第10章相似性原理与因次分析
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《流体力学》第十章相似性原理与因次分析
第十章 相似性原理和因次分析
流体力学实验是研究问题的重要手段。 相似性原理用于指导实验非常有用。 相似性原理所研究的是相似物理现象之间的关系。只有同类的物理现象之间才能谈论相似问题。 同类的物理现象：是指那些用相同形式并具有相同内容的微分方程式所描写的现象。 电场和导热物体的温度场之间只有类比或比拟，但不存在相似。
例如：在考虑不可压缩流体流动的动力相似时， 决定流动平衡的四种力，粘滞力、压力、重力 和惯性力并非都是独立的，其中必有一力是被 动的，只要三个力分别相似，则第四个力必然 相似。因此，在决定动力相似的三个准则数Eu, Fr,Re中，也必有一个被动的，相互之间存在 依赖关系 Eu=f(Fr,Re)。 准则数之间的函数关系称为准则方程。
例题5：水翼船的阻力Ff与翼弦长度l,翼型截面积A,航行速度U,水的密度ρ,水的粘度μ有关,取U,A, ρ为基本量,用π定理确定阻力的函数关系式.
01
如果两个同一类的物理现象，在对应的时空点，各标量物理量的大小成比例，各向量物理量除大小成比例外，且方向相同，则称两个现象是相似的。
02
相似的条件：几何相似、运动相似、动力相似以及两个流动的边界条件和起始条件相似。
第一节 力学相似性原理
原型管流
模型管流
几何相似是指流动空间几何相似。即形成此空间任意相应两线段夹角相等，任意相应线段长度保持一定的比例。
1
同名作用力，指的是同一物理性质的力，如重力，粘性力，压力，惯性力，弹性力等。
2
动力相似是运动相似的保证
动力相似
01.
由动力相似的定义推导相似准数：
02.
由于惯性力与运动相似直接相关，把以上关系写为：
03.
原型流动
04.
模型流动
相似性原理和因次分析相似的概念
1 1 1
2 ( LT 1 ) ( L) ( ML3 ) ( ML1T 2 )
2 2 2
3 ( LT 1 ) ( L) ( ML3 ) ( L)
3 3 3
4 ( LT 1 ) ( L) ( ML3 ) ( L)
二、因次分析法
因次分析π定理： 当某现象由n个物理量所描述（根本不能组成无因次综合量 的物理量不计在内），而这些物理量中有m个基本因次，则可 得到n—m个独立的无因次综合量，即相似准数 书上[例10-3] 有压管流中的压强损失。 分析思路：
描述该现象的物理量有：压强损失ΔP、管长l，管径d，管壁 粗糙度K、黏度ν、密度ρ、平均流速v -----（共7个物理量）
第五章 相似性原理和因次分析
第一节 力学相似性原理
相似的概念：
如果两个同一类的物理现象，在对应的时空点，各标量物 理量的大小成比例，各物理量除大小成比例外，且方向相同， 则称两个现象是相似的。 流体流动相似条件：
流动几何相似．运动相似，动力相似，以及流动的边界 条件和起始条件相似 一、几何相似 几何相似：指流动空间几何相似。即形成此空间任意相应 两线段夹角相同，任意相应线段长度保持一定的比例。
关系表示。或由定性物理量组成的相似准数，相互间存在着函数关 系。 例如：准则数1=（准则数1，准则数2，准则数3 · · · · · · · · · · · · ）
被决定的准数
（非定性准数）
决定性准数
（定性准数）
例如：大多数流体流动：Eu=（Fr,Re）
第三节 因次分析法
一、因次分析的概念和原理 因次（量纲）：物理量的性质和类别。 例如：长度---[L] 质量---[M] 与单位区别：单位除表示物理量的性质外，还包含着物理量 的大小． 基本因次：质量[m]=M 长度[l]=L． 时间[t]=T 温度[T]＝Θ
2 ( LT 1 ) ( L) ( ML3 ) ( ML1T 2 )
2 2 2
3 ( LT 1 ) ( L) ( ML3 ) ( L)
3 3 3
4 ( LT 1 ) ( L) ( ML3 ) ( L)
二、因次分析法
因次分析π定理： 当某现象由n个物理量所描述（根本不能组成无因次综合量 的物理量不计在内），而这些物理量中有m个基本因次，则可 得到n—m个独立的无因次综合量，即相似准数 书上[例10-3] 有压管流中的压强损失。 分析思路：
描述该现象的物理量有：压强损失ΔP、管长l，管径d，管壁 粗糙度K、黏度ν、密度ρ、平均流速v -----（共7个物理量）
第五章 相似性原理和因次分析
第一节 力学相似性原理
相似的概念：
如果两个同一类的物理现象，在对应的时空点，各标量物 理量的大小成比例，各物理量除大小成比例外，且方向相同， 则称两个现象是相似的。 流体流动相似条件：
流动几何相似．运动相似，动力相似，以及流动的边界 条件和起始条件相似 一、几何相似 几何相似：指流动空间几何相似。即形成此空间任意相应 两线段夹角相同，任意相应线段长度保持一定的比例。
关系表示。或由定性物理量组成的相似准数，相互间存在着函数关 系。 例如：准则数1=（准则数1，准则数2，准则数3 · · · · · · · · · · · · ）
被决定的准数
（非定性准数）
决定性准数
（定性准数）
例如：大多数流体流动：Eu=（Fr,Re）
第三节 因次分析法
一、因次分析的概念和原理 因次（量纲）：物理量的性质和类别。 例如：长度---[L] 质量---[M] 与单位区别：单位除表示物理量的性质外，还包含着物理量 的大小． 基本因次：质量[m]=M 长度[l]=L． 时间[t]=T 温度[T]＝Θ
相似原理的基本内容及应用
相似原理的基本内容及应用相似原理是指在不同尺寸或比例的物体之间，存在着一种相似性质，即它们的形状、结构、运动方式等有着相似的特征。
相似原理是许多科学领域中常用的基本原理，包括物理学、力学、流体力学、光学、生物学等。
在这些领域中，相似原理被广泛应用于模拟、实验、设计和预测等方面。
相似原理的基本内容包括尺度变换和维数分析两个方面。
尺度变换是指通过拉伸、压缩或改变比例，将原始物体缩放到不同的尺寸或比例。
维数分析是一种通过选择合适的无量纲物理量，将复杂的物理现象简化为基本的相似性质和关系的方法。
在相似原理中，常用的无量纲物理量有雷诺数、马赫数、埃奇数等。
相似原理的应用非常广泛。
以下是一些常见的应用领域：1. 流体力学：在流体力学中，相似原理可以用于研究模型飞行器的气动特性，如飞机的升力和阻力。
通过将模型缩放到合适的尺度，可以在实验室中进行大气和空气流动的模拟，从而更好地理解真实飞机的飞行性能。
2. 结构工程：在结构工程中，相似原理可以用于评估模型土壤或建筑物的受力情况。
