2018届杨浦区高三一模数学试卷及解析(Word版)

上海市杨浦区2018届高三一模数学试卷

2017.12

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 计算1lim(1)n n

→∞

-的结果是

2. 已知集合{1,2,}A m =，{3,4}B =，若{3}A B =I ，则实数m =

3. 已知3cos 5

θ=-，则sin()2

π

θ+

=

4. 若行列式

1

24

012

x -=，则x = 5. 已知一个关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是112012-⎛⎫

⎪⎝⎭

，则x y +=

6. 在62

()x x

-的二项展开式中，常数项的值为

7. 若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）， 先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是

8. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若点(,)n n S （*n N ∈）在函数2log (1)y x =+的反函数的图像上，则n a =

9. 在ABC ∆中，若sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则角B 的最大值为

10. 抛物线2

8y x =-的焦点与双曲线2

221x y a

-=的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近

线的夹角为

11. 已知函数()cos (sin )f x x x x =+x R ∈，设0a >，若函数()()g x f x α=+ 为奇函数，则α的值为

12. 已知点C 、D 是椭圆22

14

x y +=上的两个动点，且点(0,2)M ，若MD MC λ=u u u u r u u u u r ，则实

数λ的取值范围为

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 在复平面内，复数2i

z i

-=

对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

14. 给出下列函数：①2log y x =；②2y x =；③||2x y =；④arcsin y x =. 其中图像关于y 轴对称的函数的序号是（ ）

A. ①②

B. ②③

C. ①③

D. ②④ 15. “0t ≥”是“函数2()f x x tx t =+-在(,)-∞+∞内存在零点”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件

16. 设A 、B 、C 、D 是半径为1的球面上的四个不同点，

且满足0AB AC ⋅=u u u r u u u r ，0AC AD ⋅=u u u r u u u r

，0AD AB ⋅=u u u r u u u r

，用1S 、2S 、3S 分别表示ABC ∆、ACD ∆、ABD ∆的面积，则123S S S ++的

最大值是（ ） A. 1

2

B. 2

C. 4

D. 8

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 如图所示，用总长为定值l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开.

（1）设场地面积为y ，垂直于墙的边长为x ，试用解析

式将y 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域； （2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？

18. 如图，已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA 和OB 互相垂直，且3OA =，P 是母线

BS 的中点.

（1）求圆锥的体积；

（2）求异面直线SO 与PA 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）

19. 已知函数1()ln

1x

f x x

+=-的定义域为集合A ，集合(,1)B a a =+，且B A ⊆. （1）求实数a 的取值范围；

（2）求证：函数()f x 是奇函数但不是偶函数.

20. 设直线l 与抛物线2:4y x Ω=相交于不同两点A 、B ，O 为坐标原点. （1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；

（2）若直线l 又与圆22:(5)16C x y -+=相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，求直线l 的方程；

（3）若0OA OB ⋅=u u u r u u u r

，点Q 在线段AB 上，满足OQ AB ⊥，求点Q 的轨迹方程.

21. 若数列A ：1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a （3n ≥）中*

i a N ∈（1i n ≤≤）且对任意的21k n ≤≤-，

112k k k a a a +-+>恒成立，则称数列A 为“U -数列”.

（1）若数列1，x ，y ，7为“U -数列”，写出所有可能的x 、y ；

（2）若“U -数列” A ：1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a 中，11a =，2017n a =，求n 的最大值； （3）设0n 为给定的偶数，对所有可能的“U -数列”A ：1a ，2a ，⋅⋅⋅，0n a ，记

012max{,,,}n M a a a =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示1x ，2x ，⋅⋅⋅，s x 这s 个数中最大的数，

求M 的最小值.

参考答案

一. 填空题

1. 3

2. 35

- 3. 2 4. 6 5. 160-

6. 1

12

7. 1 8. 12n n a -= 9. 3π 10. 3π

11. *()26k k N ππα=-∈ 12. 1

[,3]3

二. 选择题

13. C 14. B 15. A 16. B

三. 解答题

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）设平行于墙的边长为a ， 则篱笆总长3l x a =+，

即3a l x =-， ……2分

所以场地面积(3)y x l x =-，(0,)3

l

x ∈ （定义域2分） ……6分

（2）2

2

2(3)33()612l l y x l x x lx x =-=-+=--+，(0,)3

l x ∈ ……8分

所以当且仅当6

l x =时，2

max 12l y = ……12分

综上，当场地垂直于墙的边长x 为6

l 时，最大面积为2

12l ……14分

18．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分） 解1：

（1）由题意，15OA SB ππ⋅⋅=得5BS =， ……2分 故2222534SO SB OB =

-=-= ……4分

从而体积2211

341233

V OA SO πππ=

⋅⋅=⨯⨯=. ……7分 （2）如图，取OB 中点H ，联结PH AH 、. 由P 是SB 的中点知PH SO ∥，则APH ∠（或其补角）就是异面直线SO 与PA 所成角. ……10分 由SO ⊥平面OAB ⇒PH ⊥平面OAB ⇒PH AH ⊥.