用空间向量解决立体几何中的平行问题
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第三章 §3.2 立体几何中的向量方法
第1课时 用空间向量解决立体几何中的平行问题
学习目标
1.了解空间点、线、面的向量表示. 2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义，并会求平面的法向量. 3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
确定平面位置 过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的
(3)直线的方向向量和平面的法向量
直线的方向向量
能平移到直线上的 非零 向量a， 叫做直线l的一个方向向量
平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的 方向向量n ， 叫做平面α的法向量
知识点二 平面的法向量及其求法
在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤： (1)设平面的法向量为n＝(x，y，z)； (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)； (3)根据法向量的定义建立关于x，
题型探究
类型一 求平面的法向量
例1 已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，
试求出平面ABC的一个法向量.
解 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z).
∵A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，∴A→B＝(－2,1,3)，B→C＝(1，－1,0).
跟 踪 训 练 1 如 图 所 示 ， 在 四 棱 锥 S － ABCD 中 ， 底 面 是 直 角 梯 形 ， AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝ 1 ，
2 建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量.
解答
类型二 利用空间向量证明平行问题 例2 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的 中点，求证： (1)FC1∥平面ADE；
√A.(1,2,3)
B.(1,3,2)
C.(2,1,3)
D.(3,2,1)
解析 因为A→B＝(2,4,6)，所以与A→B共线的非零向量都可以作为直线 l 的
方向向量.
12345
解析 答案
4.若直线 l∥α，且 l 的方向向量为(2，m,1)，平面 α 的法向量为1，12，2，
则m为
1,2λ)，若l1∥l2，则λ与μ的值可以分别是
√A.2，12
B.－13，12
C.－3,2
D.2,2
解析
由题意知λ＋6 1＝22λ， 2μ－1＝0，
λ＝2， 解得μ＝12
λ＝－3， 或μ＝12.
12345
解析 答案
3.若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为
12345
解析 答案
规律与方法
1.应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线. (3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示.即用平 面向量基本定理证明线面平行. 2.证明面面平行的方法 设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)， 则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R).
令z2＝2，得y2＝－1，
所以n2＝(0，－1,2)，
因为n1＝n2，
所以平面ADE∥平面B1C1F.
证明
反思与感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系， 求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明 平行问题.
跟踪训练2 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所 成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝ BC＝12AD＝1，问在棱 PD 上是否存在一点 E，使 CE∥平面 PAB？若存在， 求出E点的位置；若不存在，请说明理由.
y，z 的方程组nn··ab＝ ＝00， ；
(4)解方程组，取其中的 一组解 ，即得平面的一个法向量.
知识点三 用空间向量处理平行关系
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则
线线平行
l∥m⇔ a∥b ⇔a＝kb(k∈R)
线面平行
l∥α⇔a⊥μ⇔_a_·_μ_＝__0_
n·A→B＝0， 则有n·B→C＝0，
即x－－2yx＝＋0y，＋3z＝0，
解得xx＝ ＝3y.z， 令 z＝1，则 x＝y＝3.
Hale Waihona Puke Baidu
故平面ABC的一个法向量为n＝(3,3,1).
解答
反思与感悟 利用方程的思想求解平面的法向量，注意一个平面的法 向量不是唯一的，它有无数个，它们是共线的.
(2)用向量表示平面的位置 ①通过平面α上的一个定点O和两个向量a和b来确定：
条件
平面α内两条相交直线的方向向量a，b和交点O
形式 对于平面 α 上任意一点 P，存在有序实数对(x，y)使得O→P＝xa＋yb
②通过平面α上的一个定点A和法向量来确定：
平面的法向量 直线l⊥α，直线l的方向向量 ，叫做平面α的法向量
解答
达标检测
1.已知l1的方向向量为v1＝(1,2,3)，l2的方向向量为v2＝(λ，4,6)，若l1∥l2，
则λ等于
A.1
√B.2
C.3
D.4
解析 由 l1∥l2，得 v1∥v2，得1λ＝24＝36，故 λ＝2.
12345
解析 答案
2.已知直线l1，l2的方向向量分别为a，b，且a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－
证明
(2)平面ADE∥平面B1C1F. 证明 因为C--1→B1＝(2,0,0)，设 n2＝(x2，y2，z2)是平面 B1C1F 的一个法向量.
由 n2⊥F-→C1，n2⊥C-→1B1，
得nn22··FC--→C→1B11＝＝22yx2＋ 2＝z02＝，0，
得xz22＝＝－0，2y2.
知识点一 直线的方向向量与平面的法向量
(1)用向量表示直线的位置
条件 形式
直线l上一点A
表示直线l方向的向量a(即直线的方向向量 ) 在直线 l 上取A→B＝a，那么对于直线 l 上任意一点 P，一定存 在实数 t，使得A→P＝_t_A→_B_
作用
定位置 定点
点A和向量a可以确定直线的_位__置__ 可以具体表示出l上的任意_一__点__
本课结束
面面平行
α∥β⇔μ∥v⇔__μ_＝__k_v_(_k_∈__R_)_
[思考辨析 判断正误] (1)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反.( √ ) (2)两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则 两直线垂直.( × ) (3)若向量n1，n2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定 平行.( × ) (4)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平 面平行.( √ ) (5)若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则 l1⊥l2.( √ )
A.－4
B.－6
√C.－8
D.8
解析 ∵l∥α，平面 α 的法向量为1，12，2，
∴(2，m,1)·1，12，2＝0，
∴2＋12m＋2＝0，∴m＝－8.
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解析 答案
5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ACD1的一个法向量为 _(1_,_1_,1_)_(答__案__不__唯__一__)_.
