一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系
一、韦达定理如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a =．（隐含的条件：0∆≥）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程20x px q ++=的两个根，则12x x p +=-，12x x q ⋅=．二、韦达定理的逆定理以两个数1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是21212()0x x x x x x -++=．一般地，如果有两个数1x ，2x 满足12b x x a +=-，12cx x a=，那么1x ，2x 必定是20(0)ax bx c a ++=≠的两个根．三、韦达定理与根的符号关系在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论： ①当0c a<时，方程的两根必一正一负．若0b a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0ba -<，则此方程的正根小于负根的绝对值． ②当0c a>时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0ba -<，则此方程的两根均为负根．更一般的结论是：若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根（其中12x x ≥），且m 为实数，当0∆≥时，一般地：① 121()()0x m x m x m --<⇔>，2x m <② 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>，2x m > ③ 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m <特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件． 其他有用结论：① 若有理系数一元二次方程有一根a b +，则必有一根a b -（a ，b 为有理数）． ② 若0ac <，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有实数根． ③ 若0ac >，方程20(0)ax bx c a ++=≠不一定有实数根． ④ 若0a b c ++=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =．一元二次方程根与系数的关系知识精讲⑤ 若0a b c -+=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =-．四、韦达定理的应用① 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ② 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ③ 已知方程的两根，求作方程； ④ 结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑤ 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑥ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．已知一元二次方程的一根求另一根1. 若方程240x x c -+=的一个根为2+，则方程的另一个根为 ，c = ．2. 已知关于x 的方程220x kx +-=的一个解与方程131x x +=-解相同．（1）求k 的值；（2）求方程220x kx +-=的另一个解．确定一元二次方程中字母参数的值或取值范围1. 已知关于x 的方程2210x mx m -+-=的两个实数根的平方和为23，求m 的值2. 已知关于x 的方程22210x x k ++-=的两根平方差等于2，求k 的值．3. 已知12,x x 为方程20x px q ++=的两根，且126x x +=，221220x x +=，求,p q 的值．4. 设1x 、2x 是方程()222120x k x k -+++=的两个不同的实根，且()()12118x x ++=，求k求与一元二次方程两根有关的代数式的值1. 已知α、β是方程2250x x +-=的两个实数根，22ααβα++的值为2. 已知m 、n 是一元二次方程2310x x -+=的两根，那么代数式222461999m n n +-+的值为3. 已知α、β是方程2520x x ++=+4.1x 、2x 是方程22350x x --=的两个根，不解方程，求下列代数式的值：（1）2212x x + （2）12x x - （3）2212233x x x +-5. 如果实数,a b 分别满足222a a +=，222b b +=，求11a b+的值6. 若方程20ax bx c ++=(0)a ≠的一个根是另一个根的3倍，则a 、b 、c 的关系是（ ）A.2316b ac =B.2316b ac =-C.2163b ac =D.2163b ac =-根据一元二次方程的两根构造一元二次方程7. 已知方程2980x x -+=，求作一个一元二次方程，使它的一个根为原方程两个根和的倒数，另一个根为原方程两根差的平方．。
一元二次方程的根与系数的关系
当今教科书指出：一元二次方程的根与系数的关系属选学内容，只供学习有余力的学生学习。
但是一元二次方程的根与系数的关系这个知识点的应用却是相当的广泛，习题的内容之多，题目的形式灵活多样，在中考及平时的考试中所占分值却很重，而大部分同学对这个内容却学得不好。
在此简单讲解一下一元二次方程的根与系数的关系的相关知识及相关应用，望对同学们有所帮助。
一元二次方程的根与系数的关系（以前的教科书叫韦达定理）：如果方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x1、x2，那么x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
也就是说，两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数与二次项系数的比。
一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式演变过来的，下面是证明的过程：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当判别式△=b2-4ac≥0时，方程有两个实数根，，，故有x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
该知识点的使用方法：先把一元二次方程化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），然后确定二次项系数、一次项系数及常数项（特别是要注意这些系数的符号），最后再根据根与系数的关系，求出相关值。
一、根与系数的关系的直接应用例1：不解方程，求出2x2+4x=1的两根的和与两根的积。
解：将原方程化为一般形式得：2x2+4x-1=0确定a，b，c的值为a=2，b=4，c=-1于是x1+x2=- c/a=-2，x1x2=c/a=-1/2。
二、根与系数的关系的几种变形例2： x1、x2是方程2x2-3x-5=0的两个根，不解方程，求下列代数式的值：（1）x12+x22 （2）| x1-x2| （3）x12+3x22-3x2解：由根与系数关系可知 x1+x2=3/2， x1x2 =-5/2（1） x12+x22=（x1+x2）2 -2x1x2=（2） | x1-x2|=√（x1+x2）2-4x1x2=√19/2（3）由2x2-3x-5=0可得：2x2-3x=5故：原式= （x12+x22）+（2x22-3x2）= +5 = 12三、由根与系数的关系求字母的值例3：已知关于x的方程x2+2（m+2）x+m2-5=0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m的值。
17.4一元二次方程根与系数的关系
不解方程，求：
（ 1）
x x
2 1
2 2
;
1 1 （2) ; x1 x2
(4)
(3) ( x1 1)(x2 1) ;
x1 x2
.
另外几种常见的求值:
x1 x2 1 1 1. x1 x2 x1 x2
x1 x 2 x x 2. x1 x2 x 2 x1
2 1
2 2
4.已知方程 x 2 kx k 2 0 的两个实数根 2 是 x1, x2 且 x12 x2 4 ， 求k的值. 解：由根与系数的关系得 x1+x2=-k， x1x2=k+2 解得：k=4 或k=－2 2-4k-8 ∵ △ = K 又 x 1 2+ x 2 2 = 4 当k=4时， △=-8＜0 2 即(x1+ x2) -2x1x2=4 ∴k=4(舍去） 2 K - 2(k+2）=4 当k=-2时，△=4＞0 2 K -2k-8=0 ∴ k=-2
一元二次方程根与系数的关系是 法国数学家“韦达”发现的,所以我们 又 称之为韦达定理.
