空间解析几何与向量代数复习题

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向量代数与空间解析几何试题卷

向量代数与空间解析几何试题A一．选择题1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（）（A ）5 （ B ） 3 （ C ） 6 （ D ）92. 设234,5=+-=-+a i j k b i j k ，则向量2=-c a b 在y 轴上的分向量是（）．（A ） 7 （B ）7j （ C ）–1；（D ）-9k3．平面1234x y z ++=与平面2341x y z +-=的位置关系是( )．(A) 相交但不垂直 (B) 互相垂直 (C) 平行但不重合 (D) 互相重合4．两直线182511 :1+=--=-z y x L 与⎩⎨⎧=+=-.32,6 :2z y y x L 的夹角为（）.（A ） 6 π；（B ） 4 π；（C ） 2 π；（D ） 3π。

5. 母线平行于x 轴且通过曲线2222222160x y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩的柱面方程是( )．(A) 223216x z += (B) 22316y z -= (C) 22216x y += (D) 2316y z -= ６.已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是（） A. ；5 B. ；3 C. 6； D. 9.二．填空题1．设向量2a i j k =-+，42b i j k λ=-+，则当=λ__ ____时，a 与b 垂直.2.已知2a =，2b =，且2a b ⋅=，则a b ⨯= .3．设一平面过原点及)2 ,3 ,6(-A ，且与平面824=+-z y x 垂直，则此平面方程为。

4．曲线L :⎩⎨⎧-==+1222x z z y x ，关于平面xoy 的投影柱面的方程为。

5．平面xoy 上的双曲线369422=-y x 绕x 轴旋转而成的旋转曲面的方程为。

6. 已知2a =，2b =，且2a b ⋅=，则a 与b的夹角θ= ；7. 平面0523=-+z y x 的法向量=n ．三．判断题1. 任何向量都有确定的方向.（）2. 与非零向量a 同向的单位向量a 只有1个. （）3. 设,a b 为非零向量，且a b ⊥, 则必有 +=-a b a b .（）4. 若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ，则必有0⋅a b =（）．5. 若两向量,a b 满足关系a b a b +=+，则,a b 同向。

[整理]7空间解析几何与向量代数习题与答案

第七章空间解析几何与向量代数A一、1、平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.2、设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角.3、设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(⨯⋅-⨯⋅及；及(3)a 、b 的夹角的余弦.2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ.三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面.3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为 _______________，曲面名称为___________________.2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________.3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方程为_____________，曲面名称为_____________________.4）在平面解析几何中2x y =表示____________图形。

在空间解析几何中2x y =表示______________图形.5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(4222y x z +=(2))(422y x z += 四、1、指出方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+319y 4x 22y 在平面解析几何中表示____________图形，在空间解析几何中表示______________图形.2、求球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程.3、求上半球2220y x a z --≤≤与圆柱体)0(22>≤+a ax y x 的公共部分在xOy 面及xOz 面上的投影.五、1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a =(2,1,1)和b =(1,-1,0)的平面方程.3、求平行于xOz 面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 六、1、求过点(1,2,3)且平行于直线51132-=-=z y x 的直线方程.2、求过点(0,2,4)且与两平面12=+z x ,23=-z y 平行的直线方程.3、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.4、求过点(3,1,-2)且通过直线12354zy x =+=-的平面方程.5、求直线⎩⎨⎧=--=++03z y x z y x 与平面01=+--z y x 的夹角.6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系 1)直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线11321-=--=-zy x ; 2)直线431232--=+=-z y x 和平面x+y+z=3.7、求点(3,-1,2)到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离.B1、已知0=++c b a （c b a ,,为非零矢量），试证:a c c b b a ⨯=⨯=⨯.2、),(},1,1,1{,3b a b a b a ∠=⨯=⋅求.3、已知a 和b 为两非零向量，问t 取何值时，向量模||tb a +最小？并证明此时)(tb a b +⊥.4、求单位向量n ，使a n ⊥且x n ⊥轴，其中)8,6,3(=a .5、求过z 轴，且与平面052=-+z y x 的夹角为3π的平面方程.6、求过点)2,1,4(1M ，)1,5,3(2--M ，且垂直于07326=++-z y x 的平面.7、求过直线⎩⎨⎧=--+=-+-022012z y x z y x ，且与直线2l ：211zy x =-=平行的平面.8、求在平面π:1=++z y x 上，且与直线⎩⎨⎧-==11z y L ：垂直相交的直线方程.9、设质量为kg 100的物体从空间点)8,1,3(1M ，移动到点)2,4,1(2M ，计算重力所做的功（长度单位为m ）.10、求曲线⎩⎨⎧==-+30222z x z y 在xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线？11、已知k j OB k i OA 3,3+=+=，求OAB ∆的面积12、.求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面14=+-z y x 上的投影直线方程.C1、设向量c b a ,,有相同起点,且0=++c b a γβα，其中0=++γβα，γβα,,不全为零,证明:c b a ,,终点共线.2、求过点)1,2,1(0-M ，且与直线L ：121122=--=+y x 相交成3π角的直线方程. 3、过)4,0,1(-且平行于平面01043=-+-z y x 又与直线21311zy x =-=+相交的直线方程.4、求两直线1L ：1101-=-=-z y x 与直线2L ：0236+=-=z y x 的最短距离. 5、柱面的准线是xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量}1,1,1{=g ，求此柱面方程.6、设向量a,b 非零，3),(,2π==b a b ，求xaxb a x -+→0lim.7、求直线⎪⎩⎪⎨⎧--==)1(212:y z y x L 绕y 轴旋转一周所围成曲面方程. 第七章空间解析几何与向量代数习题答案A一、1、⎩⎨⎧⎭⎬⎫-±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα=== 3、a 在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分量为7j 二、1、1）3)1()2(2)1(13=-⋅-+⋅-+⋅=⋅b ak j i k j ib a 75121213++=---=⨯（2）18)(63)2(-=⋅-=⋅-b a b a ，k j i b a b a 14210)(22++=⨯=⨯ （3）2123),cos(^=⋅⋅=b a b a b a 2、}2,2,0{},1,4,2{3221-=-=M M M Mk j i kj iM M M M a 4462201423221--=--=⨯= }1724,1724,1726{--±=±a a 即为所求单位向量。

高等数学向量代数与空间解析几何题【精选文档】

第五章向量代数与空间解析几何5。

1。

1 向量的概念例1 在平行四边形中，设＝a，＝b.试用a和b表示向量、、和,这里是平行四边形对角线的交点（图5－8）解由于平行四边形的对角线互相平行，所以a＋b＝＝2即－(a＋b）＝2于是＝（a＋b)。

因为＝－，所以（a＋b）。

图5－8又因－a＋b＝＝2，所以＝（b－a）.由于＝－，＝（a－b）.例2 设液体流过平面S上面积为A的一个区域,液体在这区域上各点处的速度均为（常向量）v.设n为垂直于S的单位向量(图5－11（a)）,计算单位时间内经过这区域流向n 所指向一侧的液体的质量P（液体得密度为）。

（a）（b）图5－11解该斜柱体的斜高｜v |，斜高与地面垂线的夹角为v与n的夹角，所以这柱体的高为｜v｜cos，体积为A｜v｜cos=A v·n。

2 点的坐标与向量的坐标例1 已知点A(4，1，7）、B(-3，5,0）,在y轴上求一点M，使得|MA｜=|MB｜。

解因为点在y轴上,故设其坐标为，则由两点间的距离公式,有解得，故所求点为例2 求证以三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解因为所以，即△为等腰三角形。

5.2。

2 向量运算的坐标表示例3 设有点，，求向量的坐标表示式.解由于，而，,于是即例4 已知两点A(4，0,5）和B（7，1，3)，求与方向相同的单位向量e。

解因为＝–＝（7，1,3）－（4，0，5）＝（3，1，–2），所以＝，于是 e.例5 求解以向量为未知元的线性方程组其中a＝(2，1，2），b=(—1，1，-2).解解此方程组得x=2a–3b , y =3a–5b以a，b代入，即得x=2(2,1,2)–3(–1,1，–2）=（7,–1,10)y=3(2，1,2)–5（–1,1,–2)=(11,–2,16)。

(完整版)高数期末复习题第八章空间解析几何与向量代数

第八章一、填空题8.1.1.1、点)1,3,2(-M 关于xoy 面的对称点是)1,3,2(-- .8.1.2.3、向量)2,20(),1,4,2(-=-=b a ϖϖ，则同时垂直于b a ϖϖ,的单位向量为)1,1,1(31--±. 8.1.3.1、向量=⊥-=-=c ,),,2,1(),1,1,3(　则：　且　b a c b a ϖϖϖϖ 1 . 8.1.41、点)1,2,1(M 到平面01022=-++z y x 的距离为 1 .8.1.51、. 过点02)1,2,1(=+-z y x 与平面平行的平面方程为12=+-z y x 8.1.6.2、平面3=y 在坐标系中的位置特点是平行xoz 面 .8.1.7.2、过三点A （2，0，0），B （0，3，0），C （0，0，4）的平面方程为1432=++z y x . 8.1.8.2、过两点）（，（2,0,1),1,2321--M M 的直线方程是12241-==-+z y x . 8.1.9.3、过点)4,2,0(且与平面2312=-=+z y z x 及都平行的直线是14322-=-=-z y x . 8.1.10.3、曲面z y x =-22在xoz 面上的截痕的曲线方程为⎩⎨⎧==02y z x . 二、选择题8.2.1.2、点)3,0,4(在空间直角坐标的位置是（ C ）A ．y 轴上； B. xoy 平面上； C. xoz 平面上； D. 第一卦限内。

