劳斯法分析系统稳定性及不稳定性的改进方法
劳斯-霍尔维茨稳定性判据
第三章控制系统的时域分析法3.2 劳斯-霍尔维茨稳定性判据稳定性是控制系统最重要的问题，也是对系统最基本的要求。
控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。
如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并随时间推移而发散，即使扰动消失了，也不可能恢复原来的平衡状态。
因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是控制理论的基本任务之一。
常用的稳定性分析方法有：1. 劳斯－赫尔维茨（Routh－Hurwitz）判据：这是一种代数判据。
它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，来判断系统的稳定性.2. 根轨迹法：这是一种利用图解来系统特征根的方法。
它是以系统开环传递函数的某一参数为变量化出闭环系统的特征根在S平面的轨迹，从而全面了解闭环系统特征根随该参数的变化情况。
3. 奈魁斯特（Nyquist）判据：这是一种在复变函数理论基础上建立起来的方法。
它根据系统的开环频率特性确定闭环系统的稳定性，同样避免了求解闭环系统特征根的困难。
这一方法在工程上是得到了比较广泛的应用。
4. 李雅普诺夫方法上述几种方法主要适用于线性系统，而李雅普诺夫方法不仅适用于线性系统，也适用于非线性系统。
该方法是根据李雅普诺夫函数的特征来决定系统的稳定性。
一、稳定性的概念稳定性的概念可以通过图3-31所示的方法加以说明。
考虑置于水平面上的圆锥体，其底部朝下时，我们施加一个很小的外力（扰动），圆锥体会稍微产生倾斜，外作用力撤消后，经过若干次摆动，它仍会返回到原来的状态。
而当圆锥体尖部朝下放置时，由于只有一点能使圆锥体保持平衡，所以在受到任何极微小的外力（扰动）后，它就会倾倒，如果没有外力作用，就再也不能回到原来的状态。
因此，系统的稳定性定义为，系统在受到外作用力后，偏离了最初的工作点，而当外作用力消失后，系统能够返回到原来的工作点，则称系统是稳定的。
线性离散系统的稳定性判据
线性离散系统的稳定性判据(1) 修正劳斯—胡尔维茨稳定判据连续系统的劳斯—胡尔维茨稳定判据，是通过系统特征方程的系数及其符号来判断系统的稳定性。
这个方法实际上仍是判断特征方程的根是否都在s平面的左半部。
然而，在离散系统中，判断系统的稳定性，是判断系统特征方程的根是否全在z平面的单位圆内。
因此，离散系统不能直接应用劳斯—胡尔维茨判据来分析稳定性。
从理论上分析，利用关系式z=eTs，可以将z为变量的特征方程转换为以s为变量的特征方程。
但因为s在指数中，代换运算不方便。
为此，必须引入另一种线性变换。
将z平面单位圆内区域映射为另一平面上的左半部。
这样，就可以应用劳斯—胡尔维茨稳定判据来判断离散系统的稳定性。
为此，可采用双线性变换方法开展判断。
双线性变换Ⅰ：（1）式中w是复变量，由上式解得（2）或采用双线性变换Ⅱ：（3）或写成（4）此时（5）双线性变换Ⅱ与双线性变换Ⅰ一样，可以将z平面的单位圆变换成w平面的虚轴。
令w平面的虚轴为，则w平面的左半平面为稳定区域，为w平面的频率，且由上式可知其中为s平面的频率。
此时，s平面、z平面以及w平面的关系为图1 s平面、z平面及w平面映射关系当较小时有（6）即w平面的频率近似于s平面的频率。
这是采用双线性变换Ⅱ的优点之一。
另外，双线性变换Ⅱ也与下一章的双线性变换一致，故建议使用双线性变换Ⅱ。
通过z-w变换，就可以应用劳斯—胡尔维茨判据分析线性离散系统的稳定性。
胡尔维茨判据：由系统特征方程各系数组成的主行列式及其顺序主子式全部为正。
该方法随着系统阶数的增加，计算会变得复杂。
此时可以采用下面劳斯判据。
劳斯判据的要点是：①对于特征方程，若系数的符号不一样，则系统不稳定。
若系数符号一样，建立劳斯行列表。
②建立劳斯列表③若劳斯行列表第一列各元素严格为正，则所有特征根均分布在左半平面，系统稳定。
④若劳斯行列表第一列出现负数，系统不稳定。
且第一列元素符号变化的次数，即右半平面上特征根个数。
系统稳定的三种判定方法
系统稳定的三种判定方法
系统稳定重要不？那可太重要啦！那咋判断系统稳定呢？第一种，看系统响应。
要是系统对输入的反应不过分激烈，不会一下子乱套，那这系统就可能挺稳定。
就好比一个人遇到事儿不慌不忙，那这人就比较靠谱。
要是系统一点小刺激就大起大落，那肯定不稳定呀！注意啥呢？得观察各种情况下的反应，可不能只看一两次。
第二种，分析系统特征方程。
这就像给系统做体检，看看方程的根是啥情况。
要是根都在复平面的左半平面，那系统就稳定。
这就跟医生看体检报告，指标都正常就放心啦！这里可得小心计算，别出错。
第三种，用劳斯判据。
这可是个厉害的工具呢！就像有个超级侦探，能找出系统稳定的线索。
按照规则一步步来，就能判断系统稳不稳定。
但得仔细，一个数算错都不行。
这三种方法在很多场景都有用呢！比如工程领域，设计电路啥的，得保证系统稳定，不然出问题可就麻烦啦！在控制领域，让机器人稳定运行，也得靠这些方法。
