2018年高考数学模拟试卷(3)参考答案

2018年高考模拟试卷（3）参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．答案：{}|0x x > 解析：由并集定义可得A B = {}|0x x >． 2．答案：25 解析：因为22a b +即为复数a ＋b i 模的平方，且25
34a bi i
+=+，
所以25
534a bi i
+=
==+，即22a b +的值为25 3．答案：18 解析：由题意可得：甲、乙、丙、丁四个专业人数之比为3:3:8:6，所以 100名学生中丁专业抽取人数为6
601820
⨯=人. 4．答案：
3
10
解析：将黑球标记为a ，黄球标记为b ，红球标记为123,,c c c 基本事件 有123122313122313123,,;,,;,,;,,;,,;,,;,,;,,;,,;,,a b c a b c a b c a c c a c c a c c b c c b c c b c c c c c 共计10种， 其中颜色互不相同有3种，故所求事件概率为
310
. 5．答案：7 解析：第1次，1S =，3k =；第2次，3S =，5k =；第三次，1510S =>，7k =．
6. 答案：
125解析：顶点坐标为()4,0±，渐近线方程为34
x y =±，由对称性不妨取顶点()4,0，渐近线方程为34y x =，故顶点到其渐近线的距离为12
5d =.
7.
8
4，故
6
，即m =方法二：设正四棱锥与正四棱柱的高分别为12,h h .因为正四棱锥与正四棱柱的底面积相同，
所以体积之比为1
21332h h ==.
8. 答案：80解析：因为137,,a a a 成等比数列，所以2
3
17a a a =⋅.又26a =，设公差为d ,
故()()()2
6665d d d +=-⋅+，即22d d =，又公差不为零，故2d =.即42210a a d =+=. 所以72421780S S a a a +=++=. 9. 答案：
154解析：将所给约束条件画出如下图所示的可行域.y
z x
=的几何意义为可行域中的任一点与原点连线的斜率.由图形可得：在点A 处取到最大值.又()2,6A ，故m a x 3z =.在点C 处取到最小值.又()4,3C ,故min 34z =
.所以z 的最大值与最小值之和为315
344
+=
10．答案：(02)， 解析：10()4102x f x x x ⎧⎪
=⎨--<⎪-⎩
≥，，，， 所以)(x f 在(0)-∞，上单调递增，在[0)+∞，上为常数函数，则2
22220x x x
x x ⎧-<-⎪⎨-<⎪⎩
，
解得20<<x ．
11
．答案：2-
解析：将函数()
π4y x =的图象向左平移3个单位，得函数
()
π3π44y x +,所以(
(
3π,3,,4M N ON ϕ=-=
由余弦定理可得，5cos π6θθ===， ()()
35tan tan ππ46ϕθ=-=-
35tan πtan π462351tan πtan π46
-==-++⋅
12
．答案：7+解析：方法一：因为111x y
+=，所以1111
1,1x y y x -=-=.
又
3434
34111111x y y x x y x y
+=+=+----，
所以(
)113434777y x y x x y x y ⎛⎫++=++≥++ ⎪⎝⎭
当且仅当2x 时取等
号.
方法二：因为11
1x y
+=，所以xy x y =+，即()()111x y -⋅-=.
故
()(
)3134143434777111111x y x y x y x y x y -+-++=+=++≥+=+------
当且仅当2x =时取等号.
方法三：因为
()343433
47411111111x y x x x x x y x x x y
+=+=+=++-------，
所以
34711x y
x y +≥+--
2x 时取等号. 13．答案：1
解析：设直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ,则2
π
αβ+=
,
∴tan tan 1αβ=，记直线l :2
r x c
=与x 轴的交点为H ,
()()OM ON OH HM OH HN ⋅=+⋅+ ，则2
(,0)r H c ,
0,0OH HN OH HM ⋅=⋅=
,
∴22||||OM ON OH HM HN OH HM HN ⋅=+⋅=-⋅
224
22|||||||tan ||||tan |()()r r r HM HN AH BH r r r c c c
αβ⋅==+-=-
∴242222()()r r OM ON r r c c ⋅=--= .即2
OM ON
r
⋅
的值为1
14.【答案】
【解析】方程2|21|0x x t ---=有四个不同的实数根,在同一坐标系内作出函数
2()|21|f x x x =--与函数()g x t =的图象如下图所示，
所以14,x x 是方程2
21x x t --=的两根，23,x x 是方程2
21x x t --=-的两根，由求根公式得
4132x x x x -=-=，且02t <<，所以
41322()()x x x x -+-=，令()f t =，
由()0f t '=
=得65t =
，函数()f t 在区间6(0,]5递增，在区间6
[,2)5
递
减，又6
(0)()(2)85
f f f ===，
所以所求函数的取值范围是.
