人教版高中数学,第二章数列复习题

解析 由题意知，a ＝ ，b ＝ ，c ＝ ，

人教版高中数学——数列

第二章

章末复习课

课时目标

综合运用等差数列与等比数列的有关知识，解决数列综合问题和实际问题．

一、选择题

1．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比 数列，则 a ＋b ＋c 的值为( )

1 2

1

2 1

a

b

c

A.1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A

1 5 3

2 16 16

故 a ＋b ＋c ＝1.

2．已知等比数列{a n }，a 1＝3，且 4a 1、2a 2、a 3 成等差数列，则 a 3＋a 4＋a 5 等于( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 答案 C

解析 由题意可设公比为 q ，则 4a 2＝4a 1＋a 3， 又 a 1＝3，∴q ＝2.

∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2(1＋q ＋q 2) ＝3×4×(1＋2＋4)＝84.

3．已知一个等比数列首项为 1，项数为偶数，其奇数项和为 85，偶数项之和为 170，

∴S 2n ＝S 奇＋S 偶＝255＝

a 1(1－q 2n ) 1－22n

又 d ≠0，∴a 1＝2d ，S 7＝7a 1＋ d

＝35d ＝35.

∴S n ＝22n ＋ ×(－2)＝－n 2＋23n ，

2＝－

(n －

) ＋ ②÷①得，q ＝ ＝2，

1－q 1－2

3

5

．在数列{a n }中，a ＝1，a a ＝a ＋(－1)n (n ≥2，n ∈N )，则 的值是() 16 8 4 8 a 5 2 2 4

则这个数列的项数为( )

A ．4

B ．6

C ．8

D ．10 答案 C

解析 设项数为 2n ，公比为 q . 由已知 S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1. ①

S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n .

② 170

85 ＝ ，

∴2n ＝8.

4．在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 7 依次成等比数列，前 7 项和为 35，则 数列{a n }的通项 a n 等于( )

A ．n

B ．n ＋1

C ．2n －1

D ．2n ＋1 答案 B

解析 由题意 a 23＝a 1a 7，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )， 得 a 1d ＝2d 2.

7×6 2 ∴d ＝1，a 1＝2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋1.

a a 5 15 15 3 3

A. B. C. D.

答案

C 解析 由已知得 a 2＝1＋(－1)2＝2，

1

∴a 3· a 2＝a 2＋(－1)3，∴a 3＝2，

1 1

∴2a 4＝2＋(－1)4，∴a 4＝3，

2

∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝3，

a 1 3 3 ∴ 3＝ × ＝ .

6．已知等比数列{a n }的各项均为正数，数列{b n }满足 b n ＝ln a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数 列{b n }前 n 项和的最大值等于( )

A ．126

B ．130

C ．132

D ．134 答案 C

解析 ∵{a n }是各项不为 0 的正项等比数列， ∴{b n }是等差数列．

又∵b 3＝18，b 6＝12，∴b 1＝22，d ＝－2， n (n －1) 2

23 232

2 4 ∴当 n ＝11 或 12 时，S n 最大， ∴(S n )max ＝－112＋23×11＝132. 二、填空题

7．三个数成等比数列，它们的和为14，积为 64，则这三个数按从小到大的顺序依次为 __________．

答案 2,4,8

解析 设这三个数为 ，a ，aq.由 · a · a q ＝a 3＝64，得 a ＝4.

由 ＋a ＋aq ＝ ＋4＋4q ＝14.解得 q ＝ 或 q ＝2.

则⎨ ，∴S 奇＝162，S 偶＝192， ⎩ c y y z ⎧⎪S ＝a (1－q )＝3 解析 易知 q ≠1，∴⎨ ⎪⎩

S ＝a (1－q )＝9

S 3

11．设{a n }是等差数列，b n ＝⎝2⎭a n

，已知：b 1＋b 2＋b 3＝ ，b 1b 2b 3＝ ，求等差数列的 ⎛1⎫a

则 n ＋1＝ ＝⎝2⎭a n ＋1－a n ＝⎝2⎭d . b n

⎛1⎫a ∴数列{b n }是等比数列，公比 q ＝⎝2⎭d .

⎧ ⎧⎪b ＝1 ⎨ ⎩ ⎪⎩b ＝2 ⎪

⎩ ⎪⎩b ＝2

a a

q q

a 4 1

q q 2 ∴这三个数从小到大依次为 2,4,8.

8．一个等差数列的前 12 项和为 354，前 12 项中偶数项与奇数项和之比为 32∶27，则 这个等差数列的公差是____．

答案 5

解析 S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12；S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11. ⎧⎪S 奇＋S 偶＝354 ⎪S 偶÷S 奇＝32∶27

∴S 偶－S 奇＝6d ＝30，d ＝5. 9．如果 b 是 a ， 的等差中项， 是 x 与 z 的等比中项，且 x ， ， 都是正数，则(b －c)log m x ＋(c －a)log m y ＋(a －b )log m z ＝______.

答案 0

解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，设公差为 d ，

则(b －c)log m x ＋(c －a)log m y ＋(a －b )log m z ＝－d log m x ＋2d log m y －d log m z

y 2

＝d log m xz ＝d log m 1＝0.

10．等比数列{a n }中，S 3＝3，S 6＝9，则 a 13＋a 14＋a 15＝________. 答案 48

3 1 3 1－q

1 6 6 1－q

，

S

∴ 6＝1＋q 3＝3，∴q 3＝2.

∴a 13＋a 14＋a 15＝(a 1＋a 2＋a 3)q 12

＝S 3· q 12＝3×24＝48. 三、解答题

⎛1⎫ 21 1 8 8

通项 a n .

解 设等差数列{a n }的公差为 d ，

b ⎝2⎭ n ＋1 ⎛1⎫ ⎛1⎫ ⎝2⎭ n

⎛1⎫

1 1

∴b 1b 2b 3＝b 32＝8，∴b 2＝2.

17

b 1

＋b 3

＝ 8

∴

，解得⎨ 1 8 1

b 1

· b 3

＝4

3

⎧b 1＝2

或⎨ 1 . ⎪b 3＝

8

⎧⎪b ＝1

当⎨ 1 8

3

时，q 2＝16，∴q ＝4(q ＝－4<0 舍去)