指出下列各方程的两根之和与两根之积：
(1) x2 - 2x - 1=0 (2) 2x2 - 3x +
1 2
x1+x2=2 =0
3 x1+x2= 2
x1x2=-1
1 x 1 x 2= 4
(3) 2x2 - 6x =0 (4) 3x2 = 4
2
-3 。 的一个根，则另一个根是___ｍ=____
（还有其他解法吗？)
小结：
1、熟练掌握根与系数的关系；
2、灵活运用根与系数关系解决问题；
3、探索解题思路，归纳解题思想方法。
一元二次方程的根与系数关系
一元二次方程的根与系数关系一元二次方程是高中数学中的重要内容之一。
在学习一元二次方程时，我们需要了解它的根与系数之间的关系。
本文将详细介绍一元二次方程的定义、根的求解方法以及根与系数之间的关系。
一、一元二次方程的定义一元二次方程是指形式为ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数且a≠0。
其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
二、根的求解方法我们先来了解一元二次方程的根的求解方法。
根据求根公式，一元二次方程的根可以通过以下公式得到：x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a根据这个公式，我们可以得知：1. 当b² - 4ac > 0时，方程有两个不同的实数根；2. 当b² - 4ac = 0时，方程有两个相同的实数根；3. 当b² - 4ac < 0时，方程没有实数根，但有两个共轭复数根。
三、根与系数之间的关系接下来我们来探讨一元二次方程的根与系数之间的关系。
假设方程ax² + bx + c = 0有两个实数根x₁和x₂。
根据求根公式，我们可以将两个实数根表示为：x₁ = [-b + √(b² - 4ac)] / 2ax₂ = [-b - √(b² - 4ac)] / 2a我们可以进一步观察上述根的求解公式，发现以下规律：1. 根与一次项系数b的关系：一元二次方程的两个实数根分别是-b加上或减去√(b² - 4ac)再除以2a。
所以根与一次项系数b有关，如果b增大（b>0），根的数值也会相应地变大；如果b减小（b<0），根的数值也会相应地变小。
2. 根与二次项系数a的关系：a是二次项系数，它决定了方程开口的方向。
当a>0时，抛物线开口朝上，方程的根都是负数。
当a<0时，抛物线开口朝下，方程的根都是正数。
所以根与二次项系数a的正负有关。
一元二次方程的实数根与系数的关系
一元二次方程的实数根与系数的关系一元二次方程，听起来像是数学老师的专属词汇，其实它在我们生活中也常常出现。
比如，咱们在街头看到的一个漂亮的拐角，或者是手机屏幕上滑动的那一瞬间，都是有数学原理在背后默默支撑着。
今天就来聊聊这个一元二次方程的实数根和系数之间那点儿关系，听起来高大上，其实说白了就是个有趣的故事。
让我们把焦点放在一元二次方程上。
简单来说，它的形式就是 (ax^2 + bx + c = 0)。
在这儿，(a)、(b)、(c) 是系数，而(x) 是我们要找的根。
要是没有这几个小家伙的配合，方程就成了无本之木，空中楼阁。
想想看，系数就像是调料，少了盐就没滋味，多了糖又显得腻味。
说到底，数学也需要点儿人情味嘛。
我们来聊聊什么叫实数根。
简单说，就是方程的解，能够给我们带来真实的、能触摸到的结果。
咱们常说“鱼和熊掌不可兼得”，这在一元二次方程中可不一定。
只要系数们的配合得当，根就能如期而至。
不过，假如 (b^2 4ac) 小于零，哎呀，那就麻烦了，方程就没有实数根，仿佛在说：“我不想跟你见面。
”这个时候，数学就像个小孩子，心情不好就不想和你玩。
说到这里，不妨想象一下，如果 (b^2 4ac) 大于零，那就意味着方程有两个不同的实数根，简直就像是双胞胎兄弟，活泼又有趣，随时都能给你带来惊喜。
再如果这个值等于零，哎，那就成了一对恋人，甜蜜而单一，只有一个实数根。
实数根的出现真是让人捉摸不定，有时像个谜题，有时又像个明信片，带着期待送到我们手中。
再看看系数们的故事，(a) 是领导，得稳重，不能太小，太小就像一棵苗，根基不稳。
可是，(a) 太大了，又会让我们觉得沉重，像是背着一座大山。
接着是 (b)，它就像是我们生活的调味剂，过于酸涩或甜腻都会让人觉得难受，正好得掌握个平衡。
而 (c)像是情感的积累，带着过去的故事，轻描淡写却意义非凡。
每个系数都有自己的个性，彼此之间的互动又让这个方程充满了戏剧性。
其实啊，数学的美在于它的对称。
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系1.知识讲解：方程)0(0ax 2≠=++a c bx 的求根公式a ac b b x 242-±-=不仅表示可以由方程的系数a,b,c 决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系，一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗? 思考从因式分解法可知,方程0))((21=--x x x x (1x ，2x 为已知数)的两根为1x 和2x ,将方程化为02=++q px x 的形式,你能看出1x ，2x 与p,q 之间的关系吗?延展把方程0))((21=--x x x x 的左边展开，化成一般形式，得方程 0)(21212=++-x x x x x x这个方程的二次项系数为1,一次项系数)(21x x p +-=，常数项21x x q =，于是,上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系p x x -=+21 q x x =21再思考一般的一元二次方程02=++c bx ax 中，二次项系数a 未必是1,它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢?结论： 根据求根公式可知：a ac b b x 2421-+-=，aac b b x 2422---=由此可得 ab a b a ac b b a ac b b x x -=-=---+-+-=+2224242221， ac a ac b b a ac b b a ac b b x x =---=---∙-+-=22222214)4()(2424 因此，方程的两个根1x ，2x 和系数a,b,c 有如下关系：a b x x -=+21，ac x x =21。
这两条公式叫韦达定理。
2. 典型例题例1：已知方程01832=-+kx x 的一个根式2，求另一个根以及K 的值。
分析：按以往的经验是将x=2带入方程，求出k ，再求解。
但是现在可以用韦达定理进行求解。
解：设方程的两根为1x ，2x ，则1x =2。
由韦达定理可得1x ·2x =-6，∴ 32-=x ， 又1321-=-=+k x x∴ k=3.例2：设a ，b 是一元二次方程0732=-+x x 的两个根，求b a a ++42的值。
一元二次方程根与系数的关系
第一讲 一元二次方程根与系数的关系一、一元二次方程的根的判别式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为： 2224()24b b ac x a a-+= (1) 当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根：x =(2) 当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根：1,22b x a=-； (3) 当240b ac -<时，方程没有实数根．由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式：∆=24b ac -.二、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a-+--==所以：12b x x a+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅===定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么： 12x x +=______________, 12x x =______________.说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理．上述定理成立的前提是0∆≥．例1：已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．例2：若12,x x 是方程2220090x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --；(4) 12||x x -．