通过将模型缩放到合适的尺寸，可以在实验室中进行模拟地震或风载荷等外部力的作用，从而更好地了解和预测真实结构物的强度和稳定性。
3. 高速运动：在高速运动中，相似原理可以用于预测和模拟物体在不同速度下的运动行为，如火箭发射、汽车行驶等。
通过缩放模型并考虑相关的无量纲物理量，可以预测真实物体在不同速度下的运动性能，从而提供设计和控制的参考。
4. 光学：在光学应用中，相似原理可以用于设计光学器件和系统，如镜头、眼镜和望远镜等。
通过缩放模型并保持相关的无量纲光学参数不变，可以在实验室中研究和测试光学系统的性能，从而指导实际设备的制造和使用。
5. 生物学：在生物学中，相似原理可以用于研究生物体的运动、生长和形态等。
通过缩放模型并考虑相关的生理参数，可以在实验室中模拟生物体的行为和变化，从而更好地了解它们的生命过程和机制。
总之，相似原理是一种非常重要的科学原理。
流体力学第六章 相似原理与量纲分析
• 相似准则： 相似准则：
粘性相似准则：保证两现象的雷诺数相等 粘性相似准则：
重力相似准则：保证两现象的弗劳德数相等 重力相似准则：
压差力相似，即欧拉数相等往往是两现象动力相似的结果 压差力相似，
本章小结
1.两液流流动相似必须满足： 1.两液流流动相似必须满足： 两液流流动相似必须满足 （1）几何相似——原形和模型两个流场的几何形状相似； （2）运动相似——原形和模型两个流场的速度场相似； （3）动力相似——原形和模型两个流场中各相应质点 所受的同名方向相同，大小成一固定比例； （4）初始条件和边界条件相似； 2.相似准则 相似准则： 相似准则、 相似准则、 2.相似准则：Re相似准则、 Fr相似准则、 Eu相似准则
式中： ——流体声速 ——弹性模量
当弹性力起主要作用时，如水击，空气动力学中的亚音速或 超音速运动等，动力相似有： （6-20） 6.斯特哈罗数（时间准则） 6.斯特哈罗数（时间准则） 斯特哈罗数 斯特哈罗数：非恒定流体流动中，当地加速度 ，这个 加速度所产生的惯性作用与迁移加速度的惯性作用之比。 （6-21） f——振动频率 对非恒定流，表明有变力作用，动力相似有： （6-22）
2.雷利法 . 雷利法是量纲和谐原理的直接应用， 雷利法的计算步骤： 1. 确定与所研究的物理现象有关的n 个物理 量； 2. 写出各物理量之间的指数乘积的形式，如： FD=kDx Uyρz µa 3. 根据量纲和谐原理，即等式两端的量纲应 该相同，确定物理量的指数x,y,z,a ，代入指 数方程式即得各物理量之间的关系式。 应用范围：一般情况下，要求相关变量未知 数n小于等于4~5个.
第10 章因次分析与模型试验
对于复杂的实际工程问题，直接应用 基本方程求解，在数学上极其困难，因此 需有赖于实验研究来解决。本章主要阐述 有关实验研究的基本理论和方法，包括流 动相似原理，相似准则，量纲和谐原理及 量纲分析方法等。
流体力学第十章 相似原理和因次分析
例如： 粘滞力相似：由 Re m Re p 得
vmlm
m
v pl p
m p
p
vm l p 1 v p lm l
重力相似：由 Frm Frp 得
vm g m lm vp g pl p
gm g p
lp vm 1 vp lm l
由此可以看出，有时要想做到完全相似是不可能 的，只能考虑主要因素做近似模型实验。
Fm mVm vm tm 3 1 2 2 l v t l v Fp pVp v p t p
也可写成：
F 1 2 2 l v
令：
F
l v
2 2
Ne
Ne称为牛顿数， 它是作用力与 惯性力的比值。
Ne称为牛顿数，它是某种作用力与惯性 力的比值，是无量纲数。由此可知，模型 与原型的流场动力相似，它们的牛顿数必 相等。
qv g H f
f const 2 时， 2
当重力加速度 g 不变时，三角堰流量与堰
顶水头 H 的关系为：
qv CH ~ H
5 2 5 2
其中 c 只能用实验方法或其他方法确定。
【例】 不可压缩粘性流体在粗糙管内定常流动时，沿管道 的压强降 p 与管道长度 L ，内径 d ，绝对粗糙度 ，流体的平均 流速 v ，密度 和动力粘度 有关。试用瑞利法导出压强降的表 达式。 【解】 按照瑞利法可以写出压强降 p kLa d a a v a a a （b）
第三节
动力相似的准则(模型率)
一.相似准则的提出
相似原理说明两个流动系统相似必须在几何相似、 运动相似和动力相似三个方面都得到满足。 但实际应用中，并不能用定义来检验流动是否相 似，因为通常原型的流动是未知的。这就产生一个问
相似性原理和量纲分析.ppt
谢谢!
（2）改用水
6 2 1 . 007 10 m / s 水
6 2 15 . 7 10 m / s 空气
v pl p
p
vm lm m
6 l 20 1 . 007 10 p m v v 300 385 km / h m p 6 l 1 15 . 7 10 m p
同理 2 vd
e.整理方程式
l 3 d
p l k f , , , f , , , 0 1 2 3 4 2 v vd dd
p l k f , , 2 v vd d d
p k l f Re, 2 v d d
压强为1at的静止空气中飞行，用λl=20的模型在风洞中 作试验：（1）如果风洞中空气的温度和压强不变，风 洞中空气速度应为多少？ 解：风洞实验中粘性力是主要的——雷诺准则 υ相同
vplp vmlm
20 v v 300 6000 km / h m p l 1 m
l p
难以实现，要改变实验条件
v l
取 l 10
υp——水
m
p
10
3 2
p
31 .62
υm——很困难 自模区——阻力平方区 （与Re无关）
如果υp——空气（15.7×10-6m2/s）
υm——水（1.007×10-6m2/s）
.24 l 6
结论：根据影响流动的主要作用力，正确选择 相似准则，是模型实验的关键
1 a b c 1 1 1
ML ML T LT L
1 2 a 1 1 b 1 c 1 3
04 相似性原理与因次分析-习题与讨论
3 3
2013-6-11
15
章后习题简解
(b)由 We
nlnv n
n
2
m lm v m
2
p m
，得
4 .8 50 0 . 679 km/h
m
vn vm
2 2
m lm n l n
vm
l
Fn
nln v n Fm m lm v m
2 2
l F m 50 9 450 N 0 . 450 kN
习题与讨论
4 相似性原理与因次分析
2013-6-11
1
主要内容
思考题 选择题(单选题) 章后习题简解
2013-6-11
2
思考题
什么叫因次?因次和单位有何不同?
