=∞→nk k x lim ，则],[b a ∈ξ，则f 在[]b a ,上连续，可知+∞<=∞→)()(lim ξf x f nk k ，而由n x 的选取方法有 )()(∞→+∞→≥>k k n x f k nk ，从而产生矛盾，于是证得f 在],[b a 上有界.类似可证有下界，故的f 在],[b a 上有界.3.4.3证明函数的单调性例9 设函数)(x f 在],[b a 上连续，对],[b a 上任意两个有理数)(,221r r r r <，有)()(21r f r f <，则f 在],[b a 上为递增函数.证明 假设存在2121],,[,x x b a x x <∈ ，但)()(21x f x f >（即若)(x f 不是单调递增函数），由于f 的连续性，对于数)()(,2)()(2121x f c x f x f x f c >>+=，必定存在212x x -<δ使得],(,)(),,[,)(2211x x x c x f x x x c x f δδ-∈<+∈>，因为有理数具有稠密性，故必存在有理数),[111δ+∈x x r 与)](,(21222r r x x r <-∈δ，且)()(21x f c x f >>，这与假设)()(21r f r f <相矛盾，所以)(x f 在],[b a 上为递增函数（且必为严格地增）3.4.4证明极限为某一数值例10 设函数f 在),0[+∞上递增，对任何0>T ，在],0[T 上可积，且⎰=∞→x x c c dt t f x 0()(1lim 为常数）证明：c x f x =+∞→)(lim 证明 假若不然,设c x f x ≠+∞→)(lim ，则存在 n ∀>,00ε，都有n x n > ，使得 0)(ε≥-c x f n ，设对某一个自然数N ，有0)(ε≥-c x f N ，即0)(ε+≥c x f N ，由于)(x f 是递增的，所以当N x x >时，便有⎰⎰⎰⎰-++≥+=N N N x N x x x x xx x c dt t f x dt t f x dt t f x dt t f x 0000))(()(1)(1)(1)(1ε ，由此知：⎰+≥∞→x x c dt t f x 00)(1lim ε，此与题设矛盾.若上述0)(ε-≤c x f ，从而⎰-≤x c dt t f x00)(1ε，亦与题设矛盾.因此必有：c x f x =+∞→)(lim . 例11 函数)(x f 在区间I 上一致连续的充要条件是：I x x n n ∈∀}{},{，当0)(lim =-∞→n n n y x 时，有0)}()({lim =-∞→n n n y f x f . 证明 必要性 因为)(x f 一致连续，故0,0>∃>∀δε，当I y x n n ∈,时，有εδ<-⇒<-)()(n n n n y f x f y x .在已知0)(lim =-∞→n n n y x 时，对于0>δ，∈∃N 自然数，N n >∀必有δ<-)(n n y x ，因而ε<-)()(n n y f x f充分性 设)(x f 在I 上不一致连续，则有I x x ∈'''∃>∀>,,0,00δε，由0)()(εδ>''-'⇒<''-'x f x f x x ，取)(1N n n ∈=δ由0)()(1ε≥-⇒<-n n n n y f x f n y x ，这显然0lim =-∞→n n n y x 时，有0)()(lim =-∞→n n n y f x f 矛盾，所以)(x f 在I 上必然一致连续.3.4.5证明函数一致连以及函数列或函数项级数的一致收敛例12 设],[)(b a c x f n ∈，且)}({b f n 发散，证明：在 ],[b a 上，)}({x f n 不一致收敛.证明 假若],[,)(b a x x f n ∈⇒ ，有柯西准则时当N n N >∃>∀,,0ε， 对N m n >,，有ε<-)()(x f x f m n ，又],[)(b a c x f n ∈即ε≤-)()(x f x f m n ，从而由柯西准则知 )}({b f n 收敛.与题设)}({b f n 发散矛盾，得证.数学分析内容丰富，若能熟练运用反证法，并注意总结运用反证法的问题类型,对分析和解决数学分析中的问题将是十分有益的.参考文献[1] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社 1993[2] 王向东.数学分析中的概念与方法[M].上海：科学技术文献出版社 1989[3] 周家云,刘一鸣.数学分析的方法[M].济南：山东教育出版社 1991[4] 李成章,黄玉民.数学分析[M].科学出版社 2002[5] 孙清华,孙昊.数学分析内容方法与技巧[M].华中科技大学出版社 2003[6] 盛祥耀,张元德.高等数学辅导[M].清华大学出版社1993[7] 江兆林.高等数学习题课讲义[M].南海出版社 1994[8] 纪乐刚.数学分析[M].华东师范大学出版社 1993[9] 陈纪修.数学分析[M].高等教育出版社 1999[10] 张传义.工科数学分析[M].高等教育出版社 2001[11] 华东师范大学数学系.数学分析[M].华东师范出版社（全册）1993[12] 欧阳光中,姚允龙,周渊. 数学分析[M]. 复旦大学出版社 2002[13] 洪毅.数学分析[M].华南理工大学出版社 2003[14] 钱季伟. 大千世界中的微积分.北京,中国铁道出版社.1989[15] 袁萌棠,李正元.数学历年试题集[M].国家行政出版社 2004。
反证法在中学数学中的应用文献综述
反证法在中学数学中的应用文献综述反证法在中学数学中的应用文献综述摘要：反证法是一种数学证明方法，是一种从形式的假设出发证明结论，推出矛盾结果作为证据，以此来证明原始假设是错误的方式。