第1课时 用空间向量解决立体几何中的平行问题
学习目标
1.了解空间点、线、面的向量表示. 2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义，并会求平面的法向量. 3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
确定平面位置 过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的
(3)直线的方向向量和平面的法向量
直线的方向向量
能平移到直线上的 非零 向量a， 叫做直线l的一个方向向量
平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的 方向向量n ， 叫做平面α的法向量
知识点二 平面的法向量及其求法
在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤： (1)设平面的法向量为n＝(x，y，z)； (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)； (3)根据法向量的定义建立关于x，
题型探究
类型一 求平面的法向量
例1 已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，
试求出平面ABC的一个法向量.
解 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z).
∵A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，∴A→B＝(－2,1,3)，B→C＝(1，－1,0).
跟 踪 训 练 1 如 图 所 示 ， 在 四 棱 锥 S － ABCD 中 ， 底 面 是 直 角 梯 形 ， AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝ 1 ，
2 建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量.
解答
类型二 利用空间向量证明平行问题 例2 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的 中点，求证： (1)FC1∥平面ADE；
√A.(1,2,3)
B.(1,3,2)
C.(2,1,3)
D.(3,2,1)
解析 因为A→B＝(2,4,6)，所以与A→B共线的非零向量都可以作为直线 l 的
方向向量.
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解析 答案
4.若直线 l∥α，且 l 的方向向量为(2，m,1)，平面 α 的法向量为1，12，2，
则m为
1,2λ)，若l1∥l2，则λ与μ的值可以分别是
√A.2，12
B.－13，12
C.－3,2
D.2,2
解析
由题意知λ＋6 1＝22λ， 2μ－1＝0，
λ＝2， 解得μ＝12
λ＝－3， 或μ＝12.
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解析 答案
3.若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为
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解析 答案
规律与方法
1.应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线. (3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示.即用平 面向量基本定理证明线面平行. 2.证明面面平行的方法 设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)， 则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R).
令z2＝2，得y2＝－1，
所以n2＝(0，－1,2)，
因为n1＝n2，
所以平面ADE∥平面B1C1F.
证明
反思与感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系， 求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明 平行问题.
跟踪训练2 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所 成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝ BC＝12AD＝1，问在棱 PD 上是否存在一点 E，使 CE∥平面 PAB？若存在， 求出E点的位置；若不存在，请说明理由.
y，z 的方程组nn··ab＝ ＝00， ；
(4)解方程组，取其中的 一组解 ，即得平面的一个法向量.
知识点三 用空间向量处理平行关系
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则
线线平行
l∥m⇔ a∥b ⇔a＝kb(k∈R)
线面平行
l∥α⇔a⊥μ⇔_a_·_μ_＝__0_
n·A→B＝0， 则有n·B→C＝0，
即x－－2yx＝＋0y，＋3z＝0，
解得xx＝ ＝3y.z， 令 z＝1，则 x＝y＝3.
Hale Waihona Puke Baidu
故平面ABC的一个法向量为n＝(3,3,1).
解答
反思与感悟 利用方程的思想求解平面的法向量，注意一个平面的法 向量不是唯一的，它有无数个，它们是共线的.
(2)用向量表示平面的位置 ①通过平面α上的一个定点O和两个向量a和b来确定：
条件
平面α内两条相交直线的方向向量a，b和交点O
形式 对于平面 α 上任意一点 P，存在有序实数对(x，y)使得O→P＝xa＋yb
②通过平面α上的一个定点A和法向量来确定：
平面的法向量 直线l⊥α，直线l的方向向量 ，叫做平面α的法向量
解答
达标检测
1.已知l1的方向向量为v1＝(1,2,3)，l2的方向向量为v2＝(λ，4,6)，若l1∥l2，
则λ等于
A.1
√B.2
C.3
D.4
解析 由 l1∥l2，得 v1∥v2，得1λ＝24＝36，故 λ＝2.
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解析 答案
2.已知直线l1，l2的方向向量分别为a，b，且a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－
证明
(2)平面ADE∥平面B1C1F. 证明 因为C--1→B1＝(2,0,0)，设 n2＝(x2，y2，z2)是平面 B1C1F 的一个法向量.
由 n2⊥F-→C1，n2⊥C-→1B1，
得nn22··FC--→C→1B11＝＝22yx2＋ 2＝z02＝，0，
得xz22＝＝－0，2y2.
知识点一 直线的方向向量与平面的法向量
(1)用向量表示直线的位置
条件 形式
直线l上一点A
表示直线l方向的向量a(即直线的方向向量 ) 在直线 l 上取A→B＝a，那么对于直线 l 上任意一点 P，一定存 在实数 t，使得A→P＝_t_A→_B_
作用
定位置 定点
点A和向量a可以确定直线的_位__置__ 可以具体表示出l上的任意_一__点__
本课结束
面面平行
α∥β⇔μ∥v⇔__μ_＝__k_v_(_k_∈__R_)_
[思考辨析 判断正误] (1)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反.( √ ) (2)两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则 两直线垂直.( × ) (3)若向量n1，n2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定 平行.( × ) (4)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平 面平行.( √ ) (5)若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则 l1⊥l2.( √ )
A.－4
B.－6
√C.－8
D.8
解析 ∵l∥α，平面 α 的法向量为1，12，2，
∴(2，m,1)·1，12，2＝0，
∴2＋12m＋2＝0，∴m＝－8.
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解析 答案
5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ACD1的一个法向量为 _(1_,_1_,1_)_(答__案__不__唯__一__)_.