8.2.2.2、设AB 与u 轴交角为α，则AB 在u 轴上的投影AB j u Pr = （C ）A ．αcos ； B. αsin ； C. α ； D. α.8.2.3.2、两个非零向量b a ρρ与互相垂直，则（ B ）A ．其必要不充分条件是0=⋅b a ϖϖ； B. 充分必要条件是0=⋅b a ϖϖ；C ．充分不必要条件是0=⋅b a ϖϖ； D. 充分必要条件是0=⨯b a ϖϖ.8.2.4.2、向量),,(z y x a a a a =ϖ, ),,(z y x b b b b =ϖ 且 0=++z z y y x x b a b a b a 则（ C ）A. b a ϖϖ//；B. λλ(b a ϖϖ=为非零常数) ；C. b a ϖϖ⊥ ；D. 0ϖϖϖ=+b a .8.2.5.2、平面0633=--y x 的位置是（ B ）A ．平行xoy 面；B . 平行z 轴； C. 垂直z 轴； D. 通过z 轴.8.2.6.2、过点131111)1,1,1(--=+=-z y x 与直线垂直的平面方程为（ A ） A. 1=-+z y x ； B. 2=-+z y x ；C. 3=-+z y x ；D. 0=-+z y x .8.2.7.2、直线37423L z y x =-+=-+：与平面3224=--z y x 的位置关系是（ A ） A ．平行； B. 直线在平面上； C. 垂直相交； D. 相交但不垂直.8.2.8.2、xoy 面上曲线369422=-y x 绕x 轴旋转一周，所得曲面方程是（ C ）A ．369)4222=-+y z x （； B. 36)(9)42222=+-+z y z x （; C. 36)(94222=+-z y x ; D. 369422=-y x .8.2.9.2、球面2222R z y x =++与平面a z x =+交线在xoy 平面上投影曲线方程是（ D ）A ．2222)R z y z a =++-（； B. ⎩⎨⎧==++-0)(2222z R z y z a ； C. 2222)(R x a y x =-++； D. ⎩⎨⎧==-++0)(2222z R x a y x 8.2.10.3、方程⎩⎨⎧==++13694222y z y x 表示（ B ）A ．椭球面； B. 1=y 平面上椭圆；C. 椭圆柱面；D. 椭圆柱面在平面0=y 上的投影曲线.三、计算题8.3.1.2、一平面过点)1,0,1(-，且平行于向量)0,1,1()1,1,2(-==b a ϖϖ和，求这个平面。

空间解析几何及向量代数测试题及答案

军教院第八章空间解析几何测试题一、填空题（共7题，2分/空，共20分）___.1.四点,，，组成的四面体的体积是___162。

已知向量，,,则=__（—2，-1，0）____.3。

点到直线的距离是______________.4.点到平面的距离是_____________。

5。

曲线C：对xoy坐标面的射影柱面是_______,对yoz坐标面的射影柱面是___________,对xoz坐标面的射影柱面是______________。

6.曲线C：绕轴旋转后产生的曲面方程是_______，曲线C绕轴旋转后产生的曲面方程是__________________。

7。

椭球面的体积是_____40π____________。

二、计算题（共4题，第1题10分,第2题15分,第3题20分，第4题10分,共55分）1. 过点作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程。

这里是3个非零实数.解：设点在平面上的射影点为，在平面上的射影点为,在平面上的射影点为,则,于是,，所确定的平面方程是即 .2。

已知空间两条直线,.(1)证明和是异面直线;(2)求和间的距离;(3)求公垂线方程。

证明：（1) 的标准方程是，经过点，方向向量的标准方程是，经过点，方向向量，于是,所以和是异面直线。

（2）由于，和间的距离（3)公垂线方程是，即.3。

求曲线绕x轴旋转产生的曲面方面.解:设是母线上任意一点,则过的纬圆方程是,（1）又 ,（2)由（1）（2）消去得到。

4。

已知单叶双曲面,为腰椭圆上的点，（1）求经过点两条直母线方程及其夹角；(2)求这两条直母线所在的平面的方程及平面与腰椭圆所在平面的夹角。

解：（1）设单叶双曲面两直母线方程是与把点分别代入上面两方程组，求得代入直母线方程,得到过点的两条直母线与，即与两直母线的方向向量可分别取和，设两直母线的夹角是,则有，。

（2)两直母线所在平面的方程是，即显然平面与腰椭圆所在的平面的夹角是0。

(完整版)空间解析几何与向量代数习题与答案

第七章空间解析几何与向量代数A一、1、平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.2、设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角.3、设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(⨯⋅-⨯⋅及；及(3)a 、b 的夹角的余弦.2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ. 三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为_______________，曲面名称为___________________.2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________.3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方程为_____________，曲面名称为_____________________.4）在平面解析几何中2x y =表示____________图形。

在空间解析几何中2x y =表示______________图形.5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(4222y x z += (2))(422y x z += 四、1、指出方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+319y 4x 22y 在平面解析几何中表示____________图形，在空间解析几何中表示______________图形.2、求球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程. 3、求上半球2220y x a z --≤≤与圆柱体)0(22>≤+a ax y x 的公共部分在xOy 面及xOz 面上的投影. 五、1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a =(2,1,1)和b =(1,-1,0)的平面方程.3、求平行于xOz 面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 六、1、求过点(1,2,3)且平行于直线51132-=-=z y x 的直线方程. 2、求过点(0,2,4)且与两平面12=+z x ,23=-z y 平行的直线方程.3、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.4、求过点(3,1,-2)且通过直线12354zy x =+=-的平面方程. 5、求直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面01=+--z y x 的夹角.6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系 1)直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线11321-=--=-zy x ; 2)直线431232--=+=-z y x 和平面x+y+z=3. 7、求点(3,-1,2)到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离.B1、已知0=++c b a （c b a ,,为非零矢量），试证:a c c b b a ⨯=⨯=⨯.2、),(},1,1,1{,3b a b a b a ∠=⨯=⋅求.3、已知和为两非零向量，问取何值时，向量模||tb a +最小？并证明此时)(tb a b +⊥.4、求单位向量，使a n ⊥且x n ⊥轴，其中)8,6,3(=a .5、求过轴，且与平面052=-+z y x 的夹角为3π的平面方程. 6、求过点)2,1,4(1M ，)1,5,3(2--M ，且垂直于07326=++-z y x 的平面.7、求过直线⎩⎨⎧=--+=-+-022012z y x z y x ，且与直线：211zy x =-=平行的平面.8、求在平面:1=++z y x 上，且与直线⎩⎨⎧-==11z y L ：垂直相交的直线方程.9、设质量为kg 100的物体从空间点)8,1,3(1M ，移动到点)2,4,1(2M ，计算重力所做的功（长度单位为）.10、求曲线⎩⎨⎧==-+30222z x z y 在xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线？11、已知k j OB k i OA 3,3+=+=，求OAB ∆的面积 12、.求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面14=+-z y x 上的投影直线方程.C1、设向量c b a ,,有相同起点,且0=++c b a γβα，其中0=++γβα，γβα,,不全为零,证明:c b a ,,终点共线.2、求过点)1,2,1(0-M ，且与直线：121122=--=+y x 相交成3π角的直线方程. 3、过)4,0,1(-且平行于平面01043=-+-z y x 又与直线21311zy x =-=+相交的直线方程. 4、求两直线：1101-=-=-z y x 与直线：0236+=-=z y x 的最短距离. 5、柱面的准线是xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量}1,1,1{=g ，求此柱面方程.6、设向量a,b 非零，3),(,2π==b a b ，求xaxb a x -+→0lim.7、求直线⎪⎩⎪⎨⎧--==)1(212:y z y x L 绕y 轴旋转一周所围成曲面方程. 第七章空间解析几何与向量代数习题答案A一、1、⎩⎨⎧⎭⎬⎫-±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα=== 3、在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分量为7j 二、1、1）3)1()2(2)1(13=-⋅-+⋅-+⋅=⋅b ak j i k j i b a 75121213++=---=⨯（2）18)(63)2(-=⋅-=⋅-b a b a ，k j i b a b a 14210)(22++=⨯=⨯ （3）2123),cos(^=⋅⋅=b a b a b a 2、}2,2,0{},1,4,2{3221-=-=M M M Mk j i kj iM M M M a 4462201423221--=--=⨯= }1724,1724,1726{--±=±a a 即为所求单位向量。

