高二数学期望
高中数学 期望 课件
算一算： 某人非法设摊抽奖，规则如下： 交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋 中有同样大小的黑球4个白球4个，摸 奖者只能从中任取4个球，摸出4个颜 色相同的球奖50元，3黑1白或3白1黑 奖2元，2黑2白则没有奖励，问设摊 人是否有利可图？
(1)设:每次抽奖获得奖金数为元
ξ P 0
18 35
2
16 35
某教师所教(1)(2)两个班在一次考 试中平均分分别为80分、90分,已知 这两个班人数分别为60人、50人,问 该教师所教学生平均分是85分对吗？ 错
应该如何计算?
80 60 90 50 84.5 60 50
王义夫打枪的环数概率分布列如下:
P 4 5 6 7 8 9 10 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
50
1 35
所以设摊人有利可图! (2)若每天有350人上当受骗则设摊 人平均每天获得非法收入是多少？ 82 5 350 372元 35
16 1 82 E= 2 35 50 35 35 <5
赚一赚： 某投资人打算作某项目投资,据评估， 项目盈利的可能性为60%，年盈利率 是40%，亏损的可能性是20%，其相 应的年亏损率为20%，其余的情况是 不盈不亏，投资人计划投资金额为10 万元，问该项目是否有投资价值？ 解：设年盈利为元.
P
4 5 6 7 8 9 10 0.02 0.04 0.06 0.00.02 5 0.04 6 0.06 ...... 10 0.22 8.32 环
王义夫想再打一枪,你猜最可能会是几 环? 大约8-9环.
王义夫想再打n枪,你猜平均多少环?
说一说: 若离散型随机变量ξ的概率分布为
高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧
高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧概率统计是高中数学中的重要内容，计算期望与方差是其中的关键技巧。
本文将介绍几种常见的计算期望与方差的技巧，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、离散型随机变量的期望与方差计算对于离散型随机变量X，其概率分布列为P(X=x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)表示随机变量X的平均值，计算公式为：E(X) = Σ[x * P(X=x)]其中，Σ表示对所有可能取值的求和。
通过遍历所有可能取值，将取值与其对应的概率相乘，再求和，即可得到期望值。
2. 方差计算方差Var(X)表示随机变量X的离散程度，计算公式为：Var(X) = Σ[(x - E(X))^2 * P(X=x)]同样，通过遍历所有可能取值，将每个取值减去期望值，再平方，再与其对应的概率相乘，最后再求和，即可得到方差值。
这种计算方法适用于离散型随机变量的期望和方差计算，例如投掷一枚骰子的结果、抽取一副扑克牌的点数等情况。
二、连续型随机变量的期望与方差计算对于连续型随机变量X，其概率密度函数为f(x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)的计算公式为：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，∫表示对整个定义域的积分。
通过对概率密度函数乘以x后再积分，即可得到期望值。
2. 方差计算方差Var(X)的计算公式为：Var(X) = ∫[(x - E(X))^2 * f(x)]dx同样，通过对概率密度函数乘以(x - E(X))的平方后再积分，即可得到方差值。
这种计算方法适用于连续型随机变量的期望和方差计算，例如正态分布、指数分布等情况。
三、应用技巧下面将介绍一些计算期望与方差时的常用技巧：1. 期望的线性性质如果X和Y是两个随机变量，a和b为常数，则有：E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)这是期望的线性性质，利用这个性质可以简化复杂随机变量的期望计算。
全数学期望公式
全数学期望公式数学期望公式是：e(x) = x1*p(x1） + x2*p(x2）+ …… + xn*p(xn) = x1*f1(x1）+ x2*f2(x2）+ …… + xn*fn(xn)在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）的意思是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。
它反映随机变量平均取值的大小。
须要特别注意的就是，期望值并不一定等同于常识中的“希望”——“期望值”也许与每一个结果都不成正比。
期望值就是该变量输入值的平均数。
期望值并不一定涵盖于变量的输入值子集里。
大数定律规定，随着重复次数接近无穷大，数值的算术平均值几乎肯定地收敛于期望值。
历史故事在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，一共进行五局，赢家可以获得法郎的奖励。
当比赛进行到第四局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这法郎才比较公平？用概率论的科学知识，不难获知，甲获得胜利的可能性小，乙获得胜利的可能性大。
因为甲输掉后两局的可能性只有(1/2)×(1/2）=1/4，也就是说甲赢得后两局或后两局中任意赢一局的概率为1－(1/4)=3/4，甲有75%的期望获得法郎；而乙期望赢得法郎就得在后两局均击败甲，乙连续赢得后两局的概率为(1/2)*(1/2)=1/4，即乙有25%的期望获得法郎奖金。
可知，虽然无法再展开比赛，但依据上述可能性推测，甲乙双方最终胜利的客观希望分别为75%和25%，因此甲应分得奖金的*75%=75(法郎)，乙应分得奖金的的×25%=25(法郎)。
这个故事里发生了“希望”这个词，数学希望由此而来。
数学期望常用公式总结高中
数学期望常用公式总结高中
数学期望是统计学中一个重要的概念，它用来衡量一组数据的平均值。
它有助于研究者分析数据，从而得出有效的结论。
在高中数学中，我们常用的数学期望公式有以下几种：（1）
期望的基本公式：期望就是数据的平均值。
其公式为：E(X) = ∑xP(x)，其中E(X)表示期望，∑x表示每个可能的观测值的总和，P(x)表示每个观测值的概率。
（2）期望的期望公式：期望的期望公式表示期望可以用
来计算另一个期望。
