最新河海大学《几何与代数》几何与代数 第一章

空间中一点O以及三个有次序的不共面向量e1, e2, e3,
构成空间中一仿射坐标系，记为[O; e1, e2, e3]
注 1： ,则由上述 定 x1e理 ye2知 ze3, 称 (x,y,z)为 在该仿射坐标 标O ， 系 为下 坐的 标坐 原
注 2：在坐标 系 O 中M ， ，M 则 设 点的(坐 x,y,标 z)
河海大学《几何与代数》 几何与代数 第一章
第1章 几何向量及其应用
第一节 向量及其线性运算
一、向量的概念
1.定义又（有向方量向）的既量有。用 数 值大小或 （a 非b c 负等 ），表示 2.定义（范数/模） || || —向量 的数值大小
零向量，单位向量
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推论： ,,共 面 ( )0
用行列式表示混合积 x1 y1 z1
( ) x2 y2 z2
x3 y3 z3
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例 1 ： 若 ， { 求 [ （ ） ]} || ||4
例 2：计算由 （ 3向 ， 0， 1） 量， （ 3， 3， 0）， （ 1， 2， 3）
所张成的平体 行积 六。 面体的
x1 y1
x2 y2
x1y2x2y1xx12
y1 y2
再次书写外积的结果！
注：如何记忆？ 两两组合！
x1 x2
y1 y2
z1 z2
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( x 1 ,y 1 ,z 1 ) ( x 2 ,y 2 ,z 2 )
i jk
x1 y1 z1
x2 y2 z2
y1 z1i-x1 z1jx1 y1k y2 z2 x2 z2 x2 y2
z C
O
M By
xA
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2.定义（方向余弦）
在空间直角坐标系中，向量与三个坐标向量 i , j , k
的夹角,,(0 ,, )称为向量的方向角；
方向角的余弦 c o,sc o,sc os称为向量的方向余弦。
注1：||||=？（勾股定理） 注2：单位向量的表示法
例：已知=（-3，6，2）,求的方向余弦和与平行的单位向量
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第二节 空间坐标系
空间解析几何：用数量来研究向量的问题， 类似于平面解析几何需引入空间坐标系的概念。
回顾： 设1,2,3不共面，则，必存在唯一的一组实数 1，2，3，使得 11 22 33
z
P
N
33 M
y
22
O
11
x
G
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一、仿射坐标系
定义（仿射坐标系）：
且OBBA，一般记 BA，OBk (OB//) oB
注：我们称 ）为 （在上的投影，
即（ ）为OB的代数长。
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二、两个向量的外积
1. 外积定义： 和的外积是一个向量， ， 记为 它的范数 ||为 |||| ||s in(,),方向垂直 ， 于 ， 且使 ，，形成一右手系。
注1： 从几何上||看，||S
1.线性运算 ( x 1 ,y 1 ,z 1 ) ( x 2 ,y 2 ,z 2 )
加法 数乘 距离
2.内积
iijjkk1
ijjiikkijkkj0
?
||||2? ?
cos,()?
() ?
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3.外积
iijjkk
注意：i, j, k 的顺序
ijk jki kij
? 太繁！
引进二阶行列式，规定
根据：
M 0Mn M 0M n0
平面方程： a ( x x 0 ) b ( y y 0 ) c ( z z 0 ) 0
//
//
A
A
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3.内积定义 二向， 量 的内积规定||为 ||||一 ||co实 s,(数 ), 记为 或,, 即||||||||cos,()
注1:内积是数，非向量。 注2: ,中若有0， 一则 为 0
注3: | ||2 |, ( )( ) | | |2 |
注4: 和 的夹角 /2时 为 ， 与 称 正交， 记为
规定:零向量和任何向量正交（垂直）
定理： 0
内积的运算法则
正定性—交换律—结合律 —分配律（重要）
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4.向量投影定义：
如果e是单位 e向 表量 示， 在 向则 e 量 上的投
记为eP,r或 oj （ ） e` 注：投影是一数
正交投影向量： ,共一始o， 点由 的终A点
作的支线的垂线B， ，交 则点 O 称B为在上的正交投影向量
（30）
例3：已知 顶Δ 点A A1B（ ， C的 12， ） ， 6， B（ 2） 5 C（1， 1） 3， ，试求 高ABCD边 为上 多
B
（5）
A
D
C
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第四节 平面及其方程
一、平面的点法式方程
定义（法向量）： 平面通过一点M0(x0, y0,z0)且垂直于一条直线l
设向量n//l, 则称n为平面的法向量，坐标(a,b,c)
(y1 z1,-x1 z1, x1 y1) y2 z2 x2 z2 x2 y2 上页 下页
4.体积与行列式
P
已知S： |||| 问题：如何求平体行 (六)的 面体V积 ？
注1：为何加| | ？
O
注 2：V（ （ ） ）
,,为右手系 ,,为左手系
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四、三个向量的混合积
定义（混合积）： ()称为向 ,量 ,的混合积
（两个）
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第三节 向量的内积、外积和混合积
一、两个向量的内积
1.引例（做功）
力
位移
力在位方 移向上的功 ||的 ||co分 s||量 || 即功||||||||cos
2.定义两向量间的夹角：
(I)已知两个非零向量，经平行移动后使它们有共同的始点
(II)夹角的范围——无向角
(III)几种类型
空间点的坐标的 与关 向系 量坐
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二、直角坐标系
1.定义（直角坐标系）：e1, e2, e3为单位向量且两两垂直 此时坐标向量记为i, j, k
注1：三坐标轴，三坐标平面两两垂直
注2：规定x,y,z轴的正方向，使之成右手系
注 3： x iy jzk (x,y,z) 行向量
定理：向量在坐标系[o;i,j,k]上的坐标x,y,z分别是 在相应坐标轴上的投影。即()i=x,()j=y,()k=z
注2：(I) (I I ) (II)若 I， ， 则 / /
性质： 反交换律 结合律 分配律
例： 已 ， 知 不平k 行 取， 何 k 问 值 9 与 当 4 时 k平 ，行
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交角
应用
重点回顾
内积 cos
垂直
外积 sin
平行 平行四边形
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三、向量运算的坐标表示
有了坐标，便将 几何运算—>代数运算