机械波的驻波
机械波的驻波与共振
机械波的驻波与共振机械波是一种传递能量的波动现象，广泛应用于机械、声学等领域。
其中，驻波和共振是机械波研究中的两个重要概念。
本文将探讨机械波的驻波与共振的原理和应用。
一、驻波的概念及特点驻波是一种在空间中呈现固定形态的波动现象。
它是由相同频率、相同振幅的两个波在相同介质中相互干涉形成的。
在驻波中，存在着一些特点：1. 节点和腹点：两波叠加后，在某些位置上会形成振幅为零的节点，而在其他位置上形成振幅最大的腹点。
2. 振幅不变：整个驻波系统中，波的振幅保持恒定，不随时间和空间的变化而变化。
3. 波动不传播：驻波中的能量不传递，而是呈现固定形态，并在介质中来回反射。
二、驻波的形成条件驻波的形成需要满足一定的条件：1. 两个相同频率的波在相同介质中传播，并沿相反方向传播。
2. 波的振幅和频率相同。
3. 波的传播速度相同。
三、驻波的应用驻波在实际应用中有着广泛的用途，以下是其中几个例子：1. 物理教学实验：驻波实验是许多物理实验中常见的一种，通过声波或水波在实验装置中形成驻波，直观地展示波动的特性和干涉现象。
2. 乐器制作：驻波的概念也可以应用于乐器的制作和改良中。
比如，弦乐器中的驻波现象决定了乐器的音调和音质。
3. 通信技术：驻波的特性在微波通信中有着重要的应用。
例如，微波天线中的驻波比可以用来描述天线的工作状态和匹配程度。
四、共振的概念及特点共振是指当外界激励频率与系统的固有频率相同时，系统会发生共振现象。
在机械波中，也存在共振现象，并具有以下特点：1. 能量传递：共振现象下，能量会从外界传递到系统中，使系统的振幅不断增大。
2. 振幅最大化：共振频率下，系统的振幅会不断增大，直到达到最大值。
3. 导致破坏：如果外界激励持续存在，振幅可能超过系统的承受范围，导致系统的破坏。
五、共振的应用共振在实际应用中也有着重要的作用：1. 振动工程：共振现象的控制和利用在振动工程中具有重要意义。
例如，振动台可以通过调整频率和振幅，实现对被测物体的共振激励。
普通物理学-机械波-2-6-驻波
2– 6 驻 波
第2章 机械波
当波从波密介质垂直入射到波疏介质， 被反射
到波密介质时形成波腹。入射波与反射波在此处的 相位时时相同，即反射波在分界处不产生相机械波
四、驻波的能量
位移最大时
波 节
x
dWp
(y )2 x
波
腹
x
A B C 平衡位置时
第2章 机械波
2）相邻两波节之间质点振动同相位，任一波节
π 两侧振动相位相反，在波节处产生 的相位跃变 。
（与行波不同，无相位的传播）。
y 2Acos2π x cos2π t
例 x 为波节
4
y
2
2
o
x
cos2π x 0, x ,
44
y 2Acos 2π x cos 2π t
（4）驻波中驻波中各质点同时达到各自的最大位移，同时经 过各自的平衡位置，因此我们称驻波各质点作同步振动。
（5）没有振动状态或相位的逐点传播，即没有“跑动”的波 形，也没有能量的传播。
2– 6 驻 波
驻波的形成
第2章 机械波
2– 6 驻 波
第2章 机械波
二、驻波方程
正向
y1
A c os2π
(t
x
)
负向
y2
A c os2π
(t
x)
y y1 y2
Acos2π (t x ) Acos2π (t x )
2 Acos2π x cos2π t
驻波的振幅 与位置有关
各质点都在作同 频率的简谐运动
2– 6 驻 波
第2章 机械波
讨论 ➢ 1）振幅
驻波方程 y
机械波的干涉和驻波现象
机械波的干涉和驻波现象机械波是一种传播能量的波动现象，其在传播过程中会出现干涉和驻波现象。
干涉是指两个或多个波在空间中相遇后，相互叠加形成新的波纹图案的现象。
驻波是指由于波在空间中来回反射导致波节和波峰固定不动的现象。
一、干涉现象干涉现象是指两个或多个波在空间中相互叠加形成新的波纹图案的现象。
干涉可以分为两种类型：同相干和异相干。
同相干是指波峰和波峰、波谷和波谷相遇时叠加，形成增强效应；异相干是指波峰和波谷相遇时叠加，形成消减效应。
干涉现象的产生需要满足两个条件：一是两个或多个波源的波长要相近，二是两个或多个波源之间的相位差要满足特定条件。
根据波源的数量和位置不同，干涉现象可以分为以下几种情况：1. 双缝干涉：当光波通过两个狭缝时，会形成一系列明暗相间的干涉条纹。
这是因为入射光经过两个缝洞后形成的两个次波在空间中相互干涉。
2. 单缝干涉：当光波通过一个狭缝时，由于狭缝的宽度很窄，波的传播方向发生偏折，形成一系列干涉条纹。
3. 平行板干涉：当光波通过两块平行而透明的玻璃板时，由于玻璃板的折射作用，光波发生了相位差，形成干涉条纹。
干涉现象的应用非常广泛。
例如在光学实验中，利用干涉现象可以测量波长、厚度等物理量；在工程中，干涉仪常被用于光学薄膜的检测和表面形貌的测量。
二、驻波现象驻波是指由于波在空间中来回反射导致波节和波峰固定不动的现象，这是波的反射和干涉相互作用的结果。
驻波现象发生需要满足以下两个条件：波源的频率必须恰好满足空间限制所形成的驻波条件，同时波在空间中的传播方向相反。
驻波现象可以在各种波动现象中观察到，如声波、水波和电磁波等。
在声学中，我们常常能够观察到管道中的驻波现象。
当在一根管子中引入声波后，它会来回在管道内反射，当波的频率满足特定条件时，波的幅度呈现出固定的分布规律，形成驻波。
这种现象被广泛应用于乐器制作中，使得乐器能够产生特定的音调。
除了声波，驻波现象在电磁波中也很常见。
