初中数学七年级上册线段垂直平分线
初中数学 垂直平分线有哪些全等性质
初中数学垂直平分线有哪些全等性质垂直平分线是初中数学中的一个重要概念。
在本篇文章中，我们将探讨垂直平分线的全等性质，并且详细解释每个性质的几何意义。
让我们开始吧！首先，我们需要明确垂直平分线的定义。
垂直平分线是将一条线段分成两个相等的部分，并且与该线段垂直相交的线。
在这里，我们假设线段AB上有一条垂直平分线CD。
性质1：垂直平分线相互垂直首先，垂直平分线CD与线段AB相交于点E。
根据垂直平分线的定义，我们知道线段AE与线段BE是相等的。
而根据垂直线的性质，我们知道线段AE与线段BE是垂直的。
因此，垂直平分线CD与线段AB相互垂直。
几何意义：这个性质告诉我们，垂直平分线与线段相交后，将线段分成了两个相等的部分，并且这两个部分垂直于垂直平分线。
性质2：垂直平分线相互全等现在，我们考虑另一条垂直平分线EF，它也与线段AB相交于点G。
根据垂直平分线的定义，我们知道线段AG与线段BG是相等的。
同样，线段CG与线段DG也是相等的。
因此，根据ASA（对应边相等、对应角相等、对边相等）全等准则，三角形ACG与三角形BCG全等。
同样地，三角形ADG与三角形BDG也全等。
几何意义：这个性质告诉我们，两条垂直平分线相交于线段上的两个点，它们所形成的三角形与线段的两个端点所形成的三角形全等。
性质3：垂直平分线将角分成两个相等的角现在，我们关注线段AB上的点F，它是垂直平分线EF与线段AB的交点。
根据垂直平分线的定义，我们知道线段AF与线段BF是相等的。
因此，角DAF与角DBF也是相等的。
几何意义：这个性质告诉我们，垂直平分线将线段上的角分成了两个相等的角。
性质4：垂直平分线将线段分成两个相等的线段最后，我们考虑垂直平分线EF与线段AB的交点G。
根据垂直平分线的定义，我们知道线段AG与线段BG是相等的。
因此，线段CG与线段DG也是相等的。
几何意义：这个性质告诉我们，垂直平分线将线段分成了两个相等的线段。
通过以上的性质，我们可以看到垂直平分线在几何学中具有重要的作用。
初中数学 如何使用垂直平分线定理计算三角形的面积
初中数学如何使用垂直平分线定理计算三角形的面积要使用垂直平分线定理计算三角形的面积，我们可以根据定理的性质和已知条件进行推导和计算。
下面是一个详细的步骤说明：假设我们已知一个三角形ABC，其中D是边AC的垂直平分线上的一个点，我们要计算三角形ABC的面积。
步骤1：连接顶点B和D，得到线段BD。
步骤2：由于D在边AC的垂直平分线上，根据垂直平分线的性质，我们可以得到以下等式：AD = CD这是因为D到边AC两个端点的距离相等。
步骤3：根据已知条件，我们需要找到BD的值。
如果BD的长度已知，我们可以直接代入。
如果BD的长度未知，但我们知道其他边长或角度的信息，我们可以使用几何定理或三角函数来计算。
步骤4：将BD的值代入到等式中，计算AD的长度。
这将给出线段AD的长度。
步骤5：根据垂直平分线的性质，我们可以得到以下等式：BD = CD这是因为D在边AC的垂直平分线上，所以BD和CD的长度相等。
步骤6：使用三角形的面积公式，计算三角形ABC的面积S。
三角形的面积公式为：S = 1/2 * 底边长度* 高在这里，底边长度为AC，高为三角形ABC的高。
步骤7：使用已知条件和计算结果，可以计算三角形ABC的面积S。
根据已知的线段长度，可以使用几何定理或三角函数来计算高度的长度。
步骤8：重复以上步骤，计算其他三角形的面积。
通过以上步骤，我们可以使用垂直平分线定理计算三角形的面积。
重要的是要注意，我们需要已知一些边长或角度的信息来开始计算，并且需要使用几何定理或三角函数来计算未知值。
同时，还需要小心处理单位和精确度，确保计算结果准确。
需要指出的是，垂直平分线定理通常用于解决一些与三角形的垂直平分线相关的问题，例如确定三角形的面积、证明三角形的等腰性质等。
在实际应用中，我们可能需要结合其他几何定理和方法来解决更复杂的问题。
垂直平分线的判定方法初中
垂直平分线的判定方法初中嘿，同学们！今天咱们就来好好唠唠初中数学里垂直平分线的判定方法。
这垂直平分线啊，就像是一个神奇的分割线，在几何图形里可有大作用呢！我记得我初中刚学几何的时候，看到那些线条啊、图形啊，真是一头雾水。
就说这垂直平分线吧，当时觉得它好神秘。
不过后来搞明白了，那感觉就像打开了一扇新世界的大门。
那什么是垂直平分线呢？简单来说，如果一条直线垂直于一条线段，并且把这条线段分成相等的两部分，那这条直线就是这条线段的垂直平分线。
这就好比把一个蛋糕从正中间切开，切得笔直，两边的蛋糕一样大，那这刀痕就像是蛋糕那条边的垂直平分线。
那怎么判定一条线是不是垂直平分线呢？这里面可大有学问。
咱先来说说第一种判定方法。
如果我们能证明一条直线上有两个点到线段两端的距离相等，那这条直线就是这条线段的垂直平分线。
这就像两个人要平分一堆宝藏，他们站在一条线上，而且他们到宝藏两端的距离都一样，那这条线肯定就是平分宝藏连线的垂直平分线啊。
想象一下，你和你的小伙伴在找宝藏，你们发现了一条线，只要量一量你们到宝藏两头的距离是一样的，那这条线就是宝藏连线的垂直平分线啦。
我给大家举个例子吧。
在三角形ABC中，有一条直线l，点D和点E在直线l上。
如果我们能测量出AD = BD，AE = BE，那直线l就是线段AB的垂直平分线。
这时候可能有同学会问：“为啥啊？这两个距离相等就能说明是垂直平分线了？”其实啊，这背后是有逻辑的。
我们可以想象以点A和点B为圆心，以AD（BD）和AE（BE）为半径画圆。
这两个圆会相交于点D和点E，而连接这两个交点的直线必然垂直平分线段AB。
是不是很神奇呢？还有一种判定方法呢。
如果一条直线垂直于一条线段，并且这条直线上的某一点到线段两端的距离相等，那这条直线就是这条线段的垂直平分线。
这就好比在一个跷跷板中间画一条垂直的线，有一个点在这条线上，这个点到跷跷板两端的距离一样，那这条垂直的线就是跷跷板这条边的垂直平分线。
初中数学 如何计算多边形的垂直平分线长度
初中数学如何计算多边形的垂直平分线长度
计算多边形的垂直平分线长度涉及不同类型的多边形，例如三角形、正多边形和不规则多边形等。
下面是计算不同类型多边形垂直平分线长度的一些常见方法：
1. 三角形：
-对于三角形，垂直平分线是从一个顶点到对边上的垂直线段。
可以使用三角形的高度公式来计算垂直平分线的长度。
根据三角形的高度公式，三角形的面积等于底边长度乘以高度再除以2。
因此，可以通过已知的三角形面积和底边长度来计算垂直平分线的长度。
2. 正多边形：
-对于正多边形，垂直平分线是从多边形的中心点到一条边上的垂直线段。
可以使用正多边形的性质来计算垂直平分线长度。
根据正多边形的性质，垂直平分线的长度等于多边形的内接圆半径。
3. 不规则多边形：
-对于不规则多边形，可以通过将其分成多个三角形来计算垂直平分线长度。
将多边形的中心点与各个顶点连接，再将多边形分成多个三角形。
然后，可以使用三角形的高度公式来计算每个三角形的垂直平分线长度，并取平均值得到多边形的垂直平分线长度。
在计算多边形的垂直平分线长度之前，需要确保已知足够的信息，例如三角形的底边长度和面积、正多边形的内接圆半径等。
根据提供的具体情况，选择适当的计算方法，并确保使用正确的公式和数学原理进行计算。
《线段的垂直平分线的性质》课件教学课件初中数学1
反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的
∵ ______________ ，
B 求证：PA =PB．
∴ A在线段BC的垂直平分线上 ∴PA=PC
C
同学们：
感谢各位领
你们真棒！ 导的指导
知识就像一艘船 载着你驶向你理想的彼岸
• 不经历风雨，怎么见彩虹 • 没有人能随随便便成功!