本文综述了反证法在中学数学中的应用文献，可以发现，反证法在解决方程、不等式、函数、比例和概率等数学概念和其他数学问题中都有着成功的应用。
反证法能够有效提高学生动手能力，为学生系统学习数学提供有价值的见解。
关键词：反证法；中学数学；应用Introduction反证法是一种从形式的假设出发证明结论的数学证明方法，它是通过证明原始假设导致的结果是不可能的，从而证明原始假设是错误的，其中有诸多可能的Falsifiability，即进一步通过证明品种有着假设矛盾的情况来证明原始假设是正确的（Berg，2005）。
反证法是学生进行数学证明的基本方法，它可以有效的提高学生的动手能力，同时提供更为系统的对于数学概念的学习。
本文综述了反证法在中学数学中的应用文献，以期向学生介绍一种更有效的学习策略。
Application of the Method of Proof by Contradiction in High School Mathematics解决方程和不等式：反证法是数学模型中非常常用的证明步骤，常常被用来解决复杂的方程和不等式（Matijević et al.，2013）。
例如，埃斯林（2006）在他的《中学数学》一书中提出证明：三角形的角平分线相交于其三条边的中点。
他通过假设反过来，即“若三角形的角平分线不相交于其三条边的中点”，那么总能找到一组足够大的三角形，使得三条角平分线相交点不再是三条边的中点，从而证明原始假设是错误的。
函数的证明：反证法可以也可以应用到函数的证明中（Taha，2009）。
例如，函数f (x) = x2 - 3x + 2 是单调递增的，这可以通过反证法来证明。
首先，假设f (x)不是单调递增函数，即存在x1，x2 ∈ R，使得f (x1) < f (x2)，但是x1> x2，从而可以从中推断出f (x) - f (x1) < 0， [ f (x2) - f (x1) ] / [ x2 - x1 ] > 0，即f (x)的导数小于等于0，这是跟对f (x)单调递增的定义矛盾的，因此原始假设f (x)不是单调递增函数是错误的。
反证法解题方法及应用研究(第五稿)
反证法解题方法及应用研究摘要反证法是初等数学解题方法中极其重要的方法之一，特别是当一些直接证明无法入手时，使用反证法证明将会化难为易，所谓“正难则反”便这种方法．[1]反证法主要是运用逆向思维的逻辑来解题，先假设结论的反面成立，再由假设出发，根据已有的定义、公理、定理、条件，使推导得出的结果与原命题的已知条件相矛盾，从而否定假设，达到肯定原命题正确的一种方法．并且利用反证法解题可以提高学生的逻辑思维能力，因此反证法在初等数学解题中得到了广泛的应用．本文主要从反证法的概念及步骤、如何做出正确反设及矛盾推导、论证形式及逻辑原理、反证法适用范围、适用反证法的命题及举例上作了大量论述，并总结出了一套提升反证法解题能力的方法．因此，旨在通过本文对反证法的研究，从而对培养学生的逻辑思维能力和解题技巧有所帮助．关键词：反证法；逻辑思维；解题技巧；应用；能力提升Reduction to absurdity problem solving method and application researchAbstract: Reduction to absurdity is one of the extremely important method in the elementary mathematics problem-solving method, especially when some directly prove unable to start with, using the reduction will be hard, so-called "is difficult," this kind of method. [1] the reduction to absurdity is mainly using reverse thinking logic to problem solving, the reverse of the first hypothesis conclusion was established, by assumption, again according to the existing definitions, axioms, theorems, conditions, the derived results with the original proposition of the known conditions, thus negative assumptions, to sure the original proposition right a way. And the reduction to absurdity problem solving can be used to improve the students' logical thinking ability, so the reduction to absurdity in elementary mathematics problem-solving has been widely used. This article mainly from the concept and steps of reduction to absurdity, how to make the right inverse derivation set and contradiction, the text argument forms and logical principle, the applicable scope, applicable proposition of reduction to absurdity and made a lot of paper, for