两点间的距离-PPT课件
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点到直线的距离公式)PPT全文课件
试判断圆C1与圆C2的位置关系. 解法一(几何法)：把圆的方程都化成标准形式,为 C 1:(x 1 )2(y4)225 C 2:(x2 )2(y2 )21 0
C 1 的圆心坐标是 (1, ,半4)径长 r1 5 ;
C 2 的圆心坐标是 ( 2 , 2,半) 径长 r2 1 0 ; 所以圆心距 C 1 C 2( 1 2 )2 T名师课件
练 1.圆x +y -2x=0与x +y +4y=0的位置关系是( C ) 点到直线的距离公式）PPT名师课件
22
22
习 A.相离 B.外切 C.相交 D.内切
2.
B
点到直线的距离公式）PPT名师课件
三、两相交圆的公共弦所在的直线方程 点到直线的距离公式）PPT名师课件
1.若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所 在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 2．当两圆相切时，以上方程表示两圆的公切线方程。 3.公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形， 根据勾股定理求出弦长． 如图，首先求出圆心 O1 点到相交弦所在直线的距离 d，而 AC＝21l， ∴14l2＝r21－d2，即 l＝2 r21－d2，从而得以解决．
人教版·必修2·第四章《圆与方程》
4.2.2 圆与圆的位置关系
判断直线和圆的位置关系
几何方法
代数方法
求圆心坐标及半径r （配方法）
( x a)2 ( y b)2 r 2 Ax By C 0
消去y
C 1 的圆心坐标是 (1, ,半4)径长 r1 5 ;
C 2 的圆心坐标是 ( 2 , 2,半) 径长 r2 1 0 ; 所以圆心距 C 1 C 2( 1 2 )2 T名师课件
练 1.圆x +y -2x=0与x +y +4y=0的位置关系是( C ) 点到直线的距离公式）PPT名师课件
22
22
习 A.相离 B.外切 C.相交 D.内切
2.
B
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三、两相交圆的公共弦所在的直线方程 点到直线的距离公式）PPT名师课件
1.若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所 在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 2．当两圆相切时，以上方程表示两圆的公切线方程。 3.公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形， 根据勾股定理求出弦长． 如图，首先求出圆心 O1 点到相交弦所在直线的距离 d，而 AC＝21l， ∴14l2＝r21－d2，即 l＝2 r21－d2，从而得以解决．
人教版·必修2·第四章《圆与方程》
4.2.2 圆与圆的位置关系
判断直线和圆的位置关系
几何方法
代数方法
求圆心坐标及半径r （配方法）
( x a)2 ( y b)2 r 2 Ax By C 0
消去y
两点间的距离和线段的中点坐标 说课课件
例3 已知 ABC 的三个顶点为 A(1,0)、B(2,1)、C(0,3) ，试求BC边上的
中线AD的长度．
设计意图：例题的设计，是对新知识巩固和熟练的过程。可 以让学生相互交流，有助于培养学生思维的深刻性和批判性； 老师则是对普遍存在的问题集中处理，集体指导。
4、运用知识
巩固练习
B(3， 两点之间的距离． 4)
5、反思总结
理论升华
设计意图：由学生回顾本节课主要内容，并进行归纳总结．知识性内容
的小结能将传授知识转化为学生的内在素质，数学思想方法的小结能让学 生从更高层次上思考问题．这个过程，既培养了学生的语言表达能力和思 维的严谨性，又有利于学生构建完整的知识体系，养成良好的学习习惯．
6、布置作业、巩固提高
8.1 两点间的距离与线段中点的坐标
多媒体投影
一、两点间的距离公式 二、线段中点的坐标公式
例题
学生板演
活用板书,将知识重点、学习任务、学习流程留在黑板上,使板书和课件合理、科学的衔接.