例如，在一个封闭的金属盒中，微波在盒子内反射，形成驻波现象，这是微波炉的工作原理之一。
机械波的驻波现象
机械波的驻波现象机械波的驻波现象是波动现象中的一种重要现象，指的是在特定条件下，波动传播中的两个波峰或两个波谷出现在同一位置并保持不动的状态。
在这篇文章中，我们将探讨机械波的驻波现象，包括形成原理、性质以及应用等方面。
一、驻波的形成原理驻波现象是由波动的超前波和滞后波在特定位置上叠加干涉而形成的。
当一条波沿着介质传播时，反射波与入射波相遇并发生干涉，若波长为λ，当两个波谷或波峰相遇时，它们叠加在一起形成驻波。
这种驻波的形成需要满足以下几个条件：1. 波长λ要适合介质长度，即介质的长度必须是波长的整数倍。
2. 波的传播方向与波的反射方向重合。
二、驻波的性质1. 节点和腹点：在驻波的情况下，波动的两端保持固定，而在介质内部形成了一系列节点和腹点。
节点是波振幅为零的位置，反映了波动的固定点，而腹点是波振幅达到最大值的位置。
2. 自由端和固定端：对于一条固定在一端的弦，当波动传播到另一端时，反射波会返回，并与传播波发生干涉。
此时，固定端处形成节点，而自由端形成腹点。
相比之下，在两端均固定的情况下，两端均形成节点。
3. 驻波的波长和频率：驻波的波长是从一个节点到相邻节点的距离，而频率与波动的能量有关。
三、驻波的应用机械波的驻波现象在日常生活中有广泛的应用，包括以下几个方面：1. 乐器演奏：乐器如弦乐器、管乐器等的演奏依赖于驻波现象。
在弦乐器中，演奏者通过改变弦长来调音，而不同的音高对应着不同的驻波。
同样，在管乐器中，演奏者通过改变管道长度或气流速度来产生不同的音高。
2. 声学工程：在声学工程领域，驻波现象被广泛应用于声音的衰减和消除。
通过设置反射板或吸音板来改变声波的传播路径，以减少或消除驻波而降低噪音。
3. 医学成像：驻波的原理在医学成像中也得到了应用，如超声波成像。
超声波在人体组织中传播时，会产生驻波现象，医生通过观察驻波分布来诊断病情。
4. 工程震动：在工程建设中，驻波现象可以用来分析建筑物或结构的强度和稳定性。
机械波的驻波问题
机械波的驻波问题引言：机械波是一种在介质中传播的能量和信息的形式。
驻波是机械波在传播过程中出现的一种特殊现象，它是由于波的传播过程中发生的干涉造成的。
驻波在许多领域中有着广泛的应用，如声波、横波、纵波等。
本文将从驻波的定义、特征和应用等方面进行探讨。
一、驻波的定义和特征1.1 定义驻波是指波的前进和反射波之间的干涉效应形成的一种特殊波动形式。
当两个具有相同频率、方向、幅度但传播方向相反的波沿同一介质传播时，则它们之间会发生干涉，形成驻波。
1.2 特征1）驻波的节点和腹部：在驻波中，波峰和波谷位置保持不变，形成一系列不动的节点和腹部。
节点是波动方向振动幅度的最小值，而腹部则是振动幅度的最大值。
2）驻波的波长和频率：在驻波中，波动方向中的振动模式是由两波相互叠加形成的。
波长是两个传播波的波长之比。
3）驻波的单一模式：驻波只能形成某种特定的波动模式，而不会形成多种波动模式。
4）驻波的能量传递：在驻波中，能量在波峰和波谷之间来回传递，而不会在波动方向上传播。
二、驻波的数学描述和实验现象2.1 数学描述驻波的数学描述是通过波函数来进行的。
设波函数为y(x,t)，驻波的数学描述可以表示为y(x,t) = A*sin(kx)*cos(ωt)，其中A为振幅，k为波数，ω为角频率。
2.2 实验现象通过实验可以观察到驻波的形成和特征。
一种常见的实验是通过绳子来观察驻波现象。
将一根绳子固定在一端，然后在另一端通过振动源产生波动，当波动传播到固定端时，会发生反射并与传入的波动叠加形成驻波。
在绳子上可以观察到波节和波腹的形成，波节为绳子不振动的位置，波腹为绳子振动幅度最大的位置。
三、驻波的应用驻波在许多领域中有着广泛的应用。
3.1 声波的驻波在乐器中，驻波是产生声音的基本原理之一。
当乐器振动时，空气中的声波在乐器内传播并与传入的声波叠加形成驻波，产生特定的音调。
不同的乐器具有特定的驻波形式，因此可以通过驻波来区分不同乐器的声音。
机械波的驻波与共振
机械波的驻波与共振机械波是一种能够传播能量和信息的波动现象，它在物质媒介中通过粒子间的相互作用传播。
而驻波和共振则是机械波的两个重要现象，它们在多个领域具有广泛的应用和重要的理论意义。
一、机械波的驻波驻波是指由两个相同频率、相同振幅、反向传播的波叠加形成的波动现象。
在驻波中，波的振幅在空间中不随时间变化，而是呈现出一定模式的分布。
驻波的形成需要满足一定条件，其中最重要的就是两个波在某一位置上具有相同的频率和振幅，并且相向传播。
这种情况下，波与波相遇后会发生干涉现象，使得部分波的振幅增大，部分波的振幅减小，进而形成几个固定位置处振幅为零的节点以及夹在节点之间的振幅最大的波腹。
驻波的节点和波腹分布着波动的能量，这些节点和波腹的位置是固定的，并且它们之间的间隔是波长的整数倍。
例如，对于一维驻波，波腹和节点之间的距离为半个波长。
驻波在许多领域都有着广泛的应用。
例如，管道中的声波传播就可以形成驻波，这也是乐队乐器中管乐器的共鸣原理。
此外，在光学实验中，通过反射和干涉也可以形成驻波，如光学干涉仪中的Fabry-Perot干涉仪等。
二、机械波的共振共振是指在一定条件下，外界周期性激励与系统的固有频率相匹配时，系统会出现剧烈的振动现象。
共振的产生是由于外界激励的频率接近或等于系统的固有频率，使得系统受力增大，能量得到积累和放大，从而引发强烈的共振现象。