example, and summarizes a set of method to improve the reduction to absurdity problem solving skills. Therefore, through the research of reduction to absurdity, to cultivate students' logical thinking ability and problem solving skills.Key words: reduction to absurdity; Logical thinking; The problem solving skills; Application; Ability to ascend目录1 引言 (1)2 文献综述 (1)2.1 国内外研究现状 (1)2.2 国内外研究现状评价 (2)2.3 提出问题 (2)3 反证法的概念及一般步骤 (2)3.1 生活中的反证法 (2)3.2 反证法的概念 (3)3.3 反证法的一般步骤 (4)4 反证法如何做出正确反设及矛盾推导 (4)4.1 如何做出正确反设 (4)4.2 如何否定命题的结论 (6)4.3 如何正确归谬 (7)5 反证法的论证形式及逻辑原理 (8)5.1 反证法的论证形式 (8)5.2 反证法的逻辑原理 (8)6 反证法适用范围 (9)6.1 反证法在代数证题中的应用 (9)6.2 反证法在三角函数证题中的应用 (10)6.3 反证法在平面几何证题中的应用 (11)6.4 反证法在立体几何证题中的应用 (11)6.5 反证法在解析几何证题中的应用 (12)7 适用反证法的命题举例及能力提升 (13)7.1 “否定性”命题 (13)7.2 某些涉及无理数的命题 (14)7.3 “无限性”命题 (15)7.4 “判断性”命题 (16)7.5 “起始性”命题 (17)7.6 “至多”与“至少”命题 (18)7.7 某些命题的“逆命题” (19)7.8 “存在性”与“唯一性”命题 (20)7.9 “都是”与“存在一个不是”的命题 (21)7.10 “都不是”与“存在一个是”的命题 (21)7.11 如何提升反证法解题能力 (22)8 结论 (23)8.1 主要发现 (23)8.2 启示 (23)8.3 局限性 (23)8.4 努力方向 (24)参考文献 (25)1 引言随着我国综合国力的不断增强，教育事业越来越受到人们的重视．既而，中、高考成为莘莘学子展示自己个人成就的一个重要平台．而数学作为其中的一大主科，在这个平台上起着至关重要的作用．所以，熟练掌握数学解题方法则成为同学们的制胜法宝．运用适当的数学解题方法，就像开锁已经找到了钥匙，可以使复杂的问题简单化、清晰化．而反正法就是数学邻域中的一把钥匙．反正法不仅在初等数学中有着非常广泛的应用，就是在高等数学中也具有特殊的作用．数学中的许多重要定理、结论、性质的证明都需要采用反证法．对于某些难度较大世界难题也常常看得见“它的身影”．因此，我选择反证法的解题方法进行研究．本文主要从反证法的概念及步骤、如何做出正确反设及矛盾推到、论证形式及逻辑原理、反证法适用范围、适用反证法的命题及举例上作了大量论述，并总结出了一套提升反证法解题能力的方法．旨在通过本文对反证法解题方法和应用研究，使学生更清楚的了解反证法，更熟练的掌握其解题方法，提升反证法解题能力，培养学生的逆向思维能力．2 文献综述2.1国内外研究现状从已查阅到的文献中，分别就反证法的各种应用作了讲解．其中申清宇在文献[1]中介绍了反证法在高考题中的应用；沈敏鉴在文献[2]中讲解了反证法与综合法和分析法的区别；刘俊、付本路、姚玉平在文献[3]中描述了反证法的定义及一些适用题型；严镇军、陈吉范、康德论在文献[4，5]中叙述了反证法适用哪些命题；方昌武、汪祖亨在文献[6]中强调了反证法在代数等几种领域中的应用；陈人明在文献[7]中说明了反证法的逻辑原理及其在中学数学中的应用；马瑞在文献[8]中研究了反证法在几何中的应用；田洁在文献[9]中叙述了反正法的原理及步骤；杜永中、丁琳在文献[10，13]中论述了何时适用反证法及题型举例；王荣华在文献[11]中提出了反证法解含无理数的命题；唐恒科在文献[12]中探讨了反证法与同一法的区别；李丹丹在文献[14]中总结了反证法的六种不同的矛盾结果；肖承法、王业双在文献[15，16]中讲解了反证法在中学数学中的应用．2.2国内外研究现状评价从查阅到的文献[1-16]中，分别就反证法在解题中的重要性作了讲解及举例说明．其中，文献主要讲解了一种或几种适合采用反证法的题型或范围，但对于反证法的解题方法及应用讲解并不全面．对于“如何提升反证法的解题能力”也没有文章作过说明．而且，如何做出反设是反证法的前提，但文献中也只是轻描淡写．2.3提出问题反证法的解题步骤是固定的，但反正法的解题方法却是层出不穷的，对反证法的应用更是日新月异．以上文献对反证法的解题方法和应用进行了一定的研究，但缺乏系统化．为了使学生在应用反证法解题时更得心应手，本文在以上文献的基础上着手研究反证法的反设、解题方法以及如何提升其解题能力．3 反证法的概念及一般步骤3.1生活中的反证法论文开始之前，我们先来看这样一个例子：孙筱然是2011级数学与应用数学专业的学生，但不知道他是一班还是二班的学生，现有一份该专业学生的名册，我们应该怎样查出孙筱然是一班还是二班学生呢？当然，从头到尾的一定可以查出来，但这样很耽误时间．因此，我们会想到先看是一班人少还是二班人少，如果是一班人少，就查一班学生名册．要是一班的学生名册里有孙筱然，就直接查出了他在一班．如果一班学生名册里没有孙筱然，那么二班的学生里必有孙筱然，这样不用再查二班学生名册就可以从反面间接说明孙筱然是二班的学生．上述判断孙筱然是一班的学生还是二班的学生的方法，其中一一查找是直接法，后者是间接法，并且是否定孙筱然是一班学生的方法从反面来确定孙筱然是二班学生．