理论力学：考虑摩擦时物体的平衡
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不滑动的条件 m tan tanm f fmin tan
18
理论力学
三、滚动摩阻
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
刚体假设： 圆盘为刚体 地面为刚体
2020/12/9
F W
F W Fs
FN
19
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
非刚体假设： 圆盘为非刚体 地面为非刚体
F
F
W
W
Fs
FN M f
fs min tan 300
17
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
问题：长轴为 a，短轴为 b ，重为W的非均质椭圆盘，一端铅
垂吊起，另一端放在倾角为 的固定斜面上，圆盘长轴与水 平线的夹角为 ，若圆盘处于平衡，圆盘与斜面的静滑动摩擦
因数最小为多大？
T
F
W
2020/12/9
解：研究椭圆盘，受力分析
M A 0 : M f FR 0 M f FR
不滑动条件： Fs fFN F fW
不滚动条件： M f FN
FW
R
Fmax
min{ fW , W} R
21
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
A
C
DF
W
B
FA
P
A
C
DF
W
B
Fs FB
2020/12/9
例：重为W长为L的均质梯子靠在光滑
2020/12/9
20
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
例： 圆盘为W，半径为R，水平拉力为F，静滑动摩擦因数为 f 滚动摩擦阻力系数为 ，求维持平衡时最大拉力Fmax。
F W
F
W
Fs
A FN M f
2020/12/9
解：研究圆盘，画受力图
Fx 0 : F Fs 0 Fs F
Fy 0 : FN W 0 FN W
（不计皮带自重）
2020/12/9
16
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
A
B
FA
n
A
FB
W
B
2020/12/9
问题：假设墙壁光滑，若使梯子不滑 动，地面与梯子间的静滑动摩擦因数 fs 至少为多大。
(不计梯子自重, 人重为W )
解：研究梯子，画受力图
不滑动条件： max tan tanmax fs 0 300 tan 300 fs
M f 滚动摩阻力偶（couple of rolling resistance）
0 M f M f max
M f max FN
滚动摩阻系数（mm）（coefficient of rolling resistance）
滚动摩阻力偶矩的方向与轮子滚动（趋势）的方向相反
注意：当滚阻力偶未达到最大值时，其大小由平衡方程确定。
的墙壁上(夹角为 ）, 它与地面的静
滑动摩擦因数为 f , 梯子上作用一水 平力F，BD = a，求维持平衡时的F。
解：取梯子为研究对象, 画受力图
MP 0 :
FsL cos
F(L
a) cos
W
L 2
sin
0
Fy 0 : FB W 0
MB
0:
Fa cos
W
L sin
2
FAL cos
0
Fs
动，地面与梯子间的静滑动摩擦因数
fs 至少为多大。 (不计梯子自重 )
B
问题：长轴为 a，短轴为 b ，重为 W的非均质椭圆盘，一端铅垂吊起，
另一端放在倾角为 的固定斜面上， 圆盘长轴与水平线的夹角为 ，若 椭
圆盘处于平衡，椭圆盘与斜面的静滑
动摩擦因数最小为多大？
2020/12/9
13
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
理论力学
力 学 中 的 摩 擦 问 题
2020/12/9
1
理论力学
演示实验
实验题目：均质米尺如图所示，两手以不同的速度缓慢向中 间运动，当两手合并时，两个手指在尺子的什么位置？如何 解释这种现象？
2020/12/9
2
理论力学
摩擦在现实中的应用
2020/12/9
3
理论力学
摩擦在现实中的应用
多盘摩擦离合器
二、摩擦角与自锁现象
全反力 FR F FN
FR FN F
运动趋势
FR
F 2 FN2
tan F
FN
FR Fmax FN
tan max
Fmax FN
Fmax fs FN tanmax fs
0 F Fmax
FR
FN
max
Fmax
max 称为摩擦角 (angle of friction)
八达岭（山区地段）高速 公路进京方向有十多公里的下 坡路，常常有大货车制动失灵 引发交通事故。
2020/12/9
10
理论力学
2009年9月 德国客机迫降
影响摩擦系数的因素
2020/12/9
后起落架故障
11
理论力学
影响摩擦系数的因素
2020/12/9
12
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
A 问题：假设墙壁光滑，若使梯子不滑
W 2
tan
F
(1
a ), L
FB W ,
FA
a L
F
W 2
tan
22
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
FA
A
C
DF
W
Fs
W 2
单盘摩擦离合器
2020/12/9
4
理论力学
摩擦在现实中的应用
2020/12/9
5
理论力学
摩擦在现实中的应用
2020/12/9
6
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
一、滑动摩擦
1、静滑动摩擦
0 F Fmax Fmax fs • FN
FN F
滑动趋势
F：摩擦力， FN：法向约束力
其中：f s静滑动摩擦因数 (coefficient of static friction)
2、动滑动摩擦 F f • FN
FN v
F
其中：f 动滑动摩擦因数 (coefficient of kinetic friction)
2020/12/9
7
理论力学
湿度、温度、 摩擦表面的材料
影响摩擦系数的因素
2020/12/9
8
理论力学
刹车盘
影响摩擦系数的因素
2020/12/9
9
理论力学
影响摩擦系数的因素
均为 f ，沿垂直于屏幕方向 水平推动滑块,哪种情况较易 FN1 W
FN2 W
推动？
2020/12/9
(a) Fmax(a) fs (FN1 FN1) fsW
(b) Fmax(b) fsW
15
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
问题研究
已知： , , fs T1
若皮带与固定轮无滑动 时, 求：T2 的最大拉力。
自锁条件 max（只要全反力作用线在摩擦角内物体间就无相对滑）
注：全反力作用线不会在摩擦角之外
2020/12/9
14
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
问题：已知静滑动摩擦因数 为 ห้องสมุดไป่ตู้,斜面倾角为多大时,滑 块将要滑动。
tan = tanmax fs
FR n
不滑动条件：
max
W
问题：已知静滑动摩擦因数
18
理论力学
三、滚动摩阻
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
刚体假设： 圆盘为刚体 地面为刚体
2020/12/9
F W
F W Fs
FN
