滚动问题中圆的圈数的探讨
北师大版六年级数学上册第一单元《圆的周长 》一等奖创新教案设计
北师大版六年级数学上册第一单元《圆的周长》一等奖创新教案设计4 圆的周长上课解决方案教案设计设计说明圆的周长是在学生认识了圆，了解半径和直径关系的基础上进行教学的，是学生初步研究曲线图形的基本方法的开始。
鉴于本课时的教学属于计算公式的教学，在设计上突出了以下两点：1．循序渐进，逐层展开。
教师是学生学习的组织者、引导者、合作者，根据这一理念，我遵循激、导、探、放的原则，引导学生思考、操作，鼓励学生概括、交流。
学生运用知识去大胆尝试，在尝试中培养学生自主探究、合作交流、动手操作的能力。
2．动手实验，突破关键。
理解和认识圆周率是推导圆的周长计算公式的关键。
教学时用较多的时间组织学生动手实验，探究和认识圆周率，让学生在猜测、实验、验证、计算、交流中发现和认识圆周率，理解周长计算公式的来龙去脉。
教学目标1.认识圆的周长,能用滚动、绕线等方法测量圆的周长。
2.在测量活动中探究发现圆的周长与直径的关系,理解圆周率的意义。
3.能运用圆周率解决一些实际问题。
教学重点发现圆的周长与直径的关系,理解圆周率的意义。
教学难点运用圆周率解决一些实际问题。
课前准备教师准备PPT课件学生准备直尺圆形硬纸板圆规教学过程第1课时认识圆的周长⊙创设情境，导入新课1．课件出示两辆车，车轮的大小不一样。
师：明明和刚刚分别骑着自行车和踏板车，如果轮子只滚动一圈，哪个滚得远？学生讨论、交流，得出车轮越大，滚一圈就越远。
2．引入：在课前，我们通过学情检测卡的内容，已经了解了车轮滚一圈的长度就是它的周长。
这节课我们一起来探究圆的周长。
(板书课题——认识圆的周长)设计意图：利用生动的课件创设教学情境，激发了学生参与探究圆的周长的兴趣，为后面的学习和深入探究埋下了伏笔。
⊙引导探究，展开新课1．教具演示，直观感知，认识圆的周长。
(1)课件出示一些圆形图案，提问：你知道圆的周长是指什么吗？(2)让学生拿出课前准备好的圆形硬纸板，指出哪一部分是圆的周长。
关于滚圆问题的若干思考
１３滚 动 和纯 滚 动 ．
圆沿着另外一个 圆的内表面滚动， 比较典型 的例子是 １９ 年 山西省的一道竞赛试题 ： ９０ 例 ２ 如 图２ 圆 的半径为 ｒ 圆（ 的半径 ， ， 二 ）
为４ ， 从图中所示位置 出发绕 圆（作无滑动 ｒ圆 ） 滚动． 要使 圆 的圆心返 回到原来位 圆 滚 置，
（） ； Ａ ３
（） ； Ｂ４
（） ； Ｃ５
（） ． Ｄ ６
点评： 这两道题 目在用词上各有特点： ｉ 例 用
不能算作是尘埃落定， 其原 因主要有两个方面： （） １一些概念在表述的时候仍显得相 当模糊；
（） 圆问题的本质还没被大家所知晓． ２滚 鉴于这种状况 ， 笔者结合物理学知识谈谈 自 己对滚 圆问题的一些认识， 供读者参考． Ｉ 有关概念的界定 ．
２ １ 年第 １ 期 ０１ ０
数 学数 学
１ ｌ ｏ三
关于滚圆问题的若干思考
３５ ０ 浙江省慈溪市育才中学初 中部 童浩军 １０ ３
一
个圆沿着其他物体的表面滚动， 它的转数
动的圈数为 ……… … … … … … … … … … （ ）