其实，数学命题的证明也有异曲同工之妙，有的采用直接证明，有的采用间接证明．从命题的题设出发，根据学过的定义、公式、公理、定理等推导出命题的结论，这种证明方法是我们熟知的直接证明方法．下面我们探究间接证明．3.2反证法的概念我们知道，互为逆否的两个命题，真则同真，假则同假，所以是等价命题．基于这种等价性，在证明一个数学命题时，可以证明和它等价的命题来代替，这对数学命题的证明就增加了一条途径．反证法不同于“执因寻果”的综合法，更不是“执果索因”的分析法，它的主要特征是“导出矛盾”，因此又叫“归谬法”．[2]反证法就是从命题结论的反面入手，先假设结论的反面成立，再由此假设出发，根据已有的定义、条件、定理、公理，使推导得出的结果与已知的定义、条件、定理、公理相矛盾，而这种矛盾的产生不是因为推理的错误，而是由结论的反面假设不成立而产生的，从而得到原结论是正确的，这种证明方法就叫反证法．[3]由于反证法是“反设”后通过“归谬”使命题得证，所以反证法通常也叫归谬法[4]． 对于归谬法，即结论的反面只有一种情况，只需否定这种情况即可，就足以证明原结论是正确的；但有些命题的结论的反面可能有多种情况，此时就需用穷举法．对于穷举法，结论的反面不止一种情况，那么必须把各种可能的情况全部列举出来，并且一一加以否定后，才能肯定原结论是正确的．例1：（归谬法）求证三角形中最多有一个钝角．已知：任意一个三角形，求证：三角形中最多有一个钝角．证明：假设三角形中至少有两个钝角，则这两个内角的和大于0180，这与三角形的内角和等于0180相矛盾．所以，三角形中最多有一个钝角．.0,0,0则,0,0,0若例2：（穷举法）>>>>++>>++c b a ca bc ab abc c b a 证明：假设0>a 不成立，则0≤a .下面分两种情况讨论：（1）当0<a 时，,0又.0,0>++<∴>c b a bc abc .0)(即,0<+>->+∴c b a a c b这与已知矛盾.0)(从而<++=++bc c b a ac bc ab ．（2）当0=a 时，矛盾0与,0>=abc abc ．综上，0≤a 不成立．∴0>a 成立，同理可证0,0>>c b ．3.3反证法的一般步骤反证法是间接证明中的一种证明方法，是一种从结论反面入手的证明方法．其中一般的证题步骤如下：（1）反设：设出与求证题目结论相反的假设．（2）归谬：将反设作为新的条件，然后由此通过一系列的正确的推导从而导出矛盾．（3）结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立．例3：用反证法证明b b a >>>a 那么,0如果． 证明：（反设）假设b a b a ≤即,不大于． （归谬）当;时，b a b b b a a a b a <⇒⋅<⋅<⋅<b a b a =⇒=时当．（结论）上述两种情况均与b a b a >>>矛盾，所以0．评注：应用反证法求证题目时，必须要进行反设且一定要用到反设进行正确的推理，否则也就不成其为反证法了．所以正确反设极为重要，下面我们研究如何进行反设． 4 反证法如何做出正确反设及矛盾推导4.1如何做出正确反设反证法证题中首先要假定原命题的结论不成立，所以正确表述“反面假设”尤为重要．“反设”即对原命题结论进行否定，是反证法的第一步，所以如果反设错了，那么推理的前提就是错的，其证明也就必然出错．所以，只有对结论做出正确否定，反证法的证明才无懈可击．所以，要想正确做出反设，必须注意以下几点：（1）认清原命题的条件与结论，结论与反设之间的逻辑关系；例1：xyz z y x z y x zx yz xy =++=++一定不满足、、的实数1证明满足． 分析：首先根据题目意思，此题很难直接进行证明，所以需要考虑用反证法．用反证法就必须正确的做出反设．由题意知实数z y x 、、只能满足方程1=++zx yz xy 但不满足方程xyz z y x =++．所以我们作出反设时要设实数z y x 、、既满足方程1=++zx yz xy ，又满足方程xyz z y x =++．所以z y x 、、就是方程1=++zx yz xy 和方程xyz z y x =++．联立方程组看是否有解，我们就可以根据这个特点寻找矛盾．（2）结论的反面不止一种情况时，则反设后需分别进行各种情况的归谬，做到万无一失，无一遗漏．例2：已知2求证：,233≤+=+b a b a ．分析：此题的结论有两种情况，然而否定只有一种情况.2>+b a 所以，只需否定这种情况就能肯定的这种情况了2≤+b a ．证明：假设a b b a ->>+2，则22)1(62）3112（66128612822233323>-+=++-=+->+∴-+->∴a a a a a b a a a a b所以，2≠+b a ，这与已知矛盾．2≤+∴b a例3：用反证法证明b b a >>>a 那么,0如果．分析：此题的结论只有一个，反设却有两种情况，所以要分类归谬． 证明：假设b a b a ≤即,不大于． 当;时，b a b b b a a a b a <⇒⋅<⋅<⋅< b a b a =⇒=时当． 上述两种情况均与b a b a >>>矛盾，所以0．评注：在否定命题的结论之前，首先必须要弄清楚命题的结论是什么，当命题的结论的反面非常明显并且只有一种情形时是比较容易做出否定的，但当命题的结论的反面是多种情形或者不太明显时，就不太容易做出否定.这时必须仔细考虑，认真分析，然后再做出反设，并且要仔细检查反设的对立面是否是原命题的结论．4.2如何否定命题的结论反设是反证法的前提，而如何否定命题的结论则是反设的前提，那么如何否定命题呢？