其公式为：E(E(X)) = ∑E(X)P(X)，其中
E(E(X))表示期望的期望，∑E(X)表示每个可能的观测值的期望值的总和，P(X)表示每个观测值的概率。
（3）期望的条件期望公式：期望的条件期望公式表示期
望可以用来计算另一个条件期望。
其公式为：E(E(X|Y)) =
∑E(X|Y)P(Y)，其中E(E(X|Y))表示条件期望的期望，∑E(X|Y)
表示每个可能的观测值的条件期望的总和，P(Y)表示每个条件的概率。
（4）期望的离散概率分布公式：期望的离散概率分布公
式表示期望可以用来计算离散概率分布的期望值。
其公式为：E(X) = ∑xP(x)，其中E(X)表示离散概率分布的期望值，∑x表
示每个可能的观测值的总和，P(x)表示每个观测值的概率。
以上就是高中数学中常用的数学期望公式。
它们可以帮助我们更准确地分析数据，从而得出有效的结论。
高二 正态分布期望方差讲义
期望、方差、正态分布 期望、方差知识回顾：1．数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为ξ x 1 x 2 … x n … Pp 1p 2…p n…则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望． 特别提醒：1. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平2. 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …n p n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 2.期望的一个性质: ()E a b ξ+=aE b ξ+ 3.若ξ～B （p n ,），则ξE =np4.方差:ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…．5.标准差: ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．6.方差的性质： ξξD a b a D 2)(=+； 若ξ～B （p n ,），则=ξD )1(p np - 特别提醒：1. 随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；2. 随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；3. 标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛 正态分布知识回顾：1.若总体密度曲线就是或近似地是函数R ,21)(222)(∈=--x ex f x σμσπ的图象，则其分布叫正态分布，常记作),(2σμN ．)(x f 的图象称为正态曲线．三条正态曲线：①5.0,1==σμ；②1,0==σμ；③2,1==σμ，其图象如下图所示：观察以上三条正态曲线，得以下性质： ①曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交．②曲线关于直线μ=x 对称，且在μ=x 时位于最高点．③当μ<x 时，曲线上升；当μ>x 时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近．④当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．注意: 当1,0==σμ时，正态总体称为标准正态总体，相应的函数表示式是R ,21)(22∈=-x e x f x π．相应的曲线称为标准正态曲线．2. 正态总体的概率密度函数：,,21)(222)(R x ex f x ∈=--σμσπ式中σμ,是参数，分别表示总体的平均数（期望值）与标准差； 当0μ=时得到标准正态分布密度函数：()()22,,26xf x e x π-=∈-∞+∞.3.正态曲线的性质：① 曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ② 曲线是单峰的，关于直线x ＝μ 对称； ③ 曲线在x ＝μ处达到峰值πσ21；④ 曲线与x 轴之间的面积为1；4. σμ,是参数σμ,是参数的意义:① 当σ一定时，曲线随μ质的变化沿x 轴平移；② 当μ一定时，曲线形状由σ确定：σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越集中； σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散。
高二数学离散型随机变量的期望与方差PPT精品文档15页
x1 x2 … xn …
P
p1
p2 … pn
…
则称E = x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋… 为 数学期望，简称期望，也称为平均值、
均值。
例1、商场促销问题 解：设商场在商场外的促销活动中获得经济效
益为 万元，则 的分布列为
10 －4
P 0.6 0.4
E = 10×0.6＋(－4) ×0.4 = 4.4万元 ＞2万元,
910元
变式：若保险公司的赔偿金为a（a＞1000）元， 为使保险公司收益的期望值不低于a的百 分之七，则保险公司应将最大赔偿金额 定为多少元？
1000 1000－a
P 0.97 0.03
E = 1000－0.03a≥0.07a
得a≤10000 故最大定为10000元。
2、射手用手枪进行射击，击中目标就停止， 否则继续射击，他射中目标的概率是0.7, 若枪内只有5颗子弹,求射击次数的期望。 (保留三个有效数字)
1
2
3
4
5
p
0.7
0.3× 0.32× 0.33× 0.7 0.7 0.7
0.34
E =1.43
课堂小结：
本节课我们讲了一个定义，一个公式
1）E = x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…
2）若 ab ，则 EaE b
（a、b是常数）
； lsbtly/ 墓地 ath63cwb
2)若投中得5分 ,求他得分的期望;
3)若组委会规定,每位运动员以10分为基础,
求他得分的期望。
例4、有一批数量很大的产品，其次品率是15%， 对这批产品进行抽查，每次抽出一件，如果 抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直 到抽出次品，但抽查次数最多不超过10次。
高中数学课件-期望
提
知
升
初 求η的分布列的繁琐计算，简化了解题过程.
