1-9.极限的计算---两个重要极限
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两个重要极限
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
advanced mathematics
sin x 1. lim =1 x0 x
1 0.75 0.5 0.25
f ( x)
5
s i nx x
10 15
-15
-10
-5
o
-0.25 -0.5
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
例10
解
求极限
2x 3 x lim( ) . x 2 x 1
2x 3 x 2 l i m( ) l i m(1 )x x 2 x 1 x 2x 1
2 x 1 2 x 2 2 x 1
2 lim(1 ) x 2x 1
2 lim(1 ) x 2x 1
2 x 1 1 2 2
e
2x x 2 x 1 lim
e.
2 (1 ) 2x 1 lim 1 x 2 2 (1 ) 2x 1
2 x 1 2
e.
高等数学
advanced mathematics
3 1 另解: 2x 3 x 2x )x l i m( ) l i m( x 2 x 1 x 1 1 2x 3 x 3 x l i m(1 ) (1 ) x 2x 2 x lim x 1 x 1 x l i m(1 ) (1 ) x 2x 2x
4x 1 5 x
解
4 2 (2)求 lim(1 ) x 3x 3x 3x 4 2 4 4 2 e2 lim(1 ) lim(1 ) x x 3x 3x
e .3 x
24两个重要极限精品PPT课件
lim
(x) 0 (x)
1
(0) 0
(2)
lim ( 1 1 ) ( x) e
( x)
(x)
(1 )
1
或 lim (1 ( x))( x) e ( x)0
lim ( 1 1 ) (x) e1
( x)
(x)
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
u
1 (x)
k
1
例7：求lim(1 3 )x
x
x
1
e . 解:原式
lim(1 Hale Waihona Puke 3)x 3
3
[lim(1
3
)
x 3
]3
3
x
x
x
x
1
例8 : 求 lim 1 2x x x0
解:
原式 lim
1 (2x)
(
1 2x
)(
2
)
x0
e . [lim
1 2x
] (
1 2x
)
-2
2
x0
例9：求 lim(1 1 )x2
0
解:
原式
lim sin 5x x0 5x
5 2
5 sin 5x lim
2 x0 5x
5 2
例2.
求
tan x lim .
x0 x
(0) 0
解: 原式 lim sin x 1 x0 x cos x
lim sin x lim 1 x0 x x0 cos x
1
(x) 0 (x)
1
(0) 0
(2)
lim ( 1 1 ) ( x) e
( x)
(x)
(1 )
1
或 lim (1 ( x))( x) e ( x)0
lim ( 1 1 ) (x) e1
( x)
(x)
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
u
1 (x)
k
1
例7：求lim(1 3 )x
x
x
1
e . 解:原式
lim(1 Hale Waihona Puke 3)x 3
3
[lim(1
3
)
x 3
]3
3
x
x
x
x
1
例8 : 求 lim 1 2x x x0
解:
原式 lim
1 (2x)
(
1 2x
)(
2
)
x0
e . [lim
1 2x
] (
1 2x
)
-2
2
x0
例9：求 lim(1 1 )x2
0
解:
原式
lim sin 5x x0 5x
5 2
5 sin 5x lim
2 x0 5x
5 2
例2.
求
tan x lim .
x0 x
(0) 0
解: 原式 lim sin x 1 x0 x cos x
lim sin x lim 1 x0 x x0 cos x
1
极限存在准则两个重要极限公式
x x0
(x )
(x )
lim f (x) A
x x0 (x )
准则I和准则I′统称为夹逼准则.
注意:利用夹逼准则求极限的关键:构造出 yn 与 zn ,
且 yn与zn的极限是易求的.
2020/6/15
2
例1 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解： 因为 n < 1 + L + 1 < n
单调下降有下界数列必有极限 说 明:
(1) 在收敛数列的性质中曾证明：收敛的数列一定
有界，但有界的数列不一定收敛．
(2) 利用准则I I来判定数列收敛必须同时满足 数列
单调和有界这两个条件．
2020/6/15
9
(3) 准则 I I只能判定数列极限的存在性，而未给出 求极限的方法．
例如，数列 xn (1)n ，虽然有界但不单调； 数列 xn n ，虽然是单调的，但其无界， 易知，这两数列均发散．
sin x
=
1
5
x® 0 x
例2 求
解:
lim
x0
tan x
x
lim x0
sin x
x
1 cos
x
lim
x0
sin x
x
lim 1 x0 cos
x
1
例3 求
解: 令 t arcsin x, 则 x sin t , 因此
原式 lim t t0 sin t
sin t 1
t
注: 利用变量代换，可得更一般的形式 lim sin (x) 1 (x)0 (x)
(4) 对于准则I I函，数极限根据自变量的不同变化过程 (x x0 , x x0 , x , x , x ) 也有类似的 准则， 只是准则形式上略有不同. 例如，
极限存在准则 两个重要极限
∴ {xn } 是单调递增的 ;
1 1 1 1 xn < 1 + 1 + + L + < 1 + 1 + + L + n −1 2! n! 2 2 1 = 3 − n − 1 < 3, ∴ {xn } 是有界的 ; 2 1n ) ∴ lim x n 存在. 记为lim(1 + ) = e (e = 2.71828L n→∞ n→∞ n
x → +∞
)
= lim (9
x → +∞
x
1 x x
)
1 x + 1 3
0
1 x
3 1 = 9 ⋅ lim 1 + x x → +∞ 3
1 3x ⋅x
= 9⋅e = 9
∴ lim cos x = 1,
x→0
∴ lim(1 − cos x ) = 0,
x→0
又 Q lim 1 = 1,
x→0
sin x ∴lim = 1. x→0 x
例3
1 − cosx . 求 lim 2 x→0 x
x 2sin2 2 lim 2 x→0
解: 原式 =
x
1 sin = lim x 2 x→0 2
1 令t= , x
x→0
1t lim(1 + x) = lim(1 + ) = e. x→0 t →∞ t
1 x
1 x
lim(1 + x) = e
例.