优势是啥？能让我们心里有底呀！知道系统稳不稳定，才能放心使用。
举个例子，设计一个自动控制系统，用这三种方法判断稳定性。
先看系统响应，发现对不同输入都比较平稳。
再分析特征方程，根都在合适的位置。
最后用劳斯判据确认，哇，系统稳定！这样就能放心用啦！
系统稳定判断方法很重要，得认真用，才能保证系统安全可靠。
你说是不是？。
系统稳定性分析—劳斯稳定判据
© BIP
例题4：s6 s5 6s4 5s3 9s2 4s 4 0
S6 1
6
S5 1
5
9
4
辅助方程
4
0
S4 1
5
4
S3
0 4
0 10
0 0
S2 2.5
4
0
0 s4 5s2 4 0
0 0 4s3 10s 0 0
S1 3.6
0
0
0
S0 4
0
0
0
某一行全为零，说明存在对称于原点的根，系统不稳定
No.15
© BIP
图7 K=15时系统的单位阶跃响应曲线
No.16
© BIP
图8 K=20时系统的单位阶跃响应曲线
No.17
© BIP
例题2：液位控制系统的稳定性分析。
进水
阀门
进水阀门的 传递函数K3
减速器
+ 电位器
-
连杆
执行电机和 减速器的传
递函数
K2/S(TS+1)
电动机
放大器
控制对象水箱的
系统稳定性分析之 ——劳斯判据
一、系统稳定的重要性
图1“舞动的格蒂”—首座塔科马大桥
No.2
© BIP
二、系统稳定性的基本概念和条件
1、定义：如果线性控制系统在初始扰动的作 用下，使被控量产生偏差，当扰动消失后，该 偏差随着时间的推移逐渐减小并趋于零，即系 统趋于原来的工作状态，则称该系统为渐进稳 定。反之，如果在初始扰动的作用下，系统的 偏差随着时间的推移而发散，系统无法趋于原 来的工作状态，则称系统不稳定。
传递函数K4/S
劳 斯 判 据
图4-1 系统的结构图
1
K
系统的闭环传递函数为
(s)
C(s) R(s)
1
s
(s 1
1)(s K
2)
s3
K 3s2
2s
K
s (s 1)(s 2)
系统的闭环特征方程为
s3 3s2 2s K 0
劳斯判据
1.4 劳斯判据在系统分析中的应用
列出劳斯表为
s3
1
2
s2
3
K
s1 6 K 3
s0
D(s)
n
(s pj )
n1
n2
(s pl ) (s2 2k s k2 )
j 1
l 1
k 1
n1
将式（4-2）展成部分分式形式 C(s)
Al
n2
Bk
l1 s pl k 1 s2 2k s k2
（4-2） （4-3）
式中 Al —— C(s) 在闭环实极点 pl 处的留数；
Bk —— C(s) 在闭环复数极点 s k jk 1 2 处的留数。
方法一：用一个接近于零的很小的正数来代替这个零，并据其计算出劳斯表中的其 余各项。
方法二：用代入原方程，重新列出劳斯表，再用劳斯判据判断系统的稳定性。
劳斯判据
1.3 劳斯判据的特殊情况
【例 4-3】 已知系统的闭环特征方程为
s4 2s3 s2 2s 1 0
试用劳斯判据判断系统的稳定性。
在劳斯表第1列系数中，ε是接近
在零初始条件下，若闭环系统的输入信号 r(t) 在[0，) 上满足 r(t) N ，而在此输入信
号作用下的输出响应 c(t)
g( )r(t
)d
满足
系统稳定性分析实验报告
一、实验目的1. 理解系统稳定性的基本概念和稳定性判据。
2. 掌握控制系统稳定性分析的方法和步骤。
3. 分析系统开环增益和时间常数对系统稳定性的影响。
4. 通过实验验证稳定性分析方法的有效性。
二、实验原理系统稳定性分析是自动控制理论中的一个重要内容，主要研究系统在受到扰动后能否恢复到原来的稳定状态。
根据系统传递函数的极点分布，可以将系统分为稳定系统和不稳定系统。
稳定系统在受到扰动后，其输出会逐渐恢复到原来的平衡状态；而不稳定系统在受到扰动后，其输出会发散，无法恢复到原来的平衡状态。
三、实验仪器1. 自动控制系统实验箱一台2. 计算机一台3. 数据采集卡一台四、实验内容1. 系统模拟电路搭建根据实验要求，搭建一个典型的控制系统模拟电路，如图1所示。
电路中包含一个比例积分（PI）控制器和一个被控对象。
被控对象可以用一个一阶环节表示，传递函数为G(s) = K / (Ts + 1)，其中K为开环增益，T为时间常数。
图1 系统模拟电路图2. 系统稳定性分析（1）观察系统的不稳定现象在实验箱上设置不同的K和T值，观察系统在受到扰动后的响应情况。
当K值较大或T值较小时，系统容易产生增幅振荡，表现为不稳定现象。
（2）研究系统开环增益和时间常数对稳定性的影响通过改变K和T的值，观察系统稳定性的变化。
分析以下情况：1）当K值增加时，系统稳定性降低，容易出现增幅振荡；2）当T值减小时，系统稳定性降低，容易出现增幅振荡；3）当K和T同时改变时，系统稳定性受到双重影响。
（3）验证稳定性分析方法的有效性使用劳斯-赫尔维茨稳定性判据，分析系统传递函数的极点分布，判断系统是否稳定。
将实验得到的K和T值代入传递函数，计算特征方程的根，判断系统稳定性。
五、实验步骤1. 搭建系统模拟电路，连接实验箱和计算机。
2. 设置实验箱参数，调整K和T的值。
3. 观察系统在受到扰动后的响应情况，记录数据。
4. 使用劳斯-赫尔维茨稳定性判据，分析系统稳定性。
劳斯判据判定稳定性
