高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 第2课时 等比数列的性质课件 新人教A版必修5

[变式训练] 已知{an}为等比数列，若 an＞0，a2a4＋ 2a3a5＋a4a6＝36，求 a3＋a5.
解：法一：a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25＝(a3＋ a5)2＝36，
因为 an＞0，所以 a3＋a5＞0， 所以 a3＋a5＝6.
法二：因为 an＞0，a1＞0，q＞0， 又因为 a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36， 所以 a1q·a1q3＋2a1q2·a1q4＋a1q3·a1q5＝36， 即 a21q4＋2a21q6＋a21q8＝36， 所以 a21q4(1＋2q2＋q4)＝36， 所以 a1q2(1＋q2)＝6， 所以 a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(1＋q2)＝6.
A．7 B．5 C．－5 D．－7 (2)在等比数列{an}中，已知 a4a7＝－512，a3＋a8＝ 124，且公比为整数，则 a10＝________．
解析：(1)因为数列{an}为等比数列，所以 a5a6＝a4a7
a4＋a7＝2， a4＝2 a4＝－2，
＝－8，联立
解得
或
a4a7＝－8， a7＝－2 a7＝4.
5．若等比数列{an}满足 a2a4＝12，则 a1a23a5＝________． 解析：利用等比数列的性质求解．
因为数列{an}为等比数列， 所以 a2·a4＝a23＝12，a1·a5＝a23. 所以 a1a23a5＝a43＝14. 答案：14
类型 1 等比数列性质的应用(互动探究)
[典例 1] (1)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6 ＝－8，则 a1＋a10＝( )
答案：(1)√ (2)× (3)√
2．如果数列{an}是等比数列，那么( ) A．数列{a2n}是等比数列 B．数列{2an}是等比数列 C．数列{lg an}是等比数列 D．数列{nan}是等比数列 解析：利用等比数列的定义验证即可．
答案：A
3．已知{an}是等比数列，且 an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6 ＝25，那么 a3＋a5 的值等于( )
－1，aq－1，aq2－4，aq3－13 成等差数列，由题意可知
2（aq－1）＝（a－1）＋（aq2－4）， 2（aq2－4）＝（aq－1）＋（aq3－13），
a（q－1）2＝3，
整理得
解得 a＝3，q＝2.因此这四
aq（q－1）2＝6，
个数分别是 3，6，12，24，其和为 45. 答案：45
(2)解：法一：设前三个数为aq，a，aq， 则aq·a·aq＝216， 所以 a3＝216，所以 a＝6. 因此前三个数为6q，6，6q. 由题意知第 4 个数为 12q－6. 所以 6＋6q＋12q－6＝12，解得 q＝23.
A．5 B．10 C．15 D．20 解析：a2a4＝a23，a4a6＝a25， 故得(a3＋a5)2＝25，
所以 a3＋a5＝±5，又 an＞0，即 a3＋a5＝5.
答案：A
4. 在等比数列{an}中，a2＝2，a6＝16，则 a10＝ ________．
解析：因为数列{an}是等比数列， 所以 a10·a2＝a26， 即 a10＝aa226＝1262＝128. 答案：128
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项 之积等于首末两项的积．( ) (2)当 q＞1 时，{an}为递增数列．( ) (3)当 q＝1 时，{an}为常数列．( )
解析：(1)正确，根据等比数列的定义可以判定该说 法正确．(2)错误，当 q＞1，a1＞0 时，{an}才为递增数列．(3) 正确，当 q＝1 时，数列中的每一项都相等，所以为常数 列．
第二章 数列
2.4 等比数列 第 2 课时 等比数列的性质
[学习目标] 1.掌握等比数列的定义和通项公式． 2. 探索发现等比数列的性质，并能应用性质灵活地解决一些 实际问题．
1．(1)等比数列的通项公式：__a_n_＝__a_1_·q_n_－__1_(a_1_·_q_≠_．0等) 比数列的通项推广公式：a_n_＝__a_m_·_q_n_－__m_(a__1·_q_≠__0．)
[迁移探究] 上例(2)条件不变，求数列{an}的通项公 式．
解：由 a4·a7＝－512，得 a3·a8＝－512.
a3·a8＝－512 a3＝128，
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由
或
(舍去)
a3＋a8＝124 a8＝－4.
5 所以 q＝
aa83＝－2，
所以 an＝a3qn－3＝－4×(－2)n－3＝(－1)n2n－1.
归纳升华 有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想 列出基本量 a1 和 q 的方程组，先解出 a1 和 q，然后利用 通项公式求解．但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质 解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下 标”的指导作用．
类型 2 灵活设项求解等比数列问题
[典例 2] (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别 减去 1，1，4，13，则成等差数列，则这四个数的和是 ________．
(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘 积为 216，后三个数成等差数列，且它们之和为 12，求这 四个数．
(1)解析：设这四个数分别为 a，aq，aq2，aq3，则 a
所以 q3＝－12或 q3＝－2，
故 a1＋a10＝aq43＋a7·q3＝－7.
(2)由 a4·a7＝－512，得 a3·a8＝－512.
a3·a8＝－512， 由
a3＋a8＝124，
a3＝－4 a3＝128，
解得
或
(舍去)．
a8＝128 a8＝－4
5 所以 q＝
aa83＝－2.
所以 a10＝a3q7＝－4(－2)7＝512. 答案：(1)D (2)512
(2)已知等比数列{an}中 a3＝6，公比 q＝3，则其通项 公式为__a_n_＝__6_·_3_n_－_3_．
2．(1)既是等差又是等比数列的数列是_非__零__常__数___列_． (2) 写 出 一 个 既 是 等 差 又 是 等 比 数 列 的 数 列 ： _2_，__2_，___2_，__2_，__2_，___…__(答___案__不__唯__一． ) 3．若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，则{an·bn}、 abnn是__等__比___数__列__．