说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式． 例3：已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． (1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由． (2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．练习：1.已知一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不等的实数根，求k 的取值范围.2.若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，求k 的值．3.已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=． (1) 求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．图（12） 第二讲 一次函数、反比例函数、二次函数1.当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而 ；当x ＞2ba-时，y 随着x 的增大而 ；当x ＝2ba-时，函数取最小值y ＝ ．2.当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而 ；当x ＞2ba-时，y 随着x 的增大而 ；当x ＝2ba-时，函数取最大值y ＝ ．3.二次函数的三种表示方式：一般式 顶点式 交点式 注：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：①给出三点坐标可利用一般式来求；②给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求．③给出三点，其中两点为与x 轴的两个交点)0,(1x .)0,(2x 时可利用交点式来求．例1：如图，反比例函数ky x=的图象与一次函数y mx b =+的图象交于A (1)B n -，两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象回答：当x 取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．例2：求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．例3：根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1）； （2）已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2； （3）已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)．巩固练习1.若函数12-+=a ax y 在11≤≤-x 上的值有正也有负，则a 的取值范围是_________2.若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，则实数a 的取值范围是_____________．3.二次函数y ＝－x 2+23x ＋1的函数图象与x 轴两交点之间的距离为 ．4.把函数y ＝－(x －1)2＋4的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得图象对应的解析式为________________.第三讲 解不等式一、一元一次不等式（组）及其解法 :例1：（1）解关于x 的不等式组0,231x a x -<⎧⎨-+<⎩二、一元二次不等式及其解法形如20(0) (0)ax bx c a ++><≠或其中的不等式称为关于x 的一元二次不等式例2：解下列不等式：(1) 260x x +->； (2)(2)(3)6x x +-< (3) (1)(2)(2)(21)x x x x -+≥-+例:3：已知关于x 的不等式22(1)30kx k x -+-<的解为13x -<<，求k 的值．二、简单分式不等式的解法例4：解下列不等式： (1) 2301x x -<+； (2)2301x x x +≥-+.例5：解不等式132x ≤+.三、含绝对值不等式的解法 例6：解不等式：(1) 13x ->； (2) 327x x ++-< ；练习：1、二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是________.2、如果22()530x a b x b x x ++⋅+=--，则b =___________.3、若2是关于x 的一元二次方程23100x mx +-=的一个根，则m =________.4、若一次函数(12)y k x k =--的图像不经过第二象限，则k 的取值范围是________.5、若函数2y x b =--与24y x =+的图像交于x 轴上一点A ，且与y 轴分别交于B ，C 两点，则ABC ∆的面积为________.6、已知一个直角三角形的两个直角边的长恰是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长为____________.7、当22x -≤≤时，函数223y x x =--的最大值为______.8、不等式260x x -+<的解为_______.9、已知关于x 的方程22310x x m -++-=的两个实根同号，则实数m 的取值范围为____.10、函数231y ax x =-+的最小值大于0，则实数a 的取值范围为_________.11、两个数的和为60，它们的积的最大值为___________.12、如果不等式210ax ax ++<无解，则a 的取值范围是_________.13、已知(3,2),(1,1)M N -，点P 在y 轴上，且PM PN +最短，则点P 的坐标为_______.14、解下列不等式：(1) 23180x x --≤ ； (2)31221x x +<-； (3)116x x -++>． 15、已知关于x 的不等式20mx x m -+<的解是一切实数，求m 的取值范围．16、解关于x 的不等式(2)1m x m ->-．17、已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x . （1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由.18、已知二次函数212y x bx c =-++的图像经过(2,0),(0,6)A B -两点. (1) 求这个二次函数的解析式；(2) 设该二次函数图像的对称轴与x 轴交于点C ，连接,BA BC ，求ABC ∆的面积.19、已知关于x 的函数222y x ax =++在55x -≤≤上. (1) 当1a =-时，求函数的最大值和最小值； (2) 当a 为实数时，求函数的最大值.。
一元二次方程根与系数的关系的关系(含答案)
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系A基础知识详解——————————————☆知识点一元二次方程根与系数的关系B重难点解读—————————☆重难点根据方程中两根的关系确定方程中字母的值○随堂例题例1 已知关于x的方程x2+（2k-1）x+k2-1=0有两个实数根x1、x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若x1、x2满足x12+x22=16+x1•x2，求实数k的值．（2）∵关于x 的方程x +（2k-1）x+k -1=0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=1-2k ，x 1•x 2=k 2-1．∵x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1•x 2=16+x 1•x 2，∴（1-2k ）2-2×（k 2-1）=16+（k 2-1），即k 2-4k-12=0， 解得k=-2或k=6（不符合题意，舍去）． ∴实数k 的值为-2．【一中名师点拨】题目中提到两个实数根，即隐含着根的判别式大于等于0；当根据方程中两根的关系确定方程中字母的值，关键是把这种关系式转化为含x 1+x 2及x 1x 2的形式. ○随堂训练1.（2017烟台）若x 1，x 2是方程x 2-2mx+m 2-m-1=0的两个根，且x 1+x 2=1-x 1x 2，则m 的值为（ D ）A ．-1或2B ．1或-2C ．-2D ．12.