解: 令 t = −x, 则
t →∞
lim(1+ 1)−t t
1
= lim
极限存在准则 两个重要极限
2 2 1 . 3 3
P40,练习2.5
P40,练习2.5
2 （ 9）
x
lim (tan x )tan2 x
4
2tan x
2
(1 (tan x 1))1tan 解 原式 lim
x 4
x
lim
x 4
[1 (tan x 1)]
1 tan x 1
2 tan x (tan x 1) 1 tan 2 x
n n
a 2 a
a2 a 2 0
a2 2 a
a2
备用题
1.设 xn1
1 a ( xn ) ( n 1 , 2 , 2 xn
) , 且 x1 0,
a 0 , 求 lim xn .
n
利用极限存在准则
a xn xn
解： xn1
1 a ( xn ) 2 xn
例2. 证明
证: 利用两边夹法则 . 由
1 1 n 2 2 n π n 2π
2 n 1 2 2 n nπ n π
且 g (n)
h(n )
2
1 n lim 2 lim n n π n 1 π 2
n
1
1 1 1 lim n n2 π n2 2 π n2 n π 1 n
2 2sin 2sin lim 解: 原式 = lim 2 x0 x 0 4x x 2 4 x sin 1 2 1 2 lim 1 2 x0 x 2 2
2 x 2 2
x 2
cos 2 1 2sin2
2sin2 1 cos 2
P40,练习2.5
P40,练习2.5
2 （ 9）
x
lim (tan x )tan2 x
4
2tan x
2
(1 (tan x 1))1tan 解 原式 lim
x 4
x
lim
x 4
[1 (tan x 1)]
1 tan x 1
2 tan x (tan x 1) 1 tan 2 x
n n
a 2 a
a2 a 2 0
a2 2 a
a2
备用题
1.设 xn1
1 a ( xn ) ( n 1 , 2 , 2 xn
) , 且 x1 0,
a 0 , 求 lim xn .
n
利用极限存在准则
a xn xn
解： xn1
1 a ( xn ) 2 xn
例2. 证明
证: 利用两边夹法则 . 由
1 1 n 2 2 n π n 2π
2 n 1 2 2 n nπ n π
且 g (n)
h(n )
2
1 n lim 2 lim n n π n 1 π 2
n
1
1 1 1 lim n n2 π n2 2 π n2 n π 1 n
2 2sin 2sin lim 解: 原式 = lim 2 x0 x 0 4x x 2 4 x sin 1 2 1 2 lim 1 2 x0 x 2 2
2 x 2 2
x 2
cos 2 1 2sin2
2sin2 1 cos 2
极限运算法则两个重要极限
例12求«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»«Skip Record If...»
例13求«Skip Record If...»
解 错误做法：«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»1
例 6 求«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
结论：«Skip Record If...»
例7 求«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
且有极限«Skip Record If...»，则有«Skip Record If...»
准则2 如果数列«Skip Record If...»单调有界，则«Skip Record If...»一定存在。
2．4．2两个重要极限
1．极限«Skip Record If...»
定理1：设«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,则
(1)«Skip Record If...»=«Skip Record If...»
(2)«Skip Record If...»
若«Skip Record If...».(常数),则«Skip Record If...»
例15计算«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
例16计算«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»«Skip Record If...»
例13求«Skip Record If...»
解 错误做法：«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»1
例 6 求«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
结论：«Skip Record If...»
例7 求«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
且有极限«Skip Record If...»，则有«Skip Record If...»
准则2 如果数列«Skip Record If...»单调有界，则«Skip Record If...»一定存在。
2．4．2两个重要极限
1．极限«Skip Record If...»
定理1：设«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,则
(1)«Skip Record If...»=«Skip Record If...»
(2)«Skip Record If...»
若«Skip Record If...».(常数),则«Skip Record If...»
例15计算«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
例16计算«Skip Record If...»
极限存在准则两个重要极限公式
夹逼准则不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的
方法．下面利用它证明另一个重要的
极限公式： lim sin x 1 x0 x
证:
当
x
(
0
,
2
)
时，
BD
1x
oC
A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
x
1 2
tan
x
亦故即有
1sin sxinxxxctoa1snxx
1. 单调有界准则
数列 xn : 单调增加 x1 x2 xn xn1 ,
单调减少 x1 x2 xn xn1 ,
准则I 单调有界数列必有极限 单调上升有上界数列必有极限
说 明: 单调下降有下界数列必有极限 (1) 在收敛数列的性质中曾证明：收敛的数列一定 有界，但有界的数列不一定收敛．
1
1 1 n1 n 1
1 yn1
由于数列 yn 是单调增加的，所以数列 zn 是单调减少的.
又
xn
1
1
n
n
1
1
ห้องสมุดไป่ตู้n1
n
zn
z1
4
则 2 xn 4. 综上，根据极限存在准则Ⅰ可知，数列是
收敛的.
2023年12月9日星期六
4
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通常用字母 e 来表示这个极限，即
lim
n
1
1
n
)
( n 1, 2,
), 且
x1 0,
a0,
求
lim
n
xn
.
利用极限存在准则
04 极限存在准则 两个重要极限
25
例5 求 lim(1 1 )x .
x
x
解 原式 lim[(1 1 ) x ]1
x
x
1. e
26
例6 求 lim(3 x )2x . x 2 x
解 原式 lim(1 1 )2(x2)4 x x 2
lim[(1 1 )x2 ]2 (1 1 )4
x
x2
x2
e2.