劳斯判据即Routh-Hurwitz判据一、系统稳定的必要条件判据是判别系统特征根分布的一个代数判据。
要使系统稳定，即系统全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件：1）特征方程的各项系数都不等于零。
2）特征方程的各项系数的符号都相同。
此即系统稳定的必要条件。
按习惯，一般取最高阶次项的系数为正，上述两个条件可以归结为一个必要条件，即系统特征方程的各项系数全大于零，且不能为零。
二、系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件是表的第一列元素全部大于零，且不能等于零。
运用判据还可以判定一个不稳定系统所包含的具有正实部的特征根的个数为表第一列元素中符号改变的次数。
运用判据的关键在于建立表。
建立表的方法请参阅相关的例题或教材。
运用判据判定系统的稳定性，需要知道系统闭环传递函数或系统的特征方程。
在应用判据还应注意以下两种特殊的情况：1．如果在表中任意一行的第一个元素为0，而其后各元不全为0，则在计算下一行的第一个元时，该元将趋于无穷大。
于是表的计算无法继续。
为了克服这一困难，可以用一个很小的正数代替第一列等于0的元素，然后计算表的其余各元。
若上下各元符号不变，切第一列元素符号均为正，则系统特征根中存在共轭的虚根。
此时，系统为临界稳定系统。
2．如果在表中任意一行的所有元素均为0，表的计算无法继续。
此时，可以利用该行的上一行的元构成一个辅助多项式，并用多项式方程的导数的系数组成表的下一行。
这样，表中的其余各元就可以计算下去。
出现上述情况，一般是由于系统的特征根中，或存在两个符号相反的实根（系统自由响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭复根（系统自由响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭的纯虚根（即系统自由响应会维持某一频率的等幅振荡，此时，系统临界稳定），或是以上几种根的组合等。
这些特殊的使系统不稳定或临界稳定的特征根可以通过求解辅助多项式方程得到。
三、相对稳定性的检验对于稳定的系统，运用判据还可以检验系统的相对稳定性，采用以下方法：1）将s平面的虚轴向左移动某个数值，即令s=z-（（（为正实数），代入系统特征方程，则得到关于z的特征方程。
第五章劳斯稳定性判据
如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程 式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。
如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的 次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应 的系统为不稳定。
C(s)
bmsm bm1sm1 sn an1sn1
b1s b0 a1s a0
xi
s
n1
aj
n2 i (s ii ) i i
1
2 i
j1 s p j i1
s2 2ii s i2
06-7-20
控制系统的稳定性分析
S4
2
12Biblioteka 16明该方程在S右半平面S3
0
0
0
8
24
上没有特征根。令 F(s)=0，求得两对大 小相等、符号相反的
S2
6
16
根 j 2 , j2
S1
8
0
3
，显然这个系统处于临界稳定状态。
06-7-20 S 0
16
控制系统的稳定性分析
23
劳斯判据特殊情况之三 特征方程在虚轴上有重根
如果特征方程在虚轴上仅有单根，则系统的响应是持续 的正弦振荡，此时系统既不是稳定的，也不是不稳定的，因 而称之为临界稳定；如果虚根是重根，则系统响应是不稳定
1.稳定性是控制系统自身的固有性质，这稳定性取决于系 统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关；
A：对线性系统，系统是大范围稳定的（与输入偏差无 关）；
线性定常系统稳定性分析
5/15/2020
21
[处理办法]：可将不为零的最后一行的 系数组成辅助方程，对此辅助方程式对s 求导所得方程的系数代替全零的行。大 小相等，位置径向相反的根可以通过求 解辅助方程得到。辅助方程应为偶次数 的。
[解]：劳斯阵如下
s5 1 24 23 s4 2 48 46 s3 0 0 0
s3 行全为零。由前一行系数构成辅助方程得： Q(s) 2s4 48s2 46或Q(s) s4 24s2 23
其导数为：Q(s) 4s3 48s将4，48或1，12代 替 s3 行，可继续排列劳斯阵如下：
s5 1 24 23 s4 1 24 23 s3 1 12 0
特征方程为：s3 3s2 2s k 0
5/15/2020
26
劳斯阵： s3 1 2 s2 3 k 6k s1 3 0 s0 k
要使系统稳定，必须
①系数皆大于0，k 0
②劳斯阵第一列皆大于0
有2
k 3
0
k
6
0
k
6
k 0
所以，临界放大系数 Kp 6
5/15/2020
27
确定系统的相对稳定性（稳定裕度）
10
充要条件说明
对于一阶系统，a1s