已知关于x 的一元二次方程x 2+（m+2）x+m=0， （1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若x 1，x 2是原方程的两根，且2111x x +=-2，求m 的值.解：（1）△=（m+2）2-4m=m 2+4＞0，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）∵x 1，x 2是原方程的两根， ∴x 1+x 2=-（m+2），x 1x 2=m ． ∵2111x x +=2121x x x x +=-mm 2+=-2，解得m=2，经检验，m=2是分式方程的解，且符合题意，∴m 的值为2．课后达标基础训练1.（2017呼和浩特）关于x 的一元二次方程x 2+（a 2-2a ）x+a-1=0的两个实数根互为相反数，则a 的值为（ B ） A ．2 B ．0 C ．1 D ．2或02.（2017新疆）已知关于x 的方程x 2+x-a=0的一个根为2，则另一个根是（ A ） A ．-3 B ．-2 C ．3 D ．63.已知m ，n 是一元二次方程x 2-4x-3=0的两个实数根，则代数式（m+1）（n+1）的值为（ D ） A ．-6 B ．-2 C ．0 D ．24.已知实数x 1，x 2满足x 1+x 2=11，x 1x 2=30，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ A ）A ．x 2-11x+30=0B ．x 2+11x+30=0C ．x 2+11x-30=0D ．x 2-11x-30=05.已知x 1、x 2是方程2x 2+3x-4=0的两根，那么x 1+ x 2= 23- ；x 1·x 2= 2 ；11x +21x = 43- ；x 12+ x 22=47-；21x x -= 423-. 6.已知关于x 的方程x 2+ax+b+1=0的解为x 1=x 2=2，则a+b 的值为 -1 .7.以3+2和3-28.已知方程5x 2+mx-10=0的一根是-5，求方程的另一根及m 的值. 解：设方程的另一个根为k ， 则-5k=-2，解得52k =，又k-5=5m -，得m=23.9.已知关于x 的一元二次方程kx 2+x-2=0有两个不相等的实数根． （1）求实数k 的取值范围；（2）设方程两个实数根分别为x 1，x 2，且满足x 12+x 22+3x 1•x 2=3，求k 的值．12（1）求实数m 的取值范围；（2）若x 1+x 2=6-x 1x 2，求（x 1-x 2）2+3x 1x 2-5的值． 解：（1）△=（2m-3）2-4m 2=4m 2-12m+9-4m 2=-12m+9，∵△≥0，∴-12m+9≥0，∴m ≤43； （2）由题意可得x 1+x 2=-（2m-3）=3-2m ，x 1x 2=m 2，又∵x 1+x 2=6-x 1x 2，∴3-2m=6-m 2，∴m 2-2m-3=0，∴m 1=3，m 2=-1，又∵m ≤43，∴m=-1，∴x 1+x 2=5，x 1x 2=1，∴（x 1-x 2）2+3x 1x 2-5=（x 1+x 2）2-4x 1x 2+3x 1x 2-5=（x 1+x 2）2-x 1x 2-5=52-1-5=19．能力提升11.（2017仙桃）若α、β为方程2x 2-5x-1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（ B ） A ．-13 B ．12 C ．14 D ．1512.若非零实数a ，b （a ≠0）满足a 2-a-2018=0,b 2-b-2018=0，则ba 11+= 20181-. 13.已知关于x 的方程x 2-（k+1）x+41k 2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为5，求k= 2 .14.已知关于x 的一元二次方程x 2+(2k+1)x+k 2-2=0的两根为x 1和x 2，且(x 1-2)(x 1-x 2)=0，则k 的值是 -2或-4.15.（2017黄石）已知关于x 的一元二次方程x 2-4x-m 2=0. （1）求证：该方程有两个不等的实根；（2）若该方程的两实根x 1、x 2满足x 1+2x 2=9，求m 的值．。
一元二次方程根与系数的关系
（2）解：当a=5为底边长时，b=c 当a=5为腰长时，不妨设a=b=5， 由根与系数的关系：5+c=2k-3 2 ∴Δ = （2K-5） =0，k=2.5， 5c=2k-4 2 原方程为：x -2x+1=0 解得：c=1，k=4.5 ∴b=c=1 ∵b+c<a ∴此三角形的周长为a+b+c=11 ∴此时不构成三角形，舍去。
_年 _月 _日
星期_______
天气_____ 自我评价:___________ 悄悄话:老师我想对你说______ _______________________ _______________________ ________________________
学习课题:_____________ 知识归纳与整理:________ _____________________ 有那些数学思想方法_____ 我的收获与困惑_________
分析解答
2、已知关于的方程。x2－(2k－3)x +2k－4=0 （1）求证：无论取什么实数值，方程总有实数根。 （2）若等腰三角形的一边长a=5，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根， 求这个三角形的周长？
（1）证明： ∵Δ =[-（2k-3）]2-4（2k-4） =（2K-5）2 ∴不论k取何值，（2K-5）2 ≥0， 即Δ ≥0，原方程总有实数根。
2、方程2x2-3x+1=0的两根记作x1,x2， 不解方程，求：
（1） x1 x2 x2 x1 ;
分析解答
由根与系数的关系得：x1+x2=3/2 x1x2=1/2
x x ( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x2 x1
高中一元二次方程根与系数的关系
高中一元二次方程根与系数的关系一元二次方程是高中数学中的重要内容，它是由一个未知数的二次多项式所构成的方程。
一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c是已知系数，a≠0，x是未知数。
在研究一元二次方程根与系数的关系时，我们可以通过求解方程的根来探讨这种关系。
一元二次方程的根可以分为以下几种情况：1. 无实根：当一元二次方程的判别式b²-4ac小于0时，方程无实根。
这意味着方程表示的抛物线与x轴没有交点，图像完全位于x 轴的上方或下方。
2. 有两个相等的实根：当一元二次方程的判别式b²-4ac等于0时，方程有两个相等的实根。
这意味着方程表示的抛物线与x轴有且仅有一个交点，图像与x轴相切。
3. 有两个不等的实根：当一元二次方程的判别式b²-4ac大于0时，方程有两个不等的实根。
这意味着方程表示的抛物线与x轴有两个交点，图像在x轴上方或下方都有一段。
了解了一元二次方程根的分类情况后，我们可以进一步研究根与系数之间的关系。
下面以常见的三种情况进行讨论：1. 当判别式b²-4ac小于0时，方程无实根。
这意味着系数a、b、c的取值使得方程表示的抛物线位于x轴的上方或下方。
当我们改变系数a的值时，可以发现抛物线的开口方向发生改变，但无论怎样改变a的值，方程仍无实根。
2. 当判别式b²-4ac等于0时，方程有两个相等的实根。
这意味着系数a、b、c的取值使得方程表示的抛物线与x轴相切于一个点。
当我们改变系数b的值时，可以发现抛物线与x轴相切的点发生水平移动，但无论怎样改变b的值，方程仍有两个相等的实根。
3. 当判别式b²-4ac大于0时，方程有两个不等的实根。
这意味着系数a、b、c的取值使得方程表示的抛物线与x轴有两个交点。
当我们改变系数c的值时，可以发现抛物线与x轴的交点发生垂直移动，但无论怎样改变c的值，方程仍有两个不等的实根。
一元二次方程根与系数的关系
a与c 与 之间 关系
c a
x 1 x 2 x 1 + x 2 x1 • x 2
x2 + 3x − 4 = 0
x2 − 5x + 6 = 0
2
−4 1 2 3
−3 5
3 − 2
2
−4 6
1 2
−3 5
−4 6
1 2
1 2 x + 3x + 1 = 0 − 2
−1
3 − 2
猜想： 猜想： 如果一元二次方程 ax + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的两个根 那么，你可以发现什么结论？ 分别是 x1 、 x 2 ，那么，你可以发现什么结论？
− b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac = 2a
− 2b = 2a
−b = a
− b + b − 4ac − b − b − 4ac x1 ⋅ x2 = × 2a 2a
2 2
b − b − 4ac = 2 4a 4a