一般有以下几种：（1）形为“是……”的命题的否定形式为“不是……”；（2）形为“等于……”的命题的否定形式为“不等于……”；（3）形为“能……”的命题的否定形式为“不能……”；（4）形为“有……”的命题的否定形式为“没有……”；（5）形为“存在……”的命题的否定形式为“不存在……”；（6）形为“任何……，都有……”的命题的否定形式为“存在……，不具有……”；（7）形为“存在……，具有……”的命题的否定形式为“任意一个……，都不具有……”；（8）形为“……，都……”的命题的否定形式为“……，不都……”；（9）形为“……，大于……”的命题的否定形式为“……，不大于……”；（10）形为“……，小于……”的命题的否定形式为“……，大于或等于……”；（11）形为“至少有一个……，”的命题的否定形式为“一个也没有……”；（12）形为“至多有一个……，”的命题的否定形式为“至少有两个……”；（13）形为“至少有n 个……，”的命题的否定形式为“至多有（n-1）个……”；（14）形为“至多有n 个……，”的命题的否定形式为“至少有（n+1）个……”；（15）形为“……，对所有x 都成立”的命题的否定形式为“……，存在某x 不成立……”；（16）形为“……，对任何x 不成立”的命题的否定形式为“……，存在某x 成立……”；例4：否定下列各题的结论．（1）点A 在直线L 上；（2）任何一个三角形都有外接圆；（3）是无理数7；（4）至少有一个实数x 使2x 2x =；（5）都成立对所有,0a 时，0a 当x x >>．解：（1）点A 在直线L 外； （2）存在一个三角形没有外接圆；（3）不是无理数7； （4）一个实数x 也不能使2x 2x =；（5）不成立存在某个,0a 时，0a 当x x >>．4.3如何正确归谬归谬是反证法的关键步骤，也是最困难的一步，只要归谬正确，那么证明也就成功了．但我们很多时候在做出反设后就会感到“山穷水尽疑无路”，那么我们如何做到在反设后“柳暗花明又一村”呢？严格的说如何导出矛盾是没有具体的方法的，但还是有一定的规律可寻．这要求我们要有足够的知识储备，善于从反设、已知条件和已有知识找到入手，发现矛盾．有两点我们必须注意：1、导出矛盾，一定要从反设出发；2、推理过程必须严谨，有据可依；一般有以下几种归谬情况：（1）推导出与已知定理相矛盾的结论；（2）推导出与已知公理相矛盾的结论；（3）推导出与已知定义相矛盾的结论；（4）推导出与原命题条件相矛盾的结论；（5）推导出与原命题逆否命题相矛盾的结论；（6）推导出与反设矛盾的结论；（7）推导出与已知事实相悖的结论；（8）推导出自相矛盾的结论；（9）推导出与由题设推出的结论相矛盾的结论；（10）推导出与由反设推出的结论相矛盾的结论．5 反证法的论证形式及逻辑原理5.1反证法的论证形式我们通过分析大量的应用反证法来证明的命题，可以知道命题的大致表现形式有两类：第一类是如“是无理数5”，“圆内接四边形是矩形”，“4是方程22==x x 的一个解”等等；第二类是如“整除3都能被和整除，则3能被若22y x y x +”，“若三角形中含有一个090的角，则此三角形为直角三角形”等等．如果第一类我们用S 表示，第二类用“若P 则q ”表示，则第一类即要证S 为真，第二类就是要证“若P 则q ”为真．[5]5.2反证法的逻辑原理反证法的逻辑原理是形式逻辑中的两个基本规律——矛盾律和排中律．“矛盾律”就是在同一论证过程中，两个互相矛盾或互相否定的结论，其中至少有一个是假的；而“排中律”是指任何一个判断要么为真要么为假，二者必居其一．[4]例1：用反证法证明：在一个三角形中至少有一个角大于等于060．证明：假设三个内角都小于060，则它们的内角和小于0180．这与三角形内角和等于0180相矛盾，所以假设错误，原命题成立．评注：上述证明过程中则推导出三角形内角和小于0180与三角形内角和等于0180相矛盾，即应用了“矛盾律”；三个内角都小于060是假的，从而得出原结论正确即应用了“排中律”．6 反证法适用范围6.1反证法在代数证题中的应用反证法在代数证题中有着广泛的应用．它不仅在研究数的性质、方程有无解、不等式是否成立的证明、数列的证明等领域都有特殊的用途，而且还可以与分析法综合应用．．)2(1211均为正数，求证：,已知例1：222b a b a b a ++≥+++.)2(1211假设证明：222ba b a ++<+++∵不等号两边均为正数，据不等式的乘方性质有22222))2(1(）211（b a b a ++<+++展开后得 ab b a +<++1)1(）1（22再平方得222)1()1(）1（ab b a +<++即 0）（2<-b a ，矛盾． ∴ 原命题成立．评注：本题也可采用分析法证明（分析法：由问题的结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，直至这个充分条件已经具备，至此问题获解，这种方法叫分析法），比较分析法和反证法的步骤有许多相似之处．两者都是在假设的基础上进行推导，只是前者是假设结论成立，后者是假设结论不成立；前者推出正确的结论，后者推出矛盾的结论．因此，一般能用分析法证明的不等式只要将原先在分析法中肯定的假设改为否定性假设，再作推导，就将分析法改成了反证法，从而达到两种方法能互相转换的效果．[6]6.2反证法在三角函数证题中的应反证法在三角函数中也有不少的应用，在研究三角函数的周期性、无理性、三角变换、三角方程、三角不等式等方面经常采用反证法进行研究．式均为锐角，且满足不等，，已知例2：γβα2sin 2sin 24sin 1cos cos cos γβαγβα+=++.求证：πγβα=++[7].）使，0（，取证明：假设πλβαπλπγβα=++∈≠++∴三角变换后有2sin 2sin 24sin 1cos cos cos λβαλβα+=++ ①将①式两端与已知式两端相减，得),2sin 2(sin 2sin 2sin 4cos cos γλβαγλ-=-.故原命题成立，即：.为负，自相矛盾时，等式左端为正右端当.