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理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
非刚体假设： 圆盘为非刚体 地面为非刚体
F
F
W
W
Fs
FN M f
fs min tan 300
17
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
问题：长轴为 a，短轴为 b ，重为W的非均质椭圆盘，一端铅
垂吊起，另一端放在倾角为 的固定斜面上，圆盘长轴与水 平线的夹角为 ，若圆盘处于平衡，圆盘与斜面的静滑动摩擦
因数最小为多大？
T
F
W
2020/12/9
解：研究椭圆盘，受力分析
M A 0 : M f FR 0 M f FR
不滑动条件： Fs fFN F fW
不滚动条件： M f FN
FW
R
Fmax
min{ fW , W} R
21
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
A
C
DF
W
B
FA
P
A
C
DF
W
B
Fs FB
2020/12/9
例：重为W长为L的均质梯子靠在光滑
2020/12/9
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理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
例： 圆盘为W，半径为R，水平拉力为F，静滑动摩擦因数为 f 滚动摩擦阻力系数为 ，求维持平衡时最大拉力Fmax。
F W
F
W
Fs
A FN M f
2020/12/9
解：研究圆盘，画受力图
Fx 0 : F Fs 0 Fs F
Fy 0 : FN W 0 FN W
（不计皮带自重）
2020/12/9
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理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
A
B
FA
n
A
FB
W
B
2020/12/9
问题：假设墙壁光滑，若使梯子不滑 动，地面与梯子间的静滑动摩擦因数 fs 至少为多大。
(不计梯子自重, 人重为W )
解：研究梯子，画受力图
不滑动条件： max tan tanmax fs 0 300 tan 300 fs
M f 滚动摩阻力偶（couple of rolling resistance）
0 M f M f max
M f max FN
滚动摩阻系数（mm）（coefficient of rolling resistance）
滚动摩阻力偶矩的方向与轮子滚动（趋势）的方向相反
注意：当滚阻力偶未达到最大值时，其大小由平衡方程确定。
的墙壁上(夹角为 ）, 它与地面的静
滑动摩擦因数为 f , 梯子上作用一水 平力F，BD = a，求维持平衡时的F。
解：取梯子为研究对象, 画受力图
MP 0 :
FsL cos
F(L
a) cos
W
L 2
sin
0
Fy 0 : FB W 0
MB
0:
Fa cos
W
L sin
2
FAL cos
0
Fs
动，地面与梯子间的静滑动摩擦因数
fs 至少为多大。 (不计梯子自重 )
B
问题：长轴为 a，短轴为 b ，重为 W的非均质椭圆盘，一端铅垂吊起，
另一端放在倾角为 的固定斜面上， 圆盘长轴与水平线的夹角为 ，若 椭
圆盘处于平衡，椭圆盘与斜面的静滑
动摩擦因数最小为多大？
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§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
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力 学 中 的 摩 擦 问 题
2020/12/9
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摩擦在现实中的应用
2020/12/9
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摩擦在现实中的应用
多盘摩擦离合器
二、摩擦角与自锁现象
全反力 FR F FN
FR FN F
运动趋势
FR
F 2 FN2
tan F
FN
FR Fmax FN
tan max
Fmax FN
Fmax fs FN tanmax fs
0 F Fmax
FR
FN
max
Fmax
max 称为摩擦角 (angle of friction)
八达岭（山区地段）高速 公路进京方向有十多公里的下 坡路，常常有大货车制动失灵 引发交通事故。
2020/12/9
10
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11
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12
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
A 问题：假设墙壁光滑，若使梯子不滑
W 2
tan
F
(1
a ), L
FB W ,
FA
a L
F
W 2
tan
22
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
FA
A
C
DF
W
Fs
W 2
单盘摩擦离合器
2020/12/9
4
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摩擦在现实中的应用
2020/12/9
5
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§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
一、滑动摩擦
1、静滑动摩擦
0 F Fmax Fmax fs • FN
FN F
滑动趋势
F：摩擦力， FN：法向约束力
其中：f s静滑动摩擦因数 (coefficient of static friction)
2、动滑动摩擦 F f • FN
FN v
F
其中：f 动滑动摩擦因数 (coefficient of kinetic friction)
2020/12/9
7
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9
理论力学
影响摩擦系数的因素
均为 f ，沿垂直于屏幕方向 水平推动滑块,哪种情况较易 FN1 W
FN2 W
推动？
2020/12/9
(a) Fmax(a) fs (FN1 FN1) fsW
(b) Fmax(b) fsW
15
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
问题研究
已知： , , fs T1
若皮带与固定轮无滑动 时, 求：T2 的最大拉力。
自锁条件 max（只要全反力作用线在摩擦角内物体间就无相对滑）
注：全反力作用线不会在摩擦角之外
2020/12/9
14
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§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
问题：已知静滑动摩擦因数 为 ห้องสมุดไป่ตู้,斜面倾角为多大时,滑 块将要滑动。
tan = tanmax fs
FR n
不滑动条件：
max
W
问题：已知静滑动摩擦因数