(完整版)高等数学空间解析几何与向量代数练习题与答案

空间解析几何与矢量代数小练习一填空题 5’x9=45分1、平行于向量a=(6,7,-6)的单位向量为______________.2、设已知两点M1(4,2,1)和M2(3,0,2)，计算向量M1M2的模_________________，方向余弦_________________和方向角_________________3、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.4、方程x2+y2+z2-2x+4y+2z=0表示______________曲面.5、方程x2+y2=z表示______________曲面.6、x2+y2=z2表示______________曲面.7、在空间解析几何中y=x2表示______________图形.二计算题 11’x5=55分1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求平行于x轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.3、求过点(1,2,3)且平行于直线x y-3z-12=1=5的直线方程.4、求过点(2,0,-3)且与直线⎧⎨x-2y+4z-7=0⎩3x+5y-2z+1=0垂直的平面方5、已知：OA=ϖi+3kϖ，OB=ϖj+3kϖ，求∆OAB的面积。

参考答案一填空题1、±⎨⎧67-6⎫⎩11,11,11⎬⎭2、M 11M 2=2,cos α=-2,cos β=22,cos γ=12,α=2π3,β=3ππ4,γ=33、(x -1)2+(y -3)2+(z +2)2=144、以(1,-2,-1)为球心,半径为6的球面5、旋转抛物面6、圆锥面7、抛物柱面二计算题1、3x -7y +5z -4=02、9y -z -2=03、x -1y -2z -32=1=5 4、16x -14y -11z -65=05S ∆=12OA ⨯OB =192。

向量代数与空间解析几何试题B答案及解析

向量代数与空间解析几何试题答案一．选择题1. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ）（A ）{-1,1,5}. （ B ） {-1,-1,5}. （ C ） {1,-1,5}. （D ）{-1,-1,6}.2. 设234,5=+-=-+a i j k b i j k ，则向量2=-c a b 在x 轴上的分向量是（B ）．（A ）7 （ B ） i 1- （ C ） –1；（ D ） -9k3．直线37423 :z y x L =-+=-+与平面3224 :=--πz y x 的关系为（ A ）（A ）平行，但直线不在平面上；（B ）直线在平面上；（C ）垂直相交；（D ）相交但不垂直。

4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（ C ）（A ）2π (B ）4π (C ）3π (D ）π 5. 方程组2222491x y z x ⎧++=⎪⎨=⎪⎩ 表示（ B ）. (A ) 椭球面； ( B) 1=x 平面上的椭圆；(C ) 椭圆柱面； ( D) 空间曲线在1=x 平面上的投影.6. 已知)1,1,0(),0,2,1(-==→→b a ，则=+→→b a （ B ）A. ；3B. ；3 C. ０； D. １.二．填空题1．设向量2a i j k =-+，42b i j k λ=-+,当=λ___2___时，a 与b 平行;2.4=2=，24=⋅b a=3. 通过原点且垂直于直线228:325x y z l -+-==-的平面方程为． 4．曲线L :⎩⎨⎧-==+ 1222x z z y x ，在平面xoz 上的投影曲线的方程为2210z x z x y ⎧=⎪=-⎨⎪=⎩。

5．平面xoz 上的抛物线x z 52=绕x 轴旋转而成的旋转曲面的方程为x z y 522=+。

三．判断1、若a b a c +=+，则b c = 。

空间解析几何与向量代数

第八章空间解析几何与向量代数一、选择题 1．设}.4,,1{},2,3,{y b x a -== 若b a //，则B（A ）、x=0.5y=6(B)、x=-0.5y=6(C)、x=1y=-7(D)、x=-1y=-32．平面x-2z=0的位置是 D 。

（Ａ）、平行ＸＯＺ坐标面。

（Ｂ）、平行ＯＹ轴（Ｃ）、垂直于ＯＹ轴（Ｄ）、通过ＯＹ轴3．下列平面中通过坐标原点的平面是 C 。

（Ａ）、x=1(Ｂ)、x+2z+3y+4=0(C)、3(x-1)-y+(y+3)=0(D)、x+y+z=14．已知二平面π１：mx+y-3z+1=0与π２：７x-2y-z=0当m ＝ Bπ１⊥π２。

（Ａ）、１／７（Ｂ）、－１／７（Ｃ）、７（Ｄ）、－７ 5．二平面π１：x+y-11=0,π2:3x+8=0的夹角θ＝ C 。

（Ａ）、2π （Ｂ）、π／３（Ｃ）、π／４（Ｄ）、π／６6．下列直线中平行与XOY 坐标面的是D 。

（A ）233211+=+=-z y x （C ）10101z y x =-=+ （B ）{4404=--=--y x z x （D ）⎪⎩⎪⎨⎧==+=4321z t y t x 7．直线L 1：{7272=-+=++-z y x z y x 与L 2：{836302=-+=--z y x z y x 的关系是B 。

（A ）、L 1⊥L 2（B ）、L 1//L 2（C ）、L 1与L 2相交但不垂直。

（D ）、L 1与L 2为异面直线。

二、填空题1.点Ｐ（１，２，１）到平面x+2y+2z-10=0的距离是 1 。

2．当l =-4,及m=3时，二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。

3．过点Ｐ（４，－１，３）且平行于直线51232-==-z y x 的直线方程为532/1134-=+=-z y x 。

三、计算题1·求过点(3?0??1)且与平面3x ?7y ?5z ?12?0平行的平面方程?解所求平面的法线向量为n ?(3??7?5)?所求平面的方程为3(x ?3)?7(y ?0)?5(z ?1)?0?即3x ?7y ?5z ?4?0?2.求过点(2??3?0)且以n ?(1??2?3)为法线向量的平面的方程?解根据平面的点法式方程?得所求平面的方程为(x ?2)?2(y ?3)?3z ?0?即x ?2y ?3z ?8?0?3·求过三点M 1(2??1?4)、M 2(?1?3??2)和M 3(0?2?3)的平面的方程? 解我们可以用→→3121M M M M ⨯作为平面的法线向量n ?因为→)6 ,4 ,3(21--=M M ?→)1 ,3 ,2(31--=M M ?所以 →→k j i k j i n -+=----=⨯=9141326433121M M M M ? 根据平面的点法式方程?得所求平面的方程为14(x ?2)?9(y ?1)?(z ?4)?0?即14x ?9y ?z ?15?0?4·求过点(4??1?3)且平行于直线51123-==-z y x 的直线方程? 解所求直线的方向向量为s ?(2?1?5)?所求的直线方程为531124-=+=-z y x ? 5·求过两点M 1(3??2?1)和M 2(?1?0?2)的直线方程?解所求直线的方向向量为s ?(?1?0?2)?(3??2?1)?(?4?2?1)?所求的直线方程为 112243-=+=--z y x ? 6.?求与两平面x ?4z ?3和2x ?y ?5z ?1的交线平行且过点(?3?2?5)的直线的方程? 解?平面x ?4z ?3和2x ?y ?5z ?1的交线的方向向量就是所求直线的方向向量s ?? 因为)34(512 401)52()4(k j i k j i k j i k i s ++-=---=--⨯-=? 所以所求直线的方程为153243-=-=+z y x ? 7.一个平面过两点M 1(1?11?1)、M 2(0?1??1)，且垂直于平面x+y+z=0,求其方程解：1098=-+z y x。