问题在初中数学 中已被讨论了二十余年 （ 以下简 称“ 圆问题”． 于这 场讨论笔者认为 至今 尚 滚 ）关
现在来具体讨论滚 圆（ 以下没特别说 明， 滚
动均指纯滚动） 自转转数问题． 的 ２ 沿折线型表面滚动 ． ２１沿 直 线型 表 面滚 动 ． 如图 ３ 圆沿直线 ｆ ， 由ｏ《 位置滚动到 ｏ（ 二 ） ＝ ） 位置 （ 半径 ＯＡ相应地移到 《 的位置） 由于滚 二 ） ， 动时没有打滑， 所以（０ ：Ａ 二 Ｂ＝ Ｊ 『 ） Ｅ 的长， ｝ Ｃ 显然
“圆形滚动”的问题探究
的路 径等 于 圆周滚 过 的路 程．
２ 圆在 多 边 形 外 侧 滚 动
问 题 ２ 如 图 ， 个 半 径 为 ｒ的 圆 。 在 折 线 Ｚ上 滚动 一 段 路 程 ， 点 为 Ａ， 起 终 点 为 Ｂ， 圆 心 ０ 经 过 的 问 路 径是 多 少 ？ 探究 结 论 ：圆 心 ０ 所
般 结 论 ：圆 在 长 方 形 的 外 侧 滚 动 １圈 ， 圆心 所 经历 的路径 等 于正方 形 的周长再 加 上 圆 的 １个 周 长 ． 问题 ４ 如 图 ， 个 半 一 径 为 ｒ的 圆 ０ 在 正 △ ＡＢＣ 的外 侧 自 Ｄ 点 开 始 滚 动 １ 圈 回 到 点 Ｄ， 圆心 Ｏ 经 问 过 的路径 是多 少 ？ 探究 结论 ：圆 心 ０所 经 历 的路 径 Ｌｏ 于 等 正 △ ＡＢＣ 的 周 长 ３ ＡＢ， 加 上 圆 心 ０ 在 三 个 再 顶点 处 旋 转 经 过 的 弧 长 之 和 （ 好 是 一 个 周 刚 长 ） 即 Ｌ 一３ ， ｏ ＡＢ ＋ ２ ｒ 兀． 探究 发现 ：圆心 在各个 顶 点处 旋转 经 过 的 度数 刚 好 是 它 的外 角 ， 过 的度 数 之 和就 等 于 转 多边 形 的外角 之 和 ３ ０． ６。 问题 ５ 一个 半 径为 ｒ的 圆 ０ 在 任意 多 边 形 的外侧 自 Ｐ 点开 始 滚 动 １圈 回到点 Ｐ， 问圆 心 ０经过 的路径 是 多少 ？ 般 结论 ：圆在 任 意 多边 形 的 外 侧 滚动 １ 圈 ， 心 所 经 历 的 路 径 等 于 多 边 形 的 周 长 和 圆 圆 的周 长之 和．
・
４ ・ ０
数 学 教 育 研 究
２０ ０ ６年 第 ２期
Ｌ。 是 以 Ｍ 为 圆 心 ， （ 就 以 Ｒ＋ ｒ 为半 径 的 大 圆 ） 周 长 ， Ｌ ＝２ （ 即 。 ７ Ｒ＋ｒ ． ） 般结论 ：圆在 圆周 的 外 侧 滚 动 １圈 ， 圆 心 所经 历 的路 径 等于这 两个 圆 的周 长之 和． 继 续探索 ：在这个 过程 中圆 Ｏ 自转 了多 少
六年级数学上册《探索圆的周长公式》教案、教学设计
1.教学内容：对本节课所学知识进行总结，巩固圆的周长公式及其应用。
2.教师引导：通过提问、回顾等方式，引导学生总结圆周长的概念、圆周率π的意义以及圆的周长公式的推导过程。
3.学生总结与反思：让学生用自己的பைடு நூலகம்复述本节课所学的主要内容，并与同伴分享自己的学习心得。
五、作业布置
为了巩固本节课所学的圆的周长知识，培养学生的应用能力和自主学习的习惯，特此布置以下作业：
2.教师引导学生归纳总结出圆的周长公式：C=πd。
