离散数学(左孝凌)课后习题解答(详细)
离散数学课后习题答案(左孝凌版)之欧阳光明创编
离散数学课后习题答案 (左孝凌版)欧阳光明（2021.03.07）1-1，1-2解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→ R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
离散数学 左孝凌 课后习题解答 详细
pq 00 00 01 01 10 10 11 11
表 1.25
r q∨r
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
p→(q∨r) 1 1 1 1 0 1 1 1
使得公式 p→(q∨r)成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，使得公式 p→(q∨r)成假的赋值是：100。
⑶ (p∨q)↔(q∨p) 的真值表如表 1.26 所示。
第1章 习题解答
离散数学~
习题 1.1
1. 下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。 ⑴ 中国有四大发明。 ⑵ 计算机有空吗? ⑶ 不存在最大素数。 ⑷ 21+3＜5。 ⑸ 老王是山东人或河北人。 ⑹ 2 与 3 都是偶数。 ⑺ 小李在宿舍里。 ⑻ 这朵玫瑰花多美丽呀! ⑼ 请勿随地吐痰! ⑽ 圆的面积等于半径的平方乘以 。 ⑾ 只有 6 是偶数，3 才能是 2 的倍数。 ⑿ 雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。 ⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。 解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺ ⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。 2. 将下列复合命题分成若干原子命题。 ⑴ 李辛与李末是兄弟。 ⑵ 因为天气冷，所以我穿了羽绒服。 ⑶ 天正在下雨或湿度很高。 ⑷ 刘英与李进上山。 ⑸ 王强与刘威都学过法语。 ⑹ 如果你不看电影，那么我也不看电影。 ⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。 ⑻ 除非天下大雨，否则他不乘班车上班。 解：⑴本命题为原子命题； ⑵ p：天气冷；q：我穿羽绒服； ⑶ p：天在下雨；q：湿度很高； ⑷ p：刘英上山；q：李进上山； ⑸ p：王强学过法语；q：刘威学过法语； ⑹ p：你看电影；q：我看电影； ⑺ p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉； ⑻ p：天下大雨；q：他乘班车上班。
离散数学课后习题答案_(左孝凌版)(2)
故由的定义，必有P为To
所以(P Q) A Q P
解法2:
由体题可知，即证((P Q) A Q)rP是永真式。
((P Q) A Q)t P
习：「睥P
(((PA Q) V (m Q))A Q)f
但我数学不及
(「((P\ Q) V (「PAnQ)) V「Q) VP
(A V B) (A A B)或」(A B)「((A - B)A (Br A))
「((「AV B) A (「BV A))
「((「AA「B) V (「AAA) V (B AnB)
V (B A A))
「((「AN「B) V (B A A))
「(「(A V B)) V (A A B)
(A V B) An(A A B)
(「(A A B) A (「BV D)) V C
(「(A A B) An(「DA B)) V C
「((A A B) V (「DAB)) V C
((A V「D)A B)tC
(B A (Dr A)) tC
(8)解：
a)((A r B) (「Br「A)) A C
((「AV B) (B V「A)) A C
((「AV B) (「AV B)) A C
"C C
b)AV (「AV (BA「B)) (A V「A) V (B An
B)TV F T
c)(A A B/\ C)V (「AAB/\ C)
(A V「A) A (B A C)
TA(B A C)
B/\ C
(9)解：1)设C为T, A为T, B为F,则满足AV C BV C,但A B不成立。
2)设C为F, A为T, B为F,则 满足ANC B/\ C,但A B不成立。
离散数学课后习题答案左孝凌版(20200602075307)
..
（6 ）解： P:它占据空间。 Q:它有质量。 R:它不断变化。 S:它是物质。 这个人起初主： (P∧ Q∧R) S
a） ((((A → C)→((B∧ C)→A)) →((B∧C)→ A))→ (A→C)) b） ((B→A)∨ (A→B))。 （ 4）解： a) 是由 c) 式进行代换得到，在 c) 中用 Q 代换 P, (P→P)代换 Q. d) 是由 a) 式进行代换得到，在 a) 中用 P→ (Q→ P)代换 Q.
