高二数学期望

X
0
1
p
0.3 0.7
解：该随机变量X服从两点分布: P(X=1)=0.7、P(X=0)=0.3
所以：EX=1×P(X=1)+0×P(X=0)=0.7
四、应用例题
1 例 1 甲击中目标的概率为 2 ,如果击中，赢 10 分，否则输 11 分，用 X 表示他的得分，
计算 X 的概率分布和数学期望。
解： X 10的充分必要条件是击中目标，
全年级同学的平均身高是
u=
1 n
（
x1n1
+
x2n2
+….+
） xmnm
P=p(X=
xi
)=
nHale Waihona Puke Baidu n
,i=1,2….n
把全年级的平均身高 u 定义成 X 的均值，记作 E(X)
E(X ) 1 n
( x1n1 + x2n2 +….+
xmnm )
E( X ) x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
2. 其它分布的随机变量，先画出分布列，在对应求值。
所以
P X
10
1 2

0.5
X 11是X 10的对立事件
所以 PX 11 1 0.5 0.5
X 只取 10 和 11，所以
EX 10 PX 10 11 PX 11
10 0.5 11 0.5 0.5
• 例2.在只需回答“是”“不是”的知识竞赛时，每个选手 回答两个不同的问题，都回答失败，输1分，否则赢0.3分， 用X表示甲的得分，如果甲随机猜测“是”“不是”，计 算X的概率的分布和数学期望。
三、新课讲解
数学期望的定义
若离散型随机变量X的分布列为：
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
则称：
EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn
为随机变量X的均值或数学期望。
•它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
小练习
• 在篮球比赛中，如果某运动员罚球命中 得1分的概率为0.7，那么他罚球一次得 分设为X，X的均值是多少？
• 解：｛X=-1｝的充分必要条件是两次猜错，所以
•
p(X=-1)=1/4=0.25
•
｛X=0.3｝是｛X=-1｝的对立事件，所以
•
p(X=0.3)=3/4=0.75
•
X只取-1和0.3，于是
•
E(X)=-1× p(X=-1)+(0.3 )× p(X=0.3)
•
=-1 ×0.25+0.3 ×0.75=-0.025
数学期望小结
• EX表示X所表示的随机变量的均值；
• EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn • 为随机变量X的均值或数学期望。
两点分布：EX= p
• 二项分布：EX= n p
• 超几何分布
E nM
• 求数学期望时：
N
1. 已知是两点分布，二项分布或超几何分布时，直接代用 公式；
2、随机变量ξ的分布列是
ξ
4
a7
9
10
P 0.3 0a.1 b 0.2
Eξ=7.5,则a= 70.1 b= 00.4.4 .
互动练习（第二层）
1、 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0 分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的 得分ξ的期望为 0.7 ．
变式：若该运动员在某次比赛中罚球n次， 求他罚球的得分X的均值？
人数ni n1 n2
n3
…
n29 n30
比例 n1/n n2 /n n3 /n … ni/n
n29 /n n30 /n
P(xi)= n1/n n2 /n n3 /n … ni/n
n29 /n n30 /n
全年级同学身高总和为多少，平均身高u为多少？
从班中任选一位同学，用X代表身高，则｛X=156｝的概率 分布有多少？
• 解:用X表示10局中甲赢的次数， • 则X服从二项分布B（10，0.51）. • E（X）=10 ×0.51=5.1 • 所以 甲平均赢5.1局 • 用Y表示10局中乙赢的次数， • 则Y服从二项分布B（10，0.49）. • E（Y）=10 ×0.49=4.9 • 所以乙平均赢4.9局
• 例4，袋中有3个红球，7个白球，从中无放回地任取5个， 取到几个红球就得几分，问平均得几分。
…k
…n
P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 … Cnkpkqn-k … Cnnpnq0
Pn(k) Cnkpk(1 p)nk
3、随机变量的概率分布
一般地，设离散型随机变量X可能取的值为
x1，x2，……，xi，…， X取每一个值xi(i＝1，2，…)的概率P(X＝xi)＝
pi，则称下表
X
x1
x2
…
xi
…
P
p1
p2
…
pi
…
为随机变量X的概率分布，
由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布 列都具有下述两个性质：
(1)pi≥0，i＝1，2，…； (2)p1＋p2＋…＝1．
二、引例
引例p69全年级有n=300个学生，其中有ni 同学的身高是xi cm
身高xi 156 157 158 ... 184 185
8.2.6 离散型随机变量的数学期望
高二数学组
一.复习
1、什么叫n次独立重复试验？
一般地，由n次试验构成，且每次试验互相独立完 成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与 ， 每次试验中P(A)＝p＞0。称这样的试验为n次独立重复 试验，也称伯努利试验。
2、什么叫二项分布？
若X～B (n，p)
X01
人数，则x的数学期望是
（结果用最简分数表示）
4
7
变式
• 一个袋子里装有大小 相同的5个白球5个黑 球，从中任取4个，求 其中所含白球个数的 期望。
4*5
E(X)=
=2
10
• 例3.甲乙比赛时，甲每局赢的概率是P=0.51，乙每局赢的 概率是q=0.49，甲乙一共进行了10次比赛，当各次比赛 的结果是相互独立的，计算甲平均赢多少局，乙平均赢多 少局。
五、性质 1、若Y=aX+b,a,b常数，则E(aX+b)= aE(X)+b
2、如果随机变量X服从两点分布，
那么
EX= p
3、若X～B (n，p)，则 EX= n p
4、超几何分布
E nM
N
小练习:
某学校要从5名男生和2名女
生中选出2人作为上海世博会
志愿者，若用随机变量x
表示选出的志愿者中女生的
• 解：用X表示得分数，则X也是取到的红球数， • X服从超几何分布H（10，3，5），于是 • EX=n×M/N=5×3/10=1.5 • 所以平均得到了1.5分。
互动练习（第一层）
1、随机变量ξ的分布列是
ξ
1
3
5
P
0.5
0.3
0.2
(1)则Eξ=
2.4 .
(2)若η=2ξ+1，则Eη=
5.8 .