一元二次方程根与系数的关系

12.4 一元二次方程的根与系数的关系

中考考点

1．理解一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）。

2．会运用根与系数的关系，由已知的一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数3．会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。

考点讲解

1．若一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的两根为x1,x 2，则x 1+x2=- ，x1·x2= 。

2．以x1,x 2为根的一元二次方程是（x-x 1）（x-x 2）=0 ，展开代入两根和与两根积，仍得到方程ax2+bx+c=0 （a ≠0）。

3．对二次项系数为1 的方程x2+px+q=0 的两根为x1,x 2时，那么x1+x2=-p ，x1·x2=q。反之，以x1,x 2 为根的一元二次方程是：（x-x 1）（x-x 2）=0 ，展开代入两根和与两根积，仍得到方程：x2+px+q=0。

4．一元二次方程的根与系数关系的应用主要有以下几方面：

（1）已知一元二次方程的一个根，求另一个根，可用两根和或两根积的关系求另一个根。

（2）已知含有字母系数的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母系数的值。可用根与系数关系式，一个关系式求得另一个根，再用另一个关系式求得字母系数的值。

（3）已知一元二次方程，不解方程，可求与所给方程两根和、两根积的某些代数式的值。

如，方程2x2-3x+1=0 的两根为x 1,x 2，不解方程，求x 12+x22的值。

[∵x1+x2= ，x1·x2= ，∴ x12+x22=（x 1+x2）2-2x 1x2=（）2-2 × = ]

（4）验根、求根、确定根的符号。

（5）已知两根，求作一元二次方程（注意最后结果要化为整系数方程）。

（6）已知两数和与积，求这两个数。

（7）解特殊的方程或方程组。

考题评析

1．（北京市东城区）如果一元二次方程x2+3x-2=0 的两个根为x1，x2，那么x1+x2与x1·x2的值分别为（）

（A）3，2 （B）-3 ，-2 （C）3，-2 （D）-3 ，2

考点：一元二次方程的根与系数关系。

评析：由一元二次方程ax +bx+c=0（a ≠0）的两根x1,x 2, 满足x1+x2= ，x 1x2= 可直接计

算，

答案为B。

2．（杭州市）若是方程的两个根，则的值为（）

（A）–7 （B）1 （C）（D）

答案：A

考点：一元二次方程根与系数的关系

评析思路：由韦达定理知，，先求出x1+x2，x1·x2 的值，然后将代数式（x 1+1）（x

2+1）展开，最后将x1+x2，x1·x2的值代入即可。

3．（辽宁省）下列方程中，两根分别为的是（）

（A）（B）（C）（D）

答案：B

考点：一元二次方程根与系数的关系

评析思路：因给出了二根，所以好求二根和二根积，再根据x1+x2=-p x 1·x2=q，即可确定正

确答案为B。

4．（辽宁省）已知α，β是方程的两个实数根，则的值为。

考点：一元二次方程根与系数的关系

评析思路：由根与系数的关系可知a+b=-2 ，a·b= -5 。而所求式中有a2+2a 部分，因a 是方

程的根，所以有a2+2a-5=0 ，即a2+2a=5 ，再加a·b，原式值为0。

答案：0

5．（河南省）关于x 的方程，是否存在负数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于4 ？若存在，求出满足条件的k 的值；若不存在，说明理由。

答案：解：设方程的两个实数根是x1、x2. 由根与系数关系，得x 1+x2=5k+1，x1x2=k2-2.

=4.

∴ 4k 2-5k-9=0.

解这个方程，得 k 1=-1 ，k 2= （不合题意，舍去） 当 k=-1 时，原方程的判别式

2 2 2

△ =b -4ac=[-（5k+1）] -4（k -2）

=（-4） 2-4（1-2）=20>0.

所以存在满足条件的负数 k ， k=-1.

考点：一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的应用。

评析：此题是存在型的试题， 一般结论都是在存在成立的条件下， 按照给出的条件进行讨论， 因此题是关于两个实根的关系，所以在讨论时必注意△ >0。

答案：

7．（广州市）已知 2 是关于 x 的方程 x 2+3mx-10=0 的一个根，则 m=

考点：一元二次方程的根与系数关系

评析：根据方程解的概念，将未知数的值代入方程求出 求出。

答案： 1

又∵ =4，

6．（福州市）以 2， -3 为两个根的一元二次方

程是（ （）

2 x -x- 2 B ) x +x-6=0 2 C ) x -x+6=0 ). 2 (D ) x +x+6=0

考点： 元二次方程根与系数关系。

评析：

利用一元二次方程 x 2+px+q=0 的根 x 1,x 2 与系数关系： 直接计算即得答案。

m ，或利用根与系数的关系解方程组

=4.

8．（贵阳市）若x1,x 2 是方程x -2x+m=0 的两个根，且=2，则m=

考点：一元二次方程根与系数关系

评析：由一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根x1、x2 与系数的关系，

得x1+x2=2 x 1x 2=ｍ，求的值，代入已知的等式求出ｍ。

答案：1

9．（河北省）在Rt△ABC中，∠ C=900，a、b、c 分别是∠ A、∠ B、∠ C的对边，a、b 是关

于x 的方程的两根，那么AB 边上的中线长是（）

（A）（B）（C）5 （D）2

考点：直角三角形三边关系勾股定理、根与系数的关系

评析思路：因直角三角形两直角边a、b 是方程的二根，∴有a+b=7①a·b=c+7②，由勾股定

理知c2=a2+b2③，联立①②③组成方程组求得c=5，∴斜边上的中线为斜边的一半，故选B。

10．（北京市海淀区）已知：关于x 的方程①的两个实数根的倒数和等于3，关于x 的方程②有实数根且k 为正整数，求代数式的值。

考点：根的判别式，根与系数的关系。

评析：先根据根与系数的关系求得a 值，再将a 代入到第二个方程。因第二个方程只证有实根，所以k 可以等于1, 然后再根据Δ的范围再确定k 值，分别代入所求代数式就可以了。

答案：0

说明学生往往忽略k=1 的这种情况：认为一元二次方程有实根，必是两个，这是不全面的，也有的不考虑Δ的范围。

11. （河北省）若x1、x2是一元二次方程3x2+x-1=0 的两个根,则+ 的值是（）