为正，自相矛盾时，等式左端为负右端当πγβαγλγλγλ=++=∴<>”2sin 2sin 24sin 1cos cos cos ，则有知：“已知用反证法是因为我们熟 评注：本题之所以选λβαλβαπγβα+=++=++这个命题，而题目是其逆命题，故采用反证比较简单．6.3反证法在平面几何证题中的应用在平面几何中有一类问题的证明直接证明很困难，因此经常采用反证法证明．此类问题常常要证某个图形具有某种性质或者证明不存在某种性质，并且题目给出的已知条件一般比较少，所以直接证明困难极大．而采用反证法证明需要进行反设就增加了新的条件，从而获得证明．例3：已知四边形ABCD中满足0∠A．+180∠C=求证A,B,C,D四点共圆．证明：如图1，过A,B,D作⊙O交直线BC于C′，则有0∠A.+=180∠BC′D假设A,B,C,D四点不共圆，则有（1）当C在⊙O外时，则∠C<∠BC′D,故有∠C∠A∠A<，+∠BC′D180=+这与已知矛盾，所以C不可能在⊙O外．（2）当C在⊙O内时，同理可得∠A∠A>，+∠C180+=∠BC′D这与已知矛盾，所以C不可能在⊙O内．所以，综上所述，只有C在⊙O上时命题成立．即原命题得证．评注：本题是定理“圆的内接四边形对角互补”的逆命题，所以适用反证法．6.4反证法在立体几何证题中的应用在立体几何中，线线、线面、面面关系的证明题中，反证法是尤为重要的方法之一．尤其是用一些公理化的方法进行研究时，由于刚开始所建立的定义、公理并不多．所以要用其证明一些起始的性质和定理是比较困难的，此时采用反证法证明将起到事半功倍的作用．[8]是异面直线．和直线求证.//,,,,a 如图2，已知：4例c b a c c A a b b βαβα∈=∈=证明：假设直线b 、c 不是异面直线，则直线b 、c 平行或相交．(1)当b//c 时，已知c//a ，则a//b,这与A a = b 矛盾．（2）当b 与c 相交时，设B =c b ．.相矛盾//这与,即,，B 则,而,B 又，B 则,而,a c B a c a b b b c c B =∈∴∈∈∈∈∈∈ ααββ所以，综上所述只有ｂ、ｃ为异面直线时原命题成立．故原命题得证．6.5反证法在解析几何证题中的应用反证法在解析几何的证明题中也是必不可少的．一般证明存在性问题经常采用反证法进行证明．对称的两点上存在着关于直线321y 抛物线：求证５例2x y x =+=．[5] .x 其中),x ,B(y 和),y A(x 对称的两点x y 上存在着关于321y 证明：假设抛物线1111112y x ≠=+= 3,21x ,321y 211211+=+=∴y x 两式相减，得0.)y x )(2y -(x 1111=++∴) x (21212111-=-y y x02,x 1111=++∴≠y x y.命题得证这与假设相矛盾，故原.即没有实数根,03610142,010202321联立方程组.上02上，又在直线321既在抛物线),(A 可知点2121112111121111<-=⨯⨯-=∆∴=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+++==+++=∴x x y x x y y x x y y x7 适用反证法的命题举例及能力提升7.1“否定性”命题我们已经知道数学中的定义、定理、公理多以肯定的形式给出，所以用它们来直接证明否定性的命题难免会遇到一些困难．但否定的反面却是肯定，所以，“否定性”命题我们常常从结论的反面入手，便会有直接、巧解难题、逻辑清楚、论证严谨的效果．[9]常见的“否定性”命题的结论常用“不……”、“没有……”、“不是……”、“不等于……”、“不可能……”等形式来表示．例1：求证在一个三角形中，不可能有两个钝角．已知：∠A ，∠B ，∠C 是三角形ABC 的三个内角．求证：∠A ，∠B ，∠C 中不可能有两个钝角．证明：假设∠A ，∠B ，∠C 中有两个钝角，不妨设∠A>90°且∠B>90°，则∠A+∠B+∠C>180°，这与定理“三角形内角和为180°”矛盾．故假设不成立，所以原命题成立．例2：不是周期函数cos )(求证函数x x x f =．有,0T 数是周期函数，则存在实cos )(证明：假设函数R x x x x f ∈∀>=x x T x T x cos )cos(）（=++ ①所以,0，因为0cos ，则有0式中，令①在>==T T T x0cos =T ②所以,cos )2(2即：),2cos()2(2cos 2则有,T 2再令T T T T x -=--=-=πππππππ0cos ≠T ③故由②、③两式相矛盾.∴ 函数x x x f cos )(=不是周期函数，原命题得证．评注：当“假设”中判定某种性质对于变量的所有值都成立时，显然对变量的一些特殊值也成立．所以，对于这类型题常取变量的一些特殊值进行求解，便可得到一些互相矛盾的条件，从而证明原命题．[10]例3：对于一切整数m ，的倍数121不是122都有2++m m ．证明：假设1222++m m 是121的n 倍，则121n,=1222++m m即 （m+1）²+11=121n,整理得（m+1）²=11(11n-1)由整式的性质可知，m+1含有因数11，设m+1=11a ，则（11a ）²=11（11n-1）∴ 11a ²=11n-1 ①由①知，整式的左端能被11整除，而右端却不能，前后矛盾．∴的倍数121不是1222++m m ．7.2某些涉及无理数的命题无理数即无限不循环小数，所以无理数很难准确的表示．但其反面是有理数，就可以表示成qp （其中p 和q 为互质的自然数）的形式．所以，这就有利于利用反证法进行涉及无理数命题的证明．[11]例15：证明是无理数3lg ．证明：假设3lg 是有理数，则可设)为互质的自然数、(3lg q p q p =，即： q p q p310310=⇒=.若p=0,则q=0,这与p 、q 为互质的自然数矛盾．