作业布置
线段的垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合
M
线段的垂直平分线的另一定义：
求证：PA =PB 反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的
结论：线段垂直平分线上的点与线段．两端点的距离相等．
P
你能依据例题得到什么结论？
已知：如图，PA =PB．
∵ ______________ ，
M
P
A
C
B
N
解决问题
依据是什么？
p
学以致用
练习 如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的垂直平分 线交BC于D，AC 的垂直平分线交BC于E，则△ADE 的周长等 于___8___．
A
B
DE
C
反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的
垂直平分线上呢？ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
线段的垂直平分线
线段AB的垂直平分线是直线MN，垂足 为C； 在MN上任取一点P，连结PA、
PB；猜想:PA与PB的数量关系.
M P
PA=PB
P1A=P1B ……
由此你能得出什么规律
结论：线段垂直平分线上的
点与这条线段两个端点的距 A
C
B
离相等。
P1 N
线段的垂直平分线(教案)
§1.3.1 线段的垂直平分线(教案)郑州市第三十一初级中学荆飞教学分析【教材分析】在七年级我们曾经学习过轴对称和轴对称图形，本章将继续学习一些有关轴对称和轴对称图形的性质和证明.以前的学习过程，主要是发展学生的合情推理，而这一章的内容将要求学生从演绎推理的角度对问题进行证明.另外，在整个初中阶段，学生主要接触图形的四种运动状态，而本章将对轴对称和轴对称图形进行深入研究，本节课的线段的垂直平分线就是一个轴对称图形非常重要的一个数学模型.【我的思考】学生对于掌握定理及定理的证明并不存在太大的困难，这是因为在七年级“生活中的轴对称”中学生已经有了一定的基础.但是对于定理的逆定理的掌握应该是比较困难的，所以对逆定理研究时应该给学生留出更多的时间和空间去理解思考和感受.【学习目标】1、证明线段垂直平分线的性质定理，探索并证明线段垂直平分线的判定定理，进一步发展推理能力.2、能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决简单的几何问题.3、经历“探索-发现-猜想-证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力.【教学重、难点】重点：写出线段垂直平分线的性质定理的逆定理.难点：两者在应用上的区别及各自的作用.【教学准备】1、分配学习小组（建议2人一组），明确每个人的任务.2、预习本节课的内容.P M N CB A 【教学过程】一、 巧妙设疑，引入新课【设计说明：本环节主要利用学生学习过的线段的垂直平分线，将此思考头一天布置给学生，让学生提前思考提出解决方案，并总结结论，在上课时进行小组内的交流，共享.从而能有效地引起学生的研究兴趣.】问题1：我们曾经利用折纸的办法得到线段的垂直平分线，那么线段垂直平分线的性质是什么？师生活动：将此思考头一天布置给学生，让学生提前思考并提出解决方案，在上课时展示.问题2：你能尝试证明这个结论吗？请画出图形，写出已知和求证，并写出证明过程，与你的同伴交流.师生活动：此时学生可能提出了一个问题：要证明“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，可线段垂直平分线上的点有无数多个，需要一个一个依次证明吗？何况不能一个一个依次证明呢？此时教师应鼓励学生思考，想办法来解决此问题.师：如果一个图形上的每一点都具有某种性质，那么只需在图形上任取一点作代表，就可以了，所以我们只需在线段垂直平分线上任取一点代表即可，因为线段垂直平分线上的点都具有相同的性质.二、 新知探究活动一：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等已知：直线AB MN ⊥,垂足为C ，且BC AC =,P 是MN 上的任意一点.求证：PB PA =证明：AB MN ⊥PM N C B A 90=∠=∠∴PCB PCAPC PC BC AC ==,)(SAS PCB PCA ∆≅∆∴PB PA =∴(全等三角形的对应边相等）师：总结证明线段平分线的性质定理后，你能给出它的符号语言吗？生：∵ 点P 在线段AB 的垂直平分线上 ∴ PA=PB师：那么通过线段垂直平分线的性质定理学习，对我们有哪些新的方法应用呢？生：这个结论可以用来证明两条线段相等。
初中数学 什么是垂直平分线
初中数学什么是垂直平分线
在初中数学中，垂直平分线是指一个三角形中从一个顶点到对边中点的线段，同时它垂直于对边。
每个三角形都有三条垂直平分线，它们分别从三个顶点到对边中点。
以下是关于垂直平分线的一些重要事实和性质：
1. 垂直平分线将三角形分成面积相等的两个三角形：垂直平分线将三角形分成面积相等的两个三角形。
这意味着，如果你将一个三角形的三条垂直平分线画出来，那么这些垂直平分线将三角形分成两个面积相等的三角形。
2. 垂直平分线垂直于对边：垂直平分线垂直于对边。
也就是说，如果你将一个三角形的某个顶点到对边中点的垂直平分线画出来，那么这条线段将与对边垂直相交。
3. 三角形的三条垂直平分线交于一点：三角形的三条垂直平分线交于一点，这个点被称为三角形的垂心。
垂心是三角形内的一个点，它到三角形的三个顶点的距离之和最小。
垂心对于三角形的性质和应用具有重要的作用。
4. 垂直平分线的性质可以应用于问题的解决：垂直平分线的性质可以应用于解决与三角形相关的问题。
例如，通过利用垂直平分线的性质，我们可以找到缺失的边长，计算三角形的面积，判断两个三角形是否相似，以及证明三角形的性质等等。
总结起来，垂直平分线是指一个三角形中从一个顶点到对边中点的线段，同时它垂直于对边。
每个三角形都有三条垂直平分线，它们分别从三个顶点到对边中点。
垂直平分线可以将三角形分成面积相等的两个三角形。
垂直平分线垂直于对边。
三角形的三条垂直平分线交于一点，这个点被称为三角形的垂心。
垂直平分线的性质可以应用于解决与三角形相关的问题。
初中数学 如何使用垂直平分线定理计算三角形的边长
初中数学如何使用垂直平分线定理计算三角形的边长垂直平分线定理是一个三角形的重要性质，它可以帮助我们计算三角形的边长。
垂直平分线是指一个线段的中点到这个线段上某个点的连线，与这个线段垂直并将这个线段平分为两个长度相等的线段。
以下是使用垂直平分线定理计算三角形的边长的方法：假设已知一个三角形ABC，其中三个顶点分别为A、B、C，对应的坐标分别为(Ax, Ay)，(Bx, By)，(Cx, Cy)。
方法1：使用坐标计算步骤1：计算三角形的三个边的长度。
- AB的长度为√[(Bx - Ax)² + (By - Ay)²]- AC的长度为√[(Cx - Ax)² + (Cy - Ay)²]- BC的长度为√[(Cx - Bx)² + (Cy - By)²]步骤2：计算三角形的三个垂直平分线的斜率和截距。
-垂直平分线AD的斜率为(Cx - Bx) / (By - Cy)，截距为((By + Cy) / 2) - [(Cx - Bx) / (By - Cy)] * ((Bx + Cx) / 2)-垂直平分线BE的斜率为(Ax - Cx) / (Cy - Ay)，截距为((Ay + Cy) / 2) - [(Ax - Cx) / (Cy - Ay)] * ((Ax + Cx) / 2)-垂直平分线CF的斜率为(Bx - Ax) / (Ay - By)，截距为((Ay + By) / 2) - [(Bx - Ax) / (Ay - By)] * ((Ax + Bx) / 2)步骤3：计算三个垂足的坐标。
-垂足D的横坐标为((Bx + Cx) / 2)，纵坐标为[(Cx - Bx) / (By - Cy)] * ((Bx + Cx) / 2) + ((By + Cy) / 2)-垂足E的横坐标为((Ax + Cx) / 2)，纵坐标为[(Ax - Cx) / (Cy - Ay)] * ((Ax + Cx) / 2) + ((Ay + Cy) / 2)-垂足F的横坐标为((Ax + Bx) / 2)，纵坐标为[(Bx - Ax) / (Ay - By)] * ((Ax + Bx) / 2) + ((Ay + By) / 2)步骤4：计算三个垂足之间的距离。
初中数学线段的垂直平分线和角平分线
同理，∠2＝∠4．
34 P
12 B E DFC
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
16.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H， FM⊥BC于M.
∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC. ∴FG＝FM. 又∵点F在∠CBD的平分线上，A FH⊥AD， FM⊥BC， ∴FM＝FH， ∴FG＝FH. ∴点F在∠DAE的平分线上.
作出它们的对称轴.
A
l A′
B
B′
C C′
12.如图，牧童在A处放牛，其家在B处，点A、B到河边的距离分 别为AC、BD且AC=BD，点A、B到CD的中点的距离均为500m.牧 童从A出把牛牵到河边饮水后再回家，请你设计出最短路线.