四、巩固练习
1.让学生运用圆的周长公式计算给定直径的圆的周长。
2.解决实际问题：一辆自行车的车轮直径为60厘米，求车轮滚动一圈所行的路程。
五、课堂小结
本节课我们学习了圆的周长公式，知道了圆周长与直径之间的关系，能够运用圆的周长公式解决实际问题。希望同学们在课后继续巩固所学知识，提高自己的数学能力。
（二）教学设想
1.对于教学重点的突破：
-利用直观教具和实际操作，如测量不同大小的圆的周长和直径，让学生在观察和实践中发现圆周长与直径的恒定比例关系，进而引出圆周率π的概念。
-通过数学故事和科学史实的介绍，如祖冲之与圆周率的故事，增强学生对圆周率π的认识，使其理解圆周率在数学中的重要地位。
2.对于教学难点的化解：
2.学生思考与讨论：让学生针对问题进行思考，与同桌交流自己的看法，然后邀请几名学生分享他们的想法。
3.教师引导：根据学生的回答，教师进行引导，指出车轮滚动与圆的周长有关，进而引出本节课的主题——探索圆的周长公式。
（二）讲授新知
1.教学内容：介绍圆周长的概念，即圆的边界线的长度，以及圆周率π的定义。
2.探索圆周长与直径的关系：通过实物演示和课件展示，引导学生观察不同大小的圆的周长与直径的比例关系，发现这个比例始终是一个常数，即圆周率π。
圆在几何图形上滚动的数学(下)
圆在几何图形上滚动的数学（下）吴乃华C 、在折线内侧和在封闭图形内滚动所转的圈数1、在折线的内侧滚动例24、如图，线段AB 、BC 、CD 、DE组成右图折线，一个半径为0.5厘米的圆，沿着折线内侧按顺时针方向，无滑动地滚，从切点A 沿A — B — C — D 到E 。
如果已知AB 长9.42厘米，DE 长6.28厘米，这个圆滚动了几周？【解】：这个半径为0.5厘米的圆，其周长是：0.5×2×3.14＝3.14（厘米）这个圆从切点A 沿A — B — C — D 到E ，即圆心运动的轨迹从1O 到2O ，再到3O ，圆在弧DE 间跨过，即圆在∠DO 2E 处自身没有滚动。
在这条折线上，圆实际上滚动的距离是AB 和DE 的距离和，AB 和DE 的距离和等于O 1O 2和O 2O 3的和。
AB 和DE 的距离和为：9.42＋6.28＝15.7（厘米）所以，这个圆滚动的周数为：15.7÷3.14＝5（周）因此，我们可以这样说：圆在折线内侧滚动的圈数，等于圆心的轨迹长度除以圆的周长。
2、在圆内滚动a 、转的圈数例25、一个半径为1厘米的硬币，在一个半径为6厘米的圆中，从一点出发，贴这个圆的内周滚动一圈后回到原出发点，共转动了几圈？【解】：因为半径为1厘米的硬币，是贴着半径为6厘米的圆的内周滚动，所以滚动一周，它的圆心所形成的轨迹也是一个圆，其半径是：6－1＝5（厘米）所以，这个半径为r厘米的硬币，在半径为6r厘米的圆中，贴这个圆的内周滚动一圈转动的周长是：5×2×＝10（厘米）共转动了：10÷2＝5（圈）如果把上图沿出发时的切点处剪开，展开后就犹如例1一样，圆的运动路径就转化成了为沿直线运动。
例26、一个小圆在一个大圆内不停地滚动，大圆的半径是小圆的直径。
小圆滚动一周回到原来的位置时，小圆自己旋转了几周？【解】：设小圆的半径为r，因为大圆的半径是小圆的直径，所以小圆圆心到大圆圆心的距离也为r。