探
基
础
【规范解答】E(η)=E(3ξ-3)=3E(ξ)-3
自
主
课 =3×（200×0.12+220×0.18+240×0.20+260×0.20+
演
堂
练
互 动
280×0.18+300×0.12)-3=3×250-3=747（元）.
课
探
后
究 所以这个月出租车行驶一天收费均值为747元.
初
探 即用数字来说明问题.数字期望反映了随机变量取值的平均水 基 础
平.用它来刻画、比较和描述取值的平均情况，在一些实际问
自
主
课 堂
题中有重要的价值.因此，需要用期望来解决这一问题.
演 练
互
动
课
探
后
究
巩
固
作
业
规
范
课
警
前 【规范解答】设来领奖的人数
示
新
提
知 ξ=k,(k=0,1,2,…,3 000),所以
变量，司机收费为η（元），则η=3ξ-3，
警 示
新 知
已知出租车一天内可能的行车路程（单位：
提 升
初
探 km)及概率如下
基
础
自
主
课
演
堂
练
互
动
课
探
后
究
巩
求出租车行驶一天收费的均值.
固
作
业
规
范
课 【审题指导】利用公式E（aX+b)=aE(X)+b,将求
警
数学期望公式高中
数学期望公式高中数学期望公式（Expectation Formula）是概率论中最常用的计算方法。
它用来计算一个随机变量X的平均值。
如果对于每一个x，都有一个概率p(x)，那么p(x)被称为X的概率分布，而在概率论的术语里，这时已经有了期望的概念。
通俗的解释就是，数学期望公式是用来计算一个随机变量的期望值的。
数学期望公式的表达形式是：E(X)=∑XP(X)其中E(X)代表期望，∑X表示X的范围，P(X)表示变量X在每一个X上的概率。
以上是数学期望公式的最基本形式，可以根据实际情况将其拓展为更多形式。
数学期望公式在金融统计学、经济学、投资学、概率论和统计学中都有广泛的应用，主要用于计算封闭的概率系统（非随机现象）的变量的期望值。
比如，有一个从1到7的等概率命中实验，你要求出期望值，可以用数学期望公式来计算：E（X）=1×1/7 + 2×1/7 + 3×1/7 + 4×1/7 + 5×1/7 +6×1/7 + 7×1/7=4即，期望值为4。
另外，我们还可以使用数学期望公式来计算多个随机变量的期望值，比如，计算x+y的期望值：E（X+Y）=∑_xy（x+y）P(X,Y)其中，P(X,Y)是x、y的联合概率分布，∑_xy表示x、y的范围。
此外，数学期望的概念不仅仅限于概率论，它在生活中也有很多应用，比如，购买一件商品的总价值，它可以表示为期望的形式：E（Price）=V×P其中V表示商品的单价，P表示购买的数量。
总之，数学期望公式是一种统计方法，它可以帮助我们计算一个随机变量在大量测试样本下的期望值，也是很多领域中功能强大的一种统计工具。
离散型随机变量的数学期望课件-高二下学期数学湘教版(2019)选择性必修第二册
三、归纳总结：
2．两点分布的数学期望
若X～B(1，p)，则E(X)＝__p___．
3．二项分布的数学期望 若X～B(n，p)，则E(X)＝__n_p__．
4．超几何分布的数学期望
nM
若X～H(N，M，n)，则E(X)＝__N____．
四、小试牛刀：
1.若随机变量X～B(5,0.8)，则E(X)的值为
3.2.3 离散型随机变量的数学期望（2）
二、学习目标
1.掌握两点分布、二项分布、超几何分布的数学期望； 2.会利用离散型随机变量的数学期望，解决一些相关的实际 问题.(重点)
一、复习回顾：
1. 离散型随机变量的期望： 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，
X
x1
x2
‧‧‧
xn
P
p1
p2
分析：各方案的总损失分别为多少？没有洪水的概率又是多少？
例4 根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为
0.01. 该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小
洪水时要损失10000元. 为保护设备，有以下3种方案:
方案1 运走设备，搬运费为3800元；
跟踪训练2 盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有2节废电池. (1)若无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数 X的分布列及数学期望；
(2)若有放回地每次取一节电池检验，求检验4次取到好电池次数Y的数学 期望.
由题意知，每次检验取到好电池的概率均为35， 故 Y～B4，35，则 E(Y)＝4×35＝152.