A'
C
M'
D
A
B
13已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,
性质 定理
一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等
角的 平分 线
性质定理的 逆定理
内容 作用
角的内部到角两边距离相等的 点在这个角的平分线上
判断一个点是否在角的平分线 上
辅助线 添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
1.如图1所示，直线CD是线段PB的垂直平分线，点P为直线
P
C
B
10如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB， AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？
解：∵ AD⊥BC，BD =DC，
初中数学知识归纳角平分线和垂直平分线的性质和应用
初中数学知识归纳角平分线和垂直平分线的性质和应用初中数学知识归纳：角平分线和垂直平分线的性质和应用角平分线和垂直平分线是初中数学中两个重要的概念。
它们具有各自独特的性质和应用。
本文将对这两个概念进行归纳总结，并分析它们在数学问题中的实际应用。
一、角平分线的性质和应用角平分线是指把一个角平分成两个相等的角的线段。
下面我们来归纳角平分线的性质和应用。
1. 性质：（1）角平分线把一个角分成两个相等的角。
（2）角平分线上的点到角的两边距离相等。
（3）角平分线是角的内切线。
2. 应用：（1）角平分线的性质可以用于解决角度相等或相似的证明问题，例如证明两条线段的夹角相等，证明两个三角形相似等。
（2）利用角平分线的性质，可以快速求解角平分线在三角形中的位置，从而解决与三角形相关的计算问题。
以上是角平分线的性质和应用的简要介绍。
二、垂直平分线的性质和应用垂直平分线是指垂直于线段并将其平分的线段。
下面我们来归纳垂直平分线的性质和应用。
1. 性质：（1）垂直平分线将线段分成两个相等的部分。
（2）垂直平分线与线段的两个端点和中点连线垂直。
（3）垂直平分线是线段的中垂线。
2. 应用：（1）垂直平分线的性质可用于证明线段的平分线与垂直平分线相交于线段的中点。
（2）利用垂直平分线的性质，我们可以求解线段的中点坐标，从而解决与平面几何相关的计算问题。
以上是垂直平分线的性质和应用的简要介绍。
三、角平分线和垂直平分线的实际应用举例角平分线和垂直平分线不仅在数学问题中有重要的应用，也在实际生活中有着广泛的应用。
以下是两个实际问题的举例：1. 实际问题1：假设我们要设计一个广告牌，使其以某个角度正好对准太阳光的照射方向。
根据角平分线的性质，我们可以确定广告牌的角度，并根据此角度来安装广告牌，以获取最佳的阳光照射效果。
2. 实际问题2：在制作家具的过程中，如果要确保家具的一条边是水平的，可以利用垂直平分线的性质，通过测量线段两个端点到垂直平分线的距离来调整线段的位置，以保证家具制作的精准度。
线段的垂直平分线与角平分线综合压轴题五种模型全攻略(解析版)--初中数学
线段的垂直平分线与角平分线综合压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【考点一利用线段垂直平分线的性质求解】【考点二线段垂直平分线的判定】【考点三利用角平分线的性质求解】【考点四角平分线的判定】【考点五线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】【过关检测】【典型例题】【考点一利用线段垂直平分线的性质求解】1(2023春·江苏淮安·七年级校考阶段练习)如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB、AC于E，D，连接EC，则∠BEC=．【答案】72°/72度【分析】先根据垂线平分线的定义得到AD=CD，ED⊥AC，进而证明△ADE≌△CDE得到∠DCE =∠A=36°，则由三角形外角的性质可得∠BEC=∠A+∠ACE=72°．【详解】解：∵AC的垂直平分线交AB、AC于E，D，∴AD=CD，ED⊥AC，∴∠ADE=∠CDE=90°，又∵ED=ED，∴△ADE≌△CDE SAS，∴∠DCE=∠A=36°，∴∠BEC=∠A+∠ACE=72°，故答案为：72°．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，全等三角形的性质与判断，线段垂直平分线的定义，正确推出∠DCE=∠A=36°是解题的关键．【变式训练】1(2023·江苏·八年级假期作业)三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的()A.三条角平分线的交点B.三边中线的交点C.三边上高所在直线的交点D.三边的垂直平分线的交点【答案】D【分析】根据题意可知，凳子的位置应该到三个顶点的距离相等，从而可确定答案．【详解】因为三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，这样就能保证凳子到三名同学的距离相等，以保证游戏的公平，故选：D．【点睛】本题主要考查垂直平分线的应用，掌握垂直平分线的性质是关键．2(2023春·山东济南·七年级济南市章丘区第二实验中学校考阶段练习)如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于E，AC的中垂线交BC于G，则△AGE的周长等于．【答案】8【分析】根据垂直平分线的性质定理，得EA=EB，GA=GC，进而即可求解．【详解】解：∵AB的中垂线交BC于E，AC的中垂线交BC于G，∴EA=EB，GA=GC，∴△AGE的周长=EA+GA+GE=EB+GC+GE=BC=8．故答案是：8．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质定理，掌握垂直平分线的性质定理是解题的关键．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．3(2023春·广东深圳·七年级校考期末)如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．(1)若AB=10cm，求△CMN的周长；(2)若∠MFN=65o，则∠MCN的度数为°．【答案】(1)10cm(2)50【分析】(1)由线段垂直平分线的性质可得MA=MC，NB=NC，则△CMN的周长=CM+CN+MN= AM+MN+BN=AB；(2)根据等边对等角可得∠A=∠MAC，∠B=∠NCB，根据三角形内角和定理，列式求出∠FMN+∠FNM，再求出∠A+∠B，即可求解．【详解】(1)解：∵DM，EN分别是AC，BC的中垂线∴MA=MC，NB=NC∴C△CMN=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB=10cm；(2)由(1)得MA=MC，NB=NC，由DM，EN分别垂直平分AC和BC，可得∠MDA=∠NEB=90°，∴∠A=∠MCA，∠B=∠NCB，∵在△MNF中，∠MFN=65°，∴∠FMN+∠FNM=115°，根据对顶角的性质可得：∠FMN=∠AMD，∠FNM=∠BNE，在Rt△ADM中，∠A=90°-∠AMD=90°-∠FMN，在Rt△BNE中，∠B=90°-∠BNE=90°-∠FNM，∴∠A+∠B=90°-∠FMN+90°-∠FNM=65°，∴∠MCA+∠NCB=65°，在△ABC中，∠A+∠B=65°∴∠ACB=115°，∴∠MCN=∠ACB-(∠MCA+∠NCB)=50°．故答案为：50．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质和整体思想的利用．【考点二线段垂直平分线的判定】1(2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习)如图，AD为三角形ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF ⊥AC于点F，连接EF交AD于点O．(1)若BE=DE，∠BAC=60°，求∠CDF的度数；(2)写出AD与EF的关系，并说明理由；【答案】(1)15°(2)AD⊥EF，AD平分EF【分析】(1)根据三角形内角和可得∠C，再利用内角和即可得出∠CDF；(2)由角平分线的意义及两个垂直可证明△ADE≌△ADF，从而有AE=AF,DE=DF，由线段垂直平分线的判定知，AD⊥EF，AD平分EF．【详解】(1)解：∵DE⊥AB∴∠BED=90°∵BE=DE∴∠B=45°∵∠BAC=60°∴∠C=180°-45°-60°=75°∵DF⊥AC∴∠DFC=90°∴∠CDF=15°(2)解：AD⊥EF，AD平分EF；理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠DAB=∠DAC，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEA=∠DFA=90°，∵AD=AD，∴△ADE≌△ADF，∴AE=AF，DE=DF，∴AD是线段EF的垂直平分线，即AD⊥EF，AD平分EF．【点睛】本题考查了全等三角形的证明，等腰三角形的性质，三角形内角和，角平分线的性质．找到Rt△AED和Rt△ADF，通过两个三角形全等，找到各量之间的关系，完成证明是关键．【变式训练】1(2023秋·广西河池·八年级统考期末)如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P．(1)求证：PA=PB=PC；(2)求证：点P在线段AC的垂直平分线上．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)根据垂直平分线的性质直接可得到答案；(2)根据到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得到答案；【详解】(1)证明：∵边AB、BC的垂直平分线交于点P，∴PA=PB，PB=PC，∴PA=PB=PC；(2)证明：∵边AB，BC的垂直平分线交于点P，∴PA =PB ，PB =PC ，∴PA =PC ，∴点P 在AC 的垂直平分线上．