27
1
例7 lim(1 x) x x0 1 (1) lim[1 (x)](x) x0
e1
28
三、小结
1、两个极限存在准则
2、两个重要极限
sin (x)
(1) lim
1
(x)0 (x)
1
(2) lim 1 (x) (x) e (x)0
12
准则II 单调有界数列必有极限。
数列 xn
x1 x2 xn xn1 , 单调增加 x1 x2 xn xn1 , 单调减少
13
例2 证明数列 xn 2 2 2 的极限存在，并求出该极限。
证 1）先证数列{xn}有界—数学归纳法 n=1时，x1 2 2, 假定n=k时，xk 2
由牛顿二项公式得，n (1 an )n
1
nan
n(n 1) 2
an2
ann
>
n(n 2
1)
an2
an2
2n n(n 1)
2 n 1
即 0 an
2 n1
lim 0 lim
n
n
2 0 n 1
lim
n
an
例5 求 lim(1 1 )x .
x
x
解 原式 lim[(1 1 ) x ]1
x
x
1. e
26
例6 求 lim(3 x )2x . x 2 x
解 原式 lim(1 1 )2(x2)4 x x 2
lim[(1 1 )x2 ]2 (1 1 )4
x
x2
x2
e2.
27
1
例7 lim(1 x) x x0 1 (1) lim[1 (x)](x) x0
e1
28
三、小结
1、两个极限存在准则
2、两个重要极限
sin (x)
(1) lim
1
(x)0 (x)
1
(2) lim 1 (x) (x) e (x)0
12
准则II 单调有界数列必有极限。
数列 xn
x1 x2 xn xn1 , 单调增加 x1 x2 xn xn1 , 单调减少
13
例2 证明数列 xn 2 2 2 的极限存在，并求出该极限。
证 1）先证数列{xn}有界—数学归纳法 n=1时，x1 2 2, 假定n=k时，xk 2
由牛顿二项公式得，n (1 an )n
1
nan
n(n 1) 2
an2
ann
>
n(n 2
1)
an2
an2
2n n(n 1)
2 n 1
即 0 an
2 n1
lim 0 lim
n
n
2 0 n 1
lim
n
an
极限存在准则两个重要极限公式
令t =1x, 则:
lim(1
1
x)x
=
lim(1
1)t
=
e.
x0
t
t
此结论可推广到
1
lim1 ( x)( x) = e
xa
条件是x a时, ( x) 0，其中a可为
有限值，也可为
2020年9月1日星期二
(20ppt,scau,L.G.YUAN)
14
例5 求 lim(1 1 )x .
n2 n n2 1
又 lim n
n = lim n2 n n
1 1 1 = 1,
n
lim
n
n = lim n2 1 n
1 = 1,
1 1 n2
由夹逼定理得
lim( 1 1 L 1 ) = 1.
n n2 1 n2 2
n2 n
2020年9月1日星期二
(20ppt,scau,L.G.YUAN)
2020年9月1日星期二
(20ppt,scau,L.G.YUAN)
6
例2 证明数列 xn = 3 3 L 3 (n重根 式)的极限存在.
证: 显然 xn1 > xn , xn是单调递增的 ;
又 x1 = 3 3, 假定 xk 3, xk1 = 3 xk 3 3 3,
xn 是有界的 ;
原式
=
lim x (1
x 1 )x
x
=
e e 1
=
e2
2020年9月1日星期二
(20ppt,scau,L.G.YUAN)
16
三、小结
1.两个准则
夹逼准则; 单调有界准则 .
2.两个重要极限
10 lim sin x = 1; x0 x
两个重要极限
s x in lim =, 1 x 0 x →
lim o x= . cs 1
x 0 →
13
例2.21 求下列极限:
( )liminx 1 s ;
x 0 →
(2 )lim nx ta
x 0 →
a c nx r ta (4 )lim x 0 → x π 解 (1) 0 s x<x <x< < in ,0 2 s 于是 lim inx=0 +
：
链 接
in x x in x x 解 (1)x→0时, s a ~a ,s b ~b s a in x a a x ∴ lim =lim = x 0s b → in x x 0b → x b
(2)x→0时, ta x~3 n3 x
ta x n3 3 x ∴ lim =lim =3 x 0 → x 0 x → x
22
] ] 1 当x≥ 时 有[x ≤x≤[x + , 1 ,
1 [x] 1 1[ 1 (+ 1 ) ≤( + )x ≤( + ) x]+ , 1 1 [x + ] 1 x [x ]
1 [x]+ 1 [x] 1 1 而 lim1 ( + ) = lim1 ( + ) ⋅ lim1 (+ ) x + →∞ x + →∞ + [x ] [x ] x→∞ [x ]
7
例2.20 设 u = au = a+u− (n≥2 ,其中a>0,求 , n ) 1 n1
lim n. u
n ∞ →
解 首先 u = a+u > a=u;设 u >u− ,则 n n1 2 1 1
两个极限存在准则和两个重要的极限
两个极限存在准则和两个重要的极限1.两个极限存在准则(1) 夹逼准则：设a, b, c为实数，如果函数f(x)在a的一些左邻域内对于一切x都有h(x)≤f(x)≤g(x)，且lim[x→a]h(x)=lim[x→a]g(x)=L，则必有lim[x→a]f(x)=L。
夹逼准则的本质是通过构造两个函数作为边界来确定原函数的极限。
(2) 单调有界准则：设函数f(x)在(a, b)上单调递增(递减)，且在(a, b)上有界，则必有lim[x→a]f(x)=sup{f(x)}(或lim[x→a]f(x)=inf{f(x)})。
单调有界准则的基本思想是通过函数的单调性和有界性来确定极限。
(1) 无穷小极限：设函数f(x)在x=a处有极限lim[x→a]f(x)=0，如果对于任意正数ε，存在对应的正数δ，使得对于所有满足0<，x-a，< δ的x，有，f(x)，<ε，那么称函数f(x)在x=a处的极限为0。