2 2
(
)
4ac 结论：
如果一元二次方程 ax + bx + c = 0(a ≠ 0)
2
的两个根分别是
b x1 + x 2 = − a
x1
那么： 、 x 2 ，那么：
c x1 • x2 = a
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。 一元二次方程
已知 x1 , x 2 是方程 2x2 − 4x −1 = 0 的值。 的两个实数根， 的两个实数根，求 x12 + x2 2 的值。 解： 根据根与系数的关系: 根据根与系数的关系:
4 X1+X2 = ___
一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
第二讲 元二次方程根与系数的关系（韦达定理）一、韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ， 那么1212,b c x x x x a a+=-= 说明：（1）定理成立的条件0∆≥ （2）注意公式重12b x x a +=-的负号与b 的符号的区别 思考：你能利用一元二次方程的求根公式推出韦达定理吗？二、韦达定理的应用：1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数如：已知2是关于x 的一元二次方程042=-+p x x 的一个根，求该方程的另一个根2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值如：若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2) 1211x x +3.已知方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值如：若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，求k 的值4.已知两数的和与积，求这两个数5.已知方程的两根x 1，x 2 ，求作一个新的一元二次方程x 2 –(x 1+x 2) x+ x 1x 2 =06.利用求根公式在实数范围内分解因式ax 2+bx+c= a(x- x 1)(x- x 2)巩固练习一、填空题1.如果x 1、x 2是一元二次方程02x 6x 2=--的两个实数根，则x 1+x 2=_________.2.一元二次方程03x x 2=--两根的倒数和等于__________.3.关于x 的方程0q px x 2=++的根为21x ,21x 21-=+=，则p=______，q=____.4.若x 1、x 2是方程07x 5x 2=--的两根，那么_______________x x 2221=+， .________)x (x 221=-5.已知方程0k x x 2=+-的两根之比为2，则k 的值为_______.6.关于x 的方程01x 2ax 2=++的两个实数根同号，则a 的取值范围是__________.二、选择题7.以3和—2为根的一元二次方程是（ ）A.06x x 2=-+B.06x x 2=++C.06x x 2=--D.06x x 2=+-8.设方程0m x 5x 32=+-的两根分别为21x ,x ，且0x x 621=+，那么m 的值等于（ ）A.32- B .—2 C.92 D.—92 9.已知0)2m 2()x 1(m x 2=----两根之和等于两根之积，则m 的值为（ ）A.1 B .—1 C.2 D .—210.设α、β是方程02012x x 2=-+的两个实数根，则βαα++22的值为（ ） A ．2009 B.2010 C.2011 D.2012三、解答题已知关于x 的一元二次方程01422=-++m x x 有两个非零实数根。
一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系一、课堂目标理解根与系数关系，会用根系关系求参数的值或快速求解含参方程二、知识讲解1. 根与系数的关系（韦达定理）在实数范围内，一元二次方程的根由其系数、、确定，它的根的情况（是否有实数根）由确定．设一元二次方程为，其根的判别式为：则①方程有两个不相等的实数根．②方程有两个相等的实数根．③方程没有实数根．一元二次方程的求根公式，不仅表示可以由方程的系数、、决定根的值，而且反应了根与系数间的关系．那么一元二次方程的根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？探究1从因式分解法可知，方程（、为已知数）的两根为和，将方程化为一般式后，你能说一说两个根和系数之间的关系吗？探究2探究1是二次项系数为1时，根和系数的关系，现在扩展到一般式（）中，探究根和系数的关系．当，即方程有实数根，由可知，，．因此，方程的两个根，和系数，，有如下关系：，．韦达定理：任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．例题1.若关于的一元二次方程的两根为，，则 ．练习2.方程的解为、，则 ； ．3.已知，是方程的两个实数根，则 ．2. 根与系数关系的应用．不解方程，求与方程的根有关的代数式的值；．已知方程的一个根，求方程的另一个根；．与根的判别式相结合，解决一些综合题．【总结】几个重要变形：①；②；③；④．例题4.已知方程的一个根是，则它的另一个根是 ．5.关于的方程有两个不相等的实数根，，且有，则的值是（ ）．A.B.C.或D.练习6.已知关于的一元二次方程的一根为，求的值以及方程的另一根．7.一元二次方程的两根为和，则的值是（ ）．A.B.C.D.8.设关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，若，则的值为 ．例题（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）9.已知、是方程的两个实数根．则：．．．．．．．．（9）．练习（1）（2）10.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．求的取值范围；若，求的值．11.己知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．（1）（2）12.已知方程的两根是，．不解方程，求：．．13.已知一元二次方程（其中为大于的常数）的两个实根为，，求的值．例题14.已知，且， ，那么．练习15.已知、是方程的两个根，那么．16.已知，是不相等的实数，且，，求的值．三、出门测17.已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．18.方程的所有实数根之和是 ．19.已知关于的方程的两根为和，则 ，．一元二次方程的根与系数的关系 题集【A】20.已知一元二次方程的两个实数根分别是、，则．21.如果，是方程的两个根，那么；．22.若关于的方程的一个根是．则另一根 ；．23.若方程的一根为另一根的倍，求，所满足的关系式．24.已知关于的方程，若方程的一个根为，求的值以及方程的另一根．25.已知关于的方程的两个根为、，若，则．26.求一个一元二次方程，使得它的两根，满足：，．27.若关于的一元二次方程的两个实根互为倒数，则．（1）（2）（3）（4）28.已知、是方程的两根，不解方程求下列代数式的值．（结果用、、表示）．．．．29.已知一元二次方程的两个根为、，则 ，， ，．30.已知，是方程的两个根，那么 ， ．31.已知、是方程的两根，求的值．32.已知，，求的值．33.若，且及，则，.34.设，是方程的两个实数根（），求的值．（1）（2）35.已知关于的一元二次方程．若方程有实数根，求实数的取值范围．若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．（1）（2）36.已知关于的一元二次方程．求证：方程总有实数根．设这个方程的两个实数根分别为，，且，求的值．（1）（2）37.关于的一元二次方程的两个实数根分别为，．求的取值范围．若，求的值．一元二次方程的根与系数的关系 题集【B】38.已知一元二次方程的两根为、，则（ ）．A.B.C.D.39.一元二次方程的两根为和，则的值是（ ）．A.B.C.（1）（2）40.已知：关于 的方程．若方程总有两个实数根，求 的取值范围．若两实数根、满足，求的值．41.若关于的二次方程的两实根互为倒数，则．42.若方程的一个根是另一个根的倍，则、、的关系是（ ）．A.B.C.D.43.已知关于的方程的两根分别是，，且满足，则的值是 ．44.已知关于的方程有两个实数根，，那么的取值范围是 ，若，则的值 ．（1）（2）（3）（4）（5）（6）45.已知，是方程的两个实数根，求下列代数式的值：．．．．．．46.已知实数，且满足，，则的值为（ ）．A.C.D.（1）（2）47.已知关于的一元二次方程有两个实数根，．求实数的取值范围．是否存在实数使得成立？若存在，请求出的值．若不存在，请说明理由．48.已知，是方程的两个根，求的值为 ．49.设的两实数根为、，那么以、为两根的一元二次方程是 ．。