共振现象在自然界和工程领域得到了广泛的应用。
在车辆行驶中，桥梁和建筑物的共振会引发严重的振动甚至倒塌。
此外，乐器演奏中，共振的原理也被广泛应用，如弦乐器中的共鸣现象。
共振的频率由系统的固有频率决定，而共振的振幅则由外界刺激的强度和持续时间决定。
如果外界刺激的频率和系统的固有频率相差较大，共振现象则会减弱或消失。
三、驻波和共振的联系驻波和共振都是机械波的重要特性，二者之间存在紧密的联系。
在驻波中，波的振幅沿空间分布呈现规律性的变化，而共振则是波的振幅在时间上发生剧烈变化。
驻波实验声音和电磁波的驻波现象
驻波实验声音和电磁波的驻波现象驻波实验是一种通过在系统中反射波来产生驻波的实验方法。
在驻波实验中，声音和电磁波都会展现出驻波现象。
本文将介绍驻波实验中声音和电磁波的驻波现象，并探讨其产生原理及应用。
一、声音的驻波现象声音是一种机械波，通过介质的振动传播。
在驻波实验中，当一束声波在两个平行的反射面之间来回传播时，会出现声波的干涉与叠加现象，形成驻波。
驻波实验中的声音驻波现象可以通过共鸣管实验观察到。
共鸣管是一种空气柱，其中一端开放，另一端封闭。
当我们在共鸣管中发出一定频率的声波时，声波会在管内来回传播，并与反射波相叠加形成驻波。
当共鸣管内的声波波长与管的长度相适应时，共鸣会特别明显。
在某些特定频率下，共鸣管的两个端点之间形成声压波节和声压波腹。
声波波节处的声压最小，而声波波腹处的声压最大。
这种特定频率下的声波叠加造成了声波的共振，使得声音特别清晰响亮。
这就是声音的驻波现象。
二、电磁波的驻波现象电磁波是由电场和磁场的变化所产生的波动现象。
它们具有波长、频率和振幅等特性。
在驻波实验中，电磁波也会展现出驻波现象。
驻波实验中的电磁波驻波现象可通过长直导线上的干涉实验来观察。
在这样的实验中，一根长直导线的一侧是电信号发射源，另一侧是电信号接收器。
电磁波从发射源传播到接收器时，在导线上发生多次反射和叠加，从而形成驻波。
当导线长度为电磁波的整数分数倍波长时，驻波现象会更加明显。
此时，导线上会出现电压波节和电压波腹。
电压波节处电压为零，而电压波腹处电压最大。
这种特定长度下的导线与电磁波的共振造成了电磁场的驻波现象。
三、驻波现象的产生原理和应用声音和电磁波的驻波现象都是由波的反射、干涉和叠加所导致的。
当波在空间中来回传播并与波源或反射体发生干涉时，形成驻波现象。
驻波现象在实际生活中有广泛的应用。
在声学方面，通过了解声音的驻波现象，我们可以研究和设计各类管乐器、音箱和音响设备，以实现更好的音质效果。
在电磁学方面，利用电磁波的驻波现象，我们可以实现无线电传输、雷达系统和微波烹饪器等技术应用。
机械波的驻波现象与节点位置分析
机械波的驻波现象与节点位置分析引言：机械波是一种在介质中传播的能量传递现象。
当波的传播方向与波的反射方向相遇时，就会产生驻波现象。
本文将探讨机械波的驻波现象以及节点位置的分析。
一、驻波现象的产生当一条波沿介质传播时，若遇到受限边界或者其他干扰，会发生反射。
当传播方向与反射方向相遇时，波的振幅叠加会产生驻波现象。
这种现象可以在各种波动中观察到，比如声波、水波和弦波等。
二、节点与波腹的位置在驻波现象中，存在两种位置：节点和波腹。
节点是波在振幅叠加后几乎没有振动的位置，振幅为零；而波腹则是振幅最大的位置。
具体的节点与波腹位置与波的性质有关。
1. 绳上的驻波现象在一根悬挂较长的绳子两侧固定并传递波动，当波的反射达到一定条件时，便会形成驻波。
在该驻波中，绳子的两端为波腹位置，即振幅达到最大值的位置；而绳子中间则是节点位置，振幅接近于零。
此时绳子上的波形看起来像是一系列的山峰和谷底。
2. 空气中的声波驻波当声波在空气中传播时，也会发生驻波现象。
在一端开放的管道内，声波的传播受到管道壁的限制，当波的反射达到特定条件时，会形成驻波。
在该驻波中，管道两端处于声压最大值的位置，为波腹，而管道中间则是声压最小值的位置，为节点。
3. 弦上的驻波现象当一根弦的两端固定并以一定频率振动时，也会形成驻波现象。
弦的两端为波腹位置，而弦上的一些特定点处于节点位置。
这些节点具有特定的位置关系，可以通过简单的数学方法计算得出。
结论：机械波的驻波现象与节点位置是波动学中的重要概念。
通过对不同介质中的驻波现象以及节点位置的分析，可以更深入地理解波动的特性。
者有助于应用于各个领域，如音乐乐器的共鸣效应、电磁波的传输等。
通过进一步研究和实验，我们可以更好地探索和利用驻波现象和节点位置特性，为科学研究和应用发展做出更多贡献。
驻波
结束
�
二,驻波的形成
驻波----特殊的干涉现象
特殊表现:
波源特殊:频率相同,振幅相同,振 动方向相同,传播方向相反 波形特殊:波形虽然随时间而改变, 但不向任何方向移动.
三,空气柱内的柱波
点击下图观看实验
空气柱内产生驻波的条 空气柱的长度l跟声 件 : 空气柱的长度 跟声 波波长λ 波波长λ间满足一定条件 时 , 在空气柱内产生驻 波. 利用空气柱内产生的驻 波能测出声波的速度. 波能测出声波的速度. 如果测出产生驻波时空 气柱的长度, 气柱的长度 , 即可测出 声波的波长λ 声波的波长 λ . 又知音 叉的振动频率f, 则可得 叉的振动频率 , 声速ν λ . 声速ν =λ.
第十章 机械波
*六,驻
波
一在弦线上始终是静 波节 止不动的点叫做波节. 波腹: 波腹:在波节和波节之间,振幅 最大的那些点叫做波腹.