【点睛】本题考查垂直平分线的性质及判定，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等及到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．2(2023春·全国·八年级专题练习)如图，点D 是等边△ABC 外一点，∠BDC =120°，DB =DC ，点E ，F 分别在AB ，AC 上，连接AD 、DE 、DF 、EF ．(1)求证：AD 是BC 的垂直平分线；(2)若ED 平分∠BEF ，BC =5，求△AEF 的周长．【答案】(1)见解析；(2)10．【分析】(1)根据到线段两端距离相等的点在垂直平分线上即可证明；(2)如图，过D 作DM ⊥EF 于M ，结合已知易证∠DBE =90°即DB ⊥AB ，同理可得DC ⊥AC ，易证Rt △DBE ≌Rt △DME HL 得BE =ME ，同理可得CF =MF ，然后转换求周长即可．【详解】(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∴A 在BC 的垂直平分线上，又DB =DC ，∴D 在BC 的垂直平分线上，∴AD 是BC 的垂直平分线；(2)如图，过D 作DM ⊥EF 于M ，∵∠BDC =120°，DB =DC∴∠DBC =30°又∵△ABC 是等边三角形，∴∠DBE =∠DBC +∠ABC =90°∴DB ⊥AB同理可得∴DC ⊥AC∵ED 平分∠BEF ，DM ⊥EF∴DB =DM =DC∴DF 平分∠CFE ，在Rt △DBE 与Rt △DME 中，DE =DE DB =DM∴Rt △DBE ≌Rt △DME HL∴BE =ME同理可得CF =MFC△AEF=AE+AF+EF=AE+AF+EM+MF=AE+AF+EB+CF=AE+EB+AF+CF=AB+AC=2BC=10.【点睛】本题考查了垂直平分线的判定，角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质；解题的关键是通过相关性质构造线段相等、进行转换．【考点三利用角平分线的性质求解】1(2023春·山东威海·七年级统考期末)如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，AB= 8，DE=4，AC=6，则S△ABC=()A.14B.26C.56D.28【答案】D【分析】如图：作DF⊥AC交AC于点F，根据角平分线的性质可得DF=DE=4，再由S△ABC=S△ADC+S△ADB求解即可．【详解】解：如图，作DF⊥AC交AC于点F，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF=DE=4，∴S△ABC=S△ADC+S△ADB=12AC·DF+12AB·DE=12DE AC+AB=12×46+8=28，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理、三角形的面积公式等知识点，根据角平分线的性质定理得到DF=DE=4是解题的关键．【变式训练】1(2023春·甘肃张掖·八年级校考期末)一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在()A.三角形三条边的垂直平分线的交点B.三角形三条角平分线的交点C.三角形三条高所在直线的交点D.三角形三条中线的交点【答案】B【分析】根据题意，凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置在三角形三条角平分线的交点，据此即可求解．【详解】解：∵凉亭到草坪三边的距离相等，∴凉亭的位置在三角形三条角平分线的交点，故选：B．【点睛】本题考查了三角形角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．2(2023春·山西运城·七年级统考期末)如图，BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PQ⊥BC 于点Q，PQ=5，O是BA上任意一点，连接OP，则OP的最小值为．【答案】5【分析】根据垂线段最短确定点O的位置，再根据角平分线的性质即可得到最短距离．【详解】解：∵O是BA上任意一点，∴当PO⊥BA时，OP的值最小，又∵BD平分∠ABC，P是BD上一点，PQ⊥BC，PQ=5∴OP的最小值为5，故答案为：5．【点睛】本题考查角平分线的性质定理，垂线段最短，解题关键是找到最短距离的位置．3(2023春·陕西榆林·七年级校考期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，∠DAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点P，且点P在线段CD上，∠CPB=30°．(1)求∠PAD的度数；(2)试说明PD=PC．【答案】(1)30°(2)详见解析【分析】(1)根据两直线平行，同旁内角互补，以及角平分线的定义，即可作答；(2)过点P作PE⊥AB于点E，再根据角平分线的性质定理即可证明．【详解】(1)∵AD∥BC，∴∠C=180°-∠D=180°-90°=90°．∵∠CPB=30°，∴∠PBC=90°-∠CPB=60°．∵PB平分∠ABC，∴∠ABC=2∠PBC=120°．∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°，∴∠DAB=180°-120°=60°．∵AP平分∠DAB，∴∠PAD=1∠DAB=30°．2(2)如图．过点P作PE⊥AB于点E．∵AP平分∠DAB，PD⊥AD，PE⊥AB，∴PE=PD．∵BP平分∠ABC，PC⊥BC，PE⊥AB，∴PE=PC，∴PD=PC．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质定理的等知识，掌握角平分线的性质定理，是解答本题的关键．【考点四角平分线的判定】1(2023·全国·八年级假期作业)如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD．求证：AD是∠BAC的外角平分线．【答案】证明见解析【分析】作DE⊥BA交BA的延长线于E，DF⊥AC于F，DG⊥BH于G，根据角平分线的性质得到DE=DF，根据角平分线的判定定理证明结论．【详解】证明：作DE⊥BA交BA的延长线于E，DF⊥AC于F，DG⊥BH于G，∵DB平分∠ABC、DC平分∠ACH，∴DE=DG，DF=DG，∴DE=DF，又DE⊥BA，DF⊥AC，∴AD是∠BAC的外角平分线．【点睛】本题考查的是角平分线的性质和判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．【变式训练】1(2023·广东惠州·校联考二模)如图，CB=CD，∠D+∠ABC=180°，CE⊥AD于E．(1)求证：AC 平分∠DAB ；(2)若AE =10，DE =4，求AB 的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】(1)过C 点作CF ⊥AB ，交AB 的延长线于点F ．由AAS 证明△CDE ≌△CBF ，可得CE =CF ，结论得证；(2)证明Rt △ACE ≌Rt △ACF ，可得AE =AF ，可求出AB ．【详解】(1)证明：过C 点作CF ⊥AB ，交AB 的延长线于点F ．∵CE ⊥AD ，∴∠DEC =∠CFB =90°，∵∠D +∠ABC =180°，∠CBF +∠ABC =180°，∴∠D =∠CBF ，又∵CB =CD ，∴△CDE ≌△CBF ，∴CE =CF ，∴AC 平分∠DAB ；(2)解：由(1)可得BF =DE =4，在Rt △ACE 和Rt △ACF 中，CE =CF AC =AC ，∴Rt △ACE ≌Rt △ACF ，∴AE =AF =10，∴AB =AF -BF =6．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，关键是作出辅助线构造全等三角形．2(2023·江苏·八年级假期作业)如图，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，若BD =CD ,BE =CF ．(1)求证：AD 平分∠BAC ；(2)请猜想AB +AC 与AE 之间的数量关系，并给予证明．【答案】(1)见解析(2)AB +AC =2AE ，证明见解析【分析】(1)根据HL证明Rt△DBE≌Rt△DCF，得到DE=DF，再根据角平分线的判定定理，求证即可；(2)通过HL证明Rt△ADE≌Rt△ADF，得到AE=AF，利用线段之间的关系，求解即可．【详解】(1)证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E=∠DFC=90°，在Rt△DBE和Rt△DCF中，BD=CD BE=CF，∴Rt△DBE≌Rt△DCF HL，∴DE=DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC．(2)解：AB+AC=2AE，证明如下：在Rt△ADE和Rt△ADF中，AD=AD DE=DF，∴Rt△ADE≌Rt△ADF HL，∴AE=AF，∴AB+AC=AB+AF+CF=AB+AE+BE=2AE．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线的判定定理，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解．【考点五线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】1(2023秋·河北保定·八年级统考期末)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF．(1)求证：CF=EB．(2)连接CE，求证AD垂直平分CE．(3)若AB=10，AF=6，求CF的长．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)CF=2【分析】(1)利用角平分线的性质可得DC=DE，再利用“HL”证明Rt△DCF≌Rt△DEB，即可证明CF=EB；(2)利用“HL”证明Rt△ACD≌Rt△AED，可得AC=AE，所以点A在CE的垂直平分线上，根据DC=DE，可得点D在CE的垂直平分线上，进而可以解决问题；(3)设CF=BE=x，则AE=AB-BE=10-x=AC=AF+FC=6+x，即可建立方程求解．