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程综合 12.4 一元二次方程的根与系数的关系中考考点 1．理解一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）。
2．会运用根与系数的关系，由已知的一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数。
3．会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。
考点讲解 1．若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2，则x1+x2=-，x1?x2=。
2．以x1,x2为根的一元二次方程是(x-x1)(x-x2)=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程ax2+bx+c=0(a≠0)。
3．对二次项系数为1的方程x2+px+q=0的两根为x1,x2时，那么x1+x2=-p，x1?x2=q。
反之，以x1,x2为根的一元二次方程是：(x-x1)(x-x2)=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程：x2+px+q=0。
4．一元二次方程的根与系数关系的应用主要有以下几方面：（1）已知一元二次方程的一个根，求另一个根，可用两根和或两根积的关系求另一个根。
（2）已知含有字母系数的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母系数的值。
可用根与系数关系式，一个关系式求得另一个根，再用另一个关系式求得字母系数的值。
（3）已知一元二次方程，不解方程，可求与所给方程两根和、两根积的某些代数式的值。
如，方程2x2-3x+1=0的两根为x1,x2，不解方程，求x12+x22的值。
[∵x1+x2=，x1?x2=，∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=()2-2×=] （4）验根、求根、确定根的符号。
（5）已知两根，求作一元二次方程（注意最后结果要化为整系数方程）。
（6）已知两数和与积，求这两个数。
（7）解特殊的方程或方程组。
考题评析 1．(北京市东城区)如果一元二次方程x2+3x-2=0的两个根为x1，x2，那么x1+x2与x1?x2的值分别为（）（A）3，2 （B）-3，-2 （C）3，-2 （D）-3，2 考点：一元二次方程的根与系数关系。
一元二次方程组的根与系数的关系
一元二次方程组的根与系数的关系稿子一嘿，朋友！今天咱们来聊聊一元二次方程组的根与系数的关系，这可有趣啦！你知道吗，当我们面对一个一元二次方程的时候，比如说ax² + bx + c = 0 ，这里面的 a、b、c 可都有着大作用呢！根与系数之间有着神奇的联系。
假设方程的两个根是 x₁和 x₂，那么它们的和 x₁ + x₂就等于 b/a ，而它们的积 x₁ · x₂则等于c/a 。
是不是感觉有点神奇？想象一下，就好像这几个数字之间在悄悄地传递着秘密信号。
比如说，给你一个方程x² 5x + 6 = 0 ，那两个根是 2 和3 。
算一下，2 + 3 正好等于 5 ，也就是 (5)/1 ；2×3 呢，正好是6 ，也就是 6/1 。
掌握了这个关系，解起方程来可就多了一条捷径呢！有时候，就算方程的根不好直接求出来，通过这个关系也能大概知道根的一些情况。
怎么样，是不是觉得一元二次方程组的根与系数的关系很有意思呀？稿子二亲爱的小伙伴，咱们来唠唠一元二次方程组的根与系数的关系哈。
你看哈，这一元二次方程就像是一个藏着宝藏的小盒子，而根与系数的关系就是打开这个盒子的小钥匙。
比如说一个方程像这样：2x² + 3x 5 = 0 。
这里面的系数 2 、3 、5 ，和它的根有着特别的关联呢。
两个根假设是 x₁和 x₂，那它们相加，也就是 x₁ + x₂，结果就是 3/2 哟，是不是有点意外？这其实就是 b/a 啦。
再看看它们相乘，x₁ · x₂等于 5/2 ，也就是 c/a 。
这就好像是数学世界里的小魔法，是不是很神奇？咱举个实际的例子，假如有个方程x² + 2x 3 = 0 ，很快就能算出根是 1 和 3 。
然后你验证一下，1 + (3) 正好是 2 ，1×(3) 就是 3 。
这种关系在解题的时候可好用啦，能让咱们更快更准地找到答案。
所以呀，别小看这一元二次方程组的根与系数的关系，它能帮咱们在数学的海洋里畅游得更欢快呢！。
一元二次方程根与系数的关系—知识讲解(基础)
一元二次方程根与系数的关系—知识讲解（基础）【学习目标】1. 理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系；2. 能应用一元二次方程的根与系数的关系解决以下问题：已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程.【要点梳理】要点一、一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-；②12121211x x x x x x ++=； ③2212121212()x x x x x x x x +=+；④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-；⑥12()()x k x k ++21212()x x k x x k =+++；⑦12||x x -==；⑧22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==；⑨12x x -==⑩12||||x x +===(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则 ①当△≥0且120x x >时，两根同号．当△≥0且120x x >，120x x +>时，两根同为正数； 当△≥0且120x x >，120x x +<时，两根同为负数． ②当△＞0且120x x <时，两根异号．当△＞0且120x x <，120x x +>时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且120x x <，120x x +<时，两根异号且负根的绝对值较大．要点诠释：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根a +a a ，b 为有理数）．【典型例题】类型一、一元二次方程的根与系数的关系的应用（1）1．（2015秋•定陶县期末）已知方程x 2+5x ﹣3=0，不解方程，求作一个一元二次方程使它的根分别是已知方程各根的2倍．【思路点拨】设方程x 2+5x ﹣3=0的两根分别为a 、b ，根据根与系数的关系得到a+b=﹣5，ab=﹣3，再计算2a+2b 和2a •2b 的值，然后根据根与系数的关系写出新方程． 【答案与解析】解：设方程x 2+5x ﹣3=0的两根分别为a 、b ，则a+b=﹣5，ab=﹣3，∵2a+2b=2（a+b ）=2×（﹣5）=﹣10， 2a•2b=4ab=﹣12，∴所求的新方程为x 2+10x ﹣12=0．【总结升华】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=﹣，x1x2=．举一反三：【变式】已知方程2x2-3x-3=0的两个根分别为a，b，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是a+1，b+1．2.（2016•江西校级模拟）已知关于x的方程mx2+2x﹣1=0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若方程有两个实数根x1，x2，求+的值．【思路点拨】（1）由关于x的方程mx2+2x﹣1=0有实数根，分两种情况：①m=0时，为一元一次方程，必有实数根；②m≠0时，为一元二次方程，由判别式△≥0，可得22﹣4×m×（﹣1）≥0，解此不等式即可求得答案；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣，x1x2=﹣，再代入+，计算即可求解．【答案与解析】解：（1）分两种情况：①m=0时，原方程即为2x﹣1=0，为一元一次方程，必有实数根；②m≠0时，原方程为一元二次方程．△=22﹣4×m×（﹣1）=4+4m≥0，解得：m≥﹣1，即m≥﹣1且m≠0．综上可知m≥﹣1；（2）∵x1+x2=﹣，x1x2=﹣，∴+===2．