因次分析方法的理论根据是什么?
怎样运用瑞利法建立物理方程? 怎样运用定理建立物理方程? 几何相似、运动相似、动力相似的涵义是什么? 何谓相似准则?模型实验怎样选择相似准则?
2013-6-11
13
章后习题简解
10-3
t n 20 C , v n 4 . 5 m/s , d n 0 . 3 m , p n 68 . 95 kPa ,
l 6 , v m 30 m/s , p m 55 . 2 kPa , t m 20 C, p m ?
各相似准数(Re、Fr、Eu、Ma等)的物理意义是什 么?
3
2013-6-11
选择题(单选题)
速度v、长度l、重力加速度g的无因次集合
是：
(a)
lv g
；(b)
2013-6-11
15
章后习题简解
(b)由 We
nlnv n
n
2
m lm v m
2
p m
，得
4 .8 50 0 . 679 km/h
m
vn vm
2 2
m lm n l n
vm
l
Fn
nln v n Fm m lm v m
2 2
l F m 50 9 450 N 0 . 450 kN
习题与讨论
4 相似性原理与因次分析
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1
主要内容
思考题 选择题(单选题) 章后习题简解
2013-6-11
2
思考题
什么叫因次?因次和单位有何不同?
因次分析方法的理论根据是什么?
怎样运用瑞利法建立物理方程? 怎样运用定理建立物理方程? 几何相似、运动相似、动力相似的涵义是什么? 何谓相似准则?模型实验怎样选择相似准则?
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章后习题简解
10-3
t n 20 C , v n 4 . 5 m/s , d n 0 . 3 m , p n 68 . 95 kPa ,
l 6 , v m 30 m/s , p m 55 . 2 kPa , t m 20 C, p m ?
各相似准数(Re、Fr、Eu、Ma等)的物理意义是什 么?
3
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选择题(单选题)
速度v、长度l、重力加速度g的无因次集合
是：
(a)
lv g
；(b)
第十章 相似原理和因次分析
械或水工结构上的流动情况；
b、探索性的观察实验。目的在于寻找未知的流动规律，
指导这些实验的理论基础就是相似原理和量纲分析。
2020/9/21
2
§10-1 相 似 原 理
当设计制造某些复杂而庞大的水力机械，建造水利工 程以及研究某些复杂的水力现象时，往往要根据相似原理， 设计制造缩小了尺寸的模型。进行模拟实验，通过对模型的 流动状况观测来推断实物的流动状况及有关数据。
2020/9/21
14
§10-3 模 型 律
两个相似准数在同一个物理现象中，常不能同时满足 相似关系。例如雷诺数和弗劳德数就不易同时满足。
欲使雷诺数相等，将有 n lm vn m ln vm
1
1
欲使弗劳德数相等，将有
n m
ln lm
2
gn gm
2
v l
1
l 2
v
3
l 2
这在技术上很难甚至不可能做到。实际中，常常要对所
物理意义：惯性力与表面张力之比。
六、阿基米德数
（1）密度差流动时
Ar
gl V 2
, 称浓度差流动阿基米德数
（2）温差流动202时0/9/21Ar
gl0T0 V02Te
, 称温差流动阿基米德数
13
式中：T0 为风口气流相对室内环境气流温度之差 Te 为室内热力学温度
阿基米德数是考虑浮力作用的弗劳德数，即对重力相似准则进行了修正。
1 23
,
n x2 1
n2 n y2
2
n z2 3
,
n x3 1
n3 n y3
2
n z3 3
,
,
n xi 1
ni n yi
b、探索性的观察实验。目的在于寻找未知的流动规律，
指导这些实验的理论基础就是相似原理和量纲分析。
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2
§10-1 相 似 原 理
当设计制造某些复杂而庞大的水力机械，建造水利工 程以及研究某些复杂的水力现象时，往往要根据相似原理， 设计制造缩小了尺寸的模型。进行模拟实验，通过对模型的 流动状况观测来推断实物的流动状况及有关数据。
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§10-3 模 型 律
两个相似准数在同一个物理现象中，常不能同时满足 相似关系。例如雷诺数和弗劳德数就不易同时满足。
欲使雷诺数相等，将有 n lm vn m ln vm
1
1
欲使弗劳德数相等，将有
n m
ln lm
2
gn gm
2
v l
1
l 2
v
3
l 2
这在技术上很难甚至不可能做到。实际中，常常要对所
物理意义：惯性力与表面张力之比。
六、阿基米德数
（1）密度差流动时
Ar
gl V 2
, 称浓度差流动阿基米德数
（2）温差流动202时0/9/21Ar
gl0T0 V02Te
, 称温差流动阿基米德数
13
式中：T0 为风口气流相对室内环境气流温度之差 Te 为室内热力学温度
阿基米德数是考虑浮力作用的弗劳德数，即对重力相似准则进行了修正。
1 23
,
n x2 1
n2 n y2
2
n z2 3
,
n x3 1
n3 n y3
2
n z3 3
,
,
n xi 1
ni n yi
第十章 相似性原理和因次分析
2
这个相似条件，称为弗诺得模型律。按照上述比例关系调整原型 流动和模型流动的长度比例和速度比例， 除了在研究新的流动问题时，我们需探求其模型律外，在学习 相似理论时，也应该掌握常见流动的模型律。
1、水在管中受两端水头差的作用而流动，水流的平均流速，根据连续 性方程，只受断面大小及其沿程变化的制约。 断面流速分布和沿程水头损失，在同一水头差的条件下，与 管道本身是否倾斜，与倾斜大小无关，这说明重力不起作用，影响流速 分布的因素是黏性力，因此采用雷诺模型律。 管中流动，由于管壁摩擦作用成为重要因素，在几何相似的设计中，还要 注意管壁粗糙度的相似。管壁绝对粗糙度K也应保持同样的长度比例关 系常数，即：
