2020中考数学几何探究压轴题解析

2020中考数学几何探究压轴题解析

本省中考数学压轴题，这看着比二次函数压轴题有点难度，虽然第一小题可以蒙出来，但是不会证明的话后面基本无解。

分析：

条件很简单，正方形，AB=AB'，DE⊥BE，就这三个条件。

第一小题既然问了本来就是直角三角形的形状，那么肯定得是特殊的等腰直角三角形；连接BD之后一下就能发现相似三角形的存在，即

△BB'D∽△CED，所以BB'/CE=BD/CD；

第二小题又分成了两问，第一问还是让证明上一小题的结论，所以先不管；

第二问是组成平行四边形，第二个图看着是看不出来，但是第一个图的四个点如果连起来看着还比较像，所以要考虑第一个图中的位置关系也就是CD作为对角线的时候，而CD作为边的时候，B'E肯定要和CD平行，那么B'就只能在A的正上方了，那就更简单了。好像这道题也并不算难。

解析：

（1）等腰直角三角形√2

方法：

首先△ABB'是等边可得，那么∠BAB'是60°，

则∠DAB'=30°，

又AB'=AD

所以可得∠AB'D=75°

而∠AB'E=120°

所以∠DB'E=45°，

而DE⊥BE

所以可得△DB'E是等腰直角三角形

连接BD后，BD：CD=DB'：DE

∠BDB'=∠B'ED=45°-∠B'DC

所以△BB'D∽△CED

∴BB':CE=√2

（2）

①一般这种题，结论基本上都是仍然成立，当然也有几个别专门坑人的题。而这一道是不是目前还不清楚。咱们来试一试就知道了，刚才是∠BAB'为60°，但是现在为α，

∴∠B'AD=90°-α

∠AB'D=45°+0.5α

而∠AB'B=90°-0.5α

∠AB'E=90+0.5α

如此一来

∠DB'E=180°-∠AB'D-∠AB'B

=45°

同样DE⊥BE仍然存在

那么△DB'E是等腰直角三角形成立；

既然这个都成立了，那么线段比例也不用多说了吧？

②既然刚才分析了有两种情况考虑，那么我们先来计算最简单的一种，也就是B'E//CD，这样的话点E就和A重合了，那么BB'=2AB，BE=BA，B'E=BA，所以比值为1；

再来分析第一种情况，CD为对角线时

有同学可能会考虑到B'和E都不是固定的，我们没法判定它们的位置，怎么寻找对边平行呢？

这个时候一定要记得平行四边形判定的所有方法，那么你就能想到对角线互相平分，所以如果平行四边形成立，则BE肯定经过CD中点，我们将正方形的边长AB设为2，那么普通的思路就是搞定BE和B'E 的长度求比值，怎么搞定它们呢？

我们假设CD中点为M，同时做AN⊥BE，可得BN=B'N，

CM=1，则BM可得√5，

而△BCM和△ABN可得相似，所以BN可得，则BB'可得，

那么B'M可得，则EM一样，如此一来

还需要验证平行四边形成立的时候DE和BE垂直是否成立，如果不成立就无法说明我们刚才所得是正确的，

既然平行四边形已经成立，那么只需要CB'⊥BE能够成立也就说明

DE⊥BE，

连接CB'，同时做B'F⊥BC于F，

那么B'F可得，CF也可得，求出CB'，

验证∠BB'C是否为90°，如果成立，则说明我们刚才的过程都是正确的，那么再用BE和B'E的长度求出比值即可；

当然，这个过程是比较麻烦的，所以老师第一反应是这个思路方法，但是懒得去算啊，所以只能思考另一种方法。

如图，我们延长AD和BE，让它们相交于F，仍然假设CD中点为M，我们知道平行四边形成立的时候CD为对角线，

则△BCM≌△FDM可得，

所以DF=BC=AD，

我们仍然做AN⊥BE于N，

我们知道DE⊥BE，所以DE//AN，

则DE为△AFN的中位线，

所以NE=EF

假设BN=a，则AB=√5a，

BF=5a，

所以NF=4a，

则EF=NE=2a，BE=3a

那么B'E=NE-NB'=NE-NB=a

所以BE：B'E=3，

由于我们是用垂直作为起点，而我们还要验证一下这样推出来的结论是否让平行四边形成立

M是CD中点已经确认，那么只剩下M是B'E的中点证明一下即可，BF=5a，BM=2.5a，

BB'=4a

所以B'M=0.5a

所以ME=0.5a

M是B'E中点成立，说明平行四边形成立，

所以比值为3成立；

当然除了该方法还可以建立坐标系，就不提供了，有兴趣自己试试。