【总结升华】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用（2）3．已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求另一个根及k 的值．【思路点拨】根据方程解的意义，将x ＝2代入原方程，可求k 的值，再由根与系数的关系求出方程的另外一个根． 【答案与解析】方法一：设方程另外一个根为x 1，则由一元二次方程根与系数的关系，得125k x +=-，1625x =-，从而解得：135x =-，k ＝-7． 方法二：将x ＝2代入方程，得5×22+2k-6＝0，从而k ＝-7．设另外一根为x 1，则由一元二次方程根与系数的关系，得1725x +=，从而135x =-， 故方程的另一根为35-，k 的值为-7．【总结升华】根据一元二次方程根与系数的关系12bx x a+=-，12cx x a=易得另一根及k 的值． 举一反三：【变式】（2015秋•泉州校级期中）若关于x 的一元二次方程x 2+9k+3x+k=0的一个根是﹣2，求方程另一个根和k 的值．【答案】解：由根与系数的关系得，解得：x 2=1，k=﹣2故方程的另一个根是x 2=1，k=﹣2．4．求作一个一元二次方程，使它的两根分别是133-，122．【答案与解析】解法一：因为1211532326x x +=-+=-，121125 32323x x⎛⎫=-⨯=-⎪⎝⎭，所以所求方程为25250 63x x+-=，即265500x x+-=．解法二：所求方程为1132032x x⎛⎫⎛⎫+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即265500x x+-=．【总结升华】根据一元二次方程的根与系数的关系可知，只需求出x1+x2和x l-x2的值即可．。
一元二次方程根与系数的关系
12.4 一元二次方程的根与系数的关系中考考点1. 理解一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）。
2. 会运用根与系数的关系，由已知的一元二次方程的一个根求岀另一个根与未知系数3. 会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。
考点讲解1. 若一元二次方程ax2+bx+c=0 （a HO ）的两根为xi,x 2,2. 以x 】,x2为根的一元二次方程是（x ・x 】）（X-X2）=0 ,展开代入两根和与两根积，仍 得到方程 ax2+bx+c=0 （a HO ）。
3.对二次项系数为1的方程x2+px+q=0的两根为xi,X2时，那么xi+X2=-p , xi ・X2=q 。
反 之，以X1,X2为根的一元二次方程是：（X-X1）（X-X2）=0 ,展开代入两根和与两根积，仍 得到方程：x2+px+q=0 04. 一元二次方程的根与系数关系的应用主要有以下几方面：（1）已知一元二次方程的一个根，求另一个根，可用两根和或两根积的关系求另一个根。
（2） 已知含有字母系数的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母系数的值。
可用根与系数关系式，一个关系式求得另一个根，再用另一个关系式求得字母系数的值。
（3） 已知一元二次方程，不解方程，可求与所给方程两根和、两根积的某些代数式的值。
如，方程2x2・3x+l= 0的两根为XbX2,不解方程，求X12+X22的值。
X1・X2=,・•・ X I 2+X22= （X 1+X2） 2-2XI X2= （ ） 2-2 X =] 验根、求根、确定根的符号。
己知两根，求作一元二次方程（注意最后结果要化为整系数方程）0 己知两数和与积，求这两个数。
解特殊的方程或方程组。
考点：一元二次方程的根与系数关系。
贝(J X 1+X2=- , X1'X2= o XbX 2 [VX1+X2=, (4)(5)(6)(7) 考题评析1.（北京市东城区）如果一元二次方程x2+3x-2=0的两个根为X1-X2的值分别为（）（A ） 3, 2 （B ） -3 , -2 X1, X2,男P 么 X1+X2 与 (C) 3, -2 (D) -3 , 2评析：由一元二次方程ax +bx+c=O （a HO）的两根xi,x2,满足Xi+X2= , xiX2=可直XbX 2,接计算，答案为B。
《一元二次方程根与系数的关系》
构造新方程
练习、甲、乙二人解同一个一元二次
方程时，甲看错了常数项所求出的根 为1，4；乙看错了一次项系数所求出
的根是-2，-3。则这个一元二次方程 2-5x+6=0 为__________________ x
7、求方程中的待定系数
变式:方程 mx 2 mx m 1 0 ( m 0 )
B 3 x 2 8 x 3 0 D 3 x 2 8 x 3 0
D
)
4． 下列方程中 ， 两实根的和是 2 的方程是 ( B x 2 2 x 4 0 A x 2 2 x 4 0
C
x 2x 4 0
2
D
xБайду номын сангаас 2x 4 0
2
(2)4 x 2 x 7 0
2
(3)3 x 10 2 x 8 x
2 2
2已知方程的一个根求另一个根及未知数 2 • 例2已知－1是方程 x mx 3 0 的一根， 求m及另一根
练习
已知关于
x 的一元二次方程
m 1 x 2 3 x m 2 3 m 4 0
2
2 2 0
2
，则 x1 8 x 2 20 _____ -1
3
5解简单的应用问题
• 例5（1）关于x的方程 两根互为倒数，求m的值
2x 5x m 1 0的
2
m=2
• （2）已知关于x的方程x2+(2k+1)x+k2-2=0 有实数根x1,x2,且x12+x22=11,求实数k的值.
k=1
有一个根是 0， 则 m ( )
已知 2 - 5是一元二次方程 的一个根，则方程的另
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
12.4 一元二次方程的根与系数的关系中考考点1．理解一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）。
2．会运用根与系数的关系，由已知的一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数3．会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。
考点讲解1．若一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的两根为x1,x 2，则x 1+x2=- ，x1·x2= 。
2．以x1,x 2为根的一元二次方程是（x-x 1）（x-x 2）=0 ，展开代入两根和与两根积，仍得到方程ax2+bx+c=0 （a ≠0）。
3．对二次项系数为1 的方程x2+px+q=0 的两根为x1,x 2时，那么x1+x2=-p ，x1·x2=q。
反之，以x1,x 2 为根的一元二次方程是：（x-x 1）（x-x 2）=0 ，展开代入两根和与两根积，仍得到方程：x2+px+q=0。
4．一元二次方程的根与系数关系的应用主要有以下几方面：（1）已知一元二次方程的一个根，求另一个根，可用两根和或两根积的关系求另一个根。
（2）已知含有字母系数的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母系数的值。
可用根与系数关系式，一个关系式求得另一个根，再用另一个关系式求得字母系数的值。
（3）已知一元二次方程，不解方程，可求与所给方程两根和、两根积的某些代数式的值。
如，方程2x2-3x+1=0 的两根为x 1,x 2，不解方程，求x 12+x22的值。
[∵x1+x2= ，x1·x2= ，∴ x12+x22=（x 1+x2）2-2x 1x2=（）2-2 × = ]（4）验根、求根、确定根的符号。
（5）已知两根，求作一元二次方程（注意最后结果要化为整系数方程）。
（6）已知两数和与积，求这两个数。
（7）解特殊的方程或方程组。
考题评析1．（北京市东城区）如果一元二次方程x2+3x-2=0 的两个根为x1，x2，那么x1+x2与x1·x2的值分别为（）（A）3，2 （B）-3 ，-2 （C）3，-2 （D）-3 ，2考点：一元二次方程的根与系数关系。
评析：由一元二次方程ax +bx+c=0（a ≠0）的两根x1,x 2, 满足x1+x2= ，x 1x2= 可直接计算，答案为B。
2．（杭州市）若是方程的两个根，则的值为（）（A）–7 （B）1 （C）（D）答案：A考点：一元二次方程根与系数的关系评析思路：由韦达定理知，，先求出x1+x2，x1·x2 的值，然后将代数式（x 1+1）（x2+1）展开，最后将x1+x2，x1·x2的值代入即可。