A；(A ∨B)； (A→(A∨ B))
h) P:控制台打字机作输入设备。 Q:控制台打字机作输出设备。 P∧Q
同理可记
b ） A； ┓A ；(┓ A∧ B) ；((┓A∧B)∧A)
Word 资料 .
c） A；┓ A ；B；(┓A→B) ； (B→ A) ；((┓ A→ B)→(B→A)) d） A；B；(A → B) ；(B→ A) ；((A → B)∨(B→A)) （ 3）解：
T
T
F
F
T
F
T
F
F
F
T
F
F
F
T
T
FTTTF NhomakorabeaF
F
F
F
T
F
T
T
T
F1:(Q→P)→R
F2:(P∧┓ Q∧┓ R)∨(┓P∧┓ Q∧┓ R)
F3:(P←→ Q)∧ (Q∨ R)
F4:(┓P∨┓ Q∨ R)∧(P∨┓ Q∨R) F5:(┓P∨┓ Q∨ R)∧(┓P∨┓ Q∨┓ R)
F6:┓(P∨ Q∨ R)
Ｆ
Ｆ
Ｆ
Ｆ
Ｆ
ＰＱ Ｒ
Ｑ∨Ｒ Ｐ∧（Ｑ ∨Ｒ）Ｐ ∧Ｑ Ｐ∧ Ｒ （Ｐ ∧Ｑ） ∨（Ｐ ∧Ｒ）
离散数学课后习题答案_(左孝凌版)之欧阳理创编
1-1，1-2（1）（2）解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
欧阳阳理创编 2021.03.04（3）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（4）解：a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（5）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
欧阳阳理创编 2021.03.04c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→ R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧R欧阳阳理创编 2021.03.04c)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
离散数学(左孝凌.刘永才)课后习题解答上海科学技术文献出版社
习题1.11. 下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。
⑴中国有四大发明。
⑵计算机有空吗?⑶不存在最大素数。
⑷ 21+3＜5。
⑸老王是山东人或河北人。
⑹ 2与3都是偶数。
⑺小李在宿舍里。
⑻这朵玫瑰花多美丽呀!⑼请勿随地吐痰!⑽圆的面积等于半径的平方乘以π。
⑾只有6是偶数，3才能是2的倍数。
⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。
⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。
解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。
2. 将下列复合命题分成若干原子命题。
⑴李辛与李末是兄弟。
⑵因为天气冷，所以我穿了羽绒服。
⑶天正在下雨或湿度很高。
⑷刘英与李进上山。
⑸王强与刘威都学过法语。
⑹如果你不看电影，那么我也不看电影。
⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。
⑻除非天下大雨，否则他不乘班车上班。
解：⑴本命题为原子命题；⑵p：天气冷；q：我穿羽绒服；⑶p：天在下雨；q：湿度很高；⑷p：刘英上山；q：李进上山；⑸p：王强学过法语；q：刘威学过法语；⑹p：你看电影；q：我看电影；⑺p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉；⑻p：天下大雨；q：他乘班车上班。
3. 将下列命题符号化。
⑴他一面吃饭，一面听音乐。
⑵ 3是素数或2是素数。
⑶若地球上没有树木，则人类不能生存。
⑷ 8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。
⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。
⑺如果a和b是偶数，则a+b是偶数。
解：⑴p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：p∧q⑵p：3是素数；q：2是素数；原命题符号化为：p∨q⑶p：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：⌝p→⌝q⑷p：8是偶数；q：8能被3整除；原命题符号化为：p↔q⑸p：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：q∨r→p⑹p：四边形ABCD是平行四边形；q：四边形ABCD的对边平行；原命题符号化为：p↔q。
离散数学 答案 左孝凌 上海科学技术文献出版社
1-1，1-2（1）解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q↔ (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P↔Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→ R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。
离散数学(左孝凌.刘永才)课后习题解答上海科学技术文献出版社
习题1.11. 下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。
⑴中国有四大发明。
⑵计算机有空吗?⑶不存在最大素数。
⑷ 21+3＜5。
⑸老王是山东人或河北人。
⑹ 2与3都是偶数。
⑺小李在宿舍里。
⑻这朵玫瑰花多美丽呀!⑼请勿随地吐痰!⑽圆的面积等于半径的平方乘以π。
⑾只有6是偶数，3才能是2的倍数。
⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。
⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。
解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。
2. 将下列复合命题分成若干原子命题。
⑴李辛与李末是兄弟。
⑵因为天气冷，所以我穿了羽绒服。
⑶天正在下雨或湿度很高。
⑷刘英与李进上山。
⑸王强与刘威都学过法语。
⑹如果你不看电影，那么我也不看电影。
⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。
⑻除非天下大雨，否则他不乘班车上班。
解：⑴本命题为原子命题；⑵p：天气冷；q：我穿羽绒服；⑶p：天在下雨；q：湿度很高；⑷p：刘英上山；q：李进上山；⑸p：王强学过法语；q：刘威学过法语；⑹p：你看电影；q：我看电影；⑺p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉；⑻p：天下大雨；q：他乘班车上班。
3. 将下列命题符号化。
⑴他一面吃饭，一面听音乐。
⑵ 3是素数或2是素数。
⑶若地球上没有树木，则人类不能生存。
⑷ 8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。
⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。
⑺如果a和b是偶数，则a+b是偶数。
解：⑴p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：p∧q⑵p：3是素数；q：2是素数；原命题符号化为：p∨q⑶p：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：⌝p→⌝q⑷p：8是偶数；q：8能被3整除；原命题符号化为：p↔q⑸p：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：q∨r→p⑹p：四边形ABCD是平行四边形；q：四边形ABCD的对边平行；原命题符号化为：p↔q。
离散数学课后习题及答案(左孝凌版)
离散数学课后习题答案(左孝凌版左孝凌版))1-1，1-2（1）解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：a)(┓P∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q↔(R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c)设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5)解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P：a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q：四边形ABCD的对边平行。
P↔Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨Q）→R(6)解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。
离散数学课后习题答案(左孝凌版)之欧阳德创编
离散数学课后习题答案 (左孝凌版)1-1，1-2解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q(R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→ R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。
离散数学课后习题答案(左孝凌版)之欧阳育创编
离散数学课后习题答案 (左孝凌版)1-1，1-2解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q(R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨Q）→R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。
离散数学课后习题答案(左孝凌版)之欧阳与创编
离散数学课后习题答案 (左孝凌版)1-1，1-2解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q(R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨Q）→R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B)) 是合式公式。
离散数学课后习题答案_(左孝凌版)之欧阳语创编
1-1，1-2（1）（2）解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（3）解：欧阳语创编原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（4）解：a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（5）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇欧阳语创编数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→ R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨N欧阳语创编f)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。
《离散数学》(左孝凌李为鉴刘永才编著)课后习题集标准答案上海科学技术文献出版社