【详解】(1)证明：∵DE⊥AB于点E，∴∠DEB=90°，又AD平分∠BAC，∠C=90°，∴DC=DE，在Rt△DCF和Rt△DEB中，DF=DB DC=DE，∴Rt△DCF≌Rt△DEB HL，∴CF=EB．(2)证明：连接CE，如图在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=AD DC=DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED HL，∴AC=AE∴点A在CE的垂直平分线上，∵DC=DE，∴点D在CE的垂直平分线上，∴AD垂直平分CE(3)解：设CF=BE=x，∵AB=10，AF=6，∴AE=AB-BE=10-x，AC=AF+FC=6+x，∵AE=AC，∴10-x=6+x，解得：x=2∴CF=2【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，解题关键是在图形中找到正确的全等三角形以及熟悉以上性质与判定．【变式训练】1(2023秋·河南洛阳·八年级统考期末)如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，连接EF．(1)求证：点D在EF的垂直平分线上；(2)若AB+AC=16，S△ABC=24，则DE的长为【答案】(1)见解析(2)3【分析】(1)根据角平分线的性质定理直接得出DE=DF，则问题得解；(2)先得出S△ABD=12×AB×DE，S△ACD=12×AC×DF，结合DE=DF，可得S△ABC=12×AB+AC×DE，问题随之得解．【详解】(1)证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF．∴点D在EF的垂直平分线上．(2)∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴S△ABD=12×AB×DE，S△ACD=12×AC×DF，∵在(1)中有：DE=DF，∴S△ACD=12×AC×DF=12×AC×DE，∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴S△ABC=12×AB×DE+12×AC×DE=12×AB+AC×DE，∵AB+AC=16，S△ABC=24，∴24=12×16×DE，∴DE=3，即DE的长为3，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质定理直接得出DE=DF是解答本题的关键．2(2023春·全国·八年级专题练习)如图，D为△ABC外一点，DG为BC的垂直平分线，分别过点D 作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE=CF．(1)求证：AD为∠CAB的角平分线；(2)若AB=8，AC=6，求AE的长．【答案】(1)见解析(2)AE=7【分析】(1)连接CD，BD，根据线段垂直平分线的性质可得CD=BD，再证明Rt△DEB≌Rt△DFC，可得DF=DE，再证明Rt△AFD≌Rt△AED，即可得证；(2)根据全等三角形的性质可得AE=AF，进一步可得AB-AE=AF-AC，从而可得AE=1 2AB+AC．【详解】(1)连接CD，BD，如图所示：∵DG为BC的垂直平分线，∴CD=BD，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠DEB =∠DFC =90°，在Rt △DEB 和Rt △DFC 中，BE =CF BD =CD ，∴Rt △DEB ≌Rt △DFC∴DE =DF ，在Rt △AFD 和Rt △AED 中，DF =DE AD =AD ，∴Rt △AFD ≌Rt △AED∴∠FAD =∠EAD ，∴AD 为∠CAB 的角平分线；(2)∵Rt △AFD ≌Rt △AED ，∴AE =AF ，又∵BE =CF ，∴AB -AE =AF -AC ，即AE =12AB +AC ，∵AB =8，AC =6，∴AE =7．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定及线段垂直平分线的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．3(2023春·全国·八年级开学考试)如图1，射线BD 交△ABC 的外角平分线CE 于点P ，已知∠A =78°，∠BPC =39°，BC =7，AB =4．(1)求证：BD 平分∠ABC ；(2)如图2，AC 的垂直平分线交BD 于点Q ，交AC 于点G ，QM ⊥BC 于点M ，求MC 的长度．【答案】(1)见解析(2)MC =1.5【分析】(1)由∠ACF =∠A +∠ABF ，∠ECF =∠BPC +∠DBF ，得∠ABF =∠ACF -78°，∠DBF =∠ECF -39°，再根据CE 平分∠ACF ，得∠ACF =2∠ECF ，则∠ABF =2∠ECF -78°=2(∠ECF -39°)=2∠DBF ，从而证明结论；(2)连接AQ ，CQ ，过点Q 作BA 的垂线交BA 的延长线于N ，利用HL 证明Rt △QNA ≌Rt △QMC ，得NA =MC ，再证明Rt △QNB ≌Rt △QMB (HL )，得NB =MB ，则BC =BM +MC =BN +MC =AB +AN +MC ，从而得出答案．【详解】(1)证明：∵∠ACF =∠A +∠ABF ，∠ECF =∠BPC +∠DBF ，∴∠ABF =∠ACF -78°，∠DBF =∠ECF -39°，∵CE 平分∠ACF ，∴∠ACF =2∠ECF ，∴∠ABF=2∠ECF-78°=2(∠ECF-39°)=2∠DBF，∴BD平分∠ABC；(2)解：连接AQ，CQ，过点Q作BA的垂线交BA的延长线于N，∵QG垂直平分AC，∴AQ=CQ，∵BD平分∠ABC，QM⊥BC，QN⊥BA，∴QM=QN，∴Rt△QNA≌Rt△QMC(HL)，∴NA=MC，∵QM=QN，BQ=BQ，∴Rt△QNB≌Rt△QMB(HL)，∴NB=MB，∴BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC，∴7=4+2MC，∴MC=1.5．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和性质，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．【过关检测】一、选择题1(2023春·四川成都·八年级统考期末)如图，在△ABC中，DE是AC边的垂直平分线，分别交BC、AC于D、E两点，连接AD，∠BAD=25°，∠C=35°，则∠B的度数为()A.70°B.75°C.80°D.85°【答案】D【分析】利用垂直平分线的性质，可得∠DAC=∠C=35°，根据三角形内角和定理，可得∠B的度数．【详解】解：∵DE是AC边的垂直平分线，∴∠DAC=∠C=35°，根据三角形内角和定理，可得∠B=180°-∠BAD-∠DAC-∠C=85°，故选：D．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练利用垂直平分线的性质是解题的关键．2(2023春·四川达州·八年级统考期末)如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB 互补．若∠MPN 在绕点P 旋转的过程中，其两边分别与OA 、OB 相交于M 、N 两点，则以下结论中，不正确的是()A.OM +ON 的值不变B.∠PNM =∠POBC.MN 的长不变D.四边形PMON 的面积不变【答案】C【分析】如图作PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，于∠EPF +∠AOB =180°，可证∠MPN =∠EPF ，所以∠EPM =∠FPN ，由OP 平分∠AOB ，得证PE =PF ，于是Rt △POE ≌Rt △POF ，所以OE =OF ，同时△PEM ≌△PFN ，所以EM =NF ，PM =PN ，推出∠PMN =∠PNM ，进一步得到∠PNM =12∠AOB ，∠POB =12∠AOB ，所以∠PNM =∠POB ，故B 正确；因为OM +ON =OE +ME +OF -NF =2OE =定值，故A 正确；由三角形全等可知，所以定值，故D 正确；M ，N 的位置变化，所以MN 的长度是变化的，故C 错误．【详解】解：如图作PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ．∵∠PEO =∠PFO =90°，∴∠EPF +∠AOB =180°，∵∠MPN +∠AOB =180°，∴∠MPN =∠EPF ，∴∠EPM =∠FPN ，∵OP 平分∠AOB ，PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，∴PE =PF ，在Rt △POE 和Rt △POF 中，OP =OP PE =PF ，∴Rt △POE ≌Rt △POF ，∴OE =OF ，在△PEM 和△PFN 中，∠MPE =∠NPFPE =PF∠PEM =∠PFN∴△PEM ≌△PFN ，∴EM =NF ，PM =PN ，∵PE =PF ，EM =NF ，∴S △PEM =S △PNF ，∴S 四边形PMON =S 四边形PEOF =定值，故D 正确，∵OM +ON =OE +ME +OF -NF =2OE =定值，故A 正确，∵M ，N 的位置变化，∴MN 的长度是变化的，故C 错误．∵PM =PN ，∴∠PMN =∠PNM ，∵∠MPN 与∠AOB 互补，∴∠MPN +∠AOB =180°，∵∠PMN +∠PNM +∠MPN =180°，∴∠PMN +∠PNM =∠AOB ，∵∠PMN =∠PNM ，∴∠PNM =12∠AOB ，∵OP 平分∠AOB ，∴∠POB =12∠AOB ∴∠PNM =∠POB ，故B 正确，故选：C【点睛】本题主要考查角平线的性质定理、全等三角形的判定和性质；能够结合角平分线的性质定理作出角平分线上点到两边的垂线段，构建全等三角形是解题的关键．