un1 un 2 vn v，v 称为速度比例常数。 um1 um 2 vm 有了速度比例常数，和长度比例常数，显然可以根据简单t l / v的关系， 得出时间比例常数t l / v 即时间比例常数是长度比例常数和速度比例常数之比，这个比例常数表 明，原型流动和模型流动实现一个特定流动过程时间之比。 不难证明，加速度比例常数是速度比例常数除以时间比例常数，即
d n ln l d m lm 这个比例常数，称为长度比例常数。显然，两相应面积之比， A 为长度比例的平方，即 n A l2 Am 而相应体积之比，为长度比例的立方，即 几何相似，是力学相似的前提。 Vn v l3 Vm
二、运动相似
两流动运动相似，要求两流动的相应流线几何相似，或说，相应点的流 速大小成比例，方向相同。有：
F n Fpn FGn FIn FEn F m Fpn FGm FI m FEm 式中，、P、G、I、F 分别表示黏性力、压力、 重力、惯性力、弹性力。 动力相似在力学相似中起着什么作用呢？两惯性 力相似是其他合力作用相似的结果。所以动力相 似是运动相似的保证。
7_相似性原理和因次分析
• 1．任何相似的流动都是属于同一类的流动，相似流场对 应点上的各种物理量，都应为相同的微分方程所描述； • 2．相似流场对应点上的各种物理量都有唯一确定的解， 即流动满足单值条件； • 3．由单值条件中的物理量所确定的相似准则数相等是流 动相似也必须满足的条件。
2008-12-4
4
第一节 力学相似性原理（流动相似）
• 原型：天然水流和实际建筑物称为原型。 • 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放 大）的代表物，称为模型。
–水力学模型试验：是依据相似原理把水工建筑物或其它建筑 物的原型按一定比例缩小制成模型，模拟与天然情况相似的 水流进行观测和分析研究，然后将模型试验的成果换算和应 用到原型中，分析判断原型的情况。 –试验目的：利用模型水流来模拟和研究原型水流问题。 –关键问题：模型水流和原型水流保持流动相似。
λQv = λv λl2 = λl
λQv = λv λl2 = λl
2 λF = λρ λ2 λ v l
52
−1 λt = λl λv = λl2
−1 2 λt = λl λv = λ1 l
λF = λ ρ λ λ
2 2 v l
若 λρ = 1，则 λF = 1
2008-12-4
若λρ = 1，则λF = λ3 l
• 流动相似：两个流动的相应点上的同名物理量（如速度、 压强、各种作用力等）具有各自的固定比例关系，则这 两个 流动就是相似的。 2008-12-4 5
流动的力学相似
表征 流动 过程 的物 理量
描述几何形状的
按性 质分
如长度、面积、体积等
几何 相似 运动 相似 动力 相似
描述运动状态的
如速度、加速度、体积流量等
2008-12-4
4
第一节 力学相似性原理（流动相似）
• 原型：天然水流和实际建筑物称为原型。 • 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放 大）的代表物，称为模型。
–水力学模型试验：是依据相似原理把水工建筑物或其它建筑 物的原型按一定比例缩小制成模型，模拟与天然情况相似的 水流进行观测和分析研究，然后将模型试验的成果换算和应 用到原型中，分析判断原型的情况。 –试验目的：利用模型水流来模拟和研究原型水流问题。 –关键问题：模型水流和原型水流保持流动相似。
λQv = λv λl2 = λl
λQv = λv λl2 = λl
2 λF = λρ λ2 λ v l
52
−1 λt = λl λv = λl2
−1 2 λt = λl λv = λ1 l
λF = λ ρ λ λ
2 2 v l
若 λρ = 1，则 λF = 1
2008-12-4
若λρ = 1，则λF = λ3 l
• 流动相似：两个流动的相应点上的同名物理量（如速度、 压强、各种作用力等）具有各自的固定比例关系，则这 两个 流动就是相似的。 2008-12-4 5
流动的力学相似
表征 流动 过程 的物 理量
描述几何形状的
按性 质分
如长度、面积、体积等
几何 相似 运动 相似 动力 相似
描述运动状态的
如速度、加速度、体积流量等
因次分析与定理课件
域。
线性变换可以通过矩阵运算来实 现，通过研究线性变换的性质和 行为，可以进一步了解其对应的
矩阵表示。
最小二乘法
最小二乘法是一种数学优化技术，它 通过最小化预测值与实际观测值之间 的平方误差和来估计最佳参数。
通过最小二乘法，可以找到最佳拟合 数据的参数，使得预测值与实际观测 值之间的误差最小化。
在因次分析中，最小二乘法常用于估 计模型参数和进行预测。
拓展应用领域
随着理论的不断完善和应 用需求的增加，因次分析 将逐渐拓展到其他领域， 如经济学、社会学等。
提高数据分析能力
未来将进一步提高数据处 理和分析的技术水平，以 便更好地挖掘数据中的信 息和规律。
与其他领域的交叉研究
与机器学习的结合
通过结合机器学习算法，利用因次分析对数据进行降维处理，提 高数据分析和处理的效率。
因次分析的基本思想是通过分析系统内各要素之间的因果关系、相关关系和序关系，来揭示系统的内在结构和 本质特征。
因次分析的历史与发展
因次分析的思想起源于古希腊哲学家亚里士 多德，他提出了“因”、“果”、“本原” 等概念，奠定了因次分析的基础。
19世纪中叶，英国数学家布尔和德国数学家 弗雷格等人发展了因次分析的理论和方法， 将其应用于数学、逻辑学和哲学等领域。
总结词
化学反应模拟是因次分析在化学领域的应用，有助于理解化 学反应的机理和过程。
详细描述
在化学反应模拟中，因次分析可以帮助确定反应过程中的关 键因素和影响反应速率的主要变量，从而简化复杂的化学反 应网络。此外，因次分析还可以用于优化化学反应条件和提 高产物的选择性。
在生物系统模拟中的应用
总结词
生物系统模拟是因次分析在生命科学领 域的应用，有助于揭示生物系统的复杂 性和动态性。
线性变换可以通过矩阵运算来实 现，通过研究线性变换的性质和 行为，可以进一步了解其对应的
矩阵表示。
最小二乘法
最小二乘法是一种数学优化技术，它 通过最小化预测值与实际观测值之间 的平方误差和来估计最佳参数。
通过最小二乘法，可以找到最佳拟合 数据的参数，使得预测值与实际观测 值之间的误差最小化。