1-1，1-2（1）解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q↔ (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P↔Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→ R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。
离散数学 答案 左孝凌 上海科学技术文献出版社
1-1，1-2①1①解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
①2①解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
①3①解：a)(┓P∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q ①4①解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q↔ (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q：四边形ABCD的对边平行。
P↔Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→ R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q 1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
（2）解：a①A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。
离散数学课后习题答案左孝凌版
1-1，1-2（1）解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)^j)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：、-a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：&a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)<e)设P：a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qf)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P Qg)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨Q）→R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)\h)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Ri)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q 1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（d)）e)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）f)/g)是合式公式。
（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B)) 是合式公式。
左孝凌离散数学课后题答案最新版
1a)设S：他犯了错误。
R：他神色慌张。
前提为：S→R，R因为（S→R）∧R⇔（┐S∨R）∧R⇔R。
故本题没有确定的结论。
实际上，若S →R为真，R为真,则S可为真，S也可为假，故无有效结论。
b)设P：我的程序通过。
Q：我很快乐。
R：阳光很好。
S：天很暖和。
（把晚上十一点理解为阳光不好）前提为：P→Q，Q→R，┐R∧S(1) P→Q P(2) Q→R P(3) P→R (1)(2)T,I(4) ┐R∨S P(5) ┐R (4)T,I(6) ┐P (3)(5)T,I结论为：┐P，我的程序没有通过习题2-1,2-2（1）解：a)设W（x）：x是工人。
c：小张。
则有¬W（c）b)设S（x）：x是田径运动员。
B（x）：x是球类运动员。
h：他则有 S（h）∨B（h）c) 设C（x）：x是聪明的。
B（x）：x是美丽的。
l：小莉。
则有 C（l）∧ B（l）d）设O（x）：x是奇数。
则有 O（m）→¬ O（2m）。
e)设R（x）：x是实数。
Q（x）：x是有理数。
则有（∀x）（Q（x）→R（x））f) 设R（x）：x是实数。
Q（x）：x是有理数。
则有（∃x）（R（x）∧Q（x））g) 设R（x）：x是实数。
Q（x）：x是有理数。
则有¬（∀x）（R（x）→Q（x））h)设P（x，y）：直线x平行于直线yG（x，y）：直线x相交于直线y。
则有 P（A，B） ¬G（A，B）（2）解：a)设J(x)：x是教练员。
L(x)：x是运动员。
则有（∀x）（J（x）→L（x））b)设S(x)：x是大学生。
L(x)：x是运动员。
则有（∃x）（L（x）∧S（x））c)设J(x)：x是教练员。
O(x)：x是年老的。
V（x）：x是健壮的。
则有（∃x）（J（x）∧O（x）∧V（x））d)设O(x)：x是年老的。
V（x）：x是健壮的。
j：金教练则有¬ O（j）∧¬V（j）e)设L(x)：x是运动员。
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离散数学~习题1.11.下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。
⑴中国有四大发明。
⑵计算机有空吗?⑶不存在最大素数。
⑷21+3＜5。
⑸老王是山东人或河北人。
⑹2与3都是偶数。
⑺小李在宿舍里。