无穷小极限的重要性在于它在微积分中有广泛应用。
例如，微分定义中的导数可以看作是函数在其中一点的极限，这也符合函数在该点的变化趋势比较明显。
无穷小极限的概念使得我们能够更好地描述和理解函数在其中一点的变化情况。
(2) 无穷大极限：设函数f(x)在x=a处有极限lim[x→a]f(x)=∞，如果对于任意正数M，存在对应的正数δ，使得对于所有满足0<，x-a，< δ的x，有f(x) > M，那么称函数f(x)在x=a处的极限为无穷大。
无穷大极限的重要性在于它可以帮助我们研究函数在其中一点的增长速度和趋势。
例如，在极限定义中，我们可以通过无穷大极限来刻画函数在其中一点的无限增长或无限逼近的情况。
此外，无穷大极限也在微积分中的积分定义中有重要的应用，帮助我们理解函数的积分和面积的概念。
综上所述，极限的存在准则和重要的极限是微积分中的重要概念。
了解它们的定义和应用可以帮助我们更好地理解和分析函数在其中一点的变化情况，为进一步研究微积分和数学分析打下坚实的基础。
两个重要极限
x0
x0 tan 2x 2
(3) lim
x sin
x
1 sin x lim x
x0 x sin x x0 1 sin x
11 0 11
x
高等数学 advanced math 两个重要极限 (Two important limits)
例4 求 lim sin(x2 9)
x3 x 3
解：lim sin(x2 9)
按前面所述的资金现值计算方法知
该股票筹得资金的现值为P(1-F),等于各年股利按普通 股成本K贴现的现值和，即
P（1
F）
D 1 K
D(1 G) (1 K )2
D(1 G)2 (1 K )3
高等数学 advanced math 两个重要极限 (Two important limits)
试利用数学方法计算股票筹资成本K
案例【圆的面积】
为了求圆面积，可以先作圆 的内接正四边形，其面积记
作A4 ；又作圆的内接正六边 形，其面积记作A6；如此循
环下去，当圆的内接正多边 形的边数不断增加时，其相 应的面积与圆的面积就越来
越接近,当边数n无限增大时 播放
，圆的内接正多边形的面积 就是圆的面积
高等数学 advanced math 两个重要极限 (Two important limits)
x3 x 3
lim
x3
s
in(x2 x2 9
9)
(
x
3)
sin(x2 9)
lim x3
x2 9
lim (x 3) x3
6
高等数学 advanced math 两个重要极限 (Two important limits)
极限的计算、两个重要极限
x
2
2
lim
x
(1
1 x
2
)
4
e2.
两个重要极限的一般形式：
(1) limsin 1
0
(2) lim(11 ) e
1
或 lim(1 ) e
0
注: 代表相同的表达式
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定理 . 设
~, ~, 且
lim
第二节
第一章
极限的计算、两个重要极限
一 、无穷小运算法则 二、 极限的四则运算法则 三、 计算极限举例 四、 两个重要极限
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一、 无穷小运算法则
定理2.4. 有限个无穷小的和还是无穷小 .
证: 考虑两个无穷小的和 . 设 lim0, lim0,
xx0
xx0
lim Q ( x )
P(x0 ) Q (x0 )
R(x0)
x x0
说明: 若 Q(x0)0,不能直接用商的运算法则 .
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例3
.
求
2x3
lxi m1x2
. 5x4
解: x = 1 时分母 = 0 , 分子≠0 , 但因
lim x2 5x4 12 514 0
解: lim sin 2 x lim2 sin2x
x0 x
x0
2x
sin2x
2lim
2.
x0 2x
注 目录 上页 下页 返回 结束
例12. 求 lim tan x . x0 x
解:
lim tan x0 x
x
4两个重要极限第一次课
§1.3两个重要 极限 §1.3两个重要 极限
一. 两个重要极限 二. 无穷小量替换
ESC
一.第一个重要 极限
sin x 1. 基本式： lim x 0 x
变形式：(1) lim
sin
0
1
注: 代表相同的表达式， 关键是 代表无穷小
(1)方法:(图像观察法) 作函数 y sin x，y x 图像(右图).
．
ESC
一 . 极限的四则运算法则 二 .第一个重要 极限举例
例2
sin kx 求 lim x 0 x
( k 0) ．
解 即令 t kx ．则当 x 0 时， kx 0 ．于是 sin kx sin kx sin t lim k k lim lim t 0 x 0 x 0 t x kx k 1 k ． (1.4.5)
是同阶的无穷小； 特殊地，若 lim 1 ，则称 与 是等价的无 ESC 穷小， 记为 ～ .
2）若 lim c（c为非零常数），则称 与
三.无穷小量的等价代换
2.等价无穷小的传递和代换的性质 设在同一变化过程中
（1）若
（2）若
, ,则 。
2 lim (1 ) u u
u 1 1 2
lim
u
u 1 (1 2)2 2
u
，
ESC
.第二个重要 极限 一.二 极限的四则运算法则
1 因为 a 2 ， b ，所以 2 1 2 2 x 3 x1 ) e 2 e． lim ( x 2 x 1 1 3 (2x 3)x1 lim( 2x )x1 （以下学生自行解决） 解法二 lim x 2 x 1 x 1 1 2x
一. 两个重要极限 二. 无穷小量替换
ESC
一.第一个重要 极限
sin x 1. 基本式： lim x 0 x
变形式：(1) lim
sin
0
1
注: 代表相同的表达式， 关键是 代表无穷小
(1)方法:(图像观察法) 作函数 y sin x，y x 图像(右图).