空间解析几何与向量代数复习题(答案).doc

第八章空间解析几何与向量代数答案一、选择题1. 已知 A(1,0,2), B(1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是（ A ）A 5B 3C 6D 92. 设 a=（ 1,-1,3）, b=（2,-1,2），求 c=3a-2b 是（ B ）A （-1,1,5） .B （-1,-1,5）.C （1,-1,5） .D （-1,-1,6） .3. 设 a=（ 1,-1,3）, b=（2, 1,-2），求用标准基 i, j, k 表示向量 c=a-b 为（ A ）A -i -2j+5kB -i-j+3kC -i-j+5kD -2i-j+5k4. 求两平面x2 y z3 0 和 2x y z 5的夹角是（ C ）A2 B4C D35. 已知空间三点 M(1,1,1)、A(2,2,1)和 B（2，1，2），求∠ AMB 是（ C）A2 B4C3D x y 1 z 26. 求点 M (2, 1,10)到直线 L：3 2 1 的距离是：（A ）A 138B 118C 158D 17.r r r r r r r r rD ）设 a i k , b 2i 3 j k , 求 a b 是：（A -i-2j+5kB -i-j+3kC -i-j+5kD 3i-3j+3k8. 设⊿ ABC 的顶点为A(3,0,2), B(5,3,1), C (0, 1,3) ，求三角形的面积是：（A ）3 6B 4 6 2D 3A2 3 C39.求平行于 z 轴，且过点M1(1,0,1)和M2(2, 1,1)的平面方程是：（D）A 2x+3y=5=0B x-y+1=0C x+y+1=0D x y 1 0 ．10、若非零向量a,b满足关系式 a b a b ，则必有（ C ）；A a b = a b ；B a b ；C a b = 0 ；D a b = 0 ．11、设a, b为非零向量，且a b ,则必有（ C ）A a b a bB a b a bC a b a bD a b a b12、已知 a = 2, 1,2 ,b = 1, 3,2 ，则 Pr j b a = （ D ）；A 5 ；B 5；C 3；D5 ．314、直线 x 1 y 1 z 1 与平面 2x y z4 0 的夹角为（B ）1310 1A；B3 ；C4 ；D．6214、点 (1,1,1)在平面 x 2y z 10 的投影为（A ）（A ） 1 ,0,3；（ B ）1,0,3；（ C ） 1, 1,0 ；（D ） 1 , 1, 1．2 222 2215、向量 a 与 b 的数量积 a b =（ C ）.A arj b a ；Barj a b ； C a rj a b ； Dbrj a b ．16、非零向量 a, b 满足 a b 0 ，则有（ C ）．Aa ∥b ;Bab ( 为实数 )； Ca b ； Da b0 ．17、设 a 与 b 为非零向量，则 a b0是（ A ）．Aa ∥b 的充要条件；B a ⊥ b 的充要条件 ;Ca b 的充要条件；D a ∥ b 的必要但不充分的条件．18、设 a 2i 3 j 4k , b 5i j k ，则向量 c2a b 在 y 轴上的分向量是（ B ）．A 7B 7 jC –1；D -9k19、方程组2x 2 y 2 4 z 2 9 x 1表示（B） .A 椭球面；B x 1 平面上的椭圆；C 椭圆柱面；D 空间曲线在 x 1平面上的投影 .20、方程 x 2y 20 在空间直角坐标系下表示（ C） .A 坐标原点 (0,0,0) ；B xoy 坐标面的原点 (0,0) ；C z 轴；D xoy 坐标面 .21、设空间直线的对称式方程为x y z则该直线必（ A）.1 2A 过原点且垂直于 x 轴；B 过原点且垂直于 y 轴；C 过原点且垂直于 z 轴；D 过原点且平行于 x 轴.22、设空间三直线的方程分别为: x 3 y 4 z; x 3tx 2 y z 1 0L1 L2 : y 1 3t ; L3 : ,则必有（ D ） .2 53 z 2 7t 2x y z 0A L1∥L2；B L1∥L3；C L2 L3；D L1 L2.、直线x 3 y 4 z 与平面的关系为 ( A )．232 734 x 2 y 2z 3A 平行但直线不在平面上；B 直线在平面上；C 垂直相交；D 相交但不垂直．24、已知a 1, b 2 ,且 (a, b) , 则 a b = ( D )．4A 1；B 1 2 ；C 2；D 5 .25、下列等式中正确的是 ( C )．A i j k ；B i j k ；C i i j j ；D i i i i ．26、曲面x2 y 2 z 在xoz 平面上的截线方程为(D)．A x2 z ；B y2 z ；C x2 y2 0；D x2 z ．x 0 z 0 y 0 二、计算题1．已知M12,2, 2 ， M 2 1,3,0 ，求 M 1M 2 的模、方向余弦与方向角。

(完整版)向量代数与空间解析几何期末复习题高等数学下册(上海电机学院)

第七章空间解析几何一、选择题1. 在空间直角坐标系中，点（1，－2，3）在[ D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限2.方程2222=+y x 在空间解析几何中表示的图形为[ C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面 3.直线312141:1+=+=-z y x l 与⎩⎨⎧=-++=-+-0201:2z y x y x l ，的夹角是 [ C ] A.4π B. 3π C. 2πD. 0 4. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于xoy 平面的对称点是[ D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3)5.将xoz 坐标面上的抛物线x z 42=绕z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是[B ] A. )(42y x z += B. 2224y x z +±=C. x z y 422=+ D. x z y 422±=+6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是[B ] A. 13- B.13 C. 23- D. 237. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于yoz 平面的对称点是[ A ]A. (-1,2,3)B. (1,-2,3)C. (-1,-2,3)D. (1,2,-3)8.方程22222x y z a b+=表示的是 [ B ]A.椭圆抛物面B.椭圆锥面C. 椭球面D. 球面9. 已知a ϖ={0, 3, 4}, b ϖ={2, 1, -2},则=b proj a ϖρ[ C ]A. 3B.31-C. -1D.1 10．已知,a b 为不共线向量，则以下各式成立的是 DA. 222()a b a b =• B. 222()a b a b ⨯=⨯C. 22()()a b a b •=⨯D. 2222()()a b a b a b •+⨯=11．直线1l 的方程为03130290x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩，直线2l 的方程为03031300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩，则1l 与2l 的位置关系是 DA.异面B.相交C.平行D.重合12．已知A 点与B 点关于XOY 平面对称，B 点与C 点关于Z 轴对称，那么A 点与C 点是 CA.关于XOZ 平面对称B.关于YOZ 平面对称C.关于原点对称D.关于直线x y z ==对称13．已知A 点与B 点关于YOZ 平面对称，B 点与C 点关于X 轴对称，那么A 点与C 点 C A.关于XOZ 平面对称 B.关于XOY 平面对称 C.关于原点对称 D.关于直线x y z ==对称 14. 下列那个曲面不是曲线绕坐标轴旋转而成的 CA.2221x y z ++= B.221x y z ++= C.21x y z ++= D.221x y z ++=15. 已知,a b 为不共线向量,则下列等式正确的是 CA.2a a a = B. 2()a a b a b ••= C. 2()a b b ab ••= D. 222()a b a b =•16．已知向量(1,2,1)a =，(3,4,3)b =--，那么以,a b 为两边的平行四边形的面积是 B A.20B. C.10D.17．已知直线l 方程2303450x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩与平面π方程20x z -++=，那么l 与π的位置关系是CA. l 在π内B. l 垂直于πC. l 平行于πD.不能确定18．两向量,a b 所在直线夹角4π，0ab <，那么下列说法正确的是 B A. ,a b 夹角4πB. ,a b 夹角34πC. ,a b 夹角可能34π或4π D.以上都不对19.已知||1=a，||=b ¶(,)4π=a b ，则||+=a b （D ）. (A) 1(B) 1+ (C) 2(D) 20.设有直线3210:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩及平面:4220x y z π-+-=，则直线L （ C ）。

