1-9.极限的计算---两个重要极限
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例 1 求 lim x 0
tan x （一级） x sin x 1 sin x 1 tan x lim lim 1 lim 解 lim x 0 x 0 x x cos x x 0 x x 0 cos x
例 2 求 lim x 0
x 例 3 求 lim 1 cos 2
1
使用说明：在极限 lim[1 ( x)]
1
( x)
中 只要 ( x) 是无穷小（ 1 型
极限） ，就有 lim[1 ( x)] ( x ) e
1 例 5 求 lim(1 ) n （一级） n n 解 令 t=n, 则 n时t 于是 1 lim(1 ) n lim(1 1)t lim 1 1 n t t t n (1 1)t e
e 2
注：例 6、例 7 和例 8 中的函数均为幂指函数，幂指函数形如
[ f Βιβλιοθήκη Baidu x)]g ( x ) .若 lim f ( x) A 0, lim g ( x) B ，则 lim[ f ( x)]g ( x ) AB .
三、能力反馈部分 （一）第一个重要极限
sin 5 x （一级） x 0 x （2） lim( 1 sin x x sin 1 ) （一级） x 0 x x cos 4 x 1 （3） lim （二级) x 0 x2 x （4） lim(1 x) tan （三级)（选做） x 0 2
n
1
2
3
10
20 2.653
30 2.658
100 2.705
1 2 {(1 ) n } n
9 4
64 2.594 27
（注：表格中算出的值均为无理数） 根据上述的表格，可得以下结论： 1 n ⑴ 数列 {(1 ) } 单调、有界； n 1 n ⑵ 数列 {(1 ) } 的极限存在； n 1 n ⑶ 数列 {(1 ) } 的极限为无理数. n
x 0
x
（二级）
x x sin2 1 2 lim 2 x2 2 x 0 x 2 ( ) 2
x 解 lim1 cos lim x 0 x 2 = x 0
2 sin2
sin 2 x sin 3x 解：令t x ，则
（选讲）例 4 求 lim x
（三级）
lim
x
法。 首先注意到 函数 sin x 对于一切 x0 都有
x
B 1 x O C A D
定义 如 右 图 ， 图 中 的 圆 为 单 位 圆 BCOA DAOA 圆心角AOB x (0x )
2
显然 sin x CB x AB tan x AD 因 为 SAOBS 扇形 AOBSAOD 所以
计算模块 1-9 1-8 掌握程度
sin x 型极限的计算（第一个重要极限公 2、熟练掌握简单的利用两个 x 0 x
重要极限公式求函数的极限 一般掌握
1 x
式） 能力目标 时间分配 修订 1、培养学生的计算能力 2、培养学生对知识的归纳能力 45 分钟 熊文婷 编撰 陈亮
3、一般掌握较复杂的利用两 个重要极限求函数的极限
t
或
1 1 n ( 1) 1 n 1 lim(1 ) n lim(1 ) [ lim(1 ) ] e 1 n n n n n n
1 x
例 6 求 lim(1 x)
x 0
（一级）
解 令 t
1 则 x0 时t 于是 x
1 1 (1 ) t e lim(1 x) x lim t x 0 t
1 注： lim(1 x ) x e 为 lim (1 ) x e 的等价形式. x 0 x x
1
(1 例 7 求 lim x
1 2 x2 ) (二级) x 1
2
校对 二审
王清玲
审核 危子青
危子青
一、正文编写思路及特点： 思路：通过对两个重要极限的特点分析，及例题层层递进的训练。让 学生能够灵活运用两个重要极限求解相关函数的极限。 特点： 以两个重要极限的基本模型为基础， 对类似的两个重要极限进 行转换计算， 让学生在对同类型的极限进行计算过程中， 掌握利用两 个重要极限进行相关计算。 二、授课部分 （一）预备知识 0 型极限的计算 0 （二）新课讲授 1、无穷小的定义 定义：如果当 x x0 （或 x ）时,函数 f x 的极限为零，那么函 数 f x 就称为 x x0 （或 x ）时的无穷小量（简称 f x 为无穷 小） 。 引例
（选讲）例 8 求 lim(1 sin x) x
x 0
2 x
（三级)
1 2 sin x sin x x 1 2 sin x x
解： x0
lim(1 sin x) lim(1 ( sin x))
x 0 x 0
lim[(1 ( sin x)) sin x ]
1 sin x 1 x 1 tan x 2 2 2
即
sin xxtan x
不等号各边都除以 sin x 就有 1 x 1 或 cos x sin x 1
sin x cos x x
注意：此不等式当 x0 时也成立 而 limcos x 1
2
x 0
lim
x0
sin x ? x
(说明：当 x 0 时， sin x, x 均为无穷小量.) 2、 （第一个重要极限） lim
sin x
x 0
x
1
(选讲) 证明思路：函数的夹逼准则
由于 lim
sin x
sin x
x 0
x
为 型极限，之前我们有因式分解法，而对于
0 0
lim
x 0
x
显然无法利用因式分解法进行求解，所以我们利用如下解
根据夹逼准则得
lim
sin x
x 0
x
1.