二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．（本小题满分14分）
证：（1）因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥． 因为底面ABCD 是矩形，所以CD BC ⊥．
因为CD PD D = ，,CD PD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PCD ． 因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PCD ． （2）底面ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ， 因为BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，所以AD ∥平面PBC ．
因为AD ⊂平面ADFE ，平面ADFE 平面PBC EF =，所以AD ∥EF ． 16．（本小题满分14分）
解：（1）因为π1sin()cos 62C C +-=
11cos 22C C -=，
所以π1sin()62C -=．又因为0πC <<，所以π3
C =．
（2）法一：因为D 是AB 中点，所以1()CD CA CB =+
，
所以222
1(2)4CD CA CA CB CB =+⋅+ ，即2221()4
CD a b ab =++，
所以224()CD a b ab =+-23()124a b +=≥，当且仅当2a b ==时等号成立．
所以CD
法二：在ABC △中，由余弦定理得2222cos CD AC AD AC AD A =+-⋅⋅，
可设222
14cos b c CD A bc
+-=． 在ABC △中，由余弦定理得2222cos CB AC AB AC AB A =+-⋅⋅，
可设222cos 2b c a A bc
+-=．
所以222222
142b c CD b c a bc bc +-+-=，所以2221()4CD a b ab =++．
下同法一．
法三：以C 为原点，CA 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
所以(0)(2a A b B ，，
，所以(42a b D +，
所以2221()4CD a b ab =++， 下同法一．
17．（本小题满分14分）
解：（1）因为MN ∥l ，设直线MN 的方程为430x y c ++=， 由条件得，43430c ⨯+⨯+=，解得5c =-，即直线MN 的方程为4350x y +-=．
因为34OA k =，43MN k =-，所以1OA MN k k ⋅=-，即OA MN ⊥，
所以MN == 又因为直线MN 与直线l
间的距离3d =
=，即点P 到直线MN 的距离为3，
所以△PMN
的面积为132⨯=
（2）直线PM 与圆O 相切，证明如下： 设00()M x y ，，则直线MN 的斜率00
00353
54545
y y k x x --==--，
因为OP ⊥MN ，所以直线OP 的斜率为0054
53
x y ---，
所以直线OP 的方程为0054
53
x y x y -=-
-．
联立方程组00
545343200x y x y x y -⎧
=-
⎪-⎨⎪+-=⎩
，，
解得点P 的坐标为()
0000004(53)4(54)4343y x y x y x -----，， 所以()
00000000
4(53)4(54)
4343y x PM x y y x y x --=
--- --，， 由于()00OM x y = ，，22
004x y +=，
所以22
00
000000004(53)4(54)4343x y y x PM OM x y y x y x --⋅=--- -- 0000004(53)4(54)443x y y x y x ---=
--00
00
12164043x y y x -+=-=-，
所以PM OM ⊥
，即PM OM ⊥，所以直线PM 与圆O 相切，得证．
18．（本小题满分16分）
解：（1）由题意，水平方向每根支条长为302152
x m x -==-cm ，
竖直方向每根支条长为26132
2
y y n -=
=-
cm
2
cm ．
从而，所需木料的长度之和
L 2(15)4(13)82
2
y
x =-+-+
=822()x y ++cm ．
（2）由题意， 1
132xy =，即260
y x =，又由152,
132,2
x y
--⎧⎪
⎨⎪⎩≥≥可得1301311x ≤≤．
所以260822()L x x
=++
．
令260t x x =+，其导函数2
26010x
-
<在
1301311
x ≤≤上恒成立，
故260
t x x =+
在130[,13]11
上单调递减，所以可得372[33,]11t ∈．
则26082()]L x x =++
82]t =+
=82+．
因为函数y =
y =
在372[33,
]11
t ∈上均为增函数，
所以82L =+在372[33,
]11
t ∈上为增函数，故当33t =，
即13,20x y ==时L
有最小值16+
答：做这样一个窗芯至少需要16+长的条形木料．
19．（1）2()36(2)f x x x a '=-+-，其判别式2(6)12(2)12(+1)a a ∆=---=．
①当1a -≤时，0∆≤，()0f x '≥恒成立，