二、填空题3(2023春·山东青岛·七年级山东省青岛实验初级中学校考期末)如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，垂足为E ，AF 是△ABC 的中线，AB =16，AC =6，DE =5．则△ADF 的面积为．【答案】12.5【分析】过D 点作DM ⊥AB ，垂足为M ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DM =DE =5，然后根据三角形的面积公式可得S △ABD =40，S △ACD =15，可得S △ABC =S △ABD +S △ACD =55，然后由三角形的中线得S △ACF =27.5，根据S △ADF =S △ACF -S △ACD 求解即可．【详解】解：过D 点作DM ⊥AB ，垂足为M ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，AB =16，AC =6，DE =5，∴DM =DE =5，∴S △ABD =12AB ⋅DM =12×16×5=40，S △ACD =12AC ⋅DE =12×6×5=15，∴S △ABC =S △ABD +S △ACD =40+15=55，∵AF 是△ABC 的中线，∴S △ACF =12S △ABC =12×55=27.5，∴S △ADF =S △ACF -S △ACD =27.5-15=12.5，∴△ADF 的面积为12.5．故答案为：12.5．【点睛】本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形中线的性质，三角形的面积，作辅助线并利用角平分线的性质是解题的关键．4(2023春·湖南衡阳·七年级校联考期末)如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，△ABC的面积为18，BD平分∠ABC，若E、F分别是BD、BC上的动点，则CE+EF的最小值为．【答案】6【分析】过点C作CP⊥AB于点P，交BD于点E，过点E作EF⊥BC于F，则CP即为CE+EF的最小值，再根据三角形的面积公式求出CP的长，即为CE+EF的最小值．【详解】解：过点C作CP⊥AB于点P，交BD于点E，过点E作EF⊥BC于F，∵BD平分∠ABC，PE⊥AB，EF⊥BC，∴PE=EF，∴CP=CE+PE=CE+EF的最小值．∵△ABC的面积为18，AB=6，×6×CP=18，∴12∴CP=6．即CE+EF的最小值为6，故答案为：6．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将CE+EF的最小值为转化为CP，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．三、解答题5(2023春·河南商丘·七年级统考阶段练习)如图，∠AOB=40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP=x°．(1)如图1，若DE∥OB．①∠DEO的度数是°，当DP⊥OE时，x=；②若∠EDF=∠EFD，求x的值；(2)如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD=4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)①20，70；②60；(2)存在这样的x的值，使得∠EFD=4∠EDF．当x=68或104时，∠EFD=4∠EDF．【分析】(1)①运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得∠DEO 的度数，根据DP ⊥OE 求出x 的值；②根据三角形内角和求出∠FDE ，根据平行的性质∠ODC 的度数，相减即可得x 的值；(2)分两种情况进行讨论:DP 在DE 左侧，DP 在DE 右侧，分别根据三角形内角和定理，可得x 的值．【详解】(1)解：①∵∠AOB =40°，OC 平分∠AOB ，∴∠BOE =20°，∵DE ∥OB ，∴∠DEO =∠BOE =20°；∵∠DOE =∠DEO =20°，∴DO =DE ，∠ODE =140°，当DP ⊥OE 时，∠ODP =12∠ODE =70°，即x =70，故答案为：20，70；②∵∠DEO =20°，∠EDF =∠EFD ，∴∠EDF =80°，又∵∠ODE =140°，∴∠ODP =140°-80°=60°，∴x =60；(2)存在这样的x 的值，使得∠EFD =4∠EDF ．分两种情况：①如图2，若DP 在DE 左侧，∵DE ⊥OA ，∴∠EDF =90°-x °，∵∠AOC =20°，∴∠EFD =20°+x °，当∠EFD =4∠EDF 时，20°+x °=490°-x ° ，解得x =68；②如图3，若DP 在DE 右侧，∵∠EDF =x °-90°，∠EFD =180°-20°-x °=160°-x °，∴当∠EFD =4∠EDF 时，160°-x °=4x °-90° ，解得x =104；综上所述，当x =68或104时，∠EFD =4∠EDF ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．解题时注意分类讨论思想的运用．6(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末)在△ABC 中，∠BAC =60°，线段BF 、CE 分别平分∠ABC 、∠ACB 交于点G ．(1)如图1，求∠BGC 的度数；(2)如图2，求证：EG =FG ；(3)如图3，过点C 作CD ⊥EC 交BF 延长线于点D ，连接AD ，点N 在BA 延长线上，连接NG 交AC 于点M ，使∠DAC =∠NGD ，若EB :FC =1:2，CG =10，求线段MN 的长．【答案】(1)120°(2)见解析(3)5【分析】(1)根据三角形内角和定理求出∠ABC +∠ACB =120°，根据BF 平分∠ABC 、CE 平分∠ACB ，得出∠GBC =∠GBE =12∠ABC ，∠GCB =∠GCF =12∠ACB ，求出∠GBC +∠GCB =60°，根据三角形内角和得出∠BGC +∠GBC +∠GCB =180°，即可求出结果；(2)作GH 平分∠BGC 交BC 于点H ，证明△BGE ≌△BGH ，得出EG =GH ，证明△CGF ≌△CGH ，得出FG =GH ，即可证明结论；(3)作DP ⊥BC 交BC 延长线于点P ，作DQ ⊥AB 交BA 延长线于点Q ，作DR ⊥AC 于点R ，证明CD 平分∠ACP ，根据DR ⊥AC ，DP ⊥BC ，得出DR =DP ，根据BF 平分∠ABC ，DR ⊥AC ，DQ ⊥AB ，得出DP =DQ ，证明DR =DQ ，证明△NEG ≌△CFG ，得出NG =CG =10，证明△BEG ≌△MFG ，得出BE =MF ，作FL ⊥NG 于点L ，FK ⊥CG 于点K ，GW ⊥MC 于点W ，根据S △MGF =12MG ⋅FL =12MF ⋅GW ，S △CGF =12GC ⋅FK =12FC ⋅GW ，得出MG GC =MF FC=12，求出MG =5即可得出答案．【详解】(1)解：在△ABC 中，∠BAC +∠ABC +∠ACB =180°，∵∠BAC =60°∴∠ABC +∠ACB =120°，∵BF 平分∠ABC 、CE 平分∠ACB ，∴∠GBC=∠GBE=12∠ABC，∠GCB=∠GCF=12∠ACB，∴∠GBC+∠GCB=60°，在△BGC中，∠BGC+∠GBC+∠GCB=180°，∴∠BGC=120°．(2)解：作GH平分∠BGC交BC于点H，如图所示：∴∠BGH=∠CGH=60°，∵∠BGE=∠CGF=∠GBC+∠GCB=60°，∴∠BGH=∠CGH=∠BGE=∠CGF，∵∠GBC=∠GBE，BG=BG∴△BGE≌△BGH，∴EG=GH，∵∠GCH=∠GCF，CG=CG，∴△CGF≌△CGH，∴FG=GH，∴EG=FG；(3)解：作DP⊥BC交BC延长线于点P，作DQ⊥AB交BA延长线于点Q，作DR⊥AC于点R，如图所示：∵CE平分∠ACB，∴∠ACB=2∠ACE，∵CD⊥EC，∴∠ECD=90°，∴∠ACE+∠ACD=90°，∵∠ACB+∠ACP=180°，∴∠ACP=2∠ACD，∴CD平分∠ACP，∵DR⊥AC，DP⊥BC，∴DR=DP，∵BF平分∠ABC，DR⊥AC，DQ⊥AB，∴DP=DQ，∴DR=DQ，∴AD平分∠QAC，∵∠BAC=60°，∴∠DAQ=∠DAC=60°，∴∠NGD=∠DAC=60°，由(1)得∠BGC=120°，∴∠BEG=∠FGC=180°-∠BGC=60°，∵∠MGF=∠ABF+∠BNG=60°，∠FGC=∠FBC+∠ECB=60°，∠ABF=∠FBC，∴∠BNG=∠ECB，∵∠ECB=∠ACE，∴∠ACE=∠BNG，由(2)得EG=FG，∴△NEG≌△CFG，∴NG=CG=10，∠NEG=∠CFG，∵∠NEG+∠BEG=180°，∠CFG+∠MFG=180°，∴∠BEG=∠MFG，∴△BEG≌△MFG，∴BE=MF，∵BE:FC=1:2，∴MF:FC=1:2，作FL⊥NG于点L，FK⊥CG于点K，GW⊥MC于点W，∵∠MGF=∠CGF=60°，∴FK=FL，S△MGF=12MG⋅FL=12MF⋅GW，S△CGF=12GC⋅FK=12FC⋅GW，∴MG GC =MFFC=12，∴MG=5，∴MN=NG-MG=5．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的判定和性质，三角形面积的计算，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法．7(2023春·八年级课时练习)如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，点C，连接AB，PB．(1)如图1，请指出AB与PB的数量关系，并说明理由．