3．（辽宁省）下列方程中，两根分别为的是（）（A）（B）（C）（D）答案：B考点：一元二次方程根与系数的关系评析思路：因给出了二根，所以好求二根和二根积，再根据x1+x2=-p x 1·x2=q，即可确定正确答案为B。
4．（辽宁省）已知α，β是方程的两个实数根，则的值为。
考点：一元二次方程根与系数的关系评析思路：由根与系数的关系可知a+b=-2 ，a·b= -5 。
而所求式中有a2+2a 部分，因a 是方程的根，所以有a2+2a-5=0 ，即a2+2a=5 ，再加a·b，原式值为0。
答案：05．（河南省）关于x 的方程，是否存在负数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于4 ？若存在，求出满足条件的k 的值；若不存在，说明理由。
答案：解：设方程的两个实数根是x1、x2. 由根与系数关系，得x 1+x2=5k+1，x1x2=k2-2.=4.∴ 4k 2-5k-9=0.解这个方程，得 k 1=-1 ，k 2= （不合题意，舍去） 当 k=-1 时，原方程的判别式2 2 2△ =b -4ac=[-（5k+1）] -4（k -2）=（-4） 2-4（1-2）=20>0.所以存在满足条件的负数 k ， k=-1.考点：一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的应用。
评析：此题是存在型的试题， 一般结论都是在存在成立的条件下， 按照给出的条件进行讨论， 因此题是关于两个实根的关系，所以在讨论时必注意△ >0。
答案：7．（广州市）已知 2 是关于 x 的方程 x 2+3mx-10=0 的一个根，则 m=考点：一元二次方程的根与系数关系评析：根据方程解的概念，将未知数的值代入方程求出 求出。
答案： 1又∵ =4，6．（福州市）以 2， -3 为两个根的一元二次方程是（ （）2 x -x- 2 B ) x +x-6=0 2 C ) x -x+6=0 ). 2 (D ) x +x+6=0考点： 元二次方程根与系数关系。
评析：利用一元二次方程 x 2+px+q=0 的根 x 1,x 2 与系数关系： 直接计算即得答案。
m ，或利用根与系数的关系解方程组=4.8．（贵阳市）若x1,x 2 是方程x -2x+m=0 的两个根，且=2，则m=考点：一元二次方程根与系数关系评析：由一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根x1、x2 与系数的关系，得x1+x2=2 x 1x 2=ｍ，求的值，代入已知的等式求出ｍ。
答案：19．（河北省）在Rt△ABC中，∠ C=900，a、b、c 分别是∠ A、∠ B、∠ C的对边，a、b 是关于x 的方程的两根，那么AB 边上的中线长是（）（A）（B）（C）5 （D）2考点：直角三角形三边关系勾股定理、根与系数的关系评析思路：因直角三角形两直角边a、b 是方程的二根，∴有a+b=7①a·b=c+7②，由勾股定理知c2=a2+b2③，联立①②③组成方程组求得c=5，∴斜边上的中线为斜边的一半，故选B。
10．（北京市海淀区）已知：关于x 的方程①的两个实数根的倒数和等于3，关于x 的方程②有实数根且k 为正整数，求代数式的值。
考点：根的判别式，根与系数的关系。
评析：先根据根与系数的关系求得a 值，再将a 代入到第二个方程。
因第二个方程只证有实根，所以k 可以等于1, 然后再根据Δ的范围再确定k 值，分别代入所求代数式就可以了。
答案：0说明学生往往忽略k=1 的这种情况：认为一元二次方程有实根，必是两个，这是不全面的，也有的不考虑Δ的范围。
11. （河北省）若x1、x2是一元二次方程3x2+x-1=0 的两个根,则+ 的值是（）（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2考点：一元二次方程根与系数的关系12．（哈尔滨市）已知：△ ABC 的两边 AB 、 AC 的长是关于 x 的一元二次方程 x 2-（2k+3）x+k 2+3k+2=0 的两个实数根，第三边 BC 的长为 5.（ 1） k 为何值时，△ ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形 .（ 2） k 为何值时，△ ABC 是等腰三角形，并求出△ ABC 的周长 .考点： Rt △三边关系，等腰三角形底与腰的关系 , 一元二次方程根与系数关系 评析：（1）已知一元二次方程的两根，首先想到不解方程，而是利用根与系数的关系达到目的， 又根据 Rt △三边的关系 AB 2+AC 2=BC 2可知，通过 AB 2+AC 2=（AB+AC ）2－ 2AB ·AC 可实现。
答案： k=2 或 k= -5注：如果利用根与系数关系不能求解，再利用解方程求根的方法。
（ 2）首先利用判断式判断 AB 与 AC 是否相等， 再考虑其它情况， 即 AB=BC 或 AC=BC ，当 AB=BC 或 AC=BC 时， BC=5是一元二次方程的一个根，故可求 k 的值，也就可求另一个根，三角形的周长可求。
答案： 14 或 16.注：在求周长时，应判断是否能构成三角形。
13．（安徽）已知方程 x 2+（1- ）x- =0 的两根为 x 1、 x 2，求 x +x 的值。
考点：一元二次方程根与系数的关系评析：根据根与系数的关系，先求出 x 1+x 2、 x 1·x 2 的值然后将 x 12+x 22=（x 1+x 2） 2-2x 1x 2 变为以上形式，再将 x 1+x 2= -1， x 1·x 2=- 代入即可。
解：由根与系数关系，∴ x +x =(x 1+x 2) -2x 1x 2评析：根据一元二次方程根与系数的关系，先求出 x 1+x 2, x 1·x 2 的值，然后将求的代数式 变形为 ，最后将x 1+x 2=- ， x 1·x 2=- 代入即可，故选 C 。
x 1x 2=-=3-2 +2=3.说明：如果先解出根x1、x2，再求出x +x 的正确值可以214．(北京市东城区)已知关于x 的方程x 2-(k-1)x+k+1=0 的两个实数根的平方和等于4，求实数k 的值考点：一元二次方程根与系数的关系评析：先设方程二根为x1、x2，分别求出x1+x2，x1·x2的值，再根据两根的平方和是4，求出k 值，但必须保证方程有两个实根，所以还必须保证△≥0 才能确定k 的值，此题一些考生忽略△≥0 的隐含条件的。
解：设方程x 2-(k-1)x+k+1=0 的两个实数根是x1, x 2，那么x1+x2=k-1, x 1 ·x2=k+1.由x +x =4,2得(x 1+x 2) -2x 1x2=4.2即(k-1) 2-2(k+1)=4k -4k-5=0解这个方程，得k=5 或k=-1.2当k=5 时, Δ=(5-1) 2-4(5+1)<0, 原方程无实数根，故x=5 舍去.2当k=-1 时, Δ=(-1-1) -4(-1+1)>0,因此，k=-1 为所求。
真题实战1．(常州市)已知关于x 的方程2x +mx－6=0 的一个根是2，则另一个，m=答案：-3 ；12．(天门市)若方程的两根是x 1、x2，则代数式的值3．已知 x 1、 x 2是方程 x 2－x －1=0 的两个根，则的值是（ ）A 、1B 、－ 1C 、±1D 、0 答案： B4．（石家庄市） 设方程的两根为 x 1和 x 2，且 ，则 m 等于（ ）A ．－ 8B ．－ 4C ．8D ．4 答案： C答案： D答案： A 7．（ 南昌市 ） 已知方程 2x 2+kx －10=0 的一个根是－ 2，求它的另一根及 k 的值 解：设方程的另一根为 x 1，那么-2x 1=-5 ，∴ k=-1 。
答：方程的另一根是 ，k 的值是 -1 8．（苏州市）已知关于 x 的方程 x 2+（m － 2）x+ m －3=0。
（ 1）求证：无论 m 取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根； （ 2）若这个方程的两个实数根 x 1,x 2 满足 2x 1+x 2=m+1,求 m 的值。
5．（潍坊市）下列方程中，两实数根的和等于 2 的方程是（ ）2 A ．2x 2－4x+3=02B ．2x 2－2x － 3=06．（山西省）若方程 x 2-2x-1=0 的二根为 x 1， x 2，则代数式 的值是（A ．6B ．4C ． 2D ．-2∴无论 m 取什么实数 , 这个方程总有两个不相等的实数根(2) 解∵ x 1,x 2是这个方程的两个实数根 又 2x 1+x 2=m+1,(3)(3) -(1), 得 x 1=2m-1⋯⋯ (4) 把(4) 代入 (1), 得 x 2=3-3m ⋯⋯ (5)把(4) 、 (5)9．(南通市)设 x 1、x 2 是关于 x 的方程 x 2－(k+2)+2k+1=0 的两个实数根，且 x 12+x 22=11. (1)求 k 的值；(2)利用根与系数的关系求一个一元二次方程，使它的一个根是原方程两个根的和，另一 根是原方程两根差的平方。