滚动问题中圆的圈数的探讨
滚动问题中圆的圈数的探讨一 问题的提出一位学生向我提出了一个问题；将两枚同样大小的硬币放在桌子上，其中一枚硬币A 固定，而另一枚硬币B 则沿着硬币A 边缘无滑动滚动一圈回到初始位置，这时滚动的硬币B 滚动（）圈。
A.1圈B.1.5圈C.2圈D.2.5圈看完题目，我不加思考的说，圆滚动一圈，选择A 答案。
学生看着我说，有两位老师说答案是2圈，加上你有2位老师说答案是一圈，许多学生认为是一圈。
听了学生的叙述，我有些不知所措，于是对他说，我再仔细的思考思考，然后回答你。
进过很长的一段时间，我突然想起这个问题与一个关于圆滚动的中考题颇为相似，查找资料发现2009年河北省的中考题与学生问的题目有联系。
原题的部分叙述为（1）如图1，⊙O 从⊙O1的位置出发，沿AB 滚动到⊙O2的位置，当AB=c 时，⊙O 恰好自转1圈；（2）如图2，∠ABC 相邻的补角是n °，⊙O 在∠ABC 外部沿A-B-C 滚动，在点B 处，必须由⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置，⊙O 绕点B 旋转的角∠O1BO2=n °，⊙O 在点B 处自转（）圈．看到这个中考题后，我恍然大悟，原来圆在折线上滚动存在一个旋转角的问题，而圆在直线上滚动不存在旋转角。
我把人们非常熟悉的圆在直线上滚动的规律，想当然的运用到物体在圆周上或者曲线上滚动的情形，实际上这两者却有着重大区别。
观察图1，圆在线段AB 上滚动一周，在直线上经过的路程为圆的周长即AB ，也可以认为是O 1O 2的长度,圆在直线上滚动一周，圆自身转动了一圈。
观察图2，当圆滚动到圆O 1的位置时，圆在B 处无滑动的旋转到圆O 2的位置，也就是圆以B 点为圆心，圆的半径旋转过一个角度，即∠O 1BO 2 。
因为O 1B ⊥BD, O 2B ⊥BC,所以∠O 1BO 2=∠DBC 。
因此圆在折线外侧上滚动，在经过折点的过程中，圆心O 从O1的位置自转到O2的位置旋转过的角度等于折线内角的补角（图2中∠ABC 的补角n °）。
小学奥数全国推荐最新五年级奥数通用学案附带练习题解析答案40圆与扇形(二)
年级五年级学科奥数版本通用版课程标题圆与扇形（二）有时竞赛题中会考查一些关于无滑滚动、杠杆原理等物理知识，其中要用到关于圆的计算。
这类题要求我们知道一些简单的物理常识，因此平时就要注意积累。
最后我们举两个关于圆的、设而不求的例子，以提高同学们的思维水平。
无滑滚动硬币在支撑面上滚动，硬币边缘上各点与支撑面接触的瞬时，与支撑面无相对滑动，称硬币做无滑滚动。
这时，硬币边缘在与支撑面接触时，相对于支撑面的速度为0。
一个硬币沿一条直线滚动，并且没有滑动。
此时圆心运动的距离与硬币周长的比值就是硬币滚动的圈数。
硬币沿着曲线型边缘滚动，比如沿着另一个硬币边缘滚动，这种情况下若直接计算硬币自转多少圈容易算错，这时我们可以假定硬币边缘上有一红点，利用这个红点的指向间接判断硬币自转多少圈。
例1直径l厘米的圆沿边长为4.14 厘米的正方形内侧无滑动地滚动l圈(见图)，则圆绕自己的圆心转了______圈。
分析与解：把整个过程分为4段，根据