在相邻的两波节和波节之间, 质点振动方向是 在相邻的两波节和波节之间 , 相反的.相邻的两个波节(或波腹) 相反的.相邻的两个波节(或波腹)之间的距离 等于半个波长, 等于半个波长,即λ/2. 驻波:两列沿相反方向传播的振幅相同,频率相 驻波:两列沿相反方向传播的振幅相同, 同的波叠加时形成的波叫做驻波. 同的波叠加时形成的波叫做驻波. 驻波跟前面讲过的波形向前传播的那种波是显然 不同的. 不同的.相对于驻波来说波形向前传播的那种波 叫做行波 行波. 叫做行波.
机械波的驻波
§10．5 机械波的驻波两列相干波，如果振幅相等，传播方向相反，它们的合成波将不是行波而是驻波。
驻波的特性下文将加以说明，首先注意到形成驻波共有5个条件，即相干波源3个条件加上振幅相等、传播方向相反两个条件。
（一）驻波的数学表式在[例题10．4C]已提到驻波与行波的数学表式有明显的不同。
现在用一个较简单的例子全面分析驻波与行波的不同特点。
设有两列相干波（都是一维余弦行波）分别沿x 轴正负方向传播，其表式可按（10．1．18）与（10．1．19）式表示如下：[两相干行波叠加成驻波的例子，]（10．5．1） 沿x 轴正向传播的行波（10．5．2） 沿x 轴负向传播的行波为简单起见，上式选取x 轴原点的初相。
上述两相干波的叠加结果，按余弦函数的化和为积方法可得：（10．5．3）合振幅（10．5．4） 从此式可知驻波表式由一个含x 的简谐函数和一个含 t 的简谐函数的乘积组成。
这与行波的表式不同，如（10．5．1）及（10．5．2）行波式所示，行波式由一个含x 与t 的简谐函数表示。
（二）驻波有波腹，行波无波腹为了形象化地认识驻波的特点，先看一看驻波的波形图。
将相角代入驻波表式（10．5．3）便可得到，。
这就是时刻各质点位置坐标x 与它的振动位移y 的关系式。
此余弦函数式的曲线图在（图10．5a ）中已画出，的最大值为2A 1，出现在，与等位置。
这就是此驻波在时刻的波形曲线。
将相角代入（10．5．3）式得，。
这就是此驻波在时刻的波形曲线表式。
此波形曲线已描绘在（图10．5a ）中，其最大位移位置仍然在 与等处。
12A A =012==ϕϕ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λπωx t A y 2cos 11⎪⎭⎫ ⎝⎛+=λπωx t A y 2cos 22012==ϕϕt x A y y y ωλπcos 2cos 2121⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=λπx A A 2cos 210=t ω1cos =t ω⎪⎭⎫ ⎝⎛=λπx A y 2cos 210=t ωy 0=x 2λ=x λ=x 0=t ω3πω=t 21cos =t ω⎪⎭⎫ ⎝⎛=λπx A y 2cos 13πω=t 0=x 2λ=x 驻波的例子 节 腹 节 腹 节 腹 （图10．5a ）驻波的例子将相角代入（10．5．3）式得，。
机械波的传播弦上的驻波现象及其应用
机械波的传播弦上的驻波现象及其应用机械波是一种能量传递的波动现象，它的传播可以在弦上产生驻波现象。
驻波是一种特殊的波动现象，它的应用涉及到很多领域，包括音乐、声学、工程等。
下面将对机械波的传播弦上的驻波现象及其应用进行探讨。
一、驻波的形成机制当一根弦受到一定频率的振动作用时，它将产生传播的机械波。
而当传播的波与反射波在弦上相遇时，它们会发生干涉现象，形成驻波。
驻波的形成主要受到波长、弦的长度以及波的频率等因素的影响。
二、驻波现象的特点1. 节点和腹点：在驻波中，弦上会形成一些固定位置的节点和腹点。
节点处的振幅为零，而腹点处的振幅为最大值。
2. 波的反射和干涉：驻波是由传播波和反射波相互干涉形成的。
当传播波和反射波频率相同时，它们将形成驻波。
3. 能量分布：在驻波中，能量几乎完全集中在腹点处，而节点处几乎没有能量传递。
这是由于节点处的振幅为零，能量无法通过节点传递。
三、驻波现象的应用1. 乐器演奏：驻波现象在乐器演奏中起着重要作用。
例如，弦乐器在演奏时，通过控制弦的振动频率和长度，可以产生不同的音高。
驻波的产生使得乐器发出特定的音调。
2. 声学技术：声学技术中常用驻波现象。
例如，音响系统中的扬声器通过驻波来放大声音。
此外，房间的设计和材料的选择也会影响声音的驻波，进而影响音质和音响效果。
3. 工程应用：驻波现象在工程领域有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，通过考虑驻波的影响，可以合理设计建筑物的结构和空间布局，以提供良好的声学效果。
此外，驻波现象还可以用于测量物体的性质和检测材料的质量。
综上所述，机械波的传播弦上的驻波现象及其应用是一个涉及多个领域的重要问题。
通过理解驻波的形成机制和特点，我们可以更好地利用驻波现象，并将其应用到工程、音乐和声学等领域中，提高生产和生活的质量。
随着科学技术的发展，驻波现象的应用将会不断拓展和创新。
第48讲：机械波——驻波、声波和多普勒效应
x y1 A c o 2 s t x y2 A c o 2 s t
它们的合成波为
x x y y1＋y 2 A cos 2 t ＋A cos 2 t
利用三角公式可得驻波的表达式为
y 反 A c o s2 [ (
将 l=5λ 代入上式得
t l (l－x) ) －2 ] T
y反 A cos(2
t x 2l－2 ) T t x A cos 2 ( ＋ ) T
(2)驻波的表达式为
y y 入 y反 A cos 2 ( 2 2 2 A s i n s i n t T
(3)相邻波腹与波节之间的距离为
2
x
4