若p>0,则q p 3不可能等于10．∴3lg 不是有理数，即3lg 是无理数．评注：由于本题条件较少，且无理数是无限不循环小数，其中“无限”与“不循环”都是很难表示的．而假设3lg 是有理数则可以表示为一个分数，就增加了一个具体而有用的条件，为证明做出铺垫．7.3“无限性”命题牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”．[12]对于“无限性”命题更是显得淋漓尽致．因为无限的反面是有限的，所以“无限性”命题通常采用反证法进行证明．有时无限性又表现为“数或式的无穷性”．“无限性”命题常见的结论有“无限……”、“无穷……”、“任何……，都有……”、“……,对所有的x 都成立”等形式．例2：求证任意的x 在（1，∞）上，都有成立02>-x x ．.命题成立这与假设相矛盾，故原10解得：,成立0)1(即不成立．0使,），1（假设存在一个证明：22∴≤≤≤-=->-∞∈x x x x x x x x 例5：证明对于任何自然数m ，都有分数314421++m m 的分子、分母是既约分数． 证明：假设存在某一自然数m ，使得314421++m m 的分子、分母有公因数r （r>1）, 则 21m+4=sr,14m+3=tr (其中s 、t 均为自然数)．消去m ，得（3t-2s ）r=1 ①又∵ ①使左端r>1，且3t-2s 为整数．∴（3t-2s ）r ≠1，但等式右边却等于1，左右矛盾． 故分数314421++m m 对任何自然数m 是既约分数． 7.4“判断性”命题在数学命题中有一种我们不太常见的命题，在这里把它叫做“判断性”命题.它一般可以转化为肯定性命题或否定性命题，有些我们可以采用反证法来证明．常见的“判断式”命题结论含有“是不是”、“是否”、“能不能”、“会不会”等．例6：在一个不等边三角形中，三边与三角能不能同时构成等差数列？答：不能.证明如下：证明：假设此三角形的三边分别为a 、b 、c 和三角分别为A 、B 、C 同时构成等差数列,则2b =c +a ①2B C A =+ ②∵ A+B+C=3π, ∴ 由①知B=3π,A+C=32π． 由正弦定理可把②使化为：2RsinA+2RsinC=2×2RsinB,即 2sinB.=sinC +sinA.12cos ,3sin 22cos 3sin 2即,sin 22cos 2sin 2=-∴=-=-+∴C A C A B C A C A ππ。
初中数学获奖论文浅谈反证法在中学数学中的应用2116
LOGO初中数学获奖论文浅谈反证法在中学数学中的应用初中数学获奖论文浅谈反证法在中学数学中的应用摘要反证法是教学中非常重要的一种方法，当我们解决数学问题时正向思维就是，一般总是采用从正面入手的常规思维途径进行思考。
可如果用这种思维方式对于特定的数学问题形成了一种较为强烈的意识，就转变成思维定势。
然而有些问题需要克服思维定势的消极面，从辩证思维的观点出发，并且要从已有的习惯思路的反方向去思考分析问题这样能更容易，所以就要运用反证法解决问题。
关于反证法的应用的文章在近几年层次不穷，但是我发现其中较多的文章是在阐述反证法在高等数学中的应用，反而忽略反证法入门知识在中学数学中的应用，从而使得许多学生只能观其形却不能明其意，致使一些初学反证法的学生只会反证法却不知如何去应用。
在此,本文就反证法的定义、逻辑原理、证明模式、以及解题的方法来说明反证法在中学数学中的应用，使大家对反证法入门有了更深刻地了解。
关键词：推理，反证法，证明，矛盾，逻辑原理，假设。
1. 引言有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。
”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃。
这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。
反证法不但在初等数学中有着广泛的应用，而且在高等数学中也具有特殊作用。
数学中的一些重要结论，从最基本的性质、定理，到某些难度较大的世界名题，往往是用反证法证明的。
2.反证法的实质反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。
反证法在数学分析解题中的应用
反证法在数学分析解题中的应用作者：林佳佳来源：《课程教育研究》2020年第20期【摘要】反证法是公认的巧妙的证明方法之一，在数学专业基础课程数学分析解题方面的应用广泛，本文结合自身学习经历，总结出几类反证法在数学分析解题方面的应用，并提出运用反证法所需要注意的事项。
【关键词】反证法数学分析【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2020）20-0139-01数学分析作为大学数学专业的基础专业课程，有着非常重要的地位。
对于数学分析的解题方法众多，而反证法作为最巧妙高效的解题方法之一，在其中的应用非常广泛。
由于反证法本身高效易懂的特点，已经成为数学解题中最重要的方法之一。
笔者结合自身数学学习经验，在总结出一般反证法在数学分析解题方面的应用同时，进一步归纳出解题过程中运用反证法过程中的问题与注意事项。
一、反证法的定义与依据反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。
在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”;两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。
二、反证法在数学分析解题中的应用数学分析是大学数学专业的基础课程，其相关问题的解决有大量的方法。
其中，作为巧妙方法之一的反证法在一些题型的解决中有一定的应用。