⑻这朵玫瑰花多美丽呀!⑼请勿随地吐痰!⑽圆的面积等于半径的平方乘以 。
⑾只有6是偶数，3才能是2的倍数。
⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。
⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。
解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。
2. 将下列复合命题分成若干原子命题。
⑴李辛与李末是兄弟。
⑵因为天气冷，所以我穿了羽绒服。
⑶天正在下雨或湿度很高。
⑷刘英与李进上山。
⑸王强与刘威都学过法语。
⑹如果你不看电影，那么我也不看电影。
⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。
⑻除非天下大雨，否则他不乘班车上班。
解：⑴本命题为原子命题；⑵p：天气冷；q：我穿羽绒服；⑶p：天在下雨；q：湿度很高；⑷p：刘英上山；q：李进上山；⑸p：王强学过法语；q：刘威学过法语；⑹p：你看电影；q：我看电影；⑺p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉；⑻p：天下大雨；q：他乘班车上班。
3. 将下列命题符号化。
⑴他一面吃饭，一面听音乐。
⑵3是素数或2是素数。
⑶若地球上没有树木，则人类不能生存。
⑷8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。
⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。
⑺如果a和b是偶数，则a+b是偶数。
解：⑴p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：p∧q⑵p：3是素数；q：2是素数；原命题符号化为：p∨q⑶p：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：⌝p→⌝q⑷p：8是偶数；q：8能被3整除；原命题符号化为：p↔q⑸p：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：q∨r→p⑹p：四边形ABCD是平行四边形；q：四边形ABCD的对边平行；原命题符号化为：p↔q。
⑺p：a是偶数；q：b是偶数；r：a+b是偶数；原命题符号化为：p∧q→r4. 将下列命题符号化，并指出各复合命题的真值。
⑴如果3+3=6，则雪是白的。
⑵如果3+3≠6，则雪是白的。
⑶如果3+3=6，则雪不是白的。
⑷如果3+3≠6，则雪不是白的。
⑸3是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。
⑹2+3=5的充要条件是3是无理数。
(假定是10进制)⑺若两圆O1，O2的面积相等，则它们的半径相等，反之亦然。
⑻当王小红心情愉快时，她就唱歌，反之，当她唱歌时，一定心情愉快。
解：设p：3＋3＝6。
q：雪是白的。
⑴原命题符号化为：p→q；该命题是真命题。
⑵原命题符号化为：⌝p→q；该命题是真命题。
⑶原命题符号化为：p→⌝q；该命题是假命题。
⑷原命题符号化为：⌝p→⌝q；该命题是真命题。
⑸p：3是无理数；q：加拿大位于亚洲；原命题符号化为：p↔q；该命题是假命题。
⑹p：2+3＝5；q：3是无理数；原命题符号化为：p↔q；该命题是真命题。
⑺p：两圆O1,O2的面积相等；q：两圆O1,O2的半径相等；原命题符号化为：p↔q；该命题是真命题。
⑻p：王小红心情愉快；q：王小红唱歌；原命题符号化为：p↔q；该命题是真命题。
习题1.21.判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合式公式。
⑴(p∧q→r)⑵(p∧(q→r)⑶((⌝p→q)↔(r∨s))⑷(p∧q→rs)⑸((p→(q→r))→((q→p)↔q∨r))。
解：⑴⑶⑸是合式公式；⑵⑷不是合式公式。
2.设p：天下雪。
q：我将进城。
r：我有时间。
将下列命题符号化。
⑴天没有下雪，我也没有进城。
⑵如果我有时间，我将进城。
⑶如果天不下雪而我又有时间的话，我将进城。
解：⑴⌝p∧⌝q⑵r→q⑶⌝p∧r→q3.设p、q、r所表示的命题与上题相同，试把下列公式译成自然语言。
⑴r∧q⑵¬ (r∨q)⑶q↔ (r∧¬ p)⑷(q→r)∧(r→q)解：⑴我有时间并且我将进城。
⑵我没有时间并且我也没有进城。
⑶我进城，当且仅当我有时间并且天不下雪。
⑷如果我有时间，那么我将进城，反之亦然。
4. 试把原子命题表示为p、q、r等，将下列命题符号化。
⑴或者你没有给我写信，或者它在途中丢失了。
⑵如果张三和李四都不去，他就去。
⑶我们不能既划船又跑步。
⑷如果你来了，那末他唱不唱歌将看你是否伴奏而定。
解：⑴p：你给我写信；q：信在途中丢失；原命题符号化为：(⌝p∧⌝ q)∨(p∧q)。
⑵p：张三去；q：李四去；r：他去；原命题符号化为：⌝p∧⌝q→r。
⑶p：我们划船；q：我们跑步；原命题符号化为：⌝（p∧q）。
⑷p：你来了；q：他唱歌；r：你伴奏；原命题符号化为：p→（q↔r）。
5. 用符号形式写出下列命题。
⑴假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。
⑵我今天进城，除非下雨。
⑶仅当你走，我将留下。
解：⑴p：上午下雨；q：我去看电影；r：我在家读书；s：我在家看报；原命题符号化为：（⌝p→q）∧（p→r∨s）。
⑵p：我今天进城；q：天下雨；原命题符号化为：⌝q→p。
⑶p：你走；q：我留下；原命题符号化为：q→p。
习题1.31.设A、B、C是任意命题公式，证明：⑴A⇔A⑵若A⇔B，则B⇔A⑶若A⇔B，B⇔C，则A⇔C证明：⑴由双条件的定义可知A↔A是一个永真式，由等价式的定义可知A⇔A成立。
⑵因为A⇔B，由等价的定义可知A↔B是一个永真式，再由双条件的定义可知B↔A 也是一个永真式，所以，B⇔A成立。