第八章空间解析几何与向量代数知识点题库与答案

第八章：空间解析几何与向量代数一、重点与难点1重点① 向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角； ② 数量积（是个数）、向量积（是个向量）； ③ 几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面；④ 平面的几种方程的表示方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程）的夹角；⑤ 空间直线的几种表示方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程）两直线的夹角、直线与平面的夹角；2、难点① 向量积（方向）、混合积（计算）；② 掌握几种常见的旋转曲面、柱面的方程和二次曲面所对应的图形； ③ 空间曲线在坐标面上的投影；④ 特殊位置的平面方程（过原点、平行于坐标轴、垂直于坐标轴等；）⑤ 平面方程的几种表示方式之间的转化； ⑥ 直线方程的几种表示方式之间的转化；二、基本知识1、向量和其线性运算① 向量的基本概念：向量既有大小又有方向的量；向量表示方法：用一条有方向的线段（称为有向线段）来表示向量有向线段的长度表示向量的大小有向线段的方向表示向量的方向 .；向量的符号以A 为起点、B 为终点的有向线段所表示的向量记作表示也可用上加箭头书写体字母表示例如a 、r 、v 、F 或a 、r 、v 、F ；向量的模向量的大小叫做向量的模向量a 、a 、AB 的模分别记为|a|、|a|、|AB |单位向量模等于1的向量叫做单位向量;向量的平行两个非零向量如果它们的方向相同或相反就称这两个向量平行向量a 与b平行记作a // b 零向量认为是与任何向量都平行；两向量平行又称两向量共线零向量模等于0的向量叫做零向量记作0或0 零向量的起点与终点重合它的方向可以看作是任意的共面向量：设有k （k 3）个向量当把它们的起点放在同一点时如果k 个终点和公共起点在一个平面上就称这k 个向量共面；，两平面AB 向量可用粗体字母两向量夹角：当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时两个向量之间的不超过的夹角称为向量a 与b 的夹角记作(a ：b)或(b ：a)如果向量a 与b 中有一个是零向量规定它们的夹角可以在 0与之间任意取值；② 向量的线性运算向量的加法(三角形法则)：设有两个向量a 与b 平移向量使b 的起点与a 的终点重合此时从a 的起点到b 的终点的向量c 称为向量a 与b 的和记作a+b 即 c a+b .平行四边形法则向量a 与b 不平行时平移向量使a 与b 的起点重合以a 、b 为邻边作一平行四边形从公共起点到对角的向量等于向量a 与b 的和a b向量的加法的运算规律(1)交换律abba(2)结合律(a b) c a (b c)负向量设a 为一向量与a 的模相同而方向相反的向量叫做a 的负向量记为a把向量a 与b 移到同一起点 0则从a 的终点A 向b 的终点B 所引向量AB 便是向量b 与a 的差b a向量a 与实数的乘积记作规定 a 是一个向量方向当＞0时与a 相同当＜0时与a 相反当向量这时它的方向可以是任意的a③ 空间直角坐标系在空间中任意取定一点 O 和三个两两垂直的单位向量 i 、j 、k 就确定了三条都以 O 为原点的两两垂直的数轴依次记为x 轴(横轴卜y 轴(纵轴卜z 轴(竖轴)统称为坐标轴它们构成一个空间直角坐标系称为Oxyz 坐标系注：(1)通常三个数轴应具有相同的长度单位(2) 通常把x 轴和y 轴配置在水平面上而z 轴则是铅垂线(3) 数轴的的正向通常符合右手规则坐标面在空间直角坐标系中任意两个坐标轴可以确定一个平面这种平面称为坐标面x 轴和y 轴所确定的坐标面叫做xOy 面另两个坐标面是 yOz 面和zOx 面卦限三个坐标面把空间分成八个部分每一部分叫做卦限含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限它位于xOy 面的上方在xOy 面的上方按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限在xOy 面的下方与第一卦限对应的是第五卦限按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限八个卦限分别用字母I 、II 、III 、IV 、V 、VI 、VII 、VIII 表示向量的坐标分解式任给向量r 对应有点M 使OM r 以OM 为对角线、三条坐标轴为棱作长方体有 r OM OP PN NM OP OQ OR向量的减法向量与数的乘法: 它的模| a| | ||a|它的 0时| a| 0即a 为零运算规律(1)结合律 (a) ( a) ( )a ；(2)分配律()a a a ； (a b) a b 向量的单位化设a0则向量看是与a 同方向的单位向量记为e a ，于是a |a|e a定理1 设向量a 0那么向量b 平行于a 的充分必要条件是存在唯一的实数设 OP Xi OQ yj OR zk 贝U r OM xi yj zk上式称为向量r 的坐标分解式xi 、yj 、zk 称为向量r 沿三个坐标轴方向的分向量点M 、向量r 与三个有序x 、y 、z 之间有一一对应的关系M r OM xi yj zk (x, y, z)投影的性质性质1 (a)u |a|cos (即Prj u a |a|cos )其中为向量与u 轴的夹角性质 2 (a b)u (a)u (b)u (即 Prj u (a b) Prj u a Prj u b) 性质 3 ( a)u (a)u (即 Prj u ( a) Prj u a)有序数x 、y 、z 称为向量 r （在坐标系Oxyz ）中的坐标记作r (x y z) 向量r OM 称为点M 关于原点O 的向径 ④ 利用坐标作向量的线性运算设 a (a x a y a z ) b (b x b y b z )a b (a x b x a y b y a z b z ) a b (a x b x a y b y a z b z ) a ( a x a y a z )利用向量的坐标判断两个向量的平行设 a (a x a y a z ) 0 b (b x b y b z )向量 b//a b a即 b//a (b x b y b z )(a x a y a z )于是 bx b y axaybzaz⑤ 向量的模、方向角、投影设向量r （x y z ）作OM r 则向量的模长公式|r| ..x 2 y 2 z 2设有点 A(x i y i z i )、B(x y 2 z 2) AB OB OA(x 2 y 2 Z 2)(X 1 y 1 Z 1)(X 2 X 1 y 2 y 1 Z 2 z”A 、B 两点间的距离公式为： |AB| |AB|、（X 2 %）2 （y 2 yj 2厶乙）2方向角:非零向量r 与三条坐标轴的夹角称为向量r 的方向角设 r (x y z) 则 x |r|cos y |r|cos z |r|coscos 、cos 、cos 称为向量 r 的方向余弦cos x cos|r|从而(cos ,cos 1,COS ) F|r e r2 2 2cos cos cos 12、数量积、向量积、混合积① 两向量的数量积数量积对于两个向量a 和b 它们的模|a|、|b|和它们的夹角的余弦的乘积称为向量 a 和b 的数量积记作ab 即a b |a| |b| cos数量积的性质⑴ a a |a| 2(2)对于两个非零向量 a 、b 如果a b 0贝U a b;反之如果a b 则a b 0如果认为零向量与任何向量都垂直则a b a b 0两向量夹角的余弦的坐标表示设 (a 人b)则当a 0、b 0时有数量积的坐标表示设 a (a x a y a z ) b (b x b y b z )贝U a b a x b x a y b y a z b z 数量积的运算律 (1) 交换律 a b b a;⑵分配律 (a b) c a c b c(3) ( a) b a ( b) (a b)(a) (• b) (a b)、为数② 两向量的向量积向量积设向量c 是由两个向量a 与b 按下列方式定出c 的模|c| |a||b|sin其中为a 与b 间的夹角；c 的方向垂直于a 与b 所决定的平面 c 的指向按右手规则从 a 转向b 来确定那么向量c 叫做向量a 与b 的向量积记作a b 即c a b向量积的性质(1) a a 0(2) 对于两个非零向量 a 、b 如果a b 0则a//b 反之如果a//b 则a b 0 如果认为零向量与任何向量都平行则a//b a b 0数量积的运算律(1) 交换律a b b a (2) 分配律(a b) c a c b c (3) ( a) b a ( b) (a b)(为数)数量积的坐标表示设a (a x a y a z ) b (b x b y b z )a b (a yb z a z b y ) i ( a z b xa xb z ) j (a xb y a y b x ) kcosa xb x a y b y a z b z|a||b|X a 2 a z为了邦助记忆利用三阶行列式符号上式可写成a yb z i a z b x j a x b y k a y b x k a x b z j a z b y ii j k a x a y a z b x b y b z(a y b z a z b y ) i ( a z b x a x b z ) j ( a x b y a y b x ) k③三向量的混合积混合积的几何意义：混合积[abc]是这样一个数，它的绝对值表示以向量a 、b 、c 为棱的平行六面体的体积，如果向量a 、b 、c 组成右手系，那么混合积的符号是正的，如果a 、b 、c 组成左手系，那么混合积的符号是负的。

空间解析几何与向量代数复习题答案

间解析几何与向量代数1. 2. 3. 4. 5. 、选择题已知 A(1,0,2), 设 a = (1,-1,3 (-1,1,5 ). 设 a = (1,-1,3 -i -2 j +5k B B(1,2,1)求两平面x 2y已知空间三点是空间两点，向量AB 的模是 (A ),b= (2,-1,2 ),求 c=3a-2b 是(B )(-1,-1,5 ) . C (1,-1,5 ).D (-1,-1,6 ),b= (2, 1,-2 -i -j +3k C z 3 0和2x）,求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为（A-i -j +5k D -2i - j +5ky z 5 0的夹角是（C ）M(1,1,1) 、A(2,2,1) 和 B (2, 1, 2),求/ AMB 1( C )6.求点M （2, 1,10）到直线L ：1 z 21的距离是：（A ）A 138B ,118 158 Dr r r r r2i 3j k,求 a b 是：(D )A -i -2j +5kB - i -j +3kC - i -j +5kC x+y+1=011、设a,b 为非零向量,a b ,则必有（C ）A a b | |a | |baba8.设/ ABC 的顶点为 A(3,0,2), B(5,3,1), C(0, 1,3), 求三角形的面积是：（A ） 9.求平行于z 轴, 且过点 M 1(1,0,1)和 M 2(2, 1,1）的平面方程是：（D ） A 2x+3y=5=0x-y+1=010、若非零向量a,b 满足关系式,则必有（C ）；12、已知 a= 2, 1,2 ,b = 1, 3,2，则 Prj b a =）；A5；5■■ 14 •7.设 a i k,D 3i -3j+3ka b| |a | |b13、直线y 1 Z 1与平面2x y z 4 0的夹角为（B ）1 0 1A-；B7C D634214点(1,1,1)在平面x 2y z 10的投影为(A )、(A) 丄,0,3；(B) 丄,0,3；(C) 1, 1,0 ； (D) 1 1 12 222 2 215向量a与b的数量积a b= ( C).、A a rj b a ；B a rj a b ；C a rj a b；D b rj a b .16、非零向量a,b满足a b0，则有（C ）.A a // b;B a b （为实数）；C a b;D a b 0.17、设a与b为非零向量，则a b 0是（A ）.A a // b的充要条件；B a丄b的充要条件；C a b的充要条件；D a // b的必要但不充分的条件.18、设a 2i 3j 4k,b 5i j k，则向量c 2a b在y轴上的分向量是（B）.A 7B 7 jC - 1;D -9 k2 2 .219、方程组2x y 4z 9表示（B ）.x 1A 椭球面；B x 1平面上的椭圆；C 椭圆柱面；D 空间曲线在x 1平面上的投影.20、方程x 2 y 2 0在空间直角坐标系下表示（C ）A 坐标原点（0,0,0）；B xoy 坐标面的原点（0,0）；C z 轴；D xoy 坐标面.22、设空间三直线的方程分别为A L 1 // L 2 ；B L 1 // L 3 ；C L 2 L 3 ；D L 1 L 2 .23、直线 J $ 4 Z 与平面4x 2y 2z 3的关系为（A ）.273A 平行但直线不在平面上；B 直线在平面上；C 垂直相交；D 相交但不垂直.24、已知 a 1,b.2,且（a,b ）-,贝 U a b = （ D ）.4A 1 ；B 1 2 ；C 2 ；D 5 .25、下列等式中正确的是（C ）21、设空间直线的对称式方程为0 I 2则该直线必A 过原点且垂直于x 轴;B 过原点且垂直于y 轴;C 过原点且垂直于z 轴;D 过原点且平行于x 轴.3tL i；x 2y z 100,则必有（Dy2 7t、计算题解：由题设知的投影及在y 轴上的分向量。