系统是稳定的。
a0
0, s
a0 a1
,
只要a0 , a1都大于零，
对于二阶系统，a2s2 a1s a0 0, s1,2 a1
a12 4a2a0 2a2
只有 a0 , a1, a2 都大于零，系统才稳定。（负实根或实部为负）
自动控制 控制系统的稳定性分析
例 已知控制系统特征方程,判断系统稳定性。 s6 +2s5 +8s4+12s3+20s2+16s+16=0 解： 劳斯表为: 由为零上一行的元素 s6 1 8 20 16 组成辅助多项式： s5 2 12 16 P(s)=2s4+12s2+16 dP(s)=8s3+24s s4 2 12 16 ds 3 s 代入 0 0 8 24 系统有虚根,不稳定。 2 s 6 16 劳斯表中某行同乘以某正数， s1 8/3 不影响系统稳定性的判断。 0 s 16
第五节 控制系统的稳定性分析
二、劳斯稳定判据
根据稳定的充分与必要条件 , 求得特 征方程的根 , 就可判定系统的稳定性 . 但对 于高阶系统求解方程的根比较困难。 劳斯稳定判据是根据闭环传递函数 特征方程式的各项系数 , 按一定的规则排 列成劳斯表，根据表中第一列系数正负符 号的变化情况来判别系统的稳定性。 下面具体介绍劳斯稳定判据的应用。
第五节 控制系统的稳定性分析
例 已知系统的特征方程,试用劳斯判据确定 方程的根在s平面上的分布。 s3-3s+2=0 解： 方程中的系数有负值，系统不稳定。 ε -2 = -∞ -3 劳斯表为: b31= ε -3 s3 1 b31→ -∞ ε →0 s2 ε0 2 第一列元素的符号变化了 1 s b ∞ 31 两次,有一对不稳定根。 0 s b 241 s3-3s+2=(s-1)2(s+2)=0 通过因式分解验证: s1.2=1 s3=-2
第五节 控制系统的稳定性分析
如果劳斯表中某一行的元素全为零， 表示系统中含有不稳定的实根或复数根。 系统不稳定。 此时，应以上一行的元素为系数，构 成一辅助多项式，该多项式对s求导后， 所得多项式的系数即可用来取代全零行。 同时由辅助方程可以求得这些根。 下面举例说明:
动力学系统中的稳定性分析方法和准则
动力学系统中的稳定性分析方法和准则在科学和工程的众多领域中，动力学系统的稳定性分析是一个至关重要的课题。
无论是机械系统的运动、电路中的电流电压变化，还是生态系统的物种平衡，都涉及到动力学系统的稳定性问题。
理解和掌握稳定性分析的方法和准则，对于预测系统的行为、设计可靠的系统以及解决实际问题具有不可估量的意义。
稳定性的概念在直观上可以理解为系统在受到微小干扰后，是否能够恢复到原来的状态或者保持在一个可接受的范围内。
如果系统能够在干扰消失后回到原来的状态，我们称其为稳定的；反之，如果系统在干扰下偏离原来的状态越来越远，甚至失去控制，那么它就是不稳定的。
常见的稳定性分析方法之一是 Lyapunov 方法。
这一方法通过构造一个被称为 Lyapunov 函数的能量函数来判断系统的稳定性。
如果能够找到一个合适的 Lyapunov 函数，并且其导数满足一定的条件，就可以得出系统稳定的结论。
然而，找到合适的 Lyapunov 函数并非易事，往往需要对系统有深入的理解和一定的数学技巧。
另一个重要的方法是线性化方法。
对于非线性的动力学系统，在工作点附近进行线性化处理，将其转化为线性系统。
然后通过分析线性系统的特征值来判断稳定性。
如果所有特征值的实部均为负数，那么系统在该工作点是稳定的；如果存在实部为正的特征值，系统则是不稳定的。
但需要注意的是，线性化方法只在工作点附近的小范围内有效，对于大范围的稳定性分析可能不准确。
相平面分析也是一种直观且有效的方法，特别适用于二维的动力学系统。
通过绘制系统的相轨迹，可以直观地观察系统的运动状态和稳定性。
稳定的焦点、节点表示系统是稳定的，而鞍点则表示系统是不稳定的。
在实际应用中，劳斯赫尔维茨准则常用于判断线性定常系统的稳定性。
根据系统的特征方程系数，通过一系列的计算和判断规则，可以确定系统的稳定性。
除了上述方法，还有一些其他的准则和方法也在稳定性分析中发挥着重要作用。
比如，对于具有周期激励的系统，可以使用 Floquet 理论来分析稳定性；对于时变系统，需要采用特定的时变稳定性分析方法。
劳斯法分析系统稳定性及不稳定性的改进方法分解
邢台学院物理系《自动控制理论》课程设计报告书设计题目：劳斯法分析系统的稳定性及不稳定性的改进措施专业：自动化班级：＿学生姓名:学号: 4指导教师：2013年3月24日邢台学院物理系课程设计任务书专业：自动化班级：2013 年 3 月 24 日摘要劳斯判据，Routh Criterion，又称为代数稳定判据。
劳斯于1877年提出的稳定性判据能够判定一个多项式方程中是否存在位于复平面右半部的正根，而不必求解方程。
由此劳斯获得了亚当奖。
劳斯判据，这是一种代数判据方法。
它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，从而决定系统的稳定性，由于不必求解方程，为系统的稳定性的判断带来了极大的便利。
劳斯稳定判据是根据闭环特征方程式的各项系数，按一定的规则排列成所谓的劳斯表，然后根据表中第一列系数正，负符号的变化情况来判别系统的稳定性。