所以()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞．………………………………………1分
②当1a >-时，由()0f x '>
，得x <
或x >
所以()f x
的单调增区间为(-∞
，)+∞． 3分
综上，当1a -≤时，()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞；
当1a >-时，()f x 的单调增区间为(-∞，)+∞．4分
（2）（ⅰ）方程()0f x =，即为323(2)0x x a x -+-=，亦即2[3(2)]0x x x a -+-=，
由题意1t ，2t 是方程23(2)0x x a -+-=的两个实根， ………………5分 故123t t +=，122t t a =-，且判别式21(3)4(2)0a ∆=--->，得1
4
a >-． 由213t t =，得134t =
，29
4t =， ………………………………………8分 故1227216t t a =-=，所以5
16
a =．………………………………………9分
（ⅱ）因为对任意的12[]x t t ∈，，()16f x a -≤恒成立． 因为123t t +=，12t t <，所以123
2
t t <<， 所以120t t <<或120t t <<．
①当120t t <<时，对12[]x t t ∈，，()0f x ≤， 所以016a ≤-，所以16a ≤．
又1220t t a =->，所以2a <．………………………………………12分
②当120t t <<时，2
()36(2)f x x x a '=-+-，
由（1）知，存在()f x 的极大值点11(0)x t ∈，，且1x =
（方法1）由题得3
2
1111()3(2)16f x x x a x a =-+--≤，
将1x =
(72a +，解得11a ≤．…14分
又1220t t a =-<，所以2a >．因此211a <≤．…………………………15分
综上，a 的取值范围是1
(2)(211]4
- ，
，．………………………………………16分 （方法2）2
11362a x x =-+，由题得321111()3(2)16f x x x a x a =-+--≤， 将211362a x x =-+，代入化简得31(1)8x --≥，
得11x -≥，故110x -<≤，
因为2
11362a x x =-+在1[10)x ∈-，
上递减，故(211]a ∈，． 综上，a 的取值范围是1
(2)(211]4
- ，
，． ……………………………………16分 20．（本小题满分16分）
解：（1）将1n =代入111(1)n n n
n a a n ++=++λ
，得2122a a =+， 由11a =，283a =，得3=λ．
（2）由111(1)3n n n n a a n ++=++，得1113n n n a a n n +-=+，即113n n
n
b b +-=． 当2n ≥时，111221()()()n n n n n b b b b b b b b ----=-+-+⋅⋅⋅+-
111[1()]
331
1n --=-111223n -=-⨯，
因为1
111a b =
=，所以131223
n n b -=-⨯． 因为11b =也适合上式，所以131223n n b -=-⨯．
（3）由（2）知，3()23n n
n a n =-．
假设存在正整数r s t ，，且r s t <<，使得r s t ，，与r s t a a a ，，同时成等差数列， 则2r t s +=且2r t s a a a +=，即()()()
333333
r t s r t s r t s -+-=-，
整理得2333r t s
r t s +=， （*） 设3
n n
n c =，*n ∈N ，则1111120333n n n
n n n n n c c ++++--=-=< 所以{}n c 单调递减数列． ① 若1r =，当3s ≥时，则2293
s
s ≤， 所以()*左边13>，右边29≤，显然等式不成立，
当2s =时，得3
13933
t t ==，解得3t =， 所以1r =，2s =，3t =符合题意． ② 若2r ≥，因为s r >，所以1s r +≥， 所以1s r c c +≤，
所以()112122033333r s
r r r r r s r r +++---=≥≥，所以03t
t ≤，所以t 不存在， 即2r ≥时，不存在符合题意的r s t ，，．
综上，存在1r =，2s =，3t =，使得r s t ，，与r s t a a a ，，同时成等差数列．
数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内 作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
证：连接OA ，因为OD AB ⊥，OA OB =，所以1
2
BOD AOD AOB ∠=∠=
∠， 又1
2
ACB AOB ∠=
∠，所以ACB DOB ∠=∠， 又因为180BOP DOP ∠=-∠ ，180QCP ACB ∠=-∠
，
所以BOP QCP ∠=∠，