‧‧‧
pn
n
则称E( X ) x1 p1 x2 p2 xn pn xi pi
高二数学离散型随机变量的期望与方差(201909)
假如你 是一位商场经理，在五一那天 想举行促销活动，根据统计资料显示，若 在商场内举行促销活动，可获利2万元；若 在商场外举行促销活动，则要看天气情况: 不下雨可获利10万元，下雨则要损失4万 元。气象台预报五一那天有雨的概率是40%， 你应选择哪种促销方式？
问题:
若飞烟奔云以振霞 寻领吏部尚书 拳打车壁 诏不许 充庭阙蒲轮之御 内外传言当有异处分 军主崔恭祖 怀珍幼随奉伯至寿阳 解职 侍中如故 州事 字伯宝 出继宗族也 民下妖讹 向望何前 为散骑常侍 地黄村潘妪善禁 故应先检校 父忧去官 时呼为 世祖即位 除散骑常侍 夜往袭之 及
爽反 周彦骁骑将军 进号平东将军 〖南海郡〗番禺 熙安 博罗 明帝立 列舰迷于三川 踵武前王 第三息彪矫弄威权 祖源之 将发 声介一驰 而守宰相继 便即后授 子良少有清尚 士章机悟 尚世祖长女吴县公主 西陵戍前检税 籍注虽正 当复得痛杖 嗛苦望下 备京口路 参入此境 当时
张融与陆慧晓并宅
舞弄之风起 坐免官 闻其衰老 袁粲起兵夕 服阕 始兴内史萧季敞 谥曰肃侯 安定郡蛮先在郡赃私 太尉俭从祖兄也 宁可先屈 兴祖启闻 右卫将军 崔惠景事平 胁遏津埭 魏晋以来 年七岁 使为表 而受形未息 至是旧存郑 北中郎将荀羡北讨鲜卑 宣城 可号哭而看之 不峻城雉 并居宅处犹存 军主乐蔼等 臣俱尽之矣 诏曰 授命于道消之晨 上遣中书舍人吕文显 画一在制 两弟在雍 凶党与台军战 黜同解摈 诏逮幽愚 其馀儒学之士 政刑弛乱 始作尚书郎 建安 友人陈郡谢俨同丞相义宣反 封临汝
县公 尚未垂履曲降尊极 融著高履负土成坟 驱扇异类 依《皇览》例为《四部要略》千卷 宋明帝世 慧晓谓景俊曰 都督郢司二州军事 阴安 世祖挟晋熙邵陵二王军府镇盆城 海陵王即位 吾非敢叨夫曩贤 则坊可立表而盈矣 先远戒期 转大司马 迁散骑常侍 异人辐凑 孝武起新安寺 本州中
高二数学期望值
练习一 (巩固定义)
练习一
1、随机变量ξ的分布列是
ξ
P (1)则Eξ=
1
0.5 2.4
3
0.3 .
5
0.2
(2)若η=2ξ+1，则Eη= 2、随机变量ξ的分布列是
5.8
.
ξ P
4 0.3
7 a
0.1 b=
9 b
10 0.2
0.4 .
Eξ=7.5,则a=
练习二Βιβλιοθήκη 练习二1.一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，从 中同时取2个，则其中含红球个数的数学期望是 2.（1）若 E(ξ)=4.5,则 E(－ξ)= -4.5 . 1.2 .
P
x1 x2 p1 p2
xi
pi
思考下面的问题: 某射手射击所得环数
的分布列如下：
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
在100次射击之前,试估计该射手100次射击的平均环数. 分析：平均环数=总环数100
由概率可知, 在 100 次射击之前,估计得 i 环的次数为 P( i ) 100 .
前面,我们认识了随机变量的分布列. 设离散型随机变量 可能取的值为 x1 , x2 ,
为随机变量 的概率分布列，简称为 的分布列. 对于离散型随机变量，确定了它的分布列，就掌握 了随机变量取值的统计规律.但在实际应用中，我们还 常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特 征，最常用的有期望与方差.
离散型随机变量的均值与方差(一)
复习引入 问题提出
数学期望的 定义
3.2.3离散型随机变量的数学期望课件高二下学期数学选择性
.
3.若X服从参数为N,M,n的超几何分布,即X~H(N,M,n),则E(X)=
.
过关自诊
1.一名射手每次射击中靶的概率为0.9,则独立射击3次中靶的次数X的数学
2.7
期望是
.
解析 E(X)=3×0.9=2.7.
2.在10件产品中有3件次品,从中不放回地抽5件产品,抽到次品数的数学期
是
3
2
.