本次课程设计以劳斯判据为例，研究控制系统的稳定性分析问题，并对结构性不稳定系统的改进措施进行分析。
关键词：劳斯判据特征方程式正根稳定性劳斯表系数结构性目录1 劳斯稳定判据1.1 劳斯稳定判据原理1.2 实际例题分析1.3 全零行与临界稳定2 结构性不稳定系统的改进措施2.1 改变环节的积分性质2.2 加入比例微分环节3 总结及体会参考文献1 劳斯判据1.1 劳斯判据原理劳斯判据是根据闭环特征方程式的各项系数，按一定的规则排列成所谓的劳斯表，然后根据表中第一列系统正，负号的变化情况来判断系统稳定性。
根据特征方程的各项系数排列成下列劳斯表。
c ca a c c c c a a c c c c a a c c s a a a a a c a a a a a c a a a a a c s a a a s a a a s n n n n 134317133413331513241323131314317061331504123130211325311420-=-=-=-=-=-=---若特征方程式的各项系数都大于零（必要条件），且劳斯表中第一列元素均为正值，则所有的特征根均位于s 左半平面，相应的系统是稳定的。
劳斯-赫尔维茨定理：描述稳定性的性质和判断方法
劳斯-赫尔维茨定理：描述稳定性的性质和判断方法第一章：引言劳斯-赫尔维茨定理是控制理论中的重要定理之一，它描述了线性时不变系统的稳定性的性质和判断方法。
稳定性是系统控制中一个非常重要的概念，它涉及到系统在输入变化时的响应能力。
本章将介绍劳斯-赫尔维茨定理的背景和重要性，为后续章节的讨论奠定基础。
第二章：劳斯-赫尔维茨定理的基本概念2.1 动力系统在开始介绍劳斯-赫尔维茨定理之前，我们首先需要了解动力系统的基本概念。
动力系统是指由动态方程和初始条件所描述的一种数学模型，在控制理论中被广泛应用。
动力系统可以是线性的或非线性的，可以是时不变的或时变的。
理解动力系统的特性对于理解劳斯-赫尔维茨定理至关重要。
2.2 稳定性的定义稳定性是对系统响应的一种性质描述。
一个稳定的系统在输入变化时，其响应不会无限增长或震荡，而是趋于有限的范围内。
稳定性可以分为渐进稳定和有界稳定两种形式。
渐进稳定是指系统的响应趋于零或某个有限的值，而有界稳定是指系统的响应保持在有限的范围内。
第三章：劳斯准则3.1 劳斯定理的基本原理劳斯定理是劳斯-赫尔维茨定理的基本原理，它是通过对系统特征方程的根进行判断来确定系统的稳定性。
具体而言，劳斯定理使用代数方法来判断系统特征方程的根的位置，从而得出系统的稳定性判据。
3.2 劳斯准则的推导劳斯准则的推导是建立在特征方程的根与稳定性之间的关系上。
通过对特征方程进行变换和整理，可以得到劳斯准则的具体表达式。
劳斯准则的推导过程是相对复杂的，但是它为后续的稳定性判断提供了重要的理论基础。
第四章：劳斯-赫尔维茨定理的应用4.1 劳斯-赫尔维茨定理的基本应用劳斯-赫尔维茨定理的基本应用是判断系统的稳定性。
通过计算特征方程的根，并根据劳斯准则进行判断，可以得出系统的稳定性结论。
这在系统控制和工程实践中具有重要的意义，可以帮助工程师们设计和优化控制系统，提高系统的稳定性和性能。
4.2 劳斯-赫尔维茨定理的拓展应用除了稳定性的判断，劳斯-赫尔维茨定理还可以应用于其他领域。
3-2 劳斯判据
朱文兴
3.5 3.5.1
线性系统的稳定性分析 稳定的概念
所谓稳定性是指系统在受到外界力的作用后恢复 平衡状态的能力。
如果系统受到有界扰动，不论扰动引起的初始偏差有多大， 当扰动取消后，系统都能以足够的准确度恢复到初始平衡状态， 则这种系统称为大范围稳定的系统； 如果系统受到有界扰动，只有当扰动引起的初始偏差小于 某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态，否
0< K < 6
22
②确定系统的相对稳定性 例3-9 检验多项式 2s3 + 10s2 + 13s + 4 = 0 是否有根在s 右半平面，并检验有几个根在垂直线 s = 1 的右边？
解：1)
s3 s2
2 10
13 4
劳斯表中第一列元素均 为正
∴系统在s 右半平面没有 根，系统是稳定的。
s1
s0
3/2 2/3 2
2 0
特征方程式不缺项且系数为正值，劳斯表中
第一列元素的符号无变化，∴系统没有正实部 的根。解辅助方程求出系统有两对纯虚根，系
20 统处于临界（不）稳定。两对纯虚根分别是
s0
s=±j和s=±√2j，剩下的一个根是s=-1。
劳斯判据小结
控制系统稳定的充要条件是：
1、系统的闭环特征方程式s的幂次不缺项； 2、全部系数为正值； 3、由该方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都要是正的。
1 2 1 6 5
3 4 5 0
5 0
特征方程式不缺项，且系数都为正值，劳斯表的第一列 15 元素 符号改变了2次，∴系统不稳定，且s 右半平面有2 个根。
3.5.3 两种特殊情况
第一种特殊情况：劳斯表中某行的第一列元素为零， 而其余各项不为零，或不全为零。对此情况，有两 种处理方法。
自控判断稳定性4种方法