本文归纳出以下几种常见的类型。
（四）证明“唯一性”，宜采用反证法该类题型并不难证明。
如欲证明数列极限的唯一性，只需采用反证法，假设其极限不唯一，进一步利用极限的定义，最后结合ε的任意性即可得到结论。
三、运用反证法应注意的问题（一）采用反证法时一定要对结论做出全方面准确的否定“假定命题的结论不成立”作为使用反证法的第一個步骤，若第一步便出错，未能对结论做出全面准确的否定，那么即使后续的解答再完美也无任何用处。
（二）采用合理逻辑以及题目信息推出矛盾如何推出矛盾是采用反证法解题的关键。
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谈反证法在分析学中的应用
XXX
（莆田学院数学学院指导教师: XXX）
一、研究背景及动态
反证法的应用是分析学中的一个非常重要的课题，它不但是高等数学和数学分析中许多问题的解题基础，并且它也为许多数学分支，如微分几何、常微分方程、泛函分析等的进一步研究提供了坚实的理论依据.目前国内外已经有很多学者研究反证法在分析学中的应用这个课题。
一般而言，在现在的大学学习阶段，对于反证法的应用提及的不少，但只是说到一些表面的应用，而且没有针对反证法的应用进行分类归纳。
而现行的数学专业教材中则很少对此作出总结，文献综述也较为分散，本课题是在前人学者研究的基础之上针对教材相关知识点的概括和升华。
对以后解决相关的命题可能会起到不可替代的作用，为我们进一步学习和掌握相关内容提供了更好更全的方法。
二、评述
从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
反证法是一种十分重要的数学证明方法，它的使用可以上溯到毕达哥拉斯学派，与无理数的发现密切相关。
法国数学家阿达玛（J.Hamdamard,1865~1963）对反证法的实质做过概况：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。
英国数学家牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。
正是由于前人学者对于反证法的重视和研究，也是由于反证法的重要性，以至于现在我们不得不重新审视反证法，对于反证法的应用再次进行归纳总结和推广。
陈艳凌、陈继龙、张锐梅几位学者在“关于数学分析中宜用反证法证明的问题”一文中指出，运用反证法证明的习题类型及规律是：1.证明“函数某个特定常数”；2.在已知极限存在货易证出极限存在的前提下，证明“极限等于零”或“极限等于某个特定常数”；
3.证明有关“不存在”的题目；
4.证明“至少有一点”的题目，对于题设中函数不具连续条件者，有时适宜用实数理论找点，再用反证法证明为所求；
5.证明集合个数为“有限个”；
6.证明“函数有界限”；
7.证明“最多只有”的题目；
8.证明“唯一性”。
徐秀娟在“反证法在高等数学证明题中的应用”中通过对于具体例题的分析，归纳出
一些多采用反证法证明的命题，如命题结论涉及“否定”含义；命题结论涉及“无限”；命题结论出现“至少……”、“至多……”、“仅有……”形式等，采用反证法证明较易的问题。
我国学者郭建在“分析学中的逻辑方法”一文中指出，分析学中，关于唯一性的各种命题的论证，多用反证法。
并阐述了反证法的两种形式——归谬法和穷举法。
在数学逻辑的角度对反证法的应用进行了说明。
学者殷堰工在“数学分析中的反证法”一文中指出反证法对于那些抽象程度高而且用直接证法难于达到目的的数学命题常常奏效。
同时通过对大量的反证法处理的命题进行分析、归纳、总结出一些适用反证法的规律性问题。
孟红玲、赵远在“反证法在高等数学中的应用举例”中说明了反证法的含义，及用反证法证明的严密性，反证法的证明步骤，及适宜用反证法证明的问题。
同时本文的一些经典例题参考自孙涛的“数学分析经典习题解析”以及李明振的“数学方法与解题研究”。
参考了大量的关于此类命题研究的文章，选取了对笔者启发比较大比较有代表性的一些文章进行参考。
随着历史的车轮时间的脚步，通过前人学者的研究我们可以发现，反证法的定义大致上没有什么改变，但是在对于细节上日臻完善。
同样在对反证法在分析学中的应用，前人学者也都各自有着自己的看法和见解。
总结分类方面也不尽相同，笔者就是在前人的研究基础之上，进行了再一次的探究和论证，希望对以后的学者在对反证法在分析学中的应用方面有着更好的认识，能够抓住要点，掌握精髓。
三、结论
总体上来看，在分析学中宜用反证法证明的命题形式分为几种：1、结论为否定形式的命题；2、结论为以“至少”、“至多”、“任一”、“惟一”、“无一”、“全部”等形式出现的命题；3、结论以“无限”的形式出现或涉及“无限”性质的命题；4、关于存在性的命题；5、已知条件少或从已知出发所能推出结论甚少的命题，以及其他的一些方面等，笔者就是从前人学者的基础上进行再次总结，并对接触到的关于反证法在分析学中应用的新的形式或题型进行了总结和例举。
由于水平知识有限，所以文章存在着这样那样的漏洞和缺点，希望大家能帮忙改正。
参考文献：
[1]陈艳凌,陈继龙,张锐梅. 关于数学分析中宜用反证法证明的问题[J]. 齐齐哈尔师范高等专科学校学报,2007,03:125-126.
[2]徐秀娟. 反证法在高等数学证明题中的应用[J]. 河北理工学院学报(社会科学版),2005,04:115-117.
[3]孟红玲,赵远. 反证法在高等数学中的应用举例[J]. 洛阳大学学报,2002,04:110-112.
[4]郭健. 分析学中的逻辑方法[J]. 商洛师专学报,1995,02:1-7.
[5]殷堰工. 数学分析中的反证法[J]. 南都学坛,1990,03:67-71.
[6]李明振.数学方法与解题研究[M].上海科技教育出版社，2003
[7]孙涛.数学分析经典习题解析[M].高等教育出版社，2004。