(4)其它点的振幅为 0～2A 之间。 振幅分布的这一特征可以用来测量波长，通过驻波实验测出波节或波腹间 的距离，即可得到波长。 2）相位分布 使 cos2π x/λ 为正的点，相位为 2π ν t; 使 cos2π x/λ 为负的点，相位为 2π ν t +π 。 可见在两个波节之间，cos2π x/λ 有相同的符号，因而两个相邻波节间的 所有质点的振动相位相同；在波节的两侧， cos2π x/λ 有相反的符号，即波节 两侧质点的振动相位相反。即当驻波形成时，介质在作分段振动。同一段内各 质点的振动步调一致，同时达到正向最大位移，同时通过平衡位置，同时达到 负向最大位移，只是各个质点的振幅不一样；相邻两段质点的振动步调相反。 同时沿相反的反向通过最大位移，同时沿相反的反向通过平衡位置。每一段中 质点都以确定的振幅在各自的平衡位置附近独立地振动着。只有段与段之间的 相位突变，没有象行波那样的相位和波形的传播，故称为驻波。严格地说，驻 波不是波动，而是一种特殊形式的振动。
机械波的驻波现象及其特点是什么？
机械波的驻波现象及其特点是什么？
机械波是一种沿介质传播的波动现象，其中辐射出去的波与反射回来的波进行相互干涉。
如果两个间隔相等的波在介质中相向而行，它们之间就会产生驻波，这种状态被称为驻波现象。
机械波的驻波现象有以下四个主要特点：
1. 驻波形状：通过相互干涉，波的前进方向和反射方向形成一些定点，这些定点处的振幅都相等，形成类似于波节点和波腹的形态等。
2. 驻波节点和波腹：波的前进方向和反射方向相遇时，会在转折点处形成波节点，即使振幅为零的点；而在相邻两个波节点之间则存在波腹，即振幅最大点。
3. 驻波的反向传播：驻波中孔径处能量密度最大，形成的波能会沿着介质向反方向传播，称为阻抗反射。
4. 驻波振幅与能量：驻波中介质的振幅与能量密度都会变化，振幅最小的地方是波节点，能量密度最大的地方是波腹。
总之，机械波的驻波现象是一种波在介质传播过程中的相互干涉现象，其特点主要包括形状、节点和波腹、反向传播和振幅与能量密度的变化等。
在实际应用中，深入了解驻波现象的特点，对于解决相关问题具有重要的理论和实践意义。
机械波和波的驻波
机械波和波的驻波波是一种能量的传播方式，而机械波则以介质的振动传递能量。
机械波包括了横波和纵波两种形式。
在介质中传播的波，会通过其振动形式的不同而呈现出不同的特性。
其中，驻波是波的一种特殊形式，它具有一些独特的性质和应用。
本文将对机械波和波的驻波进行论述，解释其基本概念、特性和应用。
一、机械波的基本概念机械波是指通过介质中质点的振动来传递能量的波动形式。
介质在波传播过程中并不随波而移动，只是以不同的形式振动。
根据质点振动的方向与波传播方向的关系，机械波分为横波和纵波。
1. 横波横波指的是质点振动方向与波传播方向垂直的波。
在横波的传播过程中，介质质点沿垂直于波传播方向的方向振动，形成了起伏的波形。
典型的横波包括水波、光波等。
横波特点如下：（1）横波的振动方向与波的传播方向垂直。
（2）横波传播时，质点以波峰和波谷的形式进行周期性振动。
（3）横波传播时，能量在波传播方向上传递。
2. 纵波纵波指的是质点振动方向与波传播方向平行的波。
在纵波的传播过程中，介质质点沿波传播方向的方向振动，形成了压缩与稀疏的波动形式。
典型的纵波包括声波等。
纵波具有以下特点：（1）纵波的振动方向与波的传播方向平行。
（2）纵波传播时，质点以压缩和稀疏的形式进行周期性振动。
（3）纵波传播时，能量也在波传播方向上传递。
二、波的驻波的特性波的驻波是由同频率、同振幅、反向传播的两个波相叠加形成的一种特殊波动。
它具有一些特殊的性质。
1. 节点与腹部在波的驻波中，波的振幅在空间中形成了不同的分布。
当两个相同频率的波相遇时，它们会在空间中形成一些不动或者相对不动的点，这些点就是波的节点。
相邻节点之间的部分则是波的腹部。
节点和腹部的位置与波的频率和振幅有关。
2. 固定波腹位置波的驻波中，波的腹部位置是固定的。
当波在两端被固定时，波的驻波呈现出一些特殊的模式。
当波在两端被固定时，波的腹部位置会固定在容器两端的位置，而波的节点位置则位于容器中间。
3. 波长和频率在波的驻波中，波的波长和频率决定了节点和腹部的分布情况。
6-5驻波
x
三 驻波特点
①频率特点：由图及式知，各质元以同一频率作简谐振 动。
②振幅特点：振幅项 2 A cos 2
而与时间 t 无关。 函数不满足
x
只与位置 x 有关，
y(t t , x t ) y(t , x) ，不是行波。
5
振幅在空间按余弦规律分布，各质元的振幅可能不同。
6-5 驻波
第六章 机械波
/ 4 波节 / 2
波腹
⑤除波节、波腹外，其它各点振幅
0 2A
⑥两波节间同步振动，各点的相位相同。
⑦波节两侧的振动相位相反，在波节处产生π的相位跃 变。
10
6-5 驻波
第六章 机械波
/ 4 波节 / 2
波腹
⑧驻波的波形、能量都不能传播，驻波不是波，是一 种特殊的振动。
2
cos
2
t x t x A cos 2 A cos 2 T T
t x 2 A cos 2 cos 2 T
4
6-5 驻波 驻波方程
第六章 机械波
t y 2 A cos 2 cos 2 T
半波损失
5′25″
24
u 其中，最低频率为基频 1 2L
其他较高频率为谐频。一个驻波系统的振动，是它的 各种简正模式的叠加。 满足简正模式的频率称为系统的固有频率。一个驻 波系统有许多固有频率。 弦乐器一般都是驻波系统，其音调是由基频决定， 19 同时发生的谐频频率和强度决定声音的音色。
6-5 驻波 两端固定的弦 振动的简正模式
6-5 驻波
第六章 机械波
一 驻波的产生 驻波是振幅、频率、传播速度都相同 的两列相干波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加 而形成的一种特殊的干涉现象.
驻波
π
6-7
驻 波
第六章 机械波
当波从波密介质垂直入射到波疏介质， 被反射到 波密介质时形成波腹. 入射波与反射波在此处的相 位时时相同，即反射波在分界处不产生相位跃变.