六、评价分析
1、评价教学过程：教学中注重数学课程和信息技术
的整合，利用ppt课件、实物投影等，画面丰富生动， 使学生的多种感官获得外部刺激，有利于完善认知结 构，提高教学效率。同时，在教学中注意关注整个过 程和全体学生，利用小组竞赛，集体积分的比赛方式， 充分调动所有学生积极参与教学过程的每个环节，提 高学生学习的兴趣。 2、评价学习过程：通过问题引入,以尝试、提问、 讨论、练习等方式，在探究过程中，层层深入，充 分挖掘思维的深度和广度，关注整个过程和全体学 生,提高学习积极性。 3、评价情感教育：通过对学生的语言行为给予肯定 的评价，和对暴露问题的及时矫正，培养学生的理性 思维并陶冶情操。
8．1 两点间的距离与线段中 点的坐标
两条直线的交点坐标、两点间的距离公式 课件
两条直线的交点坐标 两点间的距离公式
要点 两条直线的交点 (1)已知两条直线的方程分别是 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x ＋B2y＋C2＝0，当方程组 AA12xx＋ ＋BB12yy＋ ＋CC12＝ ＝00，有唯一解时，l1 与 l2 相交；有无穷多个解时，说明直线 l1 与 l2 重合；当方程组无解 时，l1 与 l2 平行．
②类似地，有 l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
(4)①设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则 |P1P2|＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2. ②原点 O(0，0)与任一点 P(x，y)的距离|OP|＝ x2＋y2.
如何设直线系方程？
答：(1)与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线系方程是 Ax＋By＋ m＝0(m≠C)；
(2)经过两直线交点的直线系方程：(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x ＋B2y＋C2)＝0(其中不包括直线 A2x＋B2y＋C2＝0)．
(3)已知 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与 l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 ①A1B2－A2B1≠0⇔l1 与 l2 相交；A1B2－A2B1＝0 且 A1C2－A2C1 ≠0⇔l1∥l2；A1B2－A2B1＝0 且 A1C2－A2C1＝0⇔l1 与 l2 重合．
题型三 两点间的距离公式的应用
例 3 求函数 y＝ x2－8x＋20＋ x2＋1的最小值． 【思路分析】 常规方法显然行不通，只有进行转化！根据结 构联想距离．
【 解 析 】 原 式 可 化 为 y ＝ （x－4）2＋（0－2）2 ＋ （x－0）2＋（0－1）2 ，考虑 两点间 的距 离 公式形 式得三点 A(4，2)，B(0，1)，P(x，0)，则上述问题转化为：在 x 轴上求一 点 P(x，0)，使得|PA|＋|PB|最小．作点 A(4，2)关于 x 轴的对称点 A′(4，－2)，可知|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，故|PA|＋|PB| 的最小值为|A′B|的长度．由两点间的距离公式，得|A′B|＝ 42＋（－2－1）2＝5，所以，函数 y＝ x2－8x＋20＋ x2＋1的 最小值为 5.
两点的距离公式ppt课件
Love ,not time,heals all wounds. 治愈一切创伤的并非时间,而是爱.
Life is tough,but I'm tougher. 生活是艰苦的,但我应更坚强.
知识探究（一）：两点间的距离公式
思考1:在x轴上，已知点P1(x1，0)和 P2(x2，0)，那么点P1和P2的距离为多少？
1.5 平面直角坐标系中的距离公式 一.两点间的距离公式
问题提出
复习： 如何判定两条直线平行？垂直？
1.在平面直角坐标系中，根据直线的方 程可以确定两直线平行、垂直等位置关系， 以及求两相交直线的交点坐标，我们同样可 以根据点的坐标确定点与点之间的相对位置 关系.