在因次分析中，最小二乘法常用于估 计模型参数和进行预测。
拓展应用领域
随着理论的不断完善和应 用需求的增加，因次分析 将逐渐拓展到其他领域， 如经济学、社会学等。
提高数据分析能力
未来将进一步提高数据处 理和分析的技术水平，以 便更好地挖掘数据中的信 息和规律。
与其他领域的交叉研究
与机器学习的结合
通过结合机器学习算法，利用因次分析对数据进行降维处理，提 高数据分析和处理的效率。
因次分析的基本思想是通过分析系统内各要素之间的因果关系、相关关系和序关系，来揭示系统的内在结构和 本质特征。
因次分析的历史与发展
因次分析的思想起源于古希腊哲学家亚里士 多德，他提出了“因”、“果”、“本原” 等概念，奠定了因次分析的基础。
19世纪中叶，英国数学家布尔和德国数学家 弗雷格等人发展了因次分析的理论和方法， 将其应用于数学、逻辑学和哲学等领域。
总结词
化学反应模拟是因次分析在化学领域的应用，有助于理解化 学反应的机理和过程。
详细描述
在化学反应模拟中，因次分析可以帮助确定反应过程中的关 键因素和影响反应速率的主要变量，从而简化复杂的化学反 应网络。此外，因次分析还可以用于优化化学反应条件和提 高产物的选择性。
在生物系统模拟中的应用
总结词
生物系统模拟是因次分析在生命科学领 域的应用，有助于揭示生物系统的复杂 性和动态性。
相似性原理——精选推荐
相似理论1基本概念为使模型流动能表现出原型流动的主要现象和特性，并从模型流动上预测出原型流动的结果，就必须使两者在流动上相似，即要求这两个流动的对应点在对应时刻所有表征流动状况的相应的物理量的比例关系保持不变。
一般情况下，只有保持几何相似、运动相似、动力相似、热力学相似以及质量相似，两个流动才能完全相似。
如果只是某些物理量满足相似条件，则称为部分相似。
几何相似是流动相似最基本的条件。
两流动流场的几何形状相似,即两流动的对应长度成比例，对应角度相等。
在两个几何相似的流动中，流体微团流过任意对应流线的时间之比为一常数，则称两者运动相似。
运动相似意味着两流动的速度场相似,即两个流动的对应时刻对应点的速度方向相同,大小成比例。
在两个几何相似的流动中，如果各对应点上质点所受力F的方向相同,大小成比例，则称为动力相似。
在两个几何相似的流动中，如果各对应点的温度之比为常数，则称热力学相似。
如果各对应点的密度之比为常数，则称质量相似。
2相似定理相似理论是研究相似现象具有的性质，模型与原型这两个物理现象相似应满足的条件，以及如何将模型的研究结果推广到原型中去的方法。
相似理论的基础是相似三定理。
相似第一定理可以表述为：彼此相似的现象，其对应点的同名相似准则相等。
根据相似第一定理，我们可以知道哪些物理量决定着相似现象群的特征，因而考察这些物理量的相似。
相似第二定理表述为：描述物理过程的微分方程的积分结果，可以用相似准则之间的函数关系式来表示，而这些相似准则是从确定该过程物理本质的微分方程导出的。
相似准则是由描述现象规律的关系方程导出的，所以应该考察所有包含在相似准则中的那些物理量。
相似第二定理告诉我们，应该以准则方程的形式来处理结果，以便其推广应用到相似现象中去。
相似第三定理表述为：相似准则的数值相等，则现象相似。
这里，把相似准则的值相等作为相似的充分条件。
因此，相似第三定理就成为相似第一定理的逆定理了。
相似第一定理和相似第二定理解决了现象相似的必要条件，而相似第三定理是现象相似的充分条件。
相似原理与因次分析
′ t2 ′ t′ t1 t′ = = 3 = L = n = Ct t1 t 2 t 3 tn
式中：Ct 称为温度相似倍数。
(7－5)
4．浓度相似：浓度相似是指两现象的浓度分布相似，即浓度场的几何相似。如图 7－7 示出了 CH4 气体向空气中喷射时形成的浓度分布情况。如果两现象的浓度场相似，则对应空 间部位在对应的时刻上气体的浓度对应成比例，即
第七章
相似原理与因次分析
第一节 概 述
人类为了生存和发展，必须不断地了解自然，深入探索自然界的客观规律，并运用这些 规律为自身服务。人们在征服自然的长期斗争中，积累了丰富的经验，但根据研究对象的不 同，采用的方法和手段也各异，概括起来可归纳为两大方面：数学分析法和实验法。 数学分析法是以数学作为探索自然规律的主要手段，根据所研究的物理现象的特点，分 析与该现象相关各物理量之间的依变关系， 列出描述该现象的微分方程组， 再根据边界条件， 对方程组进行求解。如描述流体运动的纳维—斯托克斯方程，描述热传导过程的付立叶方程 等。数学分析法得出的精确解或近似解，揭示了某一现象的内在规律，为我们解决科学、技 术问题提供了理论依据。 随着计算科学的不断发展， 数学作为探索自然规律的一种有力工具， 正在发挥着越来越大的作用。 但是，根据现象复杂程度的不同，数学分析法在某种程度上总要受到一定限制。例如， 当某一现象是由多种因素相互交织在一起发生时，涉及的物理参量及过程如此复杂，一时难 以列出描述该现象的微分方程，或者，虽然列出微分方程，但难以求得通解及特解。这时， 数学分析法就无能为力了，人们不得不依赖于实验方法。既使是数学分析法，也得先通过实 验观察，构成概念，方能进行数学分析，分析的结果是否正确，还需要通过实验来检验。 实验法是指对某一正在发生的现象或正在进行的过程进行系统的观察和参量的测定，再 通过对取得的数据进行加工、分析，以找出各参量的分布规律及其相互间的依变关系。如对 锅炉炉膛内正在燃烧的火舌进行速度场、浓度场和温度场的测定，找出速度场与混合及燃烧 过程的规律；对工业炉窑内的速度场、压力场和温度场的测定，找出气流运动、燃烧及传热 过程与生产率和热效率的关系。 就实验法而言，可分为原型测试和模型实验两类。 对正在运行的设备及过程进行实际测试，掌握第一手资料，从而可为设备及过程的最优 化提出改进依据。 如对工业炉窑进行热工测试， 可为改善炉型结构及热工操作制度提供依据。 但是， 对实际设备和真实过程进行测试受到很大限制， 因为对实际设备和真实过程进行测试， 其参量的变化幅度不允许超过安全限度。而且，如果设备太大、太小或是密封体系，就难以 进行实际测试，甚至无法进行测试。况且，实际测试只能在已建成并运行的设备上进行，对 一些正在研制或设计中的新型设备，是不可能进行实际测试的。科技人员为了探索新工艺和 新设备，并在其投产或投入运行之前，就能找到各参量间最佳的依变关系，以提出最优化设 计，必须依靠模型实验法。 模型实验法是以相似原理为指导，对所研究的现象建立模型，通过模型实验，定性地或 定量地探索各物理参量间的依变关系，找出其内在规律，以这些规律为指导，进行新工艺或 新设备的计算及设计。为了便于研究，模型尺寸的大小及过程参量变化的幅度，原则上是不 受限制的，这样不仅能节约投资，而且可以加快研究工作的进程。因此，近年来模型实验研 究方法越来越受到科技人员的重视，并得到较快的发展。