．
ESC
一 . 极限的四则运算法则 二 .第一个重要 极限举例
例2
sin kx 求 lim x 0 x
( k 0) ．
解 即令 t kx ．则当 x 0 时， kx 0 ．于是 sin kx sin kx sin t lim k k lim lim t 0 x 0 x 0 t x kx k 1 k ． (1.4.5)
是同阶的无穷小； 特殊地，若 lim 1 ，则称 与 是等价的无 ESC 穷小， 记为 ～ .
2）若 lim c（c为非零常数），则称 与
三.无穷小量的等价代换
2.等价无穷小的传递和代换的性质 设在同一变化过程中
（1）若
（2）若
, ,则 。
2 lim (1 ) u u
u 1 1 2
lim
u
u 1 (1 2)2 2
u
，
ESC
.第二个重要 极限 一.二 极限的四则运算法则
1 因为 a 2 ， b ，所以 2 1 2 2 x 3 x1 ) e 2 e． lim ( x 2 x 1 1 3 (2x 3)x1 lim( 2x )x1 （以下学生自行解决） 解法二 lim x 2 x 1 x 1 1 2x
极限存在准则,两个重要极限
极限存在准则 两个重要极限【教学目的】1、了解函数和数列的极限存在准则；2、掌握两个常用的不等式；3、会用两个重要极限求极限。
【教学内容】1、夹逼准则；2、单调有界准则；3、两个重要极限。
【重点难点】重点是应用两个重要极限求极限。
难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。
【教学设计】从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（5分钟）。
首先给出极限存在准则（20分钟），并举例说明如何应用准则求极限（20分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（40分钟）；课堂练习（15分钟）。
【授课内容】引入：考虑下面几个数列的极限1、∑=∞→+1000121limi n i n 1000个0相加，极限等于0。
2、∑=∞→+ni n in 121lim无穷多个“0”相加，极限不能确定。
3、n n x ∞→lim ，其中13nn x x ，13x ，极限不能确定。
对于2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则：一、极限存在准则1. 夹逼准则准则Ⅰ 如果数列n n y x ,及n z 满足下列条件:,lim ,lim )2()3,2,1()1(a z a y n z x y n n n n nn n ===≤≤∞→∞→那么数列n x 的极限存在, 且a x n n =∞→lim .证：,,a z a y n n →→ 使得,0,0,021>>∃>∀N N ε,1ε<->a y N n n 时恒有当 ,2ε<->a z N n n 时恒有当取12max{,},N N N 上两式同时成立,,εε+<<-a y a n 即 ,εε+<<-a z a n当nN 时，恒有 ,εε+<≤≤<-a z x y a n n n ,成立即ε<-a x n .lim a x n n =∴∞→上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 准则Ⅰ′ 如果当),(0δx U x o∈ (或M x >)时,有,)(lim ,)(lim )2(),()()()1()()(00A x h A x g x h x f x g x x x x x x ==≤≤∞→→∞→→那么)(lim )(0x f x x x ∞→→存在, 且等于A .准则 I 和准则 I '称为夹逼准则。
两个重要极限教案(修改稿)
两个重要极限教案(修改稿)章节一：引言与极限概念的复习教学目标：1. 理解极限的概念及其在数学分析中的重要性。
2. 复习函数在一点附近的性质以及极限的定义。
教学内容：1. 引入极限的概念，解释极限在数学分析中的作用。
2. 复习函数在一点附近的性质，包括连续性、可导性等。
3. 回顾极限的定义，包括左极限、右极限以及极限的存在性。
教学方法：1. 通过举例和问题引导students 理解极限的概念。
2. 通过图形和实际例子解释函数在一点附近的性质。
3. 通过练习题帮助students 复习和巩固极限的定义。
章节二：极限的计算方法教学目标：1. 掌握常见的极限计算方法，包括直接代入法、因式分解法、有理化法等。
2. 学会运用极限的性质和运算法则进行极限的计算。
教学内容：1. 介绍常见的极限计算方法，包括直接代入法、因式分解法、有理化法等。
2. 讲解极限的性质和运算法则，如无穷小和无穷大的性质、四则运算法则等。
3. 通过例子和练习题讲解和巩固极限的计算方法。
教学方法：1. 通过讲解和示例演示常见的极限计算方法。
2. 通过问题和解题方法的讨论，帮助students 理解和掌握极限的性质和运算法则。
3. 通过练习题和问题引导学生运用极限的计算方法解决实际问题。
章节三：无穷小和无穷大的概念教学目标：1. 理解无穷小和无穷大的概念及其在极限计算中的应用。
2. 学会运用无穷小和无穷大的性质进行极限的计算。
教学内容：1. 介绍无穷小和无穷大的概念，包括无穷小和无穷大的定义、性质等。
2. 讲解无穷小和无穷大的性质，如无穷小的比较、无穷大的比较等。
3. 通过例子和练习题讲解和巩固无穷小和无穷大的应用。
教学方法：1. 通过讲解和示例演示无穷小和无穷大的概念和性质。
2. 通过问题和解题方法的讨论，帮助students 理解和掌握无穷小和无穷大的应用。
3. 通过练习题和问题引导学生运用无穷小和无穷大的性质进行极限的计算。
章节四：极限的存在性教学目标：1. 理解极限的存在性及其在数学分析中的应用。
极限存在准则与两个重要极限
1 a
22
(1 )型
1 n lim(1 ) e (e 2.718281828459045 ) 我们已经证明： n n
利用这个结论我们可以分别证明：
1 x 1 x lim (1 ) e lim (1 ) e 和 x - x x x
证明方法：迫敛准则 （P54）
lim(1 x ) e
例11 解
ln( 1 x) 求 lim x 0 x
x 0
0 ( ) 0
1 x
原 式 limln( 1 x)
ln e 1
15
ex 1 例12 求 lim x 0 x
解 令 t e 1,
x
x 0时， t 0
t 原式 lim t 0 ln( 1 t)
例13
1 2
8
cos x cos 3 x 例4 求极限 l im 2 x 0 x cos x cos 3 x 解 l im 2 x 0 x
2 si n ( 2 x ) si n x lim x 0 x2
4
0 ( )型 0
9
si n x 例5 求极限 l i m x tan x
作单位圆的切线 ，得ACO .