2.平面上点与点之间的相对位置关系一 般通过什么数量关系来反映？
P2
M
o
P1 x
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
思考6:当直线P1P2与坐标轴垂直时，上 述结论是否成立？P2 y P1 P2
o
x
P1
思考7:特别地，点P(x，y)与坐标原点的 距离是什么？
| OP | x2 y2
思考6:当直线P1P2与坐标轴垂直时，上 述结论是否成立？P2 y P1 P2
知识探究（一）：两点间的距离公式
思考1:在x轴上，已知点P1(x1，0)和 P2(x2，0)，那么点P1和P2的距离为多少？
|P1P2|=|x1-x2|
思考2:在y轴上，已知点P1(0，y1)和 P2(0，y2)，那么点P1和P2的距离为多少？
|P1P2|=|y1-y2|
思考3:已知x轴上一点P1(x0，0)和y轴上 一点P2(0，y0)，那么点P1和P2的距离为 多少？
思考2:已知平面上两点P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)，直线P1P2的斜率为k，则 x2-x1可怎样表示？从而点P1和P2的距 离公式又可作怎样的变形？
Life is tough,but I'm tougher. 生活是艰苦的,但我应更坚强.
知识探究（一）：两点间的距离公式
思考1:在x轴上，已知点P1(x1，0)和 P2(x2，0)，那么点P1和P2的距离为多少？
1.5 平面直角坐标系中的距离公式 一.两点间的距离公式
问题提出
复习： 如何判定两条直线平行？垂直？
1.在平面直角坐标系中，根据直线的方 程可以确定两直线平行、垂直等位置关系， 以及求两相交直线的交点坐标，我们同样可 以根据点的坐标确定点与点之间的相对位置 关系.
2.平面上点与点之间的相对位置关系一 般通过什么数量关系来反映？
P2
M
o
P1 x
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
思考6:当直线P1P2与坐标轴垂直时，上 述结论是否成立？P2 y P1 P2
o
x
P1
思考7:特别地，点P(x，y)与坐标原点的 距离是什么？
| OP | x2 y2
思考6:当直线P1P2与坐标轴垂直时，上 述结论是否成立？P2 y P1 P2
知识探究（一）：两点间的距离公式
思考1:在x轴上，已知点P1(x1，0)和 P2(x2，0)，那么点P1和P2的距离为多少？
|P1P2|=|x1-x2|
思考2:在y轴上，已知点P1(0，y1)和 P2(0，y2)，那么点P1和P2的距离为多少？
|P1P2|=|y1-y2|
思考3:已知x轴上一点P1(x0，0)和y轴上 一点P2(0，y0)，那么点P1和P2的距离为 多少？
思考2:已知平面上两点P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)，直线P1P2的斜率为k，则 x2-x1可怎样表示？从而点P1和P2的距 离公式又可作怎样的变形？
2025版新教材高中数学第2章两点间的距离公式pptx课件新人教A版选择性必修第一册
2．通过学习两点间的距离，培养逻辑推理和直观想象的数学素养.
必备知识•探新知
知识点 1 两条直线的交点
1．两直线的交点 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点A(a，b)． (1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有_A__1a_＋__B_1_b_＋__C_1_＝__0____.
对点训练❷ (1)若不论m取何实数，直线l：mx＋y－1＋2m＝ 0恒过一定点，则该定点的坐标是_____(－__2_,_1_)_____.
(2)直线l过直线x＋y－2＝0和直线x－y＋4＝0的交点，且与直线3x－ 2y＋4＝0平行，求直线l的方程．
[解析] (1)直线 l：mx＋y－1＋2m＝0 可化为 m(x＋2)＋(y－1)＝0，
一组
无数组
直线 l1 与 l2 的公共点的个数 直线 l1 与 l2 的位置关系
一个 __相__交___
__无__数__个___ 重合
__无__解___
零个 __平__行___
做一做：直线x＋y＝5与直线x－y＝3交点坐标是( B )
A．(1,2)
B．(4,1)
C．(3,2)
D．(2,1)
[解析] 解方程组xx－＋yy＝＝35，， 得xy＝ ＝41， ， 因此交点坐标为(4,1)，故
两点间距离公式的应用
3．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－3,1)，B(3，－3)， C(1,7)，试判断△ABC的形状．
[分析] 可求出三条边的长，根据所求长度判断三角形的形状．
[解析] 方法一：∵|AB|＝ 3＋32＋－3－12＝ 52， |AC|＝ 1＋32＋7－12＝ 52， |BC|＝ 1－32＋7＋32＝ 104， ∴|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2. ∴△ABC 是等腰直角三角形． 方法二：∵kAC＝1－7－－13＝32，kAB＝3－－3－ －13＝－23，∴kAC·kAB＝－1. ∴AC⊥AB. 又|AC|＝ 1＋32＋7－12＝ 52， |AB|＝ 3＋32＋－3－12＝ 52， ∴|AC|＝|AB|.∴△ABC 是等腰直角三角形．
必备知识•探新知
知识点 1 两条直线的交点
1．两直线的交点 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点A(a，b)． (1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有_A__1a_＋__B_1_b_＋__C_1_＝__0____.