3、波特图——幅值裕度——系统开环频率特性相位为-180时（穿越频率），其幅值倒数K，意义为闭环稳定系统，如果系统的开环传递系数再增大K倍，系统临界稳定。
——相位裕度——系统开环频率特性的幅值为1时（截止频率），其相位与180之和。意义为：闭环稳定系统，如果系统开环频率特性再滞后r，系统进入临界稳定。
低频段——稳态误差有关。L(w)在低频段常见频率为[-20]、[-40],也就是一阶或二阶无差（v=1/v=2)
Байду номын сангаас
中频段——截止频率附近的频段，与系统的瞬态性能有关。为了具有合适的相位裕度（30~60），L（w)在中频段穿过0分贝线的斜率应为[-20]，并且具有足够的宽度。
高频段——抗高频干扰能力。高频段闭环频率特性近似于开环频率特性，高频段幅值分贝越小，则抑制高频信号衰落的作用越大，抗高频干扰越强。L（w）在高频段应具有较大的负斜率。
4、根轨迹——系统开环传递函数的某一参数变化造成闭环特征根在根平面上变化的轨迹。
——增加开环零点，根轨迹左移，提高相对稳定性，改善动态性能。零点越靠近虚轴影响越大。
——增加开环极点，根轨迹右移，不利于系统稳定和动态性能。
从闭环系统的零、极点来看，只要闭环系统的特征方程的根都分布在s平面的左半平面，系统就是稳定的。
1、劳斯判据——判定多项式方程在S平面的右半平面是否存在根的充要判据。——特征方程具有正实部根的数目与劳斯表第一列中符号变化的次数相同。
2、奈奎斯特判据——利用开环频率的几何特性来判断闭环系统的稳定性和稳定性程度，更便于分析开环参数和结构变化对闭环系统瞬态性能影响。——利用幅角原理——Z、P分别为右半平面闭环、开环极点，要想闭环系统稳定，则Z=P+N=0，其中N为开环频率特性曲线GH（jw)顺时针绕（-1，j0)的圈数。
劳斯稳定判据
5．2Routh （劳斯）稳定判据一、 线性系统稳定的必要条件一阶系统D （S ）= a 1S+a 0 S=- a 0/ a 1若a 0与 a 1符号不一致，则特征根的实部就大于零，系统不稳定二阶系统D （S ）=a 2S 2+a 1S+a 0 222112,,124a a a aa S -±-=，若a 1=0，则特征根2022,,124a a a S -±=为纯虚根，即在虚轴上，系统处于临界稳定（不稳定）系统稳定的必要条件: 1、特征方程中所有项的系数都必须有相同的符号2、所有系数都必须不为零。
这些条件都是必要的但不充分。
（设特征方程中所有项的系数均大于0.只要有一项等于或小于0,则为不稳定系统）；利用线性系统稳定的必要条件，不必进行公式运算只要缺其中任意一个条件，系统就不稳定。
二、 Routh 稳定判据：求罗斯计算表：任意一行的各项同时乘以一个正数，结果不变。
432143214321753164204321d d d d c c c c b b b b a a a a a a a a sss s s s n n n n n n n n n n n n n-----------式中：13211-----=n n n n n a a a a a b ，15412-----=n n n n n a a a a a b ，17613-----=n n n n n a a a a a b ……直至其余的b 为零。
同样的:121311b b a a b c n n ---=，131512b b a a b c n n ---=……121211c c b b c d -=，131312c c b b c d -=……（1） 第一列各数的符号全为正，则说明无正实部的根，系统稳定。
否则系统不稳定，第一列各项符号变化的次数就是不稳定根的数目。
（2） 第一列出现零的情况时，用一个小的正数ε代替０进行计算后，再令ε→０求极限来判别第一列系数的符号。
劳斯判据
三、劳斯判据
根据稳定的充要条件来判别系统的稳定性， 需要求出系统的全部特征根。对于高阶系 统，求跟的工作量很大，因此，希望使用 一种间接判断系统特征根是否全部位于s左 半平面的代替方法。 劳斯和赫尔维茨分别于1877年和1895年独立 提出了判断系统稳定的代数判据，称为劳 斯-赫尔维茨稳定判据。
注意：该判据为稳定的必要条件，故通常用来判断系 统不稳定的情况，而不能判断系统稳定。
D( s) a0 s a1s
n
n 1
... an1s an 0
三、劳斯判据
2、劳斯判据（1977年由Routh提出的代数判据） ①系统的特征方程 D(s) a0 s n a1s n1 ... an1s an 0 各项系数均为正； ②按特征方程的系数列些劳斯表 s | a a a a a a a s | a a a a a a a b s | b b b b a a s | c c c a a a | a b b b b s | c c b b s |
三、劳斯判据
1、赫尔维茨判据 设线性系统的特征方程为 则使线性系统稳定的必要条件是：上式各项系数为正。 证明： D( s) a0 s n a1s n1 ... an1s an K (s p1 )( s p2 )...( s pn ) 若所有的特征根均在s平面左边，则有 p j 0 或者说 p j 0 ，那么他们的多项式相乘后，系数一定也大于零。
二、系统稳定的充要பைடு நூலகம்件
