机械波的驻波

§10．5 机械波的驻波

两列相干波，如果振幅相等，传播方向相反，它们的合成波将不是行波而是驻波。驻波的特性下文将加以说明，首先注意到形成驻波共有5个条件，即相干波源3个条件加上振幅相等、传播方向相反两个条件。

（一）驻波的数学表式

在[例题10．4C]已提到驻波与行波的数学表式有明显的不同。现在用一个较简单的例子全面分析驻波与行波的不同特点。

设有两列相干波（都是一维余弦行波）分别沿x 轴正负方向传播，其表式可按（10．1．18）与（10．1．19）式表示如下：

[两相干行波叠加成驻波的例子，]

（10．5．1） 沿x 轴正向传播的行波

（10．5．2） 沿x 轴负向传播的行波

为简单起见，上式选取x 轴原点的初相。上述两相干波的叠加结果，按余弦函数的化和为积方法可得：

（10．5．3）合振幅

（10．5．4） 从此式可知驻波表式由一个含x 的简谐函数和一个含 t 的简谐函数的乘积组成。这与行波的表式不同，如（10．5．1）及（10．5．2）行波式所示，行波式由一个含x 与t 的简谐函数表示。 （二）驻波有波腹，行波无波腹

为了形象化地认识驻波的特点，先看一看驻波的波形图。

将相角代入驻波表式（10．5．3）

便可得到，

。这就是时刻各质点位置坐标x 与它的振动

位移y 的关系式。此余弦函数式的曲线图在（图

10．5a ）中已画出，

的最大值为2A 1，出现在，与等位置。这就是此驻

波在时刻的波形曲线。 将相角

代入（10．5．3）式得，。这就是此驻波在

时刻的波形曲线表式。此波形曲线已描绘在（图10．5a ）中，其最大位移位置仍然在 与

等处。 12A A =012==ϕϕ⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=λπωx t A y 2cos 11⎪⎭⎫ ⎝

⎛+=λπωx t A y 2cos 22012==ϕϕt x A y y y ωλπcos 2cos 2121⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=λπx A A 2cos 210=t ω1cos =t ω⎪⎭⎫ ⎝⎛=λπx A y 2cos 210=t ωy 0=x 2λ=x λ=x 0=t ω3πω=t 21cos =t ω⎪⎭⎫ ⎝⎛=λπx A y 2cos 13πω=t 0=x 2λ=x 驻波的例子 节 腹 节 腹 节 腹 （图10．5a ）驻波的例子

将相角

代入（10．5．3）式得，。这时刻驻波中所有质点都

经过各自的平衡位置。此时刻的波形曲线成为一条直线——就是x 轴。 诸时刻的波形曲线，请同学们作为习题自己描绘出来。

从上述波形曲线可看出，任一时刻振动位移最大的位置，总是在与

等处。这些位置称为此驻波的波腹。从合振幅A 的表式（10．5．4）亦可求得此驻波的波腹位置。 ，,

，

（10.5.5）

（10.5.6）

此式表明，相邻波腹之间的距离都等于。

一个行波也有波峰位置，如（图10．1a ）所示，但行波的波峰不断向前移动，不象驻波波腹固定在一些位置上。因此行波无波腹。

以（10．5．1）式所示行波为例，它的波峰条件是相角。∴

，。这表明行波波峰位置坐标x 随时间t 而变，波峰的移动速度等于波速u 。

（三）驻波有波节，行波无波节

从（图10．5a ）可看出驻波中有些质点不发生振动，任何时刻它都静止在自己的平衡位置。这些点称为驻波的波节。以（10．5．4）式为例，可从合振幅A=0求出该驻波的波节位置：

， ，（10．5．7） （10．5．8）

比式表明，相邻波节之间的距离都等于。与（10．5．6）式比较可知相邻波节与波

腹之间距离都等于。只要得知一个波节或波腹的位置，即可确定全部波节与波腹的位置，如（图10．5a ）所示。

一个行波也有y=0的位置，但如（图10．1a ）所示，行波中的y=0位置不断向前移动，不象驻波的波节固定在一些位置上。因此，行波无波节。

2πω=

t 0cos =t ω0=y 23,34,,32ππππω=t y 0=x 2λ=x 12cos ±=⎪⎭⎫ ⎝⎛λπx 12A A =t A y ωcos 21±=π

λπk x =2 ,2,1,0±±=k

,,2,02λλ

λ

±±==k x 2λ

k x t πλπω22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-λλπλωk ut k t x -=-=2u dt dx =dt dx

02cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛λπx 0=A 0=y πλπk x '=2 ,5.1,5.0±±='k ,43,42λλλ±±='=k x 2λ

4λ

驻波的波腹位

置x 的

举例 驻波的波节位置x 的

举例

（四）驻波中各质点作同步振动，行波中各质点作波浪式的振动。

如（图10．5a ）所示，驻波中各质点同时达到各自的最大位移，同时经过各自的平衡位置。因此，我们称驻波各质点作同步振动。

驻波各质点同时达到各自最大位移y 的时刻t ，可按驻波表式求得。以（10．5．3）式为例计算如下：

，（10．5．9） ， （10．5．10） 此驻波各质点同时经过各自平衡点的时刻t ，亦可按（10．5．3）式求得：

， （10．5．11） ，

（10．5．12）

*（五）驻波能量的分析

在[附录10E]中，以细长杆中形成（10．5．3）式所示驻波为例，求得此驻波的动能密度与弹性势能密度，其结论如下：

（10．5．13）

（10．5．14）

将（10．5．7）式所示驻波波节条件代入上式即得： [驻波波节无动能] ，（10．5．15） 此结论与波节不运动，其动能为零的实际情况一致。

将（10．5．5）式所示驻波波腹条件代入（10．5．14）式即得：

[驻波波腹无弹性势能] ，（10．5．16）

如（图10．5a ）所示，波腹处质点与相邻质点的距离，在振动过程几乎保持不变。因此，波腹处无弹性形变，没有弹性势能。这与（10．5．16）式的结论一致。

将（10．5．11）式所示驻波各质点同时经过平衡点的时刻t ，代入（10．5．14）式可知，此时刻驻波各质点的弹性势能都等于零，驻波只有动能。

[各质点同时经过平衡点的时刻t ，驻波无弹性势能，只有动能] ， （10．5．17）

将（10．5．9）式所示驻波各质点同时达到最大位移的时刻t ，代入（10．5．13）式可1cos ±=t ω⎪⎭⎫ ⎝⎛±=λπx A y 2cos 21ππωk T t t ==2 ,2,1,0±±=k ,,2,02T T T k t ±±==0cos =t ω0=y ππωk T t t '==2 ,5.1,5.0±±='k

,43,42T T T k t ±±='=k

w P w t x T A w k ωλππρ222

1sin 2cos 8⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=t x T A w P ωλππρ2221cos 2sin 8⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=02cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛λπx 0=k

w 12cos ±=⎪⎭⎫ ⎝⎛λπx 0=P w 0=P w 0cos =t ω0=P w 驻波各质点同时达到各自最大位称y 的时刻t

驻波各质

点同时经过各自平衡位置的时刻t 驻波的能量密度举例