对点训练❷ (1)若不论m取何实数，直线l：mx＋y－1＋2m＝ 0恒过一定点，则该定点的坐标是_____(－__2_,_1_)_____.
(2)直线l过直线x＋y－2＝0和直线x－y＋4＝0的交点，且与直线3x－ 2y＋4＝0平行，求直线l的方程．
[解析] (1)直线 l：mx＋y－1＋2m＝0 可化为 m(x＋2)＋(y－1)＝0，
一组
无数组
直线 l1 与 l2 的公共点的个数 直线 l1 与 l2 的位置关系
一个 __相__交___
__无__数__个___ 重合
__无__解___
零个 __平__行___
做一做：直线x＋y＝5与直线x－y＝3交点坐标是( B )
A．(1,2)
B．(4,1)
C．(3,2)
D．(2,1)
[解析] 解方程组xx－＋yy＝＝35，， 得xy＝ ＝41， ， 因此交点坐标为(4,1)，故
两点间距离公式的应用
3．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－3,1)，B(3，－3)， C(1,7)，试判断△ABC的形状．
[分析] 可求出三条边的长，根据所求长度判断三角形的形状．
[解析] 方法一：∵|AB|＝ 3＋32＋－3－12＝ 52， |AC|＝ 1＋32＋7－12＝ 52， |BC|＝ 1－32＋7＋32＝ 104， ∴|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2. ∴△ABC 是等腰直角三角形． 方法二：∵kAC＝1－7－－13＝32，kAB＝3－－3－ －13＝－23，∴kAC·kAB＝－1. ∴AC⊥AB. 又|AC|＝ 1＋32＋7－12＝ 52， |AB|＝ 3＋32＋－3－12＝ 52， ∴|AC|＝|AB|.∴△ABC 是等腰直角三角形．
高中数学《第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.4两条平行线间的距离》889PPT课件
解：由两点间距离公式有： (1) | AB | (2 3)2 (3 1)2 (5 4)2 6; (2) | AB | (6 3)2 (0 5)2 (1 7)2 70.
2、在Z轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2)与点 B(1,-3,1)的距离相等.
解：设M点的坐标为(0, 0, a). 由题意可知：| MA || MB |,
D` A`
C`
B` M
连 接BN
O
Cy
在BCN中 ，
NБайду номын сангаас
A
B
| BN | | BC |2 | CN |2 2 | BC | | CN | cxos45 5 a
3
小结
(1) 在空间直角坐标系中，任意两点 P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)间的距离：
| P1P2 | ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
即：(0 1)2 (0 0)2 (a 2)2
(0 1)2 (0 3)2 (a 1)2 , 解得：a 3. 所以点M的坐标为(0, 0, 3).
练习
3、求证：以A(10,-1,6)，B(4,1,9)，C(2,4,3)三点 为顶点的三角形是等腰三角型.
证明 根据空间两点间距离公式，
得|AB|＝ 10－42＋－1－12＋6－92＝7， |BC|＝ 4－22＋1－42＋9－32＝7， |AC|＝ 10－22＋－1－42＋6－32＝ 98. 因为|AB|2＋|BC|2＝|AC|2，且|AB|＝|BC|， 所以△ABC 是等腰直角三角形.
4.3.2 空间中两 点的距离公式
两点间距离公式
平面：| P1P2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
类比 猜想
2、在Z轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2)与点 B(1,-3,1)的距离相等.