M ( s) b0 s m b1s m1 bm1s bm G( s) D( s) a0 s n a1s n 1 ... an 1s an 由于 (t ) 的拉氏变换为1，设 si (i 1,2....n)为特征根 n Ai M ( s ) 所以输出的拉氏变换为 C (s) 1 G(s) D( s) i 1 s si
对劳斯判据的浅略分析
对劳斯判据的浅略分析劳斯判据是一种用于探讨控制系统稳定性的方法，它是由英国工程师劳斯于1883年提出的。
劳斯判据通过分析系统的特征方程来确定系统的稳定性。
特征方程是一个关于复频域变量s的多项式，它由系统的传递函数确定。
劳斯判据的基本原理是通过判别式和劳斯表来判断系统的稳定性。
判别式是特征方程的系数构成的矩阵，在劳斯表中逐次计算判别式的各个元素。
劳斯表是将特征方程的系数按照一定的规律排列成的表格，可以逐行计算出判别式的各个元素。
劳斯判据的判别条件是判别式的各个元素都为正，并且相邻两行的元素符号交替。
如果判别式的任何一行全部为正，那么系统是不稳定的。
当判别式的某个行出现负号，且判别式的前一行也有负号时，系统的稳定性是不确定的，需要进一步分析。
劳斯判据的优点是简单易用，只需要对特征方程的系数进行计算和判断即可。
它可以用来判断线性时不变系统的稳定性，并且可以通过劳斯表的计算来确定系统的极点的个数和位置。
劳斯判据也可以用于非线性系统的稳定性分析，但需要对非线性系统进行线性化处理。
劳斯判据也有一些局限性。
劳斯判据只能用来判断系统稳定性，不能给出系统的稳定裕度信息。
劳斯判据只适用于具有实系数的特征方程，对于虚系数的特征方程无法进行判断。
劳斯判据也不能应用于非线性系统。
劳斯判据还有一些拓展的方法，如劳斯准则、劳斯法则等。
这些方法都是在劳斯判据的基础上进行推导和扩展的，用于解决特殊情况下的稳定性分析问题。
劳斯判据是一种用于控制系统稳定性分析的方法，通过判定特征方程的判别式的符号来判断系统的稳定性。
它简单易用，适用于线性时不变系统的稳定性分析，但对于非线性系统无法直接应用。
劳斯判据也有一些拓展的方法，用于解决特殊情况下的稳定性问题。
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邢台学院物理系
《自动控制理论》
课程设计报告书
设计题目：劳斯法分析系统的稳定性及不稳定性的改进
措施
专业：自动化
班级：＿
学生姓名:
学号: 4
指导教师：
2013年3月24日
邢台学院物理系课程设计任务书
专业：自动化班级：
2013 年 3 月 24 日
摘要
劳斯判据，Routh Criterion，又称为代数稳定判据。
劳斯于1877年提出的稳定性判据能够判定一个多项式方程中是否存在位于复平面右半部的正根，而不必求解方程。
由此劳斯获得了亚当奖。
劳斯判据，这是一种代数判据方法。
它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，从而决定系统的稳定性，由于不必求解方程，为系统的稳定性的判断带来了极大的便利。
劳斯稳定判据是根据闭环特征方程式的各项系数，按一定的规则排列成所谓的劳斯表，然后根据表中第一列系数正，负符号的变化情况来判别系统的稳定性。
本次课程设计以劳斯判据为例，研究控制系统的稳定性分析问题，并对结构性不稳定系统的改进措施进行分析。
关键词：劳斯判据特征方程式正根稳定性劳斯表系数结构性
目录
1 劳斯稳定判据
1.1 劳斯稳定判据原理
1.2 实际例题分析
1.3 全零行与临界稳定
2 结构性不稳定系统的改进措施
2.1 改变环节的积分性质
2.2 加入比例微分环节
3 总结及体会
参考文献
1 劳斯判据
1.1 劳斯判据原理
劳斯判据是根据闭环特征方程式的各项系数，按一定的规则排列成所谓的劳斯表，然后根据表中第一列系统正，负号的变化情况来判断系统稳定性。
根据特征方程的各项系数排列成下列劳斯表。
c c
a a c c c c a a c c c c a a c c s a a
a a a c a a a a a c a a a a a c s a
a
a s a a a s n n n n 13
4317133413
33
15132413
23
1313143
1
7061331
5
041231
3
0211325311420-=-=-=-=-=-=---
若特征方程式的各项系数都大于零（必要条件），且劳斯表中第一列元素均为正值，则所有的特征根均位于s 左半平面，相应的系统是稳定的。
否则系统为不稳定或临界稳定，实际上临界稳定也属于不稳定。
劳斯表中第一列元素符号改变的次数等于该特征方程的正实部根的个数。
1.2 实际例题分析
例题1：某系统的特征方程为：0100s 24s 8s )s (D 23=+++=，判断系统稳定性。
解：系统的特征方程为 0100s 24s 8s )s (D 23=+++= 劳斯表： s 3 1 24
s 2 8 100 s 1 92 s 0
100
第一列同号，所以系统稳定。
例题2：设闭环系统传递函数为5
4322017123)(2
34523++++++++=s s s s s s s s s G ，判定该系统是否稳定。
解：系统特征方程为054322345=+++++s s s s s 劳斯表 ： s 5 1 1 4