(2)如图2，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在(1)中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)AB=PB，理由见解析(2)存在，理由见解析【分析】(1)连接BQ ，根据BC 垂直平分OQ ，可知BO =BQ ，则∠BOQ =∠BQO ，根据OF 平分∠MON ，则∠AOB =∠BOQ ，即∠AOB =∠BQO ，根据OA =QP ，可知△AOB ≌△PQB ，则可知AB =PB ；(2)如图，连接BQ ，根据BC 垂直平分OQ ，可知BQ =BO ，CQ =CO 结合条件可证△BQC ≌△BOC ，则∠BQO =∠BOQ ，根据OF 平分∠MON ，∠BOQ =∠FON ，可知∠AOF =∠FON =∠BOQ ，则∠AOF =∠BQO ，进而可知∠AOB =∠PQB ，由此可证△AOB ≌△PQB (SAS )，则AB =PB ．【详解】(1)解：AB =PB理由如下：连接BQ∵BC 垂直平分OQ∴BO =BQ∴∠BOQ =∠BQO∵OF 平分∠MON∴∠AOB =∠BOQ∴∠AOB =∠BQO∵OA =QP∴△AOB ≌△PQB∴AB =PB ；(2)存在，理由：如图，连接BQ ，∵BC 垂直平分OQ ，∴BQ =BO ，CQ =CO在△BQC 和△BOC 中，BC =BCCQ =COBQ =BO∴△BQC ≌△BOC (SSS )∴∠BQO =∠BOQ ，∵OF 平分∠MON ，∠BOQ =∠FON ，∴∠AOF =∠FON =∠BOQ ，∴∠AOF =∠BQO ，∴∠AOB =∠PQB ，在△AOB 和△PQB 中，OA =PQ∠AOB =∠PQBBO =BQ∴△AOB ≌△PQB (SAS )，∴AB =PB ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，本题属于中考常考问题．8(2023春·浙江宁波·七年级校考期末)角平分线性质定理描述了角平分线上的点到角两边距离的关系，小储发现将角平分线放在三角形中，有一些新的发现，请完成下列探索过程：【知识回顾】(1)如图1，P是∠BOA的平分线上的一点，PE⊥OB于点E，作PD⊥OA于点D，试证：PE=PD【深入探究】(2)如图2，在△ABC中，BD为∠ABC的角平分线交于AC于D点，其中AB+BC=10,AD=2,CD=3，求AB．【应用迁移】(3)如图3，Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的角平分线AE与AC的中线BD交于点F,P为CE中点，连接PF，若CP=4,S△BFP=20，则AB的长度为．【答案】(1)见解析；(2)AB=4；(3)10【分析】(1)根据AAS证明△POD≌△POE即可；(2)作DM⊥AB于点M，作DN⊥BC于点N，由角平分线的性质得DM=DN，由三角形的面积公式可得AD CD =ABBC，结合AB+BC=10即可求解；(3)过E作EG⊥AB于G，连接CF，由P为CE中点，设S△EFP=S△CFP=y，根据BD是AC边上的中线，设S△CDF=S△AFD=z，根据三角形的面积的计算得到S△ABE=S△ABC-S△ACE=40+2y+2z-2y+2z=40，根据角平分线的性质得到EG=CE=2CP=8，于是得到结论．【详解】(1)证明：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°，在△POD和△POE中，∠PDO=∠PEO ∠DOP=∠EOP OP=OP，∴△POD≌△POE AAS，∴PE=PD;(2)解：如图，过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥BC于点N，∵BD平分∠BAC，∴DM=DN，∵S△ABD=12AB⋅DM,S△CBD=12BC⋅DN，∴S△ABDS△CBD=ABBC，同理可证S△ABDS△CBD=ADCD，∴AD CD =AB BC．∵AD=2,CD=3，∴AD CD =ABBC=23，设AB=2x，则BC=3x ∵AB+BC=10，∴2x+3x=10,x=2，∴AB=4；(3)解：过E作EG⊥AB于G，连接CF，∵P为CE中点，∴S△EFP=S△CFP，设S△EFP=S△CFP=y，∵BD是AC边上的中线，∴设S△CDF=S△AFD=z，∵S△BFP=20，∴S△BCD=20+y+z，∴S△ABC=2S△BCD=40+2y+2z，∵S△ACE=S△ACF+S△CEF=2y+2z，∴S△ABE=S△ABC-S△ACE=40+2y+2z-2y+2z=40，∵AE是∠CAB的角平分线，CP=4，∴EG=CE=2CP=8，AB⋅EG=40，∴S△ABE=12∴AB=10，故答案为：10．【点睛】本题考查了三角形的面积的计算，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形中线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．9(2023·贵州遵义·校考三模)已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB=90°，∠ABC=30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF=90°，∠DFE=30°，连接CE并延长CE到P，使EP=CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．(1)如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB=EP；②∠EFP=30°；(2)如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP=30°．【答案】(1)①见解析 ②30°(2)见解析【分析】(1)①本题主要考查通过角度计算求证平行，继而证明△CBP是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论．②本题以上一问结论为解题依据，考查平行线以及垂直平分线的应用，根据同位角相等可得BC∥EF，由平行线的性质得BP⊥EF，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE=∠BFE=30°．(2)本题主要考查辅助线的做法以及垂直平分线性质的应用，需要延长DE到Q，使EQ=DE，连接CD，。
初中数学_线段的垂直平分线的性质教学设计学情分析教材分析课后反思
《13.1.2线段的垂直平分线的性质》教学设计教学目标：知识目标：1.探索并证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理;2.能够运用线段垂直平分线的性质定理及判定定理解决问题;过程与方法：经历观察、分析、思考等数学活动过程，发展合情推理，进一步发展推理意识及能力.情感态度与价值观：培养学生的观察能力、归纳能力、动手能力，感受数学在实际生活中的应用。
教学重点：线段垂直平分线性质定理及其逆定理的探究及应用。
教学难点：线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的内涵和证明。
教学过程： 一、情景引入1、在老师指导下按要求动手折纸，观察、猜测两条折痕即所折出来的三角形两组边的关系。
让学生体会一条线段被一条直线垂直平分后，这两条折痕的数量关系实际是线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离的关系，引入本节课的课题：线段的垂直平分线的性质. 2、出示教学目标。
二、教学过程温习旧知： 填空：1.经过线段_______并且_______于这条线段的_______,叫做这条线段的垂直平分线.2.轴对称图形的对称轴是每对对称点所连线段的_____. 合作探究一：阅读课本61页(至证明后），解决下列问题： 1.线段垂直平分线的性质定理是如何描述的？ 2.如图，性质定理的题设和结论分别是什么？_ A_ P_ B_ C3.如图，性质定理是如何证明的？（自学3分钟后，小组合作交流）自学检测1：线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．教师提问：这个命题的题设和结论分别是什么？（引导学生回答）已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上,求证：PA=PB．（学生口答给出证明）教师提问：性质定理的几何语言是什么？板书：∵点P在线段AB的垂直平分线上∴ PA=PB出示练习：1.判断对错：（1）如图直线MN垂直平分线段AB,则AE=AF.（2）如图线段MN被直线AB垂直平分,则ME=NE.2.如图,AB的垂直平分线交AB于E,交AC于D,(1)若AD=6,则BD=________;(2)若∠A=360,则∠ABD=________;(3)若AC=12，BC=7，则△BCD的周长=________.教师引导学生找基本图形，（1）（2）很好解决，（3）学生需要讨论解决，后教师板书过程，以便学生掌握透彻。
2.4_线段的垂直平分线(第2课时)
七年级数学导学稿
第2章图形的轴对称
2.4 线段的垂直平分线（第2课时）
繁华初中刘志芳
学习目标：1、线段垂直平分线的尺规作图
2、理解并能运用线段垂直平分线的性质
重点：线段垂直平分线的尺规作图；
难点：运用线段垂直平分线的性质解决实际问题。
教学过程：
【创设情境】
直线AB表示一条小河，一牧民在C处放马，现在要到河边去饮马，然后回到帐篷点D处（C、D在小河同旁）。
问在何处饮马，才能使他所走路程最短？
•C •D
B
A
【探索新知】
（1）已知直线l和l上一点P，怎样过点P作直线l的垂线？
（2）已知直线l和l外一点P，怎样过点P作直线l的垂线？
（小组讨论交流，理解并熟记作法）
（3）体会在解决“过一点作已知直线的垂线”这一问题时，运用了哪些基本的数学思想？
【巩固提升】
1、过点P作直线l的垂线和斜线，叙述正确的是（）
A、都能作且只能作一条
B、垂线能作且只能作一条，斜线可作无数条
C、垂线能作两条，斜线可作无数条
D、均可作无数条
2、经过一点可以作并且只能作已知直线的一条（）
A、垂线
B、垂线段
C、平行线
D、以上都可以
3、如果一个三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，那么这个三角形是（）
A、直角三角形
B、锐角三角形
C、钝角三角形
D、不能确定【达标检测】
小河边有两个村庄A村和B村，现要在河边建一自来水厂分别向A村和B村供水。
（1）若要使自来水厂到A村和B村的距离相等，应建在什么地方？（2）若要使自来水厂到A村和B村的水管最省料，应建在什么地方?