相似性原理和因次分析
υ px = Cvυmx ,υ py = Cvυmy ,υ pz = Cvυmz
动力相似： p p = C p pm , g p = C g g m 动力相似： 其他物理量相似： 其他物理量相似： ρp
= Cρ ρm , µp = Cµ µm
将相似变换代入原型系统流动微分方程
8.2.1 相似准则
Cυ ∂vmz Cυ 2 ∂vmz ∂vmz ∂vmz + + vmy + vmz vmx = -C g g m Ct ∂t m Cl ∂xm ∂y m ∂z m
v1''
几何相似的两个流动系统中对 应的流线形状也相似。 应的流线形状也相似。
v1' 1 A 2 v2'
1 A o
2
v2''
运动相似条件： 运动相似条件： 作相似变换： 作相似变换： 速度比尺
加速度比尺
l′ l ′′ v 系统1： ′ = 系统 ： v ′ 系统 ： ′′ = t ′′ t 系统2：
面积比尺，体积比尺
原型几何特征尺度
模型几何特征尺度
9.1.3 运动相似
是指流体运动的速度场相似， 是指流体运动的速度场相似，也即两流场各 相应点（包括边界上各点）的速度u 相应点（包括边界上各点）的速度u及加速 方向相同，且大小各具有同一比值。 度a方向相同，且大小各具有同一比值。
v3'' 3
v3' 3
l Sr = υt
9.3 模型实验 模型实验
模型研究方法的实质： 在相似理论的指导下， 模型研究方法的实质 ： 在相似理论的指导下 ， 建立与实际问题相似的模型， 建立与实际问题相似的模型 ， 并对模型进行实 验研究，把所得的结论推广到实际问题。 验研究，把所得的结论推广到实际问题。 模拟相似条件 几何相似 物理相似 定解条件相似
第十章 相似原理和因次分析
动力相似，则对应点上的受力多边形相似，若有四种力决定受力平衡，则 有三个力是独立的或决定性的，另一个力是被动的和被决定的。也就是 说，若其中三个力是相似的，则另一个力一定相似。进而可知，表征前三 种力的准则数是定性准则，反之，则是非定性准则。 一般情况下， Re， Fr， M是定性准则， Eu是非定性准则。对于不可压缩 流体，满足下面的准则方程：
1 2
1
2
F4
F3
F4
A
F3
运动相似时，对应断面上的速度分布曲线和形状相似。上图中，断面 1和 1’、2 和 2‘上的速度分布分别相似。 运动相似时，流体质点走过对应距离所需时间也成比例：
A
F2
F1
F2
F 1
(6)
l t u k kt ku t l t u l kt t 同理，加速度也应相似：
动力相似时：
F Fa F F Fa F
由雷诺数的定义式：
Fa Fa F F
F ma Va l 3
u l 2u 2 t
Re
Fa Fa lu l u Re F F
上式说明，动力相似时，模型与原型在对应点上的雷诺数必相等；反之，若雷诺数 相等，则粘性力必然相似；所以， Re是表征粘性力相似与否的判别准则。
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2、重力相似准则－弗诺得数 Fr
§ 10-2
相似准则
2 2
3、压力相似准则－欧拉数 Eu
§ 10-2
相似准则
§ 10-1
相似原理
§ 10-1
1 2
1
2
F4
F3
F4
A
F3
运动相似时，对应断面上的速度分布曲线和形状相似。上图中，断面 1和 1’、2 和 2‘上的速度分布分别相似。 运动相似时，流体质点走过对应距离所需时间也成比例：
A
F2
F1
F2
F 1
(6)
l t u k kt ku t l t u l kt t 同理，加速度也应相似：
动力相似时：
F Fa F F Fa F
由雷诺数的定义式：
Fa Fa F F
F ma Va l 3
u l 2u 2 t
Re
Fa Fa lu l u Re F F
上式说明，动力相似时，模型与原型在对应点上的雷诺数必相等；反之，若雷诺数 相等，则粘性力必然相似；所以， Re是表征粘性力相似与否的判别准则。
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2、重力相似准则－弗诺得数 Fr
§ 10-2
相似准则
2 2
3、压力相似准则－欧拉数 Eu
§ 10-2
相似准则
§ 10-1
相似原理
§ 10-1
第十章_相似原理和量纲分析
0、 0、 0 几何学量纲 x L , t , M 0、 0、 0 运动学量纲 0、 0、 0 动力学量纲
§10.4 因次分析法
一、因次分析的概念和原理 3.量纲公式:
问题： 速度v, 长 度l,时间t的无量 纲集合是：（ ）
§10.2 相似准数
一、由动力相似的定义推导相似准则 对于作用在流体上的作用力，一般从流体的物理性质进 行分类，如万有引力特性产生重力，流体的粘滞性产生的 粘滞力，压缩性产生的弹性力以及表面张力等。另外还有 惯性产生的惯性力。 除惯性力外，其他各力都是企图改变流体的运动状态， 而惯性力则是去尽量维持流体的原有运动状态，所以流体 运动状态的变化和发展是惯性力和其他各种作用力相互作 用的结果。因此，各种作用力之间的比例关系应以惯性力 为一方来相互比较。 在两种相似的流动里，这种比例关系应当保持不变。
§10.2 相似准数
一、由动力相似的定义推导相似准则
动力相似准数：在两相似的流动中，各种力与惯性力 之间保持固定不变的比例关系。
l 4 2 2 2 F ma l . l t l v 惯性力： I 2 t
3
则 一般称
FI
l v l v
2 2 2 2
适用范围：流体流动以动水 压差为主要作用力的情况。
当弹性力起主要作用时， 如水击，空气动力学中的亚 音速或超音速运动等，动力 相似有： M n M m或 v ＝ 1 c
