专题17 空间向量与立体几何大题专项练习(理)(原卷版)

专题17 空间向量与立体几何大题专项练习

一、巩固基础知识

1．如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M 、N 分别是AB 、CD 的中点。

(1)求证：AB MN ⊥，CD MN ⊥；

(2)求MN 的长； (3)求异面直线AN 与CM 夹角的余弦值。

2．如图所示，在三棱锥BCD A -中，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且4==BD BC ，24=AC ， 34=CD ， 45=∠ACB ，E 、F 分别为AC 、DC 的中点。

(1)求证：平面⊥ABD 平面BCD ；

(2)求二面角C BF E --的正弦值。

3．如图所示，在三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC 为正三角形，1A 在底面ABC 上的射影是棱BC 的中点

O ，1AA OE ⊥于E 点。 (1)证明⊥OE 平面C C BB 11； (2)若AB AA 31=，求AC 与平面B B AA 11所成角的正弦值。

4．直三棱柱111C B A ABC -，10=AB ，8=AC ，6=BC ，81=AA ，点D 在线段AB 上。

(1)若//1AC 平面CD B 1，确定D 点的位置并证明； (2)当31=AB BD 时，求二面角1B CD B --的余弦值。

二、扩展思维视野

5．如图，在四棱锥ABCD P -中，已知ABCD 是平行四边形， 60=∠DAB ，PB AB AD ==，PA PC ⊥，

PA PC =。 (1)求证：⊥BD 平面PAC ； (2)求二面角C PB A --的余弦值。

6．如图所示，在四棱锥ABCD P -中，BC AD //， 90=∠=∠PAB ADC ，AD CD BC 2

1==，E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为 90。 (1)在平面PAB 内找一点M ，使得直线//CM 平面PBE ，并说明理由；

(2)若二面角A CD P --的大小为 45，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值。

三、提升综合素质

7．如图，已知矩形ABCD 中，22==AD AB ，O 为CD 的中点，沿AO 将AOD ∆折起，使3=DB 。

(1)求证：平面⊥AOD 平面ABCO ； (2)求直线BC 与平面ABD 所成角的正弦值。

8．如图1，点D 、E 分别是正ABC ∆的边AC 、BC 的中点，点O 是DE 的中点，将CDE ∆沿DE 折起，使得平面⊥CDE 平面ABED ，得到四棱锥ABED C -，如图2。

(1)试在四棱锥ABED C -的棱BC 上确定一点F ，使得//OF 平面ACD ；

(2)在(1)的条件下，求直线DF 与平面ACD 所成角的正弦值。