扇形OAB的圆心角为x , OAB的高为BD ,
于是有sin x BD,
因为
x 弧 AB,
tan x AC ,
4
SAOB S扇形AOB SAOC
1 1 1 所 以 sin x x tan x 2 2 2
即
sin x x tan x ,
上式对于 x 0也成立. 当 0 x 时, 2 2 2 x 2 x 2 x , 0 cos x 1 1 cos x 2 sin 2( ) 2 2 2 2 x lim 0, lim(1 cos x ) 0, x0 2 x 0
22
(1 )型
1 n lim(1 ) e (e 2.718281828459045 ) 我们已经证明： n n
利用这个结论我们可以分别证明：
1 x 1 x lim (1 ) e lim (1 ) e 和 x - x x x
证明方法：迫敛准则 （P54）
lim(1 x ) e
例11 解
ln( 1 x) 求 lim x 0 x
x 0
0 ( ) 0
1 x
原 式 limln( 1 x)
ln e 1
15
ex 1 例12 求 lim x 0 x
解 令 t e 1,
x
x 0时， t 0
t 原式 lim t 0 ln( 1 t)
例13
1 2
8
cos x cos 3 x 例4 求极限 l im 2 x 0 x cos x cos 3 x 解 l im 2 x 0 x
2 si n ( 2 x ) si n x lim x 0 x2
4
0 ( )型 0
9
si n x 例5 求极限 l i m x tan x
作单位圆的切线 ，得ACO .
扇形OAB的圆心角为x , OAB的高为BD ,
于是有sin x BD,
因为
x 弧 AB,
tan x AC ,
4
SAOB S扇形AOB SAOC
1 1 1 所 以 sin x x tan x 2 2 2
即
sin x x tan x ,
上式对于 x 0也成立. 当 0 x 时, 2 2 2 x 2 x 2 x , 0 cos x 1 1 cos x 2 sin 2( ) 2 2 2 2 x lim 0, lim(1 cos x ) 0, x0 2 x 0
优选极限运算法则两个重要极限
证: 因 lim f (x) A, lim g(x) B , 有
f (x) A , g(x) B , 其中 , 为无穷小
设
A A 1 (B A )
B B B(B )
因此 为无穷小, f (x) A
g(x) 1 B
由极限与无穷小关系定B 理 ,
得
1 g(x)
2 B
则有
lim f [(x) ] lim f (u) A
x x0
ua
说明: 若定理中 lim (x) , 则类似可得 x x0
lim f [(x) ] lim f (u) A
x x0
u
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例7. 求
解:
令
u
x3 x2 9
已知 lim u 1 x3 6
∴ 原式 =
推论 2 . lim[ f (x)]n [ lim f (x) ] n ( n 为正整数 )
例2. 设 n 次多项式
试证
lim
xx0
Pn
(
x)
Pn
(
x0
).
证:
lim
x x0
Pn
(x)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理 5 . 若lim f (x) A, lim g(x) B , 且 B≠0 , 则有
例如，
lim
n
n
n2
1
n2
1
2
n2
1
n
1
又如, n 时, 1 是无穷小， n
但n个 1 之和为1不是无穷小. n
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .
证: 设
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度
sin x 型极限的计算（第一个重要极限公 2、熟练掌握简单的利用两个 x 0 x
重要极限公式求函数的极限 一般掌握
1 x
式） 能力目标 时间分配 修订 1、培养学生的计算能力 2、培养学生对知识的归纳能力 45 分钟 熊文婷 编撰 陈亮
3、一般掌握较复杂的利用两 个重要极限求函数的极限
（1） lim （二）第二个重要极限
1
（1） lim(1 2 x) x （一级）
x 0
（2） lim ln(1 x) (二级) x 0 x （3） lim (
x
x 2 1 x2 ) （二级) x2 1
1
（4） lim(cos2 x) sin 2 x （三级)（选做）
x 0
模块基本信息 一级模块名称 三级模块名称 先行知识 函数与极限 极限的计算---两个重要极限 极限的计算---常用计算方法 知识内容 1、两个重要极限的证明 2、 lim 式） 3、 lim(1 ) x 型极限的计算（第二重要极限公
x
二级模块名称 模块编号 模块编号 教学要求 1、理解两个重要极限
解 令 t x 2 1 则 x时t 于是
lim(1
x
1 2 x2 1 1 ) lim(1 ) 2(t 1) lim[(1 ) t ] 2 t t t t x 1
2
2 ( t 1) t
lim e
t
2 ( t 1) t
e2
t
或
1 1 n ( 1) 1 n 1 lim(1 ) n lim(1 ) [ lim(1 ) ] e 1 n n n n n n
1 x
例 6 求 lim(1 x)
x 0
（一级）
解 令 t
1 则 x0 时t 于是 x
n
1
2
3
10
20 2.653
30 2.658
100 2.705
1 2 {(1 ) n } n
9 4
64 2.594 27
（注：表格中算出的值均为无理数） 根据上述的表格，可得以下结论： 1 n ⑴ 数列 {(1 ) } 单调、有界； n 1 n ⑵ 数列 {(1 ) } 的极限存在； n 1 n ⑶ 数列 {(1 ) } 的极限为无理数. n
sin 2( t ) sin 2 x sin 2t 2 lim lim sin 3x t 0 sin 3( t ) t 0 sin 3t 3
1 3、（第二个重要极限） lim (1 ) x e x x 1 考虑特殊情况 lim (1 ) n e . 对 n 取不同正整数，可得数列 n n 1 {(1 ) n } 的取值的表格如下： n
e 2
注：例 6、例 7 和例 8 中的函数均为幂指函数，幂指函数形如
[ f ( x)]g ( x ) .若 lim f ( x) A 0, lim g ( x) B ，则 lim[ f ( x)]g ( x ) AB .