例1：有一直径为15cm的输油管，管5m，管 中要通过的流量为0.18m3/s,现用水来作模型 试验，当模型管径和原型一样，水温为10℃ （原型中油的运动粘度ν n=0.13cm2/s），问 水的模型流量应为多少时才能达到相似？
§10.4 因次分析法
一、因次分析的概念和原理 3.量纲公式:
问题： 速度v, 长 度l,时间t的无量 纲集合是：（ ）
§10.2 相似准数
一、由动力相似的定义推导相似准则 对于作用在流体上的作用力，一般从流体的物理性质进 行分类，如万有引力特性产生重力，流体的粘滞性产生的 粘滞力，压缩性产生的弹性力以及表面张力等。另外还有 惯性产生的惯性力。 除惯性力外，其他各力都是企图改变流体的运动状态， 而惯性力则是去尽量维持流体的原有运动状态，所以流体 运动状态的变化和发展是惯性力和其他各种作用力相互作 用的结果。因此，各种作用力之间的比例关系应以惯性力 为一方来相互比较。 在两种相似的流动里，这种比例关系应当保持不变。
§10.2 相似准数
一、由动力相似的定义推导相似准则
动力相似准数：在两相似的流动中，各种力与惯性力 之间保持固定不变的比例关系。
l 4 2 2 2 F ma l . l t l v 惯性力： I 2 t
3
则 一般称
FI
l v l v
2 2 2 2
适用范围：流体流动以动水 压差为主要作用力的情况。
当弹性力起主要作用时， 如水击，空气动力学中的亚 音速或超音速运动等，动力 相似有： M n M m或 v ＝ 1 c
例1：有一直径为15cm的输油管，管5m，管 中要通过的流量为0.18m3/s,现用水来作模型 试验，当模型管径和原型一样，水温为10℃ （原型中油的运动粘度ν n=0.13cm2/s），问 水的模型流量应为多少时才能达到相似？
第十章 量纲分析
径R）及壁面粗糙高度Δ 有关，令沿程阻力系数λ ＝ 8f(Re，Δ /d)， 试证明：
0
8
2
【解】1）确定物理量： τ 0、 ρ 、 μ 、 v、 d、 Δ ；
f ( 0、、、、d、）＝0
2） 确定基本物理量 ： ρ 、 v、 d； m=3
3）组成量纲一的量π 1、 π 2、 π 3 。
l p p p lm m m
p
m
l
即： p m l
若原型和模型采用同种温度的相同液体，即
l
1.0
l l2
则：
l 1
t
Q A l 1 l 2 l
1 d 0
1 1 1
10.1P9
第十章
量纲分析和相似原理
2 d 3 d
2 2 2
3
3
3
4）确定各变量指数 αi、βi、γi，从而确定 πi。 对π1：
1 1 L： 0 31 1 1 1 T： 0 1 2 1 2 0 M： 0 1 1 1 0 1 1 2 d 0 0 2 对π2： dim 2 (ML3 )2 (LT 1 )2 L 2 (ML1T 1 )
pl 3 g p p F 3 Gm mm g m mlm g m 2 2 Fp p l p p F 2 2 Fm m lm m
Gp mp g p
2 lp g p p 2 2 lm g m m
3 2 p l p g p p l p2 p 3 2 2 m lm
第十章
0
8
2
【解】1）确定物理量： τ 0、 ρ 、 μ 、 v、 d、 Δ ；
f ( 0、、、、d、）＝0
2） 确定基本物理量 ： ρ 、 v、 d； m=3
3）组成量纲一的量π 1、 π 2、 π 3 。
l p p p lm m m
p
m
l
即： p m l
若原型和模型采用同种温度的相同液体，即
l
1.0
l l2
则：
l 1
t
Q A l 1 l 2 l
1 d 0
1 1 1
10.1P9
第十章
量纲分析和相似原理
2 d 3 d
2 2 2
3
3
3
4）确定各变量指数 αi、βi、γi，从而确定 πi。 对π1：
1 1 L： 0 31 1 1 1 T： 0 1 2 1 2 0 M： 0 1 1 1 0 1 1 2 d 0 0 2 对π2： dim 2 (ML3 )2 (LT 1 )2 L 2 (ML1T 1 )
pl 3 g p p F 3 Gm mm g m mlm g m 2 2 Fp p l p p F 2 2 Fm m lm m
Gp mp g p
2 lp g p p 2 2 lm g m m
3 2 p l p g p p l p2 p 3 2 2 m lm
第十章
相似性
结构
结构相似性指标(英文：structural similarityindex，SSIMindex)是一种用以衡量两张数位影像相似程 度的指标。当两张影像其中一张为无 失真影像，另一张为失真后的影像，二者的结构相似性可以看成是失真影 像的影像品质衡量指标。相较于传统所使用的影像品质衡量指标，像是 峰值信噪比(英文：PSNR)，结构相似性 在影像品质的衡量上更能符合人眼对影像品质的判断。
自
分形（英语：Fractal），又称碎形，通常被定义为“一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且 每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状”，即具有自相似的性质。
分形思想的根源可以追溯到公元17世纪，而对分形使用严格的数学处理则始于一个世纪后卡尔·魏尔施特拉 斯、格奥尔格·康托尔和费利克斯·豪斯多夫对连续而不可微函数的研究。但是分形（fractal）一词直到1975 年才由本华·曼德博创造出，来自拉丁文frāctus，有“零碎”、“破裂”之意。一个数学意义上分形的生成是 基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统。
化学
化学相似性（或称为分子相似性）是指二个元素、分子或化合物在结构上的相似程度，或是在参与化学反应 时效果的相似程度。若是探讨在生物上的效应及其相似程度，一般会使用化合物的生物活性（biological activity），否则会使用化合物的活性度来衡量参与化学反应时的效果。
化学相似性（或分子相似性）的概念是化学信息学中（chemoinformatics）最重要的主题之一。在化合物性 质预测或设计特定性质化合物的现代研究中，化学相似性都有重要的作用。而有些药物设计研究会利用大型化学 品数据库进行筛选，也和化学相似性有关。上述研究的基础是Johnson和Maggiora的相似性质定律：“相似的化 合物会有相似的性质”。