空间解析几何与向量代数测试题

⎩ ⎩ a b . 习题六一、填空题1. 过点(3,-2,2)垂直于平面 5x-2y+6z-7=0 和 3x-y+2z+1=0 的平面方程为 .→2.已知向量OM 的模为10.与x 轴的正向的夹角为450 ,与y 轴的正向的夹→角为600,则向量OM =.3. 过(- 2,1,3)点且平行于向量 a = {2,-2,3}和b = {- 1,3,-5}的平面方程为 .若两向量→= {λ,-3,2}和→= {1,2,-λ}互相垂直,则λ=5. 与三点M 1 (1,-1,2), M 2 (3,3,1), M 3 (3,1,3)决定的平面垂直的单位向量→a 0 = 向量→ = {1,1,4}在向量→= {2,-2,1}上的投影等于6. b → a→ ⎛ → → ⎫ 0.→ → →7.已知m = 5, n = 2, m , n ⎪ = 60 则向量a = 2 m - 3 n 的模等于.⎝ ⎭⎧x - 2 y + 4z - 7 = 08. 过点(2,0,-3)且与平面⎨垂直的平面方程是 .⎩3x + 5 y - 2z + 1 = 0→ → →→→→9. 设 a , b , c 两两互相垂直,且 a = 1, b = 2 , c = 1, 则向量→→ → →s = a + b - c 的模等于.10. 过点(0,2,4)且与平面 x+2z=1,y-3z=2 都平行的直线是.⎧2x + 3y - z + D = 011. 若直线⎨2x - 2 y + 2z - 6 = 二、选择题与x 轴有交点,则D = .⎧x 2 + 4 y 2 + 9z 2 = 361. 方程⎨ y = 1( A )椭球面;(C )椭圆柱面;表示 (B ) y = 1平面上的椭圆;(D )椭圆柱面在y = 0上的投影曲线.答: ( )→→ → →→2.已知向量a = i + j + k ,则垂直于a 且垂直于oy 轴的单位向量是:4.b a b a a ⋅ b ( A ) ± 3 ⎛→ → → ⎫3 ⎛→ → → ⎫i + 3 ⎝ j + k ⎪⎭(B ) ± i - 3 ⎝ j + k ⎪⎭C ) ± 2 ⎛→- → ⎫(D ) ± 2 ⎛→+ → ⎫答: ( )i k ⎪ 2 ⎝ ⎭→ →⎛→ →⎫ i k ⎪ 2 ⎝ ⎭π → → 3.已知a = 1, b = 2,且 a , b ⎪ = 4,则a + b = ⎝ ⎭(A ) 1;(B ) 1 + 2;(C ) 2;答: ( )4. 平面 3x-3y-6=0 的位置是(A)平行 xoy 平面 (B)平行 z 轴,但不通过 z 轴; (C)垂直于 z 轴;(D)通过 z 轴. 答:( )→ →→→5.设向量a , b 互相平行, 但方向相反,且 a > b > 0,则有→ →→→→ →→→( A ) a + b = a - b ;(B ) a + b > a - b→ →→→+ < - → →→→+ = + 答: ( )6.旋转曲面x 2 - y 2 - z 2 = 1是(A ) xoy 平面上的双曲线绕x 轴旋转所得(B ) xoz 平面上的双曲线绕z 轴旋转所得(C ) xoy 平面上的椭圆绕x 轴旋转所得(D ) xoz 平面上的椭圆绕x 轴旋转所得答: ( )→ → → →7. 设向量a ≠ 0, b ≠ 0, 指出以下结论中的正确结论:→ →→ →(A ) a ⨯ b = 0是a 与b 垂直的充要条件;→ → → →(B ) a ⋅ b = 0是a 与b 平行的充要条件;→→→→(C ) a 与b 的对应分量成比例是a 与b 平行的充要条件;→ (D ) 若→ → →λ是数),则 = 0.答: ( )(D ) 5.(C ) a b( A ) a ba = λb (→→→ ⎛→→⎫→8.设a, b, c 为三个任意向量,则 a+b ⎪⨯c =⎝⎭→→→→→→→→(A)a⨯c +c⨯b (B) c⨯a+c⨯b→→→→+ →→→→+ 答: ()⎧x 2y 2⎪+=9.方程⎨4 9⎪⎩y = 2在空间解析几何中表达(A)椭圆柱面, (B) 椭圆曲线;(C)两个平行平面,(D)两条平行直线. 答:( )10.对于向量a, b, c ，有（A）若a ⋅b = 0 ，则a, b 中最少有一种零向量（B）( +)(⋅)(a ⋅c)（C）(a ⋅b)⋅c =a ⋅(b ⋅c)（D）(a ⋅b)(a ⋅b)=01 1. 方程y 2+z2- 4x + 8 = 0 表达(A)单叶双曲面;(B)双叶双曲面;(C)锥面; (D)旋转抛物面. 答:( )x 2 12.双曲抛物面(马鞍面)p -y 2= 2z(p > 0, q > 0)与xoy 平面交线是q(A)双曲线; (B) 抛物线,(C)平行直线; (D)相交于原点两条直线; 答()三、计算题（本题共 6 小题，每小题 8 分，满分 48 分。

试题集：向量代数与空间解析几何

1.在三维空间中，向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的点积是多少？o A. 32o B. 24o C. 35o D. 30参考答案: A解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的点积计算为1∗4+2∗5+3∗6=32。

2.向量v⃗=(3,4)的模长是多少？o A. 5o B. 7o C. 12o D. 25参考答案: A解析: 向量v⃗的模长计算为√32+42=5。

3.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的叉积结果是什么？o A. (3,−6,3)o B. (−3,6,−3)o C. (3,−6,−3)o D. (−3,6,3)参考答案: B解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的叉积计算为(2∗6−3∗5,3∗4−1∗6,1∗5−2∗4)=(−3,6,−3)。

4.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的向量积的模长是多少？o A. 7o B. 14o C. 21o D. 42参考答案: A解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的叉积模长计算为√(−3)2+62+(−3)2=7。

5.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的夹角余弦值是多少？o A. 0.9746o B. 0.9971o C. 0.9899o D. 0.9659参考答案: A解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的夹角余弦值计算为a⃗⃗⋅b⃗⃗|a⃗⃗||b⃗⃗|=√14√77≈0.9746。

6.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)是否共线？o A. 是o B. 不是o C. 无法确定o D. 以上都不对参考答案: B解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的分量不成比例，因此它们不共线。

7.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)是否正交？o A. 是o B. 不是o C. 无法确定o D. 以上都不对参考答案: B解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的点积不为0，因此它们不正交。

8.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的向量积是否垂直于这两个向量？o A. 是o B. 不是o C. 无法确定o D. 以上都不对参考答案: A解析: 向量积的结果向量总是垂直于构成叉积的两个向量。

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第七章空间解析几何与向量代数A一、1、平行于向量 a (6,7, 6) 的单位向量为______________.2、设已知两点M 1 (4, 2 ,1)和M 2(3,0,2) ，计算向量M1M2 的模，方向余弦和方向角.3、设m 3i 5j 8k ,n 2i 4j 7k , p 5i j 4k ，求向量 a 4m 3n p 在x 轴上的投影，及在y 轴上的分向量.二、1、设a3i j 2k ,b i 2j k ，求(1) a b及 a b；(2)( 2a) 3b及 a 2b (3) a、b的.夹角的余弦(3,1,3) ，求与 M1M 2,M 2 M 3 同时垂直的单位向量.2、知M 1(1, 1,2), M 2 (3,3,1), M3.3、设a (3,5, 2), b ( 2,1,4) ，问与满足 _________时， a b z轴三、1、以点(1,3,-2) 为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程x2 y 2 z 2 2x 4 y 2z 0 表示______________曲面.3、1) 将xOy 坐标面上的y2 2x 绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为_______________ ，曲面名称为___________________.2) 将xOy 坐标面上的x2 y 2 2x 绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程_____________，曲面名称为___________________.3) 将xOy 坐标面上的4x2 9 y 2 36 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方程为 _____________，曲面名称为_____________________.4）在平面解析几何中y x2 表示 ____________ 图形。