解：设M点的坐标为(0, 0, a). 由题意可知：| MA || MB |,
D` A`
C`
B` M
连 接BN
O
Cy
在BCN中 ，
NБайду номын сангаас
A
B
| BN | | BC |2 | CN |2 2 | BC | | CN | cxos45 5 a
3
小结
(1) 在空间直角坐标系中，任意两点 P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)间的距离：
| P1P2 | ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
即：(0 1)2 (0 0)2 (a 2)2
(0 1)2 (0 3)2 (a 1)2 , 解得：a 3. 所以点M的坐标为(0, 0, 3).
练习
3、求证：以A(10,-1,6)，B(4,1,9)，C(2,4,3)三点 为顶点的三角形是等腰三角型.
证明 根据空间两点间距离公式，
得|AB|＝ 10－42＋－1－12＋6－92＝7， |BC|＝ 4－22＋1－42＋9－32＝7， |AC|＝ 10－22＋－1－42＋6－32＝ 98. 因为|AB|2＋|BC|2＝|AC|2，且|AB|＝|BC|， 所以△ABC 是等腰直角三角形.
4.3.2 空间中两 点的距离公式
两点间距离公式
平面：| P1P2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
类比 猜想
点到直线的距离、两条平行直线间的距离 课件
[规律方法] 应用点到直线的距离公式应注意的三个问题 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点 P 在直线 l 上时，点到直线的距离为 0，公式仍然适用． (3)直线方程 Ax＋By＋C＝0 中，A＝0 或 B＝0 公式也成立，但由于直线 是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
2．本例中条件不变，你能求出正方形对角线所在直线方程吗？ [解] 由3x＋x－3yy－＋37＝＝00， 可得交点坐标为15，－152，又正方形中心为 P(－1,0)． ∴由两点式方程得对角线方程为：－y1－52－0 0＝15x＋＋11，即 2x＋y＋2＝0.
由x3＋x－3yy－－53＝＝00， 可得正方形另一顶点坐标为75，65，又正方形中心为 P(－1,0)，
2．原点到直线 x＋2y－5＝0 的距离是( )
A． 2
B． 3
C．2
D． 5
D [d＝ |1－2＋5|22＝ 5.选 D.]
3．已知直线 l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则 l1，l2 之间的距离为( )
A．1
B． 2
C． 3 D．2
B
[依题意
d＝|1－12＋－112|＝
2＝ 2
2.选 B.]
2．上述问题中，当 d 取最大值时，请求出两条直线的方程． [提示] 由上图可知，当 d 取最大值时，两直线与 AB 垂直． 而 kAB＝26－ －－ －13＝13， ∴所求直线的斜率为－3. 故所求的直线方程分别为 y－2＝－3(x－6)和 y＋1＝－3(x＋3)， 即 3x＋y－20＝0 和 3x＋y＋10＝0.
＝0 的距离 d＝_____A_2_＋__B_2____
|C1－C2| 的距离 d＝___A_2_＋__B_2___
2.3.2两点间的距离公式ppt课件新教材人教A版选择性必修第一册
知识点
任务型课堂
课后素养评价
两点间的距离
1 ． 平 面 内 的 两 点 P1(x1 ， y1) ， P2(x2 ， y2) 间 的 距 离 公 式 ， |P1P2| ＝
2 − 1 2 + 2 − 1 2
______________________．
2．两点间距离的特殊情况
2 + 2
(1)原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝ __________．
|x2－x1|
(2)当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝_______．
|y2－y1|
(3)当P P ∥y轴(x ＝x )时，|P P |＝_______．
1 2
1
2
1 2
问题式预习
2.3.2 两点间的距离公式
任务型课堂
课后素养评价
[微训练]
1．已知M(2，1)，N(－1，5)，则|MN|＝(
的中线AM的长为(
)
A．8
B．13
C．2 15
D． 65
D
解析：由B(10，4)，C(2，－4)可得M(6，0)，又A(7，8)，所以
|AM|＝
6−7
2
+ 0 − 8 2 ＝ 65.