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v L 1
v l
1.5 L
结论：模型律不能同时满足所有准则。 怎么办？抓主要矛盾。如重力流?船舶航行？ 自动模型区（自模区）
K K ( ) p ( )m d d
（气体）淹没出流，空气与射流气体温度相同，不考虑重力
与浮力，流速大不考虑粘性，实质是压力为主，所以——欧
第十章 概述
相似性原理与因次分析
1. 模型试验的意义：
1.流体运动具有复杂性，有些问题的机理尚不清楚，需探讨。 2. 对于工程，有一定的理论及设计经验，对于大型、重要工 程，也需用模型试验验证。
2. 简史
1898年 第一个河流水力学实验室建成（H.Engels 恩格斯) 1901年 雷白克（T.Rehbock)建成河流水力学实验室。 1904年 普兰特在哥廷根大学建立流体力学实验室。 --------之后相继建成水力学、流体机械实验室，水力 模拟被公认为是解决工程问题的标准方法。(风洞）
6.4
模型设计
实验场地和模型制作 ① 确定长度比尺。 ② 根据模型率确定流速比尺。 ③ 按相似准则确定流量比尺，校核实验室的供水 能力。 ④ 按模型率选择模型材料，尽量满足糙率相似。
同 一 介 质 情 况 下
雷诺准则 弗劳德准则 流速比尺 流量比尺 时间比尺 力的比尺
v l1
v l
u l
2 u
2 l
u l 1
Re p Re m
原型雷诺数=模型雷诺数 （雷诺相似准数）
2. 重力相似准则（弗劳德准则）
考虑重力相似 重力比尺：
G Mg V
G
M pgp M m gm 3g l
G I
1 g l
3. 动力相似是原型与模型两液流相似的主导因素。 Nhomakorabea 第二节
相似准数
作用于流体上的力—重力、粘滞力、弹性力、表 面张力与惯性力成比例。 惯性力：
I Ma Va
( Va) p ( Va) m
2 u l2
惯性力比尺： I 可写为
Fp
Fm 2 2 2 2 p v p l P M vm l m
严格地讲，糙率
l
lp
A lm也应相似，一般近似做到。
2 l
n
运动相似
原型与模型的流场相似，即同名运动量对应 成比例。
1 p p 1 m m
流速比尺：
v
vp vm
tp tm
l t
l t
l
1 t
时间比尺： t
加速度比尺：
a l
2 t
动力相似
两液流的同名力，方向一致，对应成比例。
( Ne) p ( Ne) m
牛顿相似准则（基本准则）
1.雷诺准则
考虑粘滞力与惯性力相似
则粘滞力比尺： T
p Ap
du dy p u l
du m Am dy m
T I
u l
ul ul p m
拉准则 p
2 u
1
( Eu) p ( Eu) m
(
p p ) p ( 2 )m u 2 u
无限空间紊流射流 1.等温射流，流速大时，不受模型律的限制。
2.非等温射流，要考虑重力与浮力，有效重力为重力与浮力之
差，即密度之差，
T T
气体状态方程
弗劳德数
阿基米德数
gd0 T0 Ar 2 v0 T
第一节
力学相似性原理
模型——研究题目、状态、过程的简化表述。 模型试验成果要用于原型，故原型与模型两液流 动相似，即原型(prototype)与模型(model)上同名 物理量（ ）对应成比例。 几何相似 v, p, F ....... 原型与模型几何长度对应成比例，对应角相等。 长度比尺： 面积比尺：
Q l2.5
Q l
T l2
F
0 l
T 0.5 l
F
3 l
模型设计应注意的问题 1.自动模型区（自模区） 雷诺数要足够大 2.缩尺影响
Re 10
5
3.超音速与亚音速气流，在性质上有明显差异。 4.高速挟气水流与低速水流，在性质上有明显差异。 5.表面张力限制条件：we数达到一定值，克服表面张 力；水深〉5cm 。 6. 试验研究液体搅拌想象，粘滞力起主要作用，在 实际工程中，流速大，尺度也大，出现的凹涡，重 力作用就不可忽视。
2 u
g
3 l
2 2 l u
u2 u2 gl gl p m
Frp Frm
3.欧拉准则 考虑动水压力相似 压力比尺：
P pA
pA
pA p P pAm
pp
P I
1946年 北洋大学与华北局建成水力学实验室（第一水工所） 1953年 第一水工所解体，一部分去北京建立水科院，而后 建南京水科院（南试处）一部分留天津大学（水利馆） 现在：科研机构众多（各省市、大设计院、大学）,都建有水 工试验厅（室）。
研究、解决、 发现、发明 模型试验的理论与方法是工程师必备知识！
柯西准则：弹性力与惯性力相似
(
u 2
K
)p (
u 2
K
)m
(Ca) p (Ca) m
雷诺准则、重力相似准则为独立准则，其他为 导出准则。 一般情况下，只能满足一个准则，其他准则近 似满足。
相似准数
1.雷诺数
Re
vd
v 2.弗劳德数 Fr gh
4.马赫数
2
3.欧拉数
p Eu 2 v
p 1 2 u
p A
pm 2 2 pu p mum
2 2 l u
p Eu 2 u
( Eu) p ( Eu) m
4.
其他准则
韦伯准则：表面张力与惯性力成比例
u 2l u 2l ( )p ( )m
(We ) p (We ) m
v M c
定性量 定性流速
v, , g
l (d , R)
定性长度
v
l
二、由运动微分方程是推导相似准数（×）
第三节 模型律的确定
1.
模型律
2 v
v L 1 1 满足粘滞力相似（雷诺准数） g L
同一介质,
1
,
v 1 L
,模型流速放大…..。
2. 满足重 力相似（弗劳德准数）
按达朗贝尔原理，质点所受诸力与惯性力组成
一个封闭的力多边形。所以，
F I
即
F1 p F1m
F2 p F2 m
F3 p F3m
Ip Im
初始条件与边界条件相似
初始条件：对非恒定流是必需的。
边界条件：几何方面、运动方面
结论：
1. 几何相似是原型与模型两液流相似的前提。
2. 运动相似是原型与模型两液流相似的结果。
g 1 ，v 0.5 ，模型流速缩小…..。 加速度比尺 L
3. 同时满足重力、粘滞力相似（同一介质）
1 0.5 L L
只有 L 1 （原型），失去模型意义。
用不同介质做实验，
满足弗劳德准则（原型与模型弗劳德数相等）
v 0.5 L
满足雷诺准则（原型与模型雷诺数相等）