使 用 说 明 在 极 限 lim sin (x) 中 只 要 (x) 是 无 穷 小 就 有
( x)
lim
sin ( x ) 1 ( x)
sin 3x （一级） x sin 3x sin 3x lim 3 3 解 lim x 0 x 0 x 3x
（1） lim （二）第二个重要极限
1
（1） lim(1 2 x) x （一级）
x 0
（2） lim ln(1 x) (二级) x 0 x （3） lim (
x
x 2 1 x2 ) （二级) x2 1
1
（4） lim(cos2 x) sin 2 x （三级)（选做）
x 0
sin 2( t ) sin 2 x sin 2t 2 lim lim sin 3x t 0 sin 3( t ) t 0 sin 3t 3
1 3、（第二个重要极限） lim (1 ) x e x x 1 考虑特殊情况 lim (1 ) n e . 对 n 取不同正整数，可得数列 n n 1 {(1 ) n } 的取值的表格如下： n
模块基本信息 一级模块名称 三级模块名称 先行知识 函数与极限 极限的计算---两个重要极限 极限的计算---常用计算方法 知识内容 1、两个重要极限的证明 2、 lim 式） 3、 lim(1 ) x 型极限的计算（第二重要极限公
x
二级模块名称 模块编号 模块编号 教学要求 1、理解两个重要极限
解 令 t x 2 1 则 x时t 于是
lim(1
x
1 2 x2 1 1 ) lim(1 ) 2(t 1) lim[(1 ) t ] 2 t t t t x 1
2
2 ( t 1) t
lim e
t
2 ( t 1) t
e2
tan x （一级） x sin x 1 sin x 1 tan x lim lim 1 lim 解 lim x 0 x 0 x x cos x x 0 x x 0 cos x
例 2 求 lim x 0
x 例 3 求 lim 1 cos 2
1
使用说明：在极限 lim[1 ( x)]
1
( x)
中 只要 ( x) 是无穷小（ 1 型
极限） ，就有 lim[1 ( x)] ( x ) e
1 例 5 求 lim(1 ) n （一级） n n 解 令 t=n, 则 n时t 于是 1 lim(1 ) n lim(1 1)t lim 1 1 n t t t n (1 1)t e
e 2
注：例 6、例 7 和例 8 中的函数均为幂指函数，幂指函数形如
[ f Βιβλιοθήκη Baidu x)]g ( x ) .若 lim f ( x) A 0, lim g ( x) B ，则 lim[ f ( x)]g ( x ) AB .