问题式预习
2.3.2 两点间的距离公式
任务型课堂
课后素养评价
2．已知线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上，且线段AB的中点为
第二章 直线和圆的方程
2.3
直线的交点坐标与距离公式
2.3.2 两点间的距离公式
问题式预习
2.3.2 两点间的距离公式
学习任务目标
掌握两点间的距离公式并会简单应用．(逻辑推理)
2.3.4两条平行直线间的距离ppt课件新教材人教A版选择性必修第一册
任务型课堂
课后素养评价
[评价活动]
1．已知两条平行直线x＋2y＋m＝0与2x－ny－4＝0间的距离是 5.若
m＞0，则m＋n＝(
A．0
B．－1
)
C．1
D．－2
B 解析：因为直线x＋2y＋m＝0，即 2x＋4y＋2m＝0，与2x－ny－4
＝0平行，所以n＝－4.再根据 5＝
去)，则m＋n＝3－4＝－1.
第二章 直线和圆的方程
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.4 两条平行直线间的距离
问题式预习
2.3.4 两条平行直线间的距离
学习任务目标
会求两条平行直线间的距离．(数学运算)
任务型课堂
课后素养评价
问题式预习
2.3.4 两条平行直线间的距离
01
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
问题式预习
2.3.4 两条平行直线间的距离
因为两条平行直线间的距离为
或－15.
13
+2
13
，所以 2 2 ＝
，解得C＝11
2
2
6 +4
2.3.4 两条平行直线间的距离
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
【类题通法】
常见的距离公式应用问题的解题策略
(1)求最值问题：
①求点到直线的距离的最大值，可转化为求两点间的距离；②求代数
式的最值，可根据所求式子的几何意义转化为求点到直线的距离；③
任务型课堂
课后素养评价
探究2：直线l1与l2间的距离的取值范围是多少？
提示：如图，当l1，l2与直线PQ垂直时，l1与l2间的距离最大，
且最大值为|PQ|＝
精品中职数学基础模块下册：8.1《两点间的距离与线段中点的坐标》ppt课件(两份)
解决途径： AM =(x0-x1,y0-y1)
MB =(x2-x0,y2-y0)
M ( x 0, y 0) A(x1,y1) x
由于M为线段AB的中点，则
AM
= MB
O
即
x0 x1 x2 x0 , x1 x2 y1 y2 即 x0 , y0 解得 2 2 y0 y1 y2 y0 ,
( x0 x1, y0 y1 ) ( x2 x0 , y2 y0 )，
探究二：线段中点的坐标公式
（ ） P （ 结论2：一般地，设 P 、 为平面内任 1 x1 , y1 2 x2 , y2）
（ 意两点，则线段 p1 p2中点 p 的坐标为 0 x0 , y0）
x1 x2 y1 y2 x0 , y0 2 2
3 5 同理，求出线段SQ 的中点P （ , ） 2 4 9 1 线段QT的中点 R （ , ）. 2 4 1 9 1 3 5 Q （ 3, ）、 R （ , ）. 故所求的分点分别为P（ , ）、 2 2 4 2 4
应用二：巩固提高
y
例3.已知 ABC 的三个顶点 为 A（1，0）、B（-2，1）、 C（0，3），试求BC边上的中 线AD的长度．
2 2
y2
x2 x1
P2 ( x2 , y2 )
y2 y1
2
P 1 ( x1 , y1 )
P1P2 x2 x1 y2 y1
2
y1
x1 o
x2
X
方法二：利用向量的模求．
将平面向量 P P 1P 2的模叫做 1, P 2之间的距离
P1P2 P1P2 P1P2 P1P2 x2 x1 y2 y1
点到直线的距离公式两条平行线间距离(课件)(人教A版2019选择性必修第一册)
A．8
B．2 2
C． 2
D．16
(2)若 P(x，y)在直线 x＋y－4＝0 上，则 x2＋y2－2x－4y＋5的最小值为多少？
(1)A 解析：x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2 表示点(x，y)与原点(0,0)的距离的平方， 故等价
于原点(0,0)到直线 x＋y－4＝0 的距离的平方，即 d＝ 4 ＝2 2，∴d2＝8，故选 A． 2
当堂达标
2.两条平行线 l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0 间的距离等于( )
7
7
4
2
A.5
B.15
C.15
D.3
C 解析：l1 的方程可化为 9x＋12y－6＝0，由平行线间的距离 公式得 d＝|－962＋＋11202|＝145.