6-7
驻 波
第六章 机械波
例1：如图二胡弦长 l 0.3 m，张力 T 9.4N ，密度 3.8 104 kg m 。求弦所发的声音的频率. 解 ：弦两端为固定点，是波节.
第七节
驻 波
1 驻波的产生 2 驻波的方程 3 半波损失
4 例题
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
6-7
一
驻 波
驻波的产生
第六章 机械波
振幅、频率、传播速度都相同的两列相干波，在
同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊
的干涉现象.
6-7
驻 波
驻 波 的 形 成
第六章 机械波
6-7
二
驻 波
驻波方程 正向
负向
第六章 机械波
y1 A cos 2π (t
x
x
2 A cos 2π 随 x 而异， 与时间无关. x k π k 0,1,2, 1 2π x cos 2 π x 1 0 2 π (k ) π k 0,1,2, 2 k k 0,1, Amax 2 A 波腹
1 (k ) 2 2
x
cos t
2
k 0,1, Amin 0
波节
相邻波腹（节）间距
2 相邻波腹和波节间距 4
6-7
三 波 疏 介 质
驻 波
相位跃变（半波损失）
第六章 机械波
c
较 小
c
较 大
机械波的共振和机械波的驻波
机械波的共振和机械波的驻波机械波是一种能够在介质中传递能量的波动现象。
在机械波的传播过程中，我们经常会遇到两种重要的现象，即共振和驻波。
本文将详细介绍机械波的共振和机械波的驻波。
一、机械波的共振共振是指两个或多个振动系统在频率相同时，由于能量传递和耗散最小化而发生较大的振幅增强的现象。
在机械波的传播过程中，当外界频率与波的固有频率相同时，就会发生机械波的共振。
1. 共振的原理共振的发生需要满足共振条件，即外界频率等于振动系统的固有频率。
当外界频率与振动系统的固有频率相同时，振动系统会受到强迫振动的作用，能量传递和耗散达到最小化，振幅迅速增强。
这是因为在共振状态下，能量的输入和输出达到平衡，系统的振动能量不会被耗散掉，而是被积累和放大。
2. 共振的实际应用共振现象在日常生活和科学研究中都有广泛应用。
例如，音乐中的共鸣箱就是利用共振的原理，通过选择合适的频率来增强声音的音质和音量。
共振技术还可以应用于医学、车辆工程、建筑工程等领域，用于改善信号传输、减震、节能等方面。
二、机械波的驻波驻波是指两组相同频率、振幅相等的波沿相反方向传播时，产生相干叠加而形成的固定的波形图案。
相比于普通的波动现象，驻波具有固定的波节和波腹位置，不随时间的推移而变化。
1. 驻波的形成驻波的形成需要满足以下条件：首先，两组波的频率必须相同；其次，两组波的振幅和相位必须相等；最后，两组波沿相反方向传播。
2. 驻波的特点驻波具有固定的波节和波腹位置，波节是振幅最小的位置，波腹是振幅最大的位置。
在驻波中，能量不会传递给其他位置，而是在波节和波腹之间来回往复。
这种波的行为与共振不同，共振中能量会累积，而在驻波中，能量保持在波的传播路径上。
三、共振和驻波的区别与联系共振和驻波虽然都是机械波的特殊现象，但在许多方面存在一些区别。
首先，共振是频率相同的波与振动系统相互作用的结果，振幅会显著增强；而驻波是两组波相干叠加形成的固定波形图案。
其次，共振中能量会积累，而在驻波中，能量保持在波的传播路径上。
机械波弦上的驻波现象
机械波弦上的驻波现象机械波是一种能够在介质中传播的波动现象。
当波在介质中传播时，如果波源和反射体之间的距离正好是波长的整数倍，就会出现驻波现象。
而驻波现象在机械波弦上尤为常见。
一、驻波现象的形成在机械波弦上形成驻波需要满足以下条件：一条固定端的弦、另一条自由端的弦、以及弦的长度等于波长的整数倍。
当弦上的波源发出波动时，一部分波将被反射回来，与从固定端传来的波相遇并叠加，形成驻波。
二、驻波现象的特点1. 节点与腹点：在机械波弦上，相位相同的点构成节点，相位相反的点构成腹点。
节点是波动幅度最小的点，腹点是波动幅度最大的点。
2. 波节和半波长：相邻的节点之间的距离称为波节，而半波长则是相邻的腹点之间的距离。
3. 波纹分布：驻波现象在机械波弦上的表现是波纹的分布，相邻的波纹之间的距离等于半波长，整个弦上的波形呈现出规律的起伏。
三、驻波的模式机械波弦上的驻波现象有多种模式，其中最常见的是基波和谐波。
基波对应于波长最长的模式，即弦上只有一个完整的波纹。
而谐波则是波长较短的模式，弦上存在多个波纹。
四、应用与意义1. 乐器演奏：驻波现象的应用已广泛用于乐器的演奏中。
例如，弦乐器上的音调高低即由弦上波纹的密集程度来决定。
2. 声学研究：驻波现象也被用于声学研究中，通过对驻波的研究可以更好地理解声音是如何在空间中传播的，以及为什么会出现共鸣现象。
3. 工程应用：驻波现象在工程中的应用也非常广泛，可以用于测量物体的长度、检测缺陷等。
总结：机械波弦上的驻波现象是一种特殊的波动现象，形成条件为波长的整数倍，并在弦的两端形成固定端和自由端。
驻波现象通过节点和腹点、波节和半波长、波纹分布等特点来描述。
驻波现象在乐器演奏、声学研究以及工程应用中都有重要的作用，深入研究它可以使我们更好地理解和应用波动学原理。
机械波的驻波与共振
机械波的驻波与共振机械波是一种传播能量的波动现象，可以分为行波和驻波两种形式。
其中，驻波是指两个同频率、反向传播的波叠加在一起形成的波动现象。
共振则是指通过施加外力或改变频率等方式，使波动系统表现出最大幅度的振动现象。
本文将详细介绍机械波的驻波和共振。
一、机械波的驻波驻波是由两个完全相同的波沿相反方向传播叠加形成的。
这两个波被称为波腹和波节。
波腹是指波的振幅最大的位置，而波节则是指振幅为零的位置。
机械波的驻波一般只发生在由波源和反射体构成的波导中。
当波源向波导中传播波动时，部分波动被反射体反射回来，与入射波进行叠加。
如果反射波与入射波同频率、反向传播，并且二者的振幅和相位相等，则会形成驻波。
这种驻波的特点是波腹和波节节点固定不动，形成叠加波形的稳定图案。
驻波的形成需要满足波长和波导长度之间的整数倍关系。