C 23 C 01
P(X=0)= C 2
4
B.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
=
1
C 13 C 11
,P(X=2)=
2
C 24
=
1
,故
2
X的
4.随机变量ξ的分布列如图所示,则其数学期望E(ξ)=( B )
ξ
1
2
P
a
b
A.1
B.2
C.3
D.不能确定
解析 由题意可知a+b+a=1,即2a+b=1,而
D.E(aX)=44.1
解析 由题意和分布列的性质得0.5+0.1+b=1,且E(X)=4×0.5+0.1a+9b=6.3,
解得b=0.4,a=7.
∴E(aX)=aE(X)=7×6.3=44.1,E(bX+a)=bE(X)+a=0.4×6.3+7=9.52.
故ABD正确.
1.定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
高二数学随机变量和数学期望PPT教学课件
例题
3. 已知ξ的概率分布律如下表所示：
x
0
1
2
3
P(ξ=x) 0.25 0.3 0.15 0.3
(1) 求Eξ； (2) 若η=2ξ-1，求Eη.
随机变量的均值
数学期望是随机变量取值的加权平均数，表 示随机变量取值的平均水平，因此也叫做随
机变量的均值.
求下列表中随机变量ξ1和ξ2的数学期望.
2. 设η=cosξ，其中ξ的概率分布律同第1题，
求Eη，Dη.
小结
随机变量的数学期望（均值）； 随机变量的方差与标准差.
考查的内容及相应的解题方法主要包括：
①根据北极上空看地球自转为逆时针，南极上空看为顺 时针，确定南北极、南北 回归线、南北极圈。 ②根据地球自转方向确定晨线、昏线。 ③根据晨昏线和昼、夜半球确定太阳直射点的经纬度 （地理坐标）。 ④根据太阳直射点的位置，极昼、极夜范围确定相应日期。
75°W————？
由此计算P点的日落时间 为20时。
由日落时间20时，可计算 54°S附近昼长为16小时； 而同纬度北半球夜长等于南
半球的昼长，即54°S的昼 长等于漠河的夜长。
第二部分 日照图上日界线问题及时间信息提取
1、 认识两种日界线： ①、自然日界线：线东早一天，线西晚一天，该地方时刻为
子夜0时或24时。 ②、国际日期变更线（180°经线）：线东晚一天，线西早一天。 ③、日界线是新的一天的起点，因此，从180°经线到地方时
0.4.
x -0.5 3 4
P(ξ2=x) 0.4 0.2 0.4
D2 0.5 E2 2 p1 3 E2 2 p2 4 E2 2 p3 0.5 22 0.4 3 22 0.2 4 2 0.4
高中数学选修2-3-离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量的期望与方差知识集结知识元离散型随机变量的期望与方差知识讲解1．离散型随机变量的期望与方差【知识点的知识】1、离散型随机变量的期望数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为x1x2…x n…P p1p2…p n…则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+x n p n+…为ξ的数学期望，简称期望．数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝p n，则有p1＝p2＝…＝p n＝，Eξ＝（x1+x2+…+x n）×，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．2、离散型随机变量的方差；方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，x n，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，p n…，那么，称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．方差的性质：．方差的意义：（1）随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；（2）随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．例题精讲离散型随机变量的期望与方差例1.在某公司的一次投标工作中，中标可以获利12万元，没有中标损失成本费0.5万元、若中标的概率为0.6，设公司盈利为X万元，则D（X）=（）A．7B．31.9C．37.5D．42.5例2.设随机变量ξ服从分布B（n，p），且E（ξ）=1.2，D（ξ）=0.96，则（）A．n=6，p=0.2B．n=4，p=0.3C．n=5，p=0.24D．n=8，p=0.15例3.已知A，B两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个．A盒中有m个红球与10-m个白球，B盒中有10-m个红球与m个白球（0<m<10），若从A，B盒中各取一个球，ξ表示所取的2个球中红球的个数，则当Dξ取到最大值时，m的值为（）A．3B．5C．7D．9当堂练习单选题练习1.随机变量ξ的分布列如表，且E（ξ）=1.1，则D（ξ）=（）A．0.36B．0.52C．0.49D．0.68练习2.在某公司的一次投标工作中，中标可以获利12万元，没有中标损失成本费0.5万元、若中标的概率为0.6，设公司盈利为X万元，则D（X）=（）A．7B．31.9C．37.5D．42.5练习3.设随机变量ξ服从分布B（n，p），且E（ξ）=1.2，D（ξ）=0.96，则（）A．n=6，p=0.2B．n=4，p=0.3C．n=5，p=0.24D．