所以B ，O ，C ，Q 四点共圆，所以OBP CQP ∠=∠. B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 解：由题意，3=A αα，即2113411a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 所以2343a b +=⎧⎨+=⎩，，解得11a b ==-，，所以1214⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
A ． 设l 上一点()P x y ，在A 的作用下得到直线l '上一点()P x y '''，， 则1214x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即24x x y y x y '=+⎧⎨'=-+⎩
，
， 所以1(2)1()6x x y y x y ⎧''=-⎪⎨⎪''=+⎩
，
，
代入直线:230l x y --=，得75180x y ''--=， 即直线l '的方程为75180x y --=. C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 解：由()
πcos 2ρθ-=
cos sin 2θθ=， 所以直线l
直角坐标方程为0x y +-=． 由4sin 2cos ρθθ=-，得24sin 2cos ρρθρθ=-， 所以圆C 的直角坐标方程为22240x y x y ++-=，
即()()2
2
125x y ++-=． …… 8分
所以圆心到直线的距离2d =
=<
所以直线l 与圆C 相交． D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）
解：设()|3||21|f t t t =-++，即13221()432323t t f t t t t t ⎧-+<-⎪⎪⎪
=+-⎨⎪
->⎪⎪⎩
，，，≤≤，，
，
所以()f t 的最小值为72，所以7|21||2|2x x -++≤．
当2x <-时，不等式即为7(21)(2)2x x ---+≤，解得32
x -≥，矛盾；
当122x -≤≤时，不等式即为7(21)(2)2x x --++≤，解得12x -≥，所以1122x -≤≤；
当12x >时，不等式即为7(21)(2)2x x -++≤，解得56x ≤，所以1526
x <≤． 综上，实数x 的取值范围是1526
x -≤≤．
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
解：（1）由已知得，甲中奖的概率为2
3
，乙中奖的概率为P 0，且两人中奖与否互不影响．
记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为C ，则事件C 的对立事件为“X ＝5”． 因为P (X ＝5)＝23P 0，所以P (C )＝1－P (X ＝5)＝1－23P 0＝79
，
所以P 0＝1
3
．
（2）设甲、乙都选择方案A 抽奖的中奖次数为X 1，都选择方案B 抽奖的中奖次数 为X 2，
则这两人选择方案A 抽奖累计得分的均值为E (2X 1)， 选择方案B 抽奖累计得分的均值为E (3X 2)．
由已知可得，X 1～B (2，23)，X 2～B (2，P 0)，所以E (X 1)＝2×23＝4
3，E (X 2)＝2P 0，
从而E (2X 1)＝2E (X 1)＝8
3
，E (3X 2)＝3E (X 2)＝6P 0．
若E (2X 1)>E (3X 2)，则83>6P 0⇒0<P 0<49，若E (2X 1)<E (3X 2)，则83<6P 0⇒4
9
<P 0<1，
若E (2X 1)＝E (3X 2)，则83＝6P 0⇒P 0＝4
9
．
综上所述，当0<P 0<4
9时，他们都选择方案A 进行抽奖时，累计得分的均值较大；
当4
9
<P 0<1时，他们都选择方案B 进行抽奖时，累计得分的均值较大； 当P 0＝4
9时，他们都选择方案A 或都选择方案B 进行抽奖时，累计得分的均值相等．
23．（本小题满分10分）
解：（1）在△ABC 中，1
AB =，2BC AD ==，
π3
ABC ∠=，则AC =222AB AC BC +=，即90BAC ∠= ．
因为四边形ACEF 为矩形，所以FA AC ⊥，
因为平面ACEF ⊥平面ABCD ，平面ACEF ABCD AC =ACEF ，
所以FA ⊥平面ABCD ．
建立如图所示的空间直角坐标系，
则(0,0,0)A ，(1,0,0)B
，C ，(D -E ，(0,0,1)F ，
当
12λ=时，12EM EF =
，所以M ．
所以(
BM =- ，(1,0,1)DE = ，
所以(1,0,1)(0BM DE ⋅=⋅-=
，
所以BM DE ⊥ ，
即异面直线DE 与BM 所成角的大小为90 ． （2）平面ECD 的一个法向量1(0,1,0)=
n ， 设0
00(,,
)M x y z ，
由000(0,,1)(0,,0)(EM x y z λ===-
，
得000
0)1x y z λ=⎧⎪
=-⎨⎪=⎩，，，
即),1)M λ-，
所以(1),1)BM λ--=
，(BC =-
． 设平面MBC 的法向量2(,,)x y z =n ，
因为22,,BC BM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ n n
即0,)0,x x y z λ⎧-=⎪⎨
--+=⎪⎩ 取1y =
，则x =
z ，
所以平面MBC
的一个法向量2)=n ， 因为π02θ<≤
，所以1212cos θ⋅==⋅n n n n ．
因为01λ≤≤，所以1cos 2θ⎤∈⎥
⎣⎦
，．。