三、能力反馈部分 （一）第一个重要极限
sin 5 x （一级） x 0 x （2） lim( 1 sin x x sin 1 ) （一级） x 0 x x cos 4 x 1 （3） lim （二级) x 0 x2 x （4） lim(1 x) tan （三级)（选做） x 0 2
1 sin x 1 x 1 tan x 2 2 2
即
sin xxtan x
不等号各边都除以 sin x 就有 1 x 1 或 cos x sin x 1
sin x cos x x
注意：此不等式当 x0 时也成立 而 limcos x 1
2
x 0
校对 二审
王清玲
审核 危子青
危子青
一、正文编写思路及特点： 思路：通过对两个重要极限的特点分析，及例题层层递进的训练。让 学生能够灵活运用两个重要极限求解相关函数的极限。 特点： 以两个重要极限的基本模型为基础， 对类似的两个重要极限进 行转换计算， 让学生在对同类型的极限进行计算过程中， 掌握利用两 个重要极限进行相关计算。 二、授课部分 （一）预备知识 0 型极限的计算 0 （二）新课讲授 1、无穷小的定义 定义：如果当 x x0 （或 x ）时,函数 f x 的极限为零，那么函 数 f x 就称为 x x0 （或 x ）时的无穷小量（简称 f x 为无穷 小） 。 引例
例 1 求 lim x 0
tan x （一级） x sin x 1 sin x 1 tan x lim lim 1 lim 解 lim x 0 x 0 x x cos x x 0 x x 0 cos x
例 2 求 lim x 0
x 例 3 求 lim 1 cos 2
法。 首先注意到 函数 sin x 对于一切 x0 都有
x
B 1 x O C A D
定义 如 右 图 ， 图 中 的 圆 为 单 位 圆 BCOA DAOA 圆心角AOB x (0x )
2
显然 sin x CB x AB tan x AD 因 为 SAOBS 扇形 AOBSAOD 所以
lim
x0
sin x ? x
(说明：当 x 0 时， sin x, x 均为无穷小量.) 2、 （第一个重要极限） lim
sin x
x 0
x
1
(选讲) 证明思路：函数的夹逼准则
由于 lim
sin x
sin x
x 0
x
为 型极限，之前我们有因式分解法，而对于
0 0
lim
x 0
x
显然无法利用因式分解法进行求解，所以我们利用如下解
x 0
x
（二级）
x x sin2 1 2 lim 2 x2 2 x 0 x 2 ( ) 2
x 解 lim1 cos lim x 0 x 2 = x 0
2 sin2
sin 2 x sin 3x 解：令t x ，则
（选讲）例 4 求 lim x
（三级）
lim
x
1
使用说明：在极限 lim[1 ( x)]
1
( x)
中 只要 ( x) 是无穷小（ 1 型
极限） ，就有 lim[1 ( x)] ( x ) e
1 例 5 求 lim(1 ) n （一级） n n 解 令 t=n, 则 n时t 于是 1 lim(1 ) n lim(1 1)t lim 1 1 n t t t n (1 1)t e
（选讲）例 8 求 lim(1 sin x) x
x 0
2 x
（三级)
1 2 sin x sin x x 1 2 sin x x
解： x0
lim(1 sin x) lim(1 ( sin x))
x 0 x 0
lim[(1 ( sin x)) sin x ]
根据夹逼准则得
lim
sin x
x 0
x
1.
