滚动问题中圆的圈数的探讨

滚动问题中圆的圈数的探讨
一 问题的提出
一位学生向我提出了一个问题；将两枚同样大小的硬币放在桌子上，其中一枚硬币A 固定，而另一枚硬币B 则沿着硬币A 边缘无滑动滚动一圈回到初始位置，这时滚动的硬币B 滚动（）圈。

A.1圈
B.1.5圈
C.2圈
D.2.5圈
看完题目，我不加思考的说，圆滚动一圈，选择A 答案。

学生看着我说，有两位老师说答案是2圈，加上你有2位老
师说答案是一圈，许多学生认为是一圈。

听了学生的叙述，
我有些不知所措，于是对他说，我再仔细的思考思考，然后回答你。

进过很长的一段时间，我突然想起这个问题与一个关于
圆滚动的中考题颇为相似，查找资料发现2009年河北省的中
考题与学生问的题目有联系。

原题的部分叙述为（1）如图1，
⊙O 从⊙O1的位置出发，沿AB 滚动到⊙O2的位置，当AB=c 时，⊙O 恰好自转1圈；（2）如图2，∠ABC 相邻的补角是n °，⊙O 在∠ABC 外部沿A-B-C 滚动，在点B 处，必须由⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置，⊙O 绕点B 旋转的角
∠O1BO2=n °，⊙O 在点B 处自转（）圈．
看到这个中考题后，我恍然大悟，原来圆在折线上
滚动存在一个旋转角的问题，而圆在直线上滚动不存在
旋转角。

我把人们非常熟悉的圆在直线上滚动的规律，
想当然的运用到物体在圆周上或者曲线上滚动的情形，
实际上这两者却有着重大区别。

观察图1，圆在线段AB 上滚动一周，在直线上经过
的路程为圆的周长即AB ，也可以认为是O 1O 2的长度,圆
在直线上滚动一周，圆自身转动了一圈。

观察图2，当圆滚动到圆O 1的位置时，圆在B 处无滑动的旋转到圆O 2的位置，也就是圆以B 点为圆心，圆的半径旋转过一个角度，即∠O 1BO 2 。

因为O 1B ⊥BD, O 2B ⊥BC,所以∠O 1BO 2=∠DBC 。

因此圆在折线外侧上滚动，在经过折点的过程中，圆心O 从O1的位置自转到O2的位置旋转过的角度等于折线内角的补角（图2中∠ABC 的补角n °）。

实际上圆在折线上运动经过折点时自转n/360圈。

现在以一个容易理解的题目来理解圆在折线上滚动的问题。

例1：一个正方形的边长和与它相切的一个圆周长相
等，将此圆从某一位置沿此正方形的各边做无滑动旋转，
直至回到原来的位置，则这个圆旋转的圈数为多少？
圆从圆O1的位置旋转到O2的位置，恰好旋转过的角度是90°，也就是∠DCB 的补角的度数。

在顶点C 处，圆
旋转了90°/360°=1/4圈,在顶点B 处，圆旋转了1/4圈,
在顶点A 处，圆旋转了1/4圈, 在顶点D 处，圆旋转了1/4
圈。

在4个顶点处共旋转过了1圈，在四条边上共滚动了4圈，所以圆一共滚动5圈。

通过上面的分析，我们可以发现在每一个顶点处旋转过的角度都是折线内角的补角n ，所有补角的和就是多边形的外角和360°因为每一个顶点处自转n/360圈，在所有折点处一B A O2O1B A D C
共自转360/360=1圈。

因此这种类型的题目的答案是（多边形的周长÷圆的周长+1）圈。

通过观察，我认识到在圆的滚动问题中，圆的滚动其实是一种复合运动：一是圆沿另一个几何图形的滚动（指的是圆周上的点与几何体上的点逐一接触时圆的旋转前进滚动）。

一是滚动圆本身的旋转（指的是动圆绕某一定点，圆心旋转过一定的角度的运动）；因此解决圆的滚动问题就要分情况把其分解为直线上的滚动和折点处绕顶点的旋转。

圆在多边形的外侧滚动，可以分解成圆在多边形边上的滚动和在多边形折点上的旋转，滚动和旋转不是同时发生的；动圆在定圆的外侧滚动是一种复合运动，滚动和旋转是同时发生的。