当堂达标
3.已知 O 为原点，点 P 在直线 x＋y－1＝0 上运动，那么|OP|的 最小值为( )
经典例题
题型一 点到直线的距离
跟踪训练1
已知点(a，2)(a>0)到直线 l：x－y＋3＝0 的距离为 1，则 a＝( )
A. 2
B．2－ 2 C. 2－1
D. 2＋1
C 解析：由点到直线的距离公式得： 1|2a＋－（2＋－31|）2＝|a＋21|＝1， ∴|a＋1|＝ 2. ∵a>0， ∴a＝ 2－1.故选 C.
√
)
小试牛刀
2.原点到直线 x＋2y－5＝0 的距离为( )
A．1
B. 3
C．2
D. 5
D 解析：利用点到直线的距离公式可得：原点到直线 x＋2y－5＝0 的距离
d＝|0＋120＋－252|＝ 5.
3.两条平行线 l1：3x＋4y－7＝0 和 l2：3x＋4y－12＝0 的距离为( )
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思考 已知 △ABC 的三个顶点坐标是 A(1,-1)，B(-1,3)，C(3,0).
证明：△ABC 为直角三角形.
3.3.2《两点间的距离》
知识探究：两点间的距离公式
思考1 已知点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，那么点P1和
P2的距离为多少？
y
P1(x1, y1)
P2 (x2 , y2 )
P2 y zxxkw
o
P1 x | P1P2 | x02 y02
思考4 一般地，已知平面上两点P1(x1，y1)和P2(x2， y2)，利用上述方法求y点P1和P2的距离可得什么结论？
P2
M
o
P1 x
P1P2 x 1 x 2 2 (y 1 y 2 )2
1.求下列两点间的距离：
(1)A(6,0),B(-2,0); (2)C(0,-4),D(0,-1);
因为 AB 2 a2 CD 2 , AD 2 b2 c2 BC 2 ，
AC 2 (a b)2 c2, BD 2 (b a)2 c2，
所以 AB 2 CD 2 AD 2 BC 2 2(a2 b2 c2 )，
AC 2 BD 2 2(a2 b2 c2 )，
所以 AB 2 CD 2 AD 2 BC 2 AC 2 BD 2 .
例2 证明：平行四边形四条边的平方和等于两条
对角线的平方和.
证明：如图所示，以顶点A为 坐标原点，AB边所在的直线为 ｘ轴，建立直角坐标系.
y
D (ｂ,ｃ)
C(a+ｂ,ｃ)
则A(0，0).设B(ａ，0)， D(ｂ，ｃ)，由平行四边形的性质 得点C的坐标为(ａ+ｂ，ｃ).
A(0,0) B(a,0) x
因此，平行四边形四条边的平方和等于两 条对角线的平方和.
用“坐标法”解决有关几何问题的 基本步骤：
第一步；建立坐标系， 用坐标系表示有关的量
第二步：进行 有关代数运算
第三步：把代数运算结果 “翻译”成几何关系
课堂小结
1.两点间的距离为
P1P2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 .
2.用“坐标法”解决有关几何问题的基本步骤。
y1=y2
x1 O
x2 |P1P2|=|x1-x2|
思考2 已知点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，那么点P1和P2的 距离为多少？
y
y2
•P2 (x2 , y2 )
x1=x2
O
y1
x |P1P2|=|yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ-y2|
• P1(x1, y1)
思考3 已知x轴上一点P1(x0，0)和y轴上一P2(0，y0)， 那么点P1和P2的距离为多少？
课后作业
课本110：7,8
(3)P(6,0),Q(0,-2); (4)M(2,1),N(5,-1).