具体来说，当波导长度等于波长的整数倍时，波腹和波节位置固定，波动呈现出稳定的驻波状态。
而当波导长度为波长的奇数倍时，波节和波腹位置互换，呈现出相反的波动状态。
驻波的产生不仅能够说明波动的特性，还可以用于实际应用，比如在乐器中的共鸣现象。
例如，长笛中的空气柱与口腔内的气流形成驻波，共振增强了特定频率的声音，使其发出更为悦耳的音调。
二、机械波的共振共振是指在某种外力作用下，波动系统表现出最大幅度的振动。
当外力与系统本身的固有频率匹配时，系统将受到强迫振动，并达到最大振幅。
共振现象在机械波中常常出现，例如在弦乐器中，当琴弦与声音频率相匹配时，琴弦将受到共振并产生共鸣现象，音量和音质得到增强。
共振的发生需要满足共振频率条件。
具体来说，当外力频率与系统固有频率相等或接近时，共振现象就会发生。
共振频率的计算可以通过公式f=1/2π√(k/m)，其中f为共振频率，k为系统的劲度系数，m为系统的质量。
机械波的共振也具有一定的应用价值。
例如，在建筑结构设计中，需要考虑地震波对建筑物的影响。
通过研究共振频率，可以避免建筑物与地震波发生共振，提高建筑物的抗震性能。
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§10．5 机械波的驻波两列相干波，如果振幅相等，传播方向相反，它们的合成波将不是行波而是驻波。
驻波的特性下文将加以说明，首先注意到形成驻波共有5个条件，即相干波源3个条件加上振幅相等、传播方向相反两个条件。
（一）驻波的数学表式在[例题10．4C]已提到驻波与行波的数学表式有明显的不同。
现在用一个较简单的例子全面分析驻波与行波的不同特点。
设有两列相干波（都是一维余弦行波）分别沿x 轴正负方向传播，其表式可按（10．1．18）与（10．1．19）式表示如下：[两相干行波叠加成驻波的例子，]（10．5．1） 沿x 轴正向传播的行波（10．5．2） 沿x 轴负向传播的行波为简单起见，上式选取x 轴原点的初相。
上述两相干波的叠加结果，按余弦函数的化和为积方法可得：（10．5．3）合振幅（10．5．4） 从此式可知驻波表式由一个含x 的简谐函数和一个含 t 的简谐函数的乘积组成。
这与行波的表式不同，如（10．5．1）及（10．5．2）行波式所示，行波式由一个含x 与t 的简谐函数表示。
（二）驻波有波腹，行波无波腹为了形象化地认识驻波的特点，先看一看驻波的波形图。
将相角代入驻波表式（10．5．3）便可得到，。
这就是时刻各质点位置坐标x 与它的振动位移y 的关系式。
此余弦函数式的曲线图在（图10．5a ）中已画出，的最大值为2A 1，出现在，与等位置。
这就是此驻波在时刻的波形曲线。
将相角代入（10．5．3）式得，。
这就是此驻波在时刻的波形曲线表式。
此波形曲线已描绘在（图10．5a ）中，其最大位移位置仍然在 与等处。
12A A =012==ϕϕ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λπωx t A y 2cos 11⎪⎭⎫ ⎝⎛+=λπωx t A y 2cos 22012==ϕϕt x A y y y ωλπcos 2cos 2121⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=λπx A A 2cos 210=t ω1cos =t ω⎪⎭⎫ ⎝⎛=λπx A y 2cos 210=t ωy 0=x 2λ=x λ=x 0=t ω3πω=t 21cos =t ω⎪⎭⎫ ⎝⎛=λπx A y 2cos 13πω=t 0=x 2λ=x 驻波的例子 节 腹 节 腹 节 腹 （图10．5a ）驻波的例子将相角代入（10．5．3）式得，。
这时刻驻波中所有质点都经过各自的平衡位置。
此时刻的波形曲线成为一条直线——就是x 轴。
诸时刻的波形曲线，请同学们作为习题自己描绘出来。
从上述波形曲线可看出，任一时刻振动位移最大的位置，总是在与等处。
这些位置称为此驻波的波腹。
从合振幅A 的表式（10．5．4）亦可求得此驻波的波腹位置。
，,，（10.5.5）（10.5.6）此式表明，相邻波腹之间的距离都等于。
一个行波也有波峰位置，如（图10．1a ）所示，但行波的波峰不断向前移动，不象驻波波腹固定在一些位置上。
因此行波无波腹。
以（10．5．1）式所示行波为例，它的波峰条件是相角。
∴，。
这表明行波波峰位置坐标x 随时间t 而变，波峰的移动速度等于波速u 。
（三）驻波有波节，行波无波节从（图10．5a ）可看出驻波中有些质点不发生振动，任何时刻它都静止在自己的平衡位置。
这些点称为驻波的波节。
以（10．5．4）式为例，可从合振幅A=0求出该驻波的波节位置：， ，（10．5．7） （10．5．8）比式表明，相邻波节之间的距离都等于。
与（10．5．6）式比较可知相邻波节与波腹之间距离都等于。
只要得知一个波节或波腹的位置，即可确定全部波节与波腹的位置，如（图10．5a ）所示。
一个行波也有y=0的位置，但如（图10．1a ）所示，行波中的y=0位置不断向前移动，不象驻波的波节固定在一些位置上。
因此，行波无波节。
2πω=t 0cos =t ω0=y 23,34,,32ππππω=t y 0=x 2λ=x 12cos ±=⎪⎭⎫ ⎝⎛λπx 12A A =t A y ωcos 21±=πλπk x =2 ,2,1,0±±=k,,2,02λλλ±±==k x 2λk x t πλπω22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-λλπλωk ut k t x -=-=2u dt dx =dt dx02cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛λπx 0=A 0=y πλπk x '=2 ,5.1,5.0±±='k ,43,42λλλ±±='=k x 2λ4λ驻波的波腹位置x 的举例 驻波的波节位置x 的举例（四）驻波中各质点作同步振动，行波中各质点作波浪式的振动。