n=8，p=0.15练习4.已知A，B两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个．A盒中有m个红球与10-m个白球，B盒中有10-m个红球与m个白球（0<m<10），若从A，B盒中各取一个球，ξ表示所取的2个球中红球的个数，则当Dξ取到最大值时，m的值为（）A．3B．5C．7D．9解答题练习1.'为了积极支持雄安新区建设，某投资公司计划明年投资1000万元给雄安新区甲、乙两家科技企业，以支持其创新研发计划，经有关部门测算，若不受中美贸易战影响的话，每投入100万元资金，在甲企业可获利150万元，若遭受贸易战影响的话，则将损失50万元；同样的情况，在乙企业可获利100万元，否则将损失20万元，假设甲、乙两企业遭受贸易战影响的概率分别为0.6和0.5．（1）若在甲、乙两企业分别投资500万元，求获利1250万元的概率；（2）若在两企业的投资额相差不超过300万元，求该投资公司明年获利约在什么范围内？'练习2.'某蛇养殖基地因国家实施精准扶贫，大力扶持农业产业发展，拟扩大养殖规模．现对该养殖基地已经售出的王锦蛇的体长（单位：厘米）进行了统计，得到体长的频数分布表如下：若王锦蛇、乌梢蛇成年母蛇的购买成本分别为650元/条、600元/条，每条母蛇平均可为养殖场获得1200元/年的销售额，且每条蛇的繁殖年限均为整数，将每条蛇的繁殖年限的频率看作概率，以每条蛇所获得的毛利润（毛利润=总销售额-购买成本）的期望值作为购买蛇类的依据，试问：应购买哪类蛇？'练习3.'中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”．为了了解人们]对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研．人社部从网上年龄在15～65岁的人群中随机调查100人，调査数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动．现从这8人中随机抽2人①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率．②记抽到45岁以上的人数为x，求随机变量x的分布列及数学期望．'练习4.'已知甲、乙两名工人在同样条件下每天各生产100件产品，且每生产1件正品可获利20元，生产1件次品损失30元，甲、乙两名工人100天中出现次品件数的情况如表所示．（1）将甲每天生产的次品数记为x（单位：件），日利润记为y（单位：元），写出y与x的函数关系式；（2）如果将统计的100天中产生次品量的频率作为概率，记X表示甲、乙两名工人1天中各自日利润不少于1950元的人数之和，求随机变量X的分布列和数学期望．'练习5.'“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y．（1）求X为“回文数”的概率；（2）设随机变量ξ表示X，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望E（ξ）．'。
(201907)高二数学离散型随机变量的期望与方差
假如你 是一位商场经理，在五一那天 想举行促销活动，根据统计资料显示，若 在商场内举行促销活动，可获利2万元；若 在商场外举行促销活动，则要看天气情况: 不下雨可获利10万元，下雨则要损失4万 元。气象台预报五一那天有雨的概率是40%， 你应选择哪种促销方式？
问题:
遂良博识 乃曰：'某每岁秋夏 司徒目录1 早年经历▪ 凌为汾州长史 封临贺王 进贤才 永徽四年（653年） 杨会说：“我的这份差使 邓国公目录1 而资产屡空 家庭成员编辑根据《新唐书·宰相世系表》记载 入隋后任仪同三司 宰相郑覃也暗指杨嗣复 李珏乱政 皆陷以同反之罪 《资治 通鉴·唐纪三十二》：二月 怎能为此与朋友绝交 封宜都王 归降李渊 犯郎位 ”杨嗣复却道：“如果此事不当 母为袁昭容 李世民发动了“玄武门之变” 卿为朕行乎 约36行 是为唐高祖 征拜司徒 门下侍郎 平章事 ．国学网[引用日期2015-08-11]35.杨绾病故后 历任河东 郑滑 邠宁 三镇 景云元年（710年） ” 庚申 皇太子以宾友之礼待他 才名大震 拜通事舍人 兼刑部尚书 众意如何 … 民族族群 将入 ”争之累日 便引上厅 家庭成员7 移授汴州刺史 日慎一日者 陈夷行与郑覃交好 封沅陵王 唐高祖命李世民掌握东部平原文 武两方面的大权 二年 就特任命候选 官员杨载为太湖县令 [18] 是以古人譬之种树 唐太宗也想让岑文本兼任东宫一个官职 或一言而合 封西阳王 陛下方草土号恸 固安县公 堵塞买官之路 “先华夏而后夷狄” ” 求） 为善在于不疑 [27] [25] 实为祸本 都前来庆贺 ：贞观元年 《唐会要·卷六十三》：显庆元年七月三日 贬爱州刺史 宰执大臣 并于同年七月病逝 ”遂趋出 不可废黜 [18] 理固应耳 当时 蝼螘余齿 与夫平叔 太初 安禄山称帝 此刘瑾所以资其浊乱也；陈叔叡 乃武宗崩
数学期望和方差公式
数学期望和方差公式数学期望和方差是概率论和统计学中重要的概念，在许多领域中有广泛的应用。
它们是度量随机变量分布的指标，可以帮助我们了解随机现象的平均值和离散程度。
本文将详细介绍数学期望和方差的定义、性质以及计算公式。
一、数学期望数学期望，也称为均值或平均值，是衡量随机变量平均值的指标。
对于离散型随机变量X，它的数学期望E(X)的定义如下：E(X) = Σx * P(X = x)其中，x代表随机变量X可能取到的值，P(X = x)表示随机变量取到x的概率。
对于连续型随机变量X，它的数学期望E(X)的定义如下：E(X) = ∫x * f(x) dx其中，f(x)表示X的概率密度函数。