在空间解析几何中y x 2表示______________图形.5）画出下列方程所表示的曲面(1) z2 4( x2 y 2 )(2) z 4( x2 y 2 )四、x 2 y 21在平面解析几何中表示1、指出方程组4 9 ____________图形，在空间解y 3析几何中表示 ______________图形 .2、求球面 x 2y 2z 29 与平面x 的交线在 xOy 面上的投影方程 .z 13、求上半球 0za 2x 2 y 2 与圆柱体 x 2 y 2 ax (a 0) 的公共部分在xOy 面及 xOz 面上的投影 . 五、1、求过点 (3,0,-1) 且与平面 3x-7y+5z-12=0 平行的平面方程 .2、求过点 (1,1,-1)，且平行于向量 a=(2,1,1)和 b=(1,-1,0) 的平面方程 .3、求平行于 xOz 面且过点 (2,-5,3) 的平面方程 .4、求平行于 x 轴且过两点 (4,0,-2) 和(5,1,7) 的平面方程 .六、1、求过点 (1,2,3)且平行于直线xy 3 z 1的直线方程 .21 52、求过点 (0,2,4)且与两平面 x2z 1 , y 3z 2 平行的直线方程 .3、求过点 (2,0,-3) 且与直线4、求过点 (3,1,-2)且通过直线x2 y 4z 7 03x 5 y 2z 1 垂直的平面方程 .x 4 y 3 z的平面方程 .521x y 3z 0 y z 1 0 的夹角 .5、求直线y z与平面 xx 06、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系1) 直线2) 直线x 2y y z 7 与直线 x 1y 3 z ;2x z 7 2 1 1x2 y 2 z 3和平面 x+y+z=3.3 14 7、求点 (3,-1,2)x y z 1 0 的距离 .到直线2x y z 4B1、已知 a b c 0 （ a, b, c 为非零矢量），试证 : a b b c c a .2、 a b3, a b {1,1,1}, 求 (a, b) .3、已知和为两非零向量，问取何值时，向量模| a tb |最小？并证明此时 b (a tb) .4、求单位向量，使n a 且 n x 轴，其中 a (3,6,8) .5、求过轴，且与平面 2xy5z 0 的夹角为的平面方程 .36、求过点 M 1 (4,1,2) ， M 2 (3,5, 1) ，且垂直于 6x 2y 3z 7 0的平面 .7、求过直线x 2y z 1 0x y z平行的平面 .2x y z 2 ，且与直线：1 128、求在平面 : xy z 1上，且与直线 y 1L ：垂直相交的直线方程 .z19、设质量为 100kg 的物体从空间点 M 1 (3,1,8) ，移动到点 M 2 (1,4,2) ，计算重力所做的功（长度单位为） .10、求曲线y 2 z 2 2x在 xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲z 3 线？11、已知 OA i 3k , OB j 3k ，求 OAB 的面积12、 . 求直线2x 4 y z 0y z 1上的投影直线方程 .3x y 2z 9在平面 4xC1、设向量 a, b, c 有相同起点 , 且 a bc 0 ，其中0 ， , ,不全为零 ,证明 : a, b,c 终点共线 .2、求过点 M 0 (1,2, 1) ，且与直线：x2 y 12相交成角的直线方程 .2 1 1 33、过 ( 1,0,4) 且平行于平面 3x 4 yz 10 0 又与直线x 1y 3z相交的直线方112程 .4、求两直线：x1 y z与直线：xyz 2的最短距离 .0 1163 05、柱面的准线是xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量 g {1,1,1} ，求此柱面方程 .6、设向量 a,b 非零， b2, (a,b)，求 lima xbax.3xx 2 y 7、求直线 L :z1( y 1) 绕 y 轴旋转一周所围成曲面方程 .2第七章空间解析几何与向量代数习题答案A一、 1、6,7,611 11 112、M 1M 2=2, cos1, cos2,cos1 ,2 ,3 ,3222343、在 x 轴上的投影为 13，在 y 轴上的分量为 7j 二、 1、 1） a b 3 1 ( 1) 2 ( 2) ( 1) 3ij k a b 3125ij 7k1 21（ 2） ( 2a) 3b6(a b) 18 ， a 2b2( ab) 10i2 j 14k^ a b 3（ 3） cos(a, b)a b2 212、 M 1M 2{ 2,4, 1}, M 2M 3{ 0, 2,2}i j ka M 1M 2M 2M 3 2 41 6i 4 j 4k0 2 2a 6, 4, 4a{17 17 }2 2 2 17即为所求单位向量。

(完整版)向量代数与空间解析几何练习题

第4章向量代数与空间解析几何练习题习题4.1一、选择题1．将平行于同一平面的所有单位向量的起点移到同一点，则这些向量的终点构成的图形是( ）（A ）直线； (B ）线段； (C ）圆； (D) 球．2．下列叙述中不是两个向量a 与b 平行的充要条件的是( ）（A)a 与b 的内积等于零; (B)a 与b 的外积等于零;（C)对任意向量c 有混合积0)(=abc ； (D ）a 与b 的坐标对应成比例．3．设向量a 的坐标为313，则下列叙述中错误的是( ) （A ）向量a 的终点坐标为),,(z y x ；（B ）若O 为原点，且a OA =，则点A 的坐标为),,(z y x ；（C ）向量a 的模长为222z y x ++;（D ）向量)2/,2/,2/(z y x 与a 平行．4．行列式213132321的值为（ )（A ） 0 ；（B ） 1 ；（C ） 18 ； (D ） 18-．5．对任意向量a 与b , 下列表达式中错误的是（ )(A ）||||a a -=；（B ）||||||b a b a +>+；（C ） ||||||b a b a ⋅≥⋅； (D ） ||||||b a b a ⨯≥⋅．二、填空题1．设在平行四边形ABCD 中，边BC 和CD 的中点分别为M 和N ，且p AM =，q AN =，则BC =_______________,CD =__________________．2．已知ABC ∆三顶点的坐标分别为A （0，0，2），B(8，0，0），C(0，8，6），则边BC 上的中线长为______________________．3．空间中一动点移动时与点)0,0,2(A 和点)0,0,8(B 的距离相等，则该点的轨迹方程是_______________________________________．4．设力k j i F 532++=，则F 将一个质点从)3,1,0(A 移到)1,6,3(,B 所做的功为____________________________．5．已知)2,5,3(A ， )4,7,1(B , )0,8,2(C ，则=⋅AC AB _____________________;=⨯BA BC ____________________；ABC ∆的面积为_________________．三、计算题与证明题1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c ，并且0=++c b a ．计算a c c b b a ⨯+⨯+⨯．2．已知3||=⋅b a , 4||=⨯b a ，求||||b a ⋅．3．设力k j i F 532++-=作用在点)1,6,3(A ，求力F 对点)2,7,1(,-B 的力矩的大小．4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线，且满足3=⋅x a ，求向量x 的坐标．5．用向量方法证明, 若一个四边形的对角线互相平分, 则该四边形为平行四边形．6．已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程．7．向量a ， b , c , 具有相同的模，且两两所成的角相等，若a , b 的坐标分别为)1,1,0()0,1,1(和，求向量c 的坐标．8．已知点)1,6,3(A ， )1,4,2(-B , )3,2,0(-C ， )3,0,2(--D ，(1) 求以AB ， AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积．(2) 求三棱锥BCD A -的体积．(3) 求BCD ∆的面积．(4) 求点A 到平面BCD 的距离．习题4。

高等数学第七章空间解析几何与向量代数试题[1]

(一)选择题1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量的模是：（）A ）B ）C ） 6D ）9532. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（）A ）{-1,1,5}.B ） {-1,-1,5}.C ） {1,-1,5}.D ）{-1,-1,6}.3. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求用标准基i , j , k 表示向量c ;A ）-i -2j +5kB ）-i -j +3kC ）-i -j +5kD ）-2i -j +5k4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（）A ）B ）C ）D ）2π4π3ππ5. 一质点在力F =3i +4j +5k 的作用下，从点A （1,2,0）移动到点B (3, 2,-1)，求力F 所作的功是：（）A ）5焦耳B ）10焦耳C ）3焦耳D ）9焦耳6. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是：（）A ）B ）C ）D ）2π4π3ππ7. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12213+=-=z y x 的距离是：（）A ） B C ） D ）13811815818. 设求是：（）,23,a i k b i j k =-=++r r r r r r r a b ⨯r r A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）3i -3j +3k9. 设⊿的顶点为，求三角形的面积是：（ ABC (3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -）A ）B ）C ）D ）33623643210. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（）A ）2x+3y=5=0B ）x-y+1=0C ）x+y+1=0D ）01=-+y x ．填空题(1) a ∙b = （公式）(2) a ·b = （计算）(3).=⨯b a r r (4)][c b a r r r =(5) 平面的点法式方程是(6) 三维向量 21M M 的模为| 21M M |=(7) 坐标面的曲线绕轴旋转生成的旋转曲面的方程是：yoz 0),(=z y f z (8) 已知两点与，与向量方向一致的单位向量= 。