使 用 说 明 在 极 限 lim sin (x) 中 只 要 (x) 是 无 穷 小 就 有
( x)
lim
sin ( x ) 1 ( x)
sin 3x （一级） x sin 3x sin 3x lim 3 3 解 lim x 0 x 0 x 3x
1 1 (1 ) t e lim(1 x) x lim t x 0 t
1 注： lim(1 x ) x e 为 lim (1 ) x e 的等价形式. x 0 x x
1
(1 例 7 求 lim x
1 2 x2 ) (二级) x 1
2
sin x 型极限的计算（第一个重要极限公 2、熟练掌握简单的利用两个 x 0 x
重要极限公式求函数的极限 一般掌握
1 x
式） 能力目标 时间分配 修订 1、培养学生的计算能力 2、培养学生对知识的归纳能力 45 分钟 熊文婷 编撰 陈亮
3、一般掌握较复杂的利用两 个重要极限求函数的极限
（1） lim （二）第二个重要极限
1
（1） lim(1 2 x) x （一级）
x 0
（2） lim ln(1 x) (二级) x 0 x （3） lim (
x
x 2 1 x2 ) （二级) x2 1
1
（4） lim(cos2 x) sin 2 x （三级)（选做）
x 0
模块基本信息 一级模块名称 三级模块名称 先行知识 函数与极限 极限的计算---两个重要极限 极限的计算---常用计算方法 知识内容 1、两个重要极限的证明 2、 lim 式） 3、 lim(1 ) x 型极限的计算（第二重要极限公
x
二级模块名称 模块编号 模块编号 教学要求 1、理解两个重要极限
解 令 t x 2 1 则 x时t 于是
lim(1
x
1 2 x2 1 1 ) lim(1 ) 2(t 1) lim[(1 ) t ] 2 t t t t x 1
2
2 ( t 1) t
lim e
t
2 ( t 1) t
e2
t
或
1 1 n ( 1) 1 n 1 lim(1 ) n lim(1 ) [ lim(1 ) ] e 1 n n n n n n
1 x
例 6 求 lim(1 x)
x 0
（一级）
解 令 t
1 则 x0 时t 于是 x
n
1
2
3
10
20 2.653
30 2.658
100 2.705
1 2 {(1 ) n } n
9 4
64 2.594 27
（注：表格中算出的值均为无理数） 根据上述的表格，可得以下结论： 1 n ⑴ 数列 {(1 ) } 单调、有界； n 1 n ⑵ 数列 {(1 ) } 的极限存在； n 1 n ⑶ 数列 {(1 ) } 的极限为无理数. n
sin 2( t ) sin 2 x sin 2t 2 lim lim sin 3x t 0 sin 3( t ) t 0 sin 3t 3
1 3、（第二个重要极限） lim (1 ) x e x x 1 考虑特殊情况 lim (1 ) n e . 对 n 取不同正整数，可得数列 n n 1 {(1 ) n } 的取值的表格如下： n
e 2
注：例 6、例 7 和例 8 中的函数均为幂指函数，幂指函数形如
[ f ( x)]g ( x ) .若 lim f ( x) A 0, lim g ( x) B ，则 lim[ f ( x)]g ( x ) AB .
三、能力反馈部分 （一）第一个重要极限
sin 5 x （一级） x 0 x （2） lim( 1 sin x x sin 1 ) （一级） x 0 x x cos 4 x 1 （3） lim （二级) x 0 x2 x （4） lim(1 x) tan （三级)（选做） x 0 2
1 sin x 1 x 1 tan x 2 2 2
即
sin xxtan x
不等号各边都除以 sin x 就有 1 x 1 或 cos x sin x 1
sin x cos x x
注意：此不等式当 x0 时也成立 而 limcos x 1
2
x 0
校对 二审
王清玲
审核 危子青
危子青
一、正文编写思路及特点： 思路：通过对两个重要极限的特点分析，及例题层层递进的训练。让 学生能够灵活运用两个重要极限求解相关函数的极限。 特点： 以两个重要极限的基本模型为基础， 对类似的两个重要极限进 行转换计算， 让学生在对同类型的极限进行计算过程中， 掌握利用两 个重要极限进行相关计算。 二、授课部分 （一）预备知识 0 型极限的计算 0 （二）新课讲授 1、无穷小的定义 定义：如果当 x x0 （或 x ）时,函数 f x 的极限为零，那么函 数 f x 就称为 x x0 （或 x ）时的无穷小量（简称 f x 为无穷 小） 。 引例
例 1 求 lim x 0
tan x （一级） x sin x 1 sin x 1 tan x lim lim 1 lim 解 lim x 0 x 0 x x cos x x 0 x x 0 cos x
例 2 求 lim x 0
x 例 3 求 lim 1 cos 2
法。 首先注意到 函数 sin x 对于一切 x0 都有
x
B 1 x O C A D
定义 如 右 图 ， 图 中 的 圆 为 单 位 圆 BCOA DAOA 圆心角AOB x (0x )
2
显然 sin x CB x AB tan x AD 因 为 SAOBS 扇形 AOBSAOD 所以
lim
x0
sin x ? x
(说明：当 x 0 时， sin x, x 均为无穷小量.) 2、 （第一个重要极限） lim
sin x
x 0
x
1
(选讲) 证明思路：函数的夹逼准则
由于 lim
sin x
sin x
x 0
x
为 型极限，之前我们有因式分解法，而对于
0 0
lim
x 0
x
显然无法利用因式分解法进行求解，所以我们利用如下解
x 0
x
（二级）
x x sin2 1 2 lim 2 x2 2 x 0 x 2 ( ) 2
x 解 lim1 cos lim x 0 x 2 = x 0
2 sin2
sin 2 x sin 3x 解：令t x ，则
（选讲）例 4 求 lim x
（三级）
lim
x
1
使用说明：在极限 lim[1 ( x)]
1
( x)
中 只要 ( x) 是无穷小（ 1 型
极限） ，就有 lim[1 ( x)] ( x ) e
1 例 5 求 lim(1 ) n （一级） n n 解 令 t=n, 则 n时t 于是 1 lim(1 ) n lim(1 1)t lim 1 1 n t t t n (1 1)t e
（选讲）例 8 求 lim(1 sin x) x
x 0
2 x
（三级)
1 2 sin x sin x x 1 2 sin x x
解： x0
lim(1 sin x) lim(1 ( sin x))
x 0 x 0
lim[(1 ( sin x)) sin x ]
根据夹逼准则得
lim
sin x
x 0
x
1.
使 用 说 明 在 极 限 lim sin (x) 中 只 要 (x) 是 无 穷 小 就 有
( x)
lim
sin ( x ) 1 ( x)
sin 3x （一级） x sin 3x sin 3x lim 3 3 解 lim x 0 x 0 x 3x
1 1 (1 ) t e lim(1 x) x lim t x 0 t
1 注： lim(1 x ) x e 为 lim (1 ) x e 的等价形式. x 0 x x
1
(1 例 7 求 lim x
1 2 x2 ) (二级) x 1
2