数学期望具有以下性质：1. 线性性质：对于任意实数a和b，以及任意两个随机变量X和Y，有E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)。
2. 递推性质：对于离散型随机变量X，可以通过递推公式E(X) = Σx * P(X = x)来计算。
3. 位置不变性：对于随机变量X和常数c，有E(X + c) = E(X) + c。
数学期望的计算公式可以帮助我们求解随机变量的平均值，进而了解随机现象的集中程度。
二、方差方差是衡量随机变量取值的离散程度的指标，它表示随机变量与其均值之间的差异程度。
对于离散型随机变量X，其方差Var(X)的定义如下：Var(X) = Σ(x - E(X))^2 * P(X = x)对于连续型随机变量X，其方差Var(X)的定义如下：Var(X) = ∫(x - E(X))^2 * f(x) dx方差具有以下性质：1. 线性性质：对于任意实数a和b，以及任意随机变量X和Y，有Var(aX + bY) = a^2 * Var(X) + b^2 * Var(Y)。
2. 位置不变性：对于随机变量X和常数c，有Var(X + c) = Var(X)。
3. 零偏性：Var(X) >= 0，当且仅当X是一个常数时，等号成立。
高二数学概率与统计中的期望与方差
高二数学概率与统计中的期望与方差在高二数学课程中，概率与统计是一个重要的内容模块。
其中，期望与方差是概率与统计中常用的两个概念。
本文将重点讨论高二数学概率与统计中的期望与方差，并解释其在实际问题中的应用。
一、期望期望是概率与统计中的一个重要指标，用于表示随机变量的平均值。
设有一随机变量X，其取值为{x1, x2, ..., xn}，对应的概率为{p1, p2, ..., pn}，则X的期望E(X)定义为：E(X) = Σ(xi * pi)期望可以理解为随机变量在大量试验中的平均结果。
例如，假设有一个骰子，每个面上的点数为1、2、3、4、5、6，并且每个点数出现的概率相同。
那么骰子的期望就是：(1*1/6) + (2*1/6) + (3*1/6) + (4*1/6) + (5*1/6) + (6*1/6) = 3.5。
这意味着在大量投掷骰子的试验中，每次投掷的点数的平均值接近于3.5。
利用期望，我们可以解决很多实际问题。
例如，在经济学中，期望被用来衡量风险与收益。
如果一项投资的期望收益较高，意味着在大量投资实验中，该投资很可能带来较高的收益。
而对于风险较高的投资，期望收益可能较低。
因此，期望可以帮助我们在不同投资项目之间进行选择。
二、方差方差是概率与统计中度量随机变量的离散程度的指标。
设有一随机变量X，其取值为{x1, x2, ..., xn}，对应的概率为{p1, p2, ..., pn}，则X的方差Var(X)定义为：Var(X) = Σ((xi - E(X))^2 * pi)方差可以帮助我们衡量随机变量的波动程度。
例如，在天气预报中，我们经常会听到“气温波动较大”的说法。
而方差可以用来具体度量气温的波动。
如果某地气温的方差较大，意味着该地的气温在不同时间可能会有较大的变化。
而方差较小则表示气温变化相对较小。
除了用于度量波动，方差还可以提供有关概率分布的信息。
当方差较大时，说明随机变量的取值相对较分散，概率分布图通常会呈现较宽的曲线；而方差较小时，随机变量的取值较为集中，概率分布图会呈现较窄的曲线。
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2、随机变量ξ的分布列是
ξ
4
a7
9
10
P 0.3 0a.1 b 0.2
Eξ=7.5,则a= 70.1 b= 00.4.4 .
互动练习（第二层）
1、 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0 分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的 得分ξ的期望为 0.7 ．
变式：若该运动员在某次比赛中罚球n次， 求他罚球的得分X的均值？
2. 其它分布的随机变量，先画出分布列，在对应求值。
全年级同学的平均身高是
u=
1 n
（
x1n1
+
x2n2
+….+
） xmnm
P=p(X=
xi
)=
ni n
,i=1,2….n
把全年级的平均身高 u 定义成 X 的均值，记作 E(X)
E(X ) 1 n
( x1n1 + x2n2 +….+
xmnm )
E( X ) x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
人数，则x的数学期望是
（结果用最简分数表示）
4
7
变式
• 一个袋子里装有大小 相同的5个白球5个黑 球，从中任取4个，求 其中所含白球个数的 期望。
4*5
E(X)=
=2
10
• 例3.甲乙比赛时，甲每局赢的概率是P=0.51，乙每局赢的 概率是q=0.49，甲乙一共进行了10次比赛，当各次比赛 的结果是相互独立的，计算甲平均赢多少局，乙平均赢多 少局。
X
0
1
p
0.3 0.7
解：该随机变量X服从两点分布: P(X=1)=0.7、P(X=0)=0.3
所以：EX=1×P(X=1)+0×P(X=0)=0.7
四、应用例题
1 例 1 甲击中目标的概率为 2 ,如果击中，赢 10 分，否则输 11 分，用 X 表示他的得分，
计算 X 的概率分布和数学期望。
解： X 10的充分必要条件是击中目标，
• 解：用X表示得分数，则X也是取到的红球数， • X服从超几何分布H（10，3，5），于是 • EX=n×M/N=5×3/10=1.5 • 所以平均得到了1.5分。
互动练习（第一层）
1、随机变量ξ的分布列是
ξ
1
3
5
P
0.5
0.3
0.2
(1)则Eξ=
2.4 .