⑶对A、B、C的任一赋值，因为A⇔B，则A↔B是永真式，即A与B具有相同的真值，又因为B⇔C，则B↔C是永真式，即B与C也具有相同的真值，所以A与C也具有相同的真值；即A⇔C成立。
2.设A、B、C是任意命题公式，⑴若A∨C⇔B∨C, A⇔B一定成立吗？⑵若A∧C⇔B∧C, A⇔B一定成立吗？⑶若¬A⇔¬B，A⇔B一定成立吗？解：⑴不一定有A⇔B。
若A为真，B为假，C为真，则A∨C⇔B∨C成立，但A⇔B 不成立。
⑵不一定有A⇔B。
若A为真，B为假，C为假，则A∧C⇔B∧C成立，但A⇔B不成立。
⑶一定有A⇔B。
3.构造下列命题公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。
⑴q∧(p→q)→p⑵p→(q∨r)⑶(p∨q)↔(q∨p)⑷(p∧⌝q)∨(r∧q)→r⑸((¬p→(p∧¬q))→r)∨(q∧¬r)解：⑴q∧(p→q)→p的真值表如表1.24所示。
表1.24使得公式q∧(p→q)→p成真的赋值是：00，10，11，使得公式q∧(p→q)→p成假的赋值是：01。
⑵p→(q∨r)的真值表如表1.25所示。
表1.25使得公式p→(q∨r)成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，使得公式p→(q∨r)成假的赋值是：100。
⑶(p∨q)↔(q∨p)的真值表如表1.26所示。
表1.26所有的赋值均使得公式(p∨q)↔(q∨p)成真，即(p∨q)↔(q∨p)是一个永真式。
⑷(p∧⌝q)∨(r∧q)→r的真值表如表1.27所示。
表1.27使得公式(p∧⌝q)∨(r∧q)→r成假的赋值是：100。
⑸((⌝p→(p∧⌝q))→r)∨(q∧⌝r)的真值表如表1.28所示。
表1.28使得公式((⌝p→(p∧⌝q))→r)∨(q∧⌝r)成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，使得公式((⌝p→(p∧⌝q))→r)∨(q∧⌝r)成假的赋值是：100。
4.用真值表证明下列等价式：⑴⌝(p→q)⇔p∧⌝q证明：证明⌝(p→q)⇔p∧⌝q的真值表如表1.29所示。
表1.29由上表可见：⌝(p→q)和p∧⌝q的真值表完全相同，所以⌝(p→q)⇔p∧⌝q。
⑵p→q⇔⌝q→⌝p证明：证明p→q⇔⌝q→⌝p的真值表如表1.30所示。
表1.30⑶⌝(p↔q)⇔p↔⌝q证明：证明⌝(p↔q)和p↔⌝q的真值表如表1.31所示。
表1.31由上表可见：⌝(p↔q)和p↔⌝q的真值表完全相同，所以⌝(p↔q)⇔p↔⌝q。
⑷p→(q→r)⇔(p∧q)→r证明：证明p→(q→r)和(p∧q)→r的真值表如表1.32所示。
表1.32由上表可见：p→(q→r)⇔(p∧q)→r。
⑸p→(q→p)⇔ ⌝p→(p→⌝q)证明：证明p→(q→p)和⌝p→(p→⌝q)的真值表如表1.33所示。
表1.33由上表可见：p→(q→p)和⌝p→(p→⌝q)的真值表完全相同，且都是永真式，所以p→(q →p)⇔⌝p→(p→⌝q)。
⑹⌝(p↔q)⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)证明：证明⌝(p↔q)和(p∨q)∧⌝(p∧q)的真值表如表1.34所示。
表1.34由上表可见：⌝(p↔q)和(p∨q)∧⌝(p∧q)的真值表完全相同，所以⌝(p↔q)⇔(p∨q)∧⌝(p ∧q)⑺⌝(p↔q)⇔(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)证明：证明⌝(p↔q)和(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)的真值表如表1.35所示。
表1.35由上表可见：⌝(p↔q)和(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)的真值表完全相同，所以⌝(p↔q)⇔(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)。
⑻p→(q∨r)⇔(p∧⌝q)→r证明：证明p→(q∨r)和(p∧⌝q)→r的真值表如表1.36所示。
表1.36由上表可见：p→(q∨r)和(p∧⌝q)→r的真值表完全相同，所以p→(q∨r)⇔(p∧⌝q)→r。
5. 用等价演算证明习题4中的等价式。
⑴⌝(p→q)⇔⌝(⌝p∨q) (条件等价式)⇔p∧⌝q (德·摩根律)⑵⌝q→⌝p⇔⌝⌝q∨⌝p (条件等价式)⇔q∨⌝p (双重否定律)⇔⌝p∨q (交换律)⇔ p→q (条件等价式)⑶⌝(p↔q)⇔⌝((p→q)∧(q→p)) (双条件等价式)⇔⌝((⌝p∨q)∧(⌝q∨p)) (条件等价式)⇔(p∧⌝q)∨(q∧⌝p) (德·摩根律)⇔((p∧⌝q)∨q)∧((p∧⌝q)∨⌝p) (分配律)⇔(p∨q)∧(⌝q∨⌝p) (分配律)⇔(⌝p∨⌝q)∧(q∨p) (交换律)⇔(p→⌝q)∧(⌝q→p) (条件等价式)⇔p↔⌝q (双条件等价式)⑷p→(q→r)⇔⌝p∨(⌝q∨r) (条件等价式)⇔(⌝p∨⌝q)∨r (结合律)⇔⌝(p∧q)∨r (德·摩根律)⇔(p∧q)→r (条件等价式)⑸p→(q→p)⇔⌝p∨(⌝q∨p) (条件等价式)⇔T⌝p→(p→⌝q)⇔p∨(⌝p∨⌝q) (条件等价式)⇔T所以p→(q→p)⇔ ⌝p→(p→⌝q)⑹⌝(p↔q)⇔⌝((p∧q)∨(⌝p∧⌝q)) (例1.17)⇔(p∨q)∧(⌝p∨⌝q) (德·摩根律)⇔(p∨q)∧⌝(p∧q) (德·摩根律)所以⌝(p↔q)⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)⑺⌝(p↔q)⇔⌝((p→q)∧(q→p)) (双条件等价式) ⇔⌝((⌝p∨q)∧(⌝q∨p)) (条件等价式) ⇔(p∧⌝q)∨(⌝p∧q) (德·摩根律) ⑻p→(q∨r)⇔⌝p∨(q∨r) (条件等价式) ⇔(⌝p∨q)∨r (结合律)⇔⌝(p∧⌝q)∨r (德·摩根律)⇔(p∧⌝q)→r (条件等价式)6.试用真值表证明下列命题定律。