如（图10．5a ）所示，驻波中各质点同时达到各自的最大位移，同时经过各自的平衡位置。
因此，我们称驻波各质点作同步振动。
驻波各质点同时达到各自最大位移y 的时刻t ，可按驻波表式求得。
以（10．5．3）式为例计算如下：，（10．5．9） ， （10．5．10） 此驻波各质点同时经过各自平衡点的时刻t ，亦可按（10．5．3）式求得：， （10．5．11） ，（10．5．12）*（五）驻波能量的分析在[附录10E]中，以细长杆中形成（10．5．3）式所示驻波为例，求得此驻波的动能密度与弹性势能密度，其结论如下：（10．5．13）（10．5．14）将（10．5．7）式所示驻波波节条件代入上式即得： [驻波波节无动能] ，（10．5．15） 此结论与波节不运动，其动能为零的实际情况一致。
将（10．5．5）式所示驻波波腹条件代入（10．5．14）式即得：[驻波波腹无弹性势能] ，（10．5．16）如（图10．5a ）所示，波腹处质点与相邻质点的距离，在振动过程几乎保持不变。
因此，波腹处无弹性形变，没有弹性势能。
这与（10．5．16）式的结论一致。
将（10．5．11）式所示驻波各质点同时经过平衡点的时刻t ，代入（10．5．14）式可知，此时刻驻波各质点的弹性势能都等于零，驻波只有动能。
[各质点同时经过平衡点的时刻t ，驻波无弹性势能，只有动能] ， （10．5．17）将（10．5．9）式所示驻波各质点同时达到最大位移的时刻t ，代入（10．5．13）式可1cos ±=t ω⎪⎭⎫ ⎝⎛±=λπx A y 2cos 21ππωk T t t ==2 ,2,1,0±±=k ,,2,02T T T k t ±±==0cos =t ω0=y ππωk T t t '==2 ,5.1,5.0±±='k,43,42T T T k t ±±='=kw P w t x T A w k ωλππρ2221sin 2cos 8⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=t x T A w P ωλππρ2221cos 2sin 8⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=02cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛λπx 0=kw 12cos ±=⎪⎭⎫ ⎝⎛λπx 0=P w 0=P w 0cos =t ω0=P w 驻波各质点同时达到各自最大位称y 的时刻t驻波各质点同时经过各自平衡位置的时刻t 驻波的能量密度举例知，此时刻驻波无动能，只有弹性势能。
[各质点同时达到最大位移的时刻t ，驻波无动能，只有弹性势能] ，， （10．5．18）在[附录10F]中，计算驻波的一个波腹至相邻波节之间的动能与弹性势能总和△W ，为不随时间变化的常量。
其结论如下：[波腹至相邻波节间的机械能△W]（10．5．19）以上分析表明，在驻波内部不断进行动能与弹性势能之间的转化，然而其机械能的总量不变。
驻波是由传播方向相反、振幅相等的两个相干行波叠加而成，其中一个行波向x 轴正向传播机械能时，另一个行波就向x 轴负向传播等量的机械能。
因此，在此驻波中的机械能既不会增加，也不会减少。
驻波有固定的波腹和波节位置，驻波中各段的机械能总量不变，从上述特点，我们可以体会到为什么把它称为驻波。
*（六）反射波与入射波叠加形成的驻波有一个反射波与自己的入射波可满足相干三条件，即振动方向相同、频率相同、相角差恒定。
如果此反射波与入射波的传播方向相反、振幅相等，它们的叠加可形成驻波。
实际上，反射波的振幅会比入射波的小，如果差别不大，它们的合成波可近似看成是驻波。
本节讨论的就是这种情况。
实验表明，波的反射过程还可能引起相角的变化。
例如，入射波与反射波的传播方向都垂直于两个介质的分界面时，分界面上的反射振动与入射振动之间的相角差，决定于媒质的密度ρ与波速u 的乘积ρu 。
此ρu 值较大的媒质称为波密媒质，ρu 较小的媒质称为波疏媒质。
下面用实例说明这些关系。
如（图10．5b ），设两媒质的分界面垂直于x 轴并位于原点O 处。
入射波从x 轴正向射向分界面的O 点。
设此入射波为一维余弦行波，可参照（10．5．2）式写出入射波表式，为了简化令初相。
[入射波表式举例]， （10．5．20）上述入射波在分界面的O 点反射后，形成沿x 轴正向传播的反射波，参照（10．5．1）式可写出此反射波的表式。
[反射波表式举例]， （10．5．21）请特别注意此反射波从O 点发出的振动，与分界面的性质有关，因此，反射波表式的初相不可由我们选定，要按下列方法确定。
设入射波所在第一媒质的密度为ρ1，波速为u 1，分界面后面的第二媒质的密度为ρ2，波速为u 2。
实验表明，当，即第二媒质为波疏媒质时，上式的。
当，即第二媒质为波密媒质时，上式的。
[第二媒质为波疏媒质] ，（10．5．22）[第二媒质为波密媒质]，（10．5．23）1cos ±=t ω0sin =t ω0=k w 常量==∆+∆=∆4221λωρSA W W W P k k W∆P W ∆ϕ∆01=ϕ⎪⎭⎫ ⎝⎛++=1112cos ϕλπωx t A y 0≥x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2222cos ϕλπωx t A y 0≥x 2ϕ1122u u ρρ<12ϕϕ=1122u u ρρ>πϕϕ+=121122u u ρρ<12ϕϕ=1122u u ρρ>πϕϕ+=12入射波 反射波 （图10．5b ）反射波与入射波的叠加此式表明，入射波垂直射到波密媒质的分界面上时，在分界面上的反射振动与入射振动之间，有相角的突变。
形象化地说，在波密媒质分界面上，垂直地反射出来的反射波，好象有半个波长的损失，简称为半波损失现象。
如（图10．5b）所示，在第一媒质中，反射波与入射波叠加而成驻波。
其表式可由（10．5．20）与（10．5．21）式求得。
，，（10．5．24）此式的与，其关系按（10．．22）式或（10．5．23）式确定。