回到文章的引言的问题，圆可以认为是正多边形的极限，外角和也是360°，圆在滚动过程中自身旋转了1圈，圆B 沿着圆A 的周长滚动了1圈，所以硬币B 共滚动2圈，当然我们要认识到这两种运动是同时发生的，只不过在分析问题时把它们分开。

二 问题的拓展
通过上面分析，我们发现一个有趣的事实：圆在折线的外侧和多边形的外侧无滑动滚动时，圆心的轨迹的长度除以圆的周长恰好是圆滚动的圈数。

以上的例子都可以证明这个事实。

以上文中例1为例，在每一个顶点处，动圆的圆心的轨迹恰好是自身的1/4，因此圆心轨迹的长度除以圆的周长，正是圆在折点处旋转的圈数。

那么一个小圆在一个大圆的内侧无滑动滚动，滚动的圈数是否还遵循同样的规律呢？
如图圆在折线内部部滚动，圆从切点A 沿A —B —C 滚动到C ，滚动的方向是顺时针方向，但是圆在弧DE 间跨过，而自身没有滚动，即圆在∠DO 2E 处没有滚动。

在这条折线上，圆实际上滚动的距离是AD 和EC 的距离和，AD 和EC 的距离和等于O 1O 2和O 2O 3的和。

圆在折线内部部滚动可以分解成上文中图1的
情形，因此，圆从切点A 沿A —B —C 滚动到C ，
圆滚动的圈数=（AD+EC ）÷圆的周长=
（O 1O 2+O 2O 3）÷圆的周长，即圆心的轨迹长
度除以圆的周长恰好是圆滚动的圈数。

因此可
以证明，圆心的轨迹的长度除以圆的周长恰好
是圆滚动的圈数是同样成立的。

例2：两个半径之比为2：1的圆，大圆固定不动，小圆绕其内边缘滚动(无滑动)，当小圆滚动到原来位置(第一次重合)时，小圆滚动
的圈数是（ ）。

A.1
B.2
C.3
D.4 圆可以认为是正多边形的极限，因此只要求
出小圆在大圆内部形成的轨迹的长度，问题就容
易解决。

根据题意，大圆与小圆半径之比是2：1，
小圆的轨迹是以大圆的圆心为圆心，小圆半径为半径形成的圆。

所以2πr ÷2πr=1。

小圆滚动的
圈数是1圈。

例3 如图4，半径为2的⊙O 从半径为18，圆心角为120°的弧的一个端点A （切点）开始
D C
P 图4
先在外侧滚动到另一个端点B（切点），再旋转到内侧继续滚动，最后转回到初始位置，⊙O自转多少周？请说明理由．
观察图形分析题意，我们知道小圆圆心的轨迹是由4条弧线构成。

第一条弧线是以P 为圆心，半径为20圆心角为120°的弧线，第二条弧线是以P为圆心，半径为16圆心角为120°的弧线，另外两条弧线分别是以A、B为圆心，半径2圆心角180°的两条弧线，正好形成一个半径为2的圆。

所以⊙O滚动的圈数为=（2π·20·120/360+2π·16·120/360+2π·2）÷(2π·2)=7圈
三问题的结论
通过以上的分析，我们可以总结出，圆在几何图形（直线，折线，多边形，弧线、圆的外侧或者内侧）上无滑动滚动时，圆心的轨迹的长度除以圆的周长等于圆滚动的圈数。

本文由圆在圆上滚动问题，通过分解成圆在直线上滚动，圆在折线上滚动，圆在多边形上滚动，圆在圆上滚动，圆在圆的内侧滚动的探讨，从而揭示了这类问题的内在联系和这类问题的本质规律。