(保留作图痕迹，不写作法)
•A •B。
初中数学垂直平分线
初中数学垂直平分线垂直平分线，这个名字听起来好像挺高大上的，但其实它并没有你想象中那么神秘。
垂直平分线就是在一个线段上找个“分水岭”，让线段分成两半，而且它的特点就是“垂直”。
说得简单点，就是这条线要把原本的线段“对半切开”，并且和原来的线段成直角。
哎，听着是不是有点晕？没事，咱慢慢来。
想象一下，你和你的好朋友站在操场的两头，拿着一根绳子把它拉直，然后你们各自拿着一头，绷得紧紧的。
现在，要是你们突然想知道这根绳子中间的地方是哪，咋办呢？答案就是找一个能够一刀两断的“神器”——垂直平分线！它就像一个神奇的“剪刀”，可以精准无误地把你们之间的距离一分为二。
而且你要知道，这根线不仅仅是切开的线段，它还是和绳子成了90度的直角！这就像两个人站在一起，肩膀正好垂直，仿佛要给你们的友谊打个“钩钩”一样。
再说到为什么要搞这个“垂直平分线”，其实生活中随处可见类似的情况。
你有没有觉得，有些事情总是得分个清楚？就像你和朋友吵架时，谁也不愿意吃亏，大家总是想让问题找到一个公正的分配点。
这个垂直平分线不就是数学里的一种“公平分配”吗？它不仅给了线段两端点“同等的待遇”，还让每一端的距离都相等。
这么一来，大家都心服口服，不得不佩服这条“公正”的线啊！你要是觉得垂直平分线很复杂，那可就大错特错了！其实它就像一个“大管家”，负责协调和管理一切，让事情变得井井有条。
比如，假如你要给一块蛋糕切开，怎么切才公平呢？如果你用垂直平分线来切，保证两块蛋糕一样大，大家吃得也更开心。
所以啊，垂直平分线其实就是一位“分配员”，给每个部分都分配上公平的位置。
但是，说到实际操作，这条线怎么画才对呢？其实不难。
你得找到线段的中点。
就像你从头到尾测量这根线段的长度，然后找出一半的地方。
你就要用直尺把这根线段切开，形成一个垂直的交点。
这里的“垂直”可是关键哦，千万不能把线画成斜的，要是斜着，简直就跟无理取闹似的！你得确保这条线跟原来的线段成90度直角，最好是用量角器来帮忙，稳稳当当的。
初中数学 什么是垂直平分线和角平分线
初中数学什么是垂直平分线和角平分线垂直平分线和角平分线是初中数学中关于线段和角的重要概念。
它们在几何学中有着广泛的应用，用于描述和分析线段和角的性质和关系。
在本文中，我们将详细讨论垂直平分线和角平分线的概念、性质和应用。
一、垂直平分线垂直平分线是指将一条线段垂直平分为两个相等的线段的线。
具体来说，如果有一条线段AB，那么经过线段AB中点C并且垂直于线段AB的直线就是线段AB 的垂直平分线。
垂直平分线具有以下几个重要的性质：1. 垂直平分线将线段分成两个相等的部分，即线段AC与线段CB的长度相等。
2. 垂直平分线与线段所在的直线垂直相交，即线段AB和垂直平分线CD之间的夹角为90度。
3. 垂直平分线同时也是线段AB的中垂线，即线段AC与线段CB的中点C都在垂直平分线CD上。
垂直平分线在几何学中有着广泛的应用。
它可以用来解决关于线段的问题，比如寻找线段的中点、判断两个线段是否相等等。
此外，垂直平分线也可以用来解决关于垂直和平行的问题，比如判断两条线是否垂直、寻找垂直线的特性等。
二、角平分线角平分线是指将一个角平分为两个相等的角的线。
具体来说，如果有一个角ABC，那么经过角ABC的顶点B并且将角ABC分成两个相等的角的线就是角ABC的角平分线。
角平分线具有以下几个重要的性质：1. 角平分线将角分成两个相等的角，即角ABD与角CBD的度数相等。
2. 角平分线与角所在的边相交，并且将角分成相等的两部分，即角ABD和角CBD 的度数相等。
3. 角平分线与角的两条边的夹角相等，即角ABE与角EBD的度数相等。
角平分线在几何学中也有着广泛的应用。
它可以用来解决关于角的问题，比如寻找角的平分线、计算角的度数等。
此外，角平分线也可以用来解决关于直角、等腰三角形等问题，比如判断一个角是否为直角、判断一个三角形是否为等腰三角形等。
三、性质垂直平分线和角平分线具有一些重要的性质。
下面我们将分别讨论垂直平分线和角平分线的性质。
初中数学《线段的垂直平分线的性质》精选课件1
D. 方差
课堂练习
练习1 作出下列图形的一条对称轴，和同学比较 一下，你们作出的对称轴一样吗？
课堂练习
练习2 如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的 对称轴是什么？
课堂练习
练习3 如图，与图形A 成轴对称的是哪个图形？ 画出它的对称轴．
A
B
C
D
如图，△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P. （1）求证：PA=PB=PC. （2）点P是否也在边AC的 垂直平分线上呢？由此你能得出什么结论？ A
P C
B
结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点， 这个点到三角形三个顶点的距离相等.
有A，B，C三个村庄，现准备要建一所学 校，要求学校到三个村庄的距离相等，请 你确定学校的位置. A. 〖36〗^∘ B. 〖18〗^∘ C. 〖27〗^∘ D. 9^∘
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B
D
A
例题：
有A、B、C三个村庄，现准备要建一所学校， 要求学校到三个村庄的距离相等，请你确 定学校的位置。
Aห้องสมุดไป่ตู้
B
C
课堂小结
这节课你有哪些收获？
1、线段垂直平分线的逆定理；线 段垂直平分线的集合定义； 2、作一条已知线段的垂直平分线；
3、利用线段垂直平分线的逆定理 确定轴对称图形的对称轴；
回忆与思考
1、什么叫线段垂直平分线？ 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线， 叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。
2、线段垂直平分线有什么性质？ 线段垂直平分线上的点与这条线段的 两个端点的距离相等 。
你能画图说明吗？
新知探究：
如图：用一根木棒和一根弹性
C
均匀的橡皮筋，做一个简易的
“弓”，“箭”通过木棒中央
A
的孔射出去，怎样才能保证射
出的箭的方向与木棒垂直呢？
B
为什么？
线结段论垂：直平分线的逆定理：
与一条线段两个端点距离相等的 点，在这条线段的垂直平分线上。
已知：PA=PB，
求证：点P在线段AB的垂直 平分线上。
P
A
C
B
辨析：
性质定理：在线段垂直平分线上的点到线段两 个端点距离都相等（纯粹性）。 逆定理：与线段两个端点距离相等的点都在线 段的垂直平分线上。（完备性）。
线段垂直平分线的集合定义：
线段垂直平分线可以看作是与 线段两个端点距离相等的所有点的 集合。
例题：
如图：AB=AC，MB=MC，直线AM是线段
BC的垂直平分线吗？
A
M
B
C
思 如果我们感觉一个图形是轴对称图形，我
们如何验证呢？不折叠图形你能得出它的
考 对称轴吗？
A
A’
基本作图：
作线段的垂直平分线。
直平分线交于点P。
A
（1）求证：PA=PB=PC。
（2）点P是否也在边AC的垂直 平分线上呢？由此你能得出什 么结论？
B
P C
结论：三角形三条边的垂直平分线相 交于一点，这个点到三角形三个顶点 的距离相等。
例题：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90， DE是AB的垂直平分线，连接AE， C ∠CAE：∠DAE=1：2，求∠B的E 度数。
已知：线段AB，
A
求作：线段AB的垂直平分线。
作法：(大两1)于弧分—交别12—于以AC点B、的AD、长两B为点为半；圆径心作，弧以，
C
B D
（2）作直线CD。 CD即为所求。
结论：对于轴对称图形，
只要找到任意一组对应 点，作出对应点所连线 段的垂直平分线，就得 到此图形的对称轴。
练习：
如图，△ABC中，边AB、BC的垂