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第八章空间解析几何与向量代数答案一、选择题1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量的模是（A ） A 5 B 3 C 6 D 92. 设a =（1,-1,3）, b =（2,-1,2），求c =3a -2b 是（ B ）A （-1,1,5）.B （-1,-1,5）.C （1,-1,5）.D （-1,-1,6）. 3. 设a =（1,-1,3）, b =（2, 1,-2），求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为（A ） A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D -2i -j +5k 4. 求两平面和的夹角是（ C ）A2π B 4π C 3πD π 5. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是（ C ） A2π B 4π C 3πD π 6. 求点到直线L ：的距离是：（ A ）A 138B 118C 158D 17. 设,23,a i k b i j k =-=++r rr r r r r 求a b ⨯r r 是：（ D ）A -i -2j +5kB -i -j +3kC -i -j +5kD 3i -3j +3k8. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ A ）B 364C 32D 3 9. 求平行于轴，且过点和的平面方程是：（ D ）A 2x+3y=5=0B x-y+1=0C x+y+1=0D ．10、若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ，则必有（ C ）；A -+a b =a b ；B =a b ；C 0⋅a b =；D ⨯a b =0． 11、设,a b 为非零向量，且a b ⊥, 则必有（ C ）A a b a b +=+B a b a b -=-C +=-a b a bD +=-a b a b12、已知()()2,1,21,3,2---a =,b =，则Pr j b a =（ D ）；A 53； B 5； C 3；． 13、直线11z 01y 11x -=-=--与平面04z y x 2=+-+的夹角为（B ） A6π； B 3π； C 4π； D 2π． 14、点(1,1,1)在平面02=+-+1z y x 的投影为（A ）（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0,21；（B ）13,0,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（C ）()1,1,0-；（D ）11,1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．15、向量a 与b 的数量积⋅a b =（ C ）.A a rj P b a ；B ⋅a rj P a b ；C a rj P a b ；D b rj P a b ． 16、非零向量,a b 满足0⋅=a b ，则有（ C ）．A a ∥b ;B =λa b (λ为实数)；C ⊥a b ；D 0+=a b ． 17、设a 与b 为非零向量，则0⨯=a b 是（A ）．A a ∥b 的充要条件；B a ⊥b 的充要条件;C =a b 的充要条件；D a ∥b 的必要但不充分的条件． 18、设234,5=+-=-+a i j k b i j k ，则向量2=-c a b 在y 轴上的分向量是（B ）． A 7 B 7j C –1； D -9k19、方程组2222491x y z x ⎧++=⎪⎨=⎪⎩ 表示（ B ）.A 椭球面；B 1=x 平面上的椭圆；C 椭圆柱面；D 空间曲线在1=x 平面上的投影. 20、方程 220x y +=在空间直角坐标系下表示（C ）.A 坐标原点(0,0,0)；B xoy 坐标面的原点)0,0(；C z 轴；D xoy 坐标面. 21、设空间直线的对称式方程为 012xy z==则该直线必（ A ）. A 过原点且垂直于x 轴； B 过原点且垂直于y 轴； C 过原点且垂直于z 轴； D 过原点且平行于x 轴. 22、设空间三直线的方程分别为123321034:;:13;:2025327x tx y z x y z L L y t L x y z z t=⎧+-+=⎧++⎪===-+⎨⎨+-=--⎩⎪=+⎩,则必有（ D ）.A 1L ∥2L ；B 1L ∥3L ；C 32L L ⊥；D 21L L ⊥.23、直线34273x y z++==--与平面4223x y z --=的关系为 ( A )． A 平行但直线不在平面上； B 直线在平面上；C 垂直相交；D 相交但不垂直．24、已知1,==a b 且(,)4∧π=a b , 则 +a b = ( D )． A 1；B 1+C 2；.25、下列等式中正确的是( C )．A +=i j k ；B ⋅=i j k ；C ⋅=⋅i i j j ；D ⨯=⋅i i i i ． 26、曲面22x y z -=在xoz 平面上的截线方程为 (D)．A 2x z =； B 20y z x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩； C 2200x y z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩； D 20x zy ⎧=⎪⎨=⎪⎩．二、计算题1．已知()2,2,21M ，()0,3,12M ，求21M M 的模、方向余弦与方向角。

解：由题设知((1212,32,01,1,,M M =--=-u u u u u u r则()(),2211222=-++-=21cos -=α，21cos =β，22cos -=γ，于是，32πα=，3πβ=，43πγ=。

2．设k j i m 853++=，k j i n 742--=和k j i p 45-+=，求向量p n m a -+=34在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量。

解：()()()4574238534-+---+++=15713++=故在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分向量为7。

3．在xoz 坐标面上求一与已知向量()2,3,4a =-r垂直的向量。

解：设所求向量为()00,0,b x z =r，由题意，04200=+-=⋅z x取10=z ，得20=x ，故()2,0,1b =r与垂直。

当然任一不为零的数λ与的乘积λ也垂直。

4．求以()3,2,1A ，()5,4,3B ，()7,2,1--C 为顶点的三角形的面积S 。

解：由向量积的定义，可知三角形的面积为AC AB S ⨯=21，因为()2,2,2AB =u u u r ，()2,4,4AC =--u u u r，所以()22216,12,4244i jkAB AC ⨯==----r r r u u u r u u u r，于是， ()().69242162144222221222=-+-+=--=S 5．求与向量()2,0,1a =r ，()1,1,2b =-r都垂直的单位向量。

解：由向量积的定义可各，若=⨯，则同时垂直于和，且k j i kj ib ac 23211102--=-=⨯=，因此，与b a c ⨯=平行的单位向量有两个：()()()k j i c 2314123123222--=-+-+--===ο和 ().23141k j i c ++-=-ο 6．求球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xoy 面上的投影的方程。

解：由1=+z x ，得x z -=1，代入9222=++z y x ，消去z 得()91222=-++x y x ，即82222=+-y x x ，这就是通过球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线，并且母线平行于z轴的柱面方程，将它与0=z 联系，得：⎩⎨⎧==+-082222z y x x ，即为所求的投影方程。

7、求过()1,1,1-A ，()2,,2,2--B 和()2,1,1-C 三点的平面方程。

解一：点法式：{}3,3,3--=，{}3,2,0-=，取{}2,3,13320333---=---=⨯=，于是所求方程：023=--z y x 。

解法二：用一般式，设所求平面方程为 ,0=+++D Cz By Ax将已知三点的坐标分别代入方程得,0202220⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++--=+-+D C B A D C B A D C B A 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=023D A C A B ，得平面方程：023=--z y x 。

8．求平面0522=++-z y x 与xoy 面的夹角余弦。

解：()2,2,1n =-r为此平面的法向量，设此平面与xoy 的夹角为γ，则()()2,2,10,0,11cos 33||||n kn k γ-⋅⋅===⋅r rr r 9．分别按下列条件求平面方程(1)平行于xoz 面且经过点()3,5,2-； (2)通过z 轴和点()2,1,3-；(3)平行于x 轴且经过两点()2,0,4-和()7,1,5。

解：(1)因为所求平面平行于xoz 面，故()0,1,0j =r为其法向量，由点法式可得：()()()0305120=-⋅++⋅+-⋅z y x ，即所求平面的方程：05=+y 。

(2)因所求平面通过z 轴，其方程可设为(*)0=+By Ax ，已知点()2,1,3--在此平面上，因而有03=+-B A ，即A B 3=，代入（*）式得：03=+Ay Ax ，即所求平面的方程为：03=+y x 。

(3)从共面式入手，设()z y x P ,,为所求平面上的任一点，点()2,0,4-和()7,1,5分别用A ，B表示，则，，i 共面，从而[]00191124,,=+-=z yx ，于是可得所求平面方程为：029=--z y 。

10．用对称式方程及参数式方程表示直线l ：⎩⎨⎧=++=+-421z y x z y x 。

解：因为直线l 的方向向量可设为()121112,1,3211i j ks n n =⨯=-=-r r r r u r u u r，在直线上巧取一点()2,0,3-A （令0=y ，解直线l 的方程组即可得3=x ，2-=z ），则直线的对称式方程为32123+==--z y x ，参数方程为：t x 23-=，t y =，t z 32+-=。

11．求过点()4,2,0且与两平面12=+z x 和23=-z y 平行的直线方程。

解：因为两平面的法向量()11,0,2n =u r 与()20,1,3n =-u u r不平行，所以两平面相交于一直线，此直线的方向向量()121022,3,1013i j ks n n =⨯==--r r r r u r u u r ，故所求直线方程为14322-=-=-z y x 。

12．确定直线37423zy x =-+=-+和平面3224=--z y x 间的位置关系。