三、能力反馈部分 （一）第一个重要极限
sin 5 x （一级） x 0 x （2） lim( 1 sin x x sin 1 ) （一级） x 0 x x cos 4 x 1 （3） lim （二级) x 0 x2 x （4） lim(1 x) tan （三级)（选做） x 0 2
n
1
2
3
10
20 2.653
30 2.658
100 2.705
1 2 {(1 ) n } n
9 4
64 2.594 27
（注：表格中算出的值均为无理数） 根据上述的表格，可得以下结论： 1 n ⑴ 数列 {(1 ) } 单调、有界； n 1 n ⑵ 数列 {(1 ) } 的极限存在； n 1 n ⑶ 数列 {(1 ) } 的极限为无理数. n
x 0
x
（二级）
x x sin2 1 2 lim 2 x2 2 x 0 x 2 ( ) 2
x 解 lim1 cos lim x 0 x 2 = x 0
2 sin2
sin 2 x sin 3x 解：令t x ，则
（选讲）例 4 求 lim x
（三级）
lim
x
法。 首先注意到 函数 sin x 对于一切 x0 都有
x
B 1 x O C A D
定义 如 右 图 ， 图 中 的 圆 为 单 位 圆 BCOA DAOA 圆心角AOB x (0x )
2
显然 sin x CB x AB tan x AD 因 为 SAOBS 扇形 AOBSAOD 所以
计算模块 1-9 1-8 掌握程度
sin x 型极限的计算（第一个重要极限公 2、熟练掌握简单的利用两个 x 0 x
重要极限公式求函数的极限 一般掌握
1 x
式） 能力目标 时间分配 修订 1、培养学生的计算能力 2、培养学生对知识的归纳能力 45 分钟 熊文婷 编撰 陈亮
3、一般掌握较复杂的利用两 个重要极限求函数的极限
t
或
1 1 n ( 1) 1 n 1 lim(1 ) n lim(1 ) [ lim(1 ) ] e 1 n n n n n n
1 x
例 6 求 lim(1 x)
x 0
（一级）
解 令 t
1 则 x0 时t 于是 x
1 1 (1 ) t e lim(1 x) x lim t x 0 t
1 注： lim(1 x ) x e 为 lim (1 ) x e 的等价形式. x 0 x x
1
(1 例 7 求 lim x
1 2 x2 ) (二级) x 1
2
校对 二审
王清玲
审核 危子青
危子青
一、正文编写思路及特点： 思路：通过对两个重要极限的特点分析，及例题层层递进的训练。让 学生能够灵活运用两个重要极限求解相关函数的极限。 特点： 以两个重要极限的基本模型为基础， 对类似的两个重要极限进 行转换计算， 让学生在对同类型的极限进行计算过程中， 掌握利用两 个重要极限进行相关计算。 二、授课部分 （一）预备知识 0 型极限的计算 0 （二）新课讲授 1、无穷小的定义 定义：如果当 x x0 （或 x ）时,函数 f x 的极限为零，那么函 数 f x 就称为 x x0 （或 x ）时的无穷小量（简称 f x 为无穷 小） 。 引例
（选讲）例 8 求 lim(1 sin x) x
x 0
2 x
（三级)
1 2 sin x sin x x 1 2 sin x x
解： x0
lim(1 sin x) lim(1 ( sin x))
x 0 x 0
lim[(1 ( sin x)) sin x ]
1 sin x 1 x 1 tan x 2 2 2
即
sin xxtan x
不等号各边都除以 sin x 就有 1 x 1 或 cos x sin x 1
sin x cos x x
注意：此不等式当 x0 时也成立 而 limcos x 1
2
x 0
lim
x0
sin x ? x
(说明：当 x 0 时， sin x, x 均为无穷小量.) 2、 （第一个重要极限） lim
sin x
x 0
x
1
(选讲) 证明思路：函数的夹逼准则
由于 lim
sin x
sin x
x 0
x
为 型极限，之前我们有因式分解法，而对于
0 0
lim
x 0
x
显然无法利用因式分解法进行求解，所以我们利用如下解
根据夹逼准则得
lim
sin x
x 0
x
1.
使 用 说 明 在 极 限 lim sin (x) 中 只 要 (x) 是 无 穷 小 就 有
( x)
lim
sin ( x ) 1 ( x)
sin 3x （一级） x sin 3x sin 3x lim 3 3 解 lim x 0 x 0 x 3x
（1） lim （二）第二个重要极限
1
（1） lim(1 2 x) x （一级）
x 0
（2） lim ln(1 x) (二级) x 0 x （3） lim (
x
x 2 1 x2 ) （二级) x2 1
1
（4） lim(cos2 x) sin 2 x （三级)（选做）
x 0
sin 2( t ) sin 2 x sin 2t 2 lim lim sin 3x t 0 sin 3( t ) t 0 sin 3t 3
1 3、（第二个重要极限） lim (1 ) x e x x 1 考虑特殊情况 lim (1 ) n e . 对 n 取不同正整数，可得数列 n n 1 {(1 ) n } 的取值的表格如下： n
模块基本信息 一级模块名称 三级模块名称 先行知识 函数与极限 极限的计算---两个重要极限 极限的计算---常用计算方法 知识内容 1、两个重要极限的证明 2、 lim 式） 3、 lim(1 ) x 型极限的计算（第二重要极限公
x
二级模块名称 模块编号 模块编号 教学要求 1、理解两个重要极限
解 令 t x 2 1 则 x时t 于是
lim(1
x
1 2 x2 1 1 ) lim(1 ) 2(t 1) lim[(1 ) t ] 2 t t t t x 1
2
2 ( t 1) t
lim e
t
2 ( t 1) t
e2