答案：(1)8
(3)2 10
(2)3
(4) 13
思考 已知 △ABC 的三个顶点坐标是 A(1,-1)，B(-1,3)，C(3,0).
证明：△ABC 为直角三角形.
例1 已知点A（-1，2），B（2，7 ），在x轴上
求一点P，使 PA PB ，并求PA 的值。
解：设所求点为P（x,0），于是
由 PA PB 得 x 12 0 22 x 22 0 7 2，
即 x2 2x 5 x2 4x 11，
解得x=1.所以，所求点为P（1，0）， 且
PA (11)2 (0 2)2 2 2.
例2 证明：平行四边形四条边的平方和等于两条 对角线的平方和.
证明：△ABC 为直角三角形.
3.3.2《两点间的距离》
知识探究：两点间的距离公式
思考1 已知点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，那么点P1和
P2的距离为多少？
y
P1(x1, y1)
P2 (x2 , y2 )
P2 y zxxkw
o
P1 x | P1P2 | x02 y02
思考4 一般地，已知平面上两点P1(x1，y1)和P2(x2， y2)，利用上述方法求y点P1和P2的距离可得什么结论？
P2
M
o
P1 x
P1P2 x 1 x 2 2 (y 1 y 2 )2
1.求下列两点间的距离：
(1)A(6,0),B(-2,0); (2)C(0,-4),D(0,-1);
因为 AB 2 a2 CD 2 , AD 2 b2 c2 BC 2 ，
AC 2 (a b)2 c2, BD 2 (b a)2 c2，
所以 AB 2 CD 2 AD 2 BC 2 2(a2 b2 c2 )，
AC 2 BD 2 2(a2 b2 c2 )，
所以 AB 2 CD 2 AD 2 BC 2 AC 2 BD 2 .
例2 证明：平行四边形四条边的平方和等于两条
对角线的平方和.
证明：如图所示，以顶点A为 坐标原点，AB边所在的直线为 ｘ轴，建立直角坐标系.
y
D (ｂ,ｃ)
C(a+ｂ,ｃ)
则A(0，0).设B(ａ，0)， D(ｂ，ｃ)，由平行四边形的性质 得点C的坐标为(ａ+ｂ，ｃ).
A(0,0) B(a,0) x
因此，平行四边形四条边的平方和等于两 条对角线的平方和.
用“坐标法”解决有关几何问题的 基本步骤：
第一步；建立坐标系， 用坐标系表示有关的量
第二步：进行 有关代数运算
第三步：把代数运算结果 “翻译”成几何关系
课堂小结
1.两点间的距离为
P1P2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 .
2.用“坐标法”解决有关几何问题的基本步骤。
y1=y2
x1 O
x2 |P1P2|=|x1-x2|
思考2 已知点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，那么点P1和P2的 距离为多少？
y
y2
•P2 (x2 , y2 )
x1=x2
O
y1
x |P1P2|=|yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ-y2|
• P1(x1, y1)
思考3 已知x轴上一点P1(x0，0)和y轴上一P2(0，y0)， 那么点P1和P2的距离为多少？
课后作业
课本110：7,8
(3)P(6,0),Q(0,-2); (4)M(2,1),N(5,-1).
答案：(1)8
(3)2 10
(2)3
(4) 13
思考 已知 △ABC 的三个顶点坐标是 A(1,-1)，B(-1,3)，C(3,0).
证明：△ABC 为直角三角形.
例1 已知点A（-1，2），B（2，7 ），在x轴上
求一点P，使 PA PB ，并求PA 的值。
解：设所求点为P（x,0），于是
由 PA PB 得 x 12 0 22 x 22 0 7 2，
即 x2 2x 5 x2 4x 11，
解得x=1.所以，所求点为P（1，0）， 且
PA (11)2 (0 2)2 2 2.
例2 证明：平行四边形四条边的平方和等于两条 对角线的平方和.