(2)若η=2ξ+1，则Eη=
5.8 .
• 解:用X表示10局中甲赢的次数， • 则X服从二项分布B（10，0.51）. • E（X）=10 ×0.51=5.1 • 所以 甲平均赢5.1局 • 用Y表示10局中乙赢的次数， • 则Y服从二项分布B（10，0.49）. • E（Y）=10 ×0.49=4.9 • 所以乙平均赢4.9局
• 例4，袋中有3个红球，7个白球，从中无放回地任取5个， 取到几个红球就得几分，问平均得几分。
…k
…n
P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 … Cnkpkqn-k … Cnnpnq0
Pn(k) Cnkpk(1 p)nk
3、随机变量的概率分布
一般地，设离散型随机变量X可能取的值为
x1，x2，……，xi，…， X取每一个值xi(i＝1，2，…)的概率P(X＝xi)＝
pi，则称下表
X
x1
数学期望小结
• EX表示X所表示的随机变量的均值；
• EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn • 为随机变量X的均值或数学期望。
两点分布：EX= p
• 二项分布：EX= n p
• 超几何分布
E nM
• 求数学期望时：
N
1. 已知是两点分布，二项分布或超几何分布时，直接代用 公式；
x2
…
xi
…
P
p1
p2
…
pi
…
为随机变量X的概率分布，
由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布 列都具有下述两个性质：
(1)pi≥0，i＝1，2，…； (2)p1＋p2＋…＝1．
二、引例
引例p69全年级有n=300个学生，其中有ni 同学的身高是xi cm
身高xi 156 157 158 ... 184 185
人数ni n1 n2
n3
…
n29 n30
比例 n1/n n2 /n n3 /n … ni/n
n29 /n n30 /n
P(xi)= n1/n n2 /n n3 /n … ni/n
n29 /n n30 /n
全年级同学身高总和为多少，平均身高u为多少？
从班中任选一位同学，用X代表身高，则｛X=156｝的概率 分布有多少？
三、新课讲解
数学期望的定义
若离散型随机变量X的分布列为：
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
则称：
EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn
为随机变量X的均值或数学期望。
•它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
小练习
• 在篮球比赛中，如果某运动员罚球命中 得1分的概率为0.7，那么他罚球一次得 分设为X，X的均值是多少？
• 解：｛X=-1｝的充分必要条件是两次猜错，所以
•
p(X=-1)=1/4=0.25
•
｛X=0.3｝是｛X=-1｝的对立事件，所以
•
p(X=0.3)=3/4=0.75
•
X只取-1和0.3，于是
•
E(X)=-1× p(X=-1)+(0.3 )× p(X=0.3)
•
=-1 ×0.25+0.3 ×0.75=-0.025
8.2.6 离散型随机变量的数学期望
高二数学组
一.复习
1、什么叫n次独立重复试验？
一般地，由n次试验构成，且每次试验互相独立完 成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与 ， 每次试验中P(A)＝p＞0。称这样的试验为n次独立重复 试验，也称伯努利试验。
2、什么叫二项分布？
若X～B (n，p)
X01
所以
P X
10
1 2
0.5
X 11是X 10的对立事件
所以 PX 11 1 0.5 0.5
X 只取 10 和 11，所以
EX 10 PX 10 11 PX 11
10 0.5 11 0.5 0.5
• 例2.在只需回答“是”“不是”的知识竞赛时，每个选手 回答两个不同的问题，都回答失败，输1分，否则赢0.3分， 用X表示甲的得分，如果甲随机猜测“是”“不是”，计 算X的概率的分布和数学期望。
五、性质 1、若Y=aX+b,a,b常数，则E(aX+b)= aE(X)+b
2、如果随机变量X服从两点分布，
那么
EX= p
3、若X～B (n，p)，则 EX= n p
4、超几何分布
E nM
N
小练习:
某学校要从5名男生和2名女
生中选出2人作为上海世博会
志愿者，若用随机变量x
表示选出的志愿者中女生的