s 3 －0.5 1.5 0 s 2 9 5 0 s 1 16／9 0 0 s 0 5 0 0
第一列元素中出现负数，系统不稳定
例题3：某反馈控制系统的特征方程为:010)32(523=++++s k ks s 试确定使该闭环系统稳定的K 值。
解：系统特征方程为:010)32(523=++++s k ks s 劳斯表 ： s 3 1 2k+3 s 2 5k 10
s 1 2
232
k k k +- 0
s 0 10 0 解得K>0.5
1.3全零行与临界稳定
1） 劳斯表第一列中出现系数为零，而其余系数不全为零
用一个很小的正数ε来代替零这一项，据此算出其余的各项，完成劳斯表 。
如果第一列ε上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。
例题：某系统特征方程为： 判定该系统是否稳定。
如不稳定，求不稳定根的个数。
解：系统特征方程为: 0122234=++++s s s s 0
122234=++++s s s s
s 3 2 2 0 s 2 0（ε） 1 0
s 1 2ε-2
ε 0 0
s 0 1 0 0
系统不稳定，有两个位于S 右半平面的根。
2）劳斯表某行系数全为零的情况。
表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。
利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行,完成劳斯表的排列。
这些大小相等、符号 相反的根可通过求解辅助方程得到，而且其根的数目总是偶数的。
表明特征方程具有大小相等而位置径向相反的根。
至少要下述几种情况之一出现：
1）大小相等，符号相反的一对实根； 2）一对共轭纯虚根；
3）对称于虚轴的两对共轭复根；
例题：某系统的特征方程为： 判断系统稳定性。
解：系统特征方程为: 劳斯表 ： s 5 1 3 －4 s 4 1 3 －4 s 3 0 0 0 s 2 25 0 0
-∞
=-
→ε
ε2
2lim 0
+
-
-
+
→--→1
2
2,2
2εεε044332345=--+++s s s s s 044332345=--+++s s s s s
s 0 －8 0 0
构造辅助方程43)(24-+=s s s A 对A(s)求导
s s ds
s dA 64)
(3+= 由劳斯表可知有一个特征根在S 的右半平面，系统属于临界稳定，即不稳定。
2. 结构性不稳定系统的改进措施
如果无论怎样调整系统的参数，也无法使其稳定，则称这类系统为结构不稳定系统。
如图3-17所示的系统。
闭环传递函数为
特征方程式为
=0
根据劳斯判据，由于方程中s 一次项的系数为零，故无论K 取何值，该方程总是有根不在s 左半平面，即系统总是不稳定。
这类系统称为结构不稳定系统。
解决这个问题的办法一般有以下两种：
2.1 改变环节的积分性质
可用比例反馈来包围有积分作用的环节。
例如，在积分环节外面加单位负反
馈，见图3-18，这时，环节的传递函数变为
从而使原来的积分环节变成了惯性环节。
图3-17所示系统中的一个积分环节加上
单位负反馈后，系统开环传递函数变成为系统的闭环传递函数为
特征方程式：
劳斯表： s3 T 1 s2 1+T K
s1 1
1
T TK
T +-
+
s0 K
根据劳斯判据，系统稳定的条件为,即
所以，K的取值范围为
可见，此时只要适当选取K值就可使系统稳定。
2.2. 加入比例微分环节
如图3-19所示，在前述结构不稳定系统的前向通道中加入比例微分环节，系
统的闭环传递函数变为
劳斯表： s3 T Kτ
s2 1 K
s1 K(τ－T)
s0 K
系统的稳定条件为,即
可见，此时只要适当选取系统参数，便可使系统稳定。
三、总结及体会
稳定性是对控制系统的最基本要求，稳定性完全取决于系统本身的结构和参数。
线性系统稳定的充分必要条件是其特征方程根全部位于s平面左半平面上。
由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在s平面的左半平面。
显然，稳定性与零点无关。
当有一个根落在右半部，系统不稳定。
当有根落在虚轴上(不包括原点)，此时为临界稳定，系统产生持续振荡。
判断系统是否稳定通常采用系统稳定性判据，其中劳斯判据就是最常采用的一种稳定性判据。
劳斯判据是根据系统特征方程系数构成的劳斯阵列来判断系统稳定性的。
劳斯判据不仅可以判别系统稳定不稳定，即系统的绝对稳定性，而且也可检验系统是否有一定的稳定裕量，即相对稳定性。
另外劳斯判据还可用来分析系统参数对稳定性的影响和鉴别延滞系统的稳定性。
物理中所用到的系统模式很多，然后系统稳定性判据的主要意义在于能够在判断的基础上对不稳定系统进行改进，使其变成稳定性系统，最终到达进行操作系统的目的。
参考文献
[1] 黄坚. 自动控制原理. 科学出版社, 2007
[2] 黄忠霖. 自动控制原理的MATLAB实现. 国防工业出版社, 2007
[3] 广西物理报期刊. 2010
[4] 张静.MATLAB在控制系统中的应用. 北京：电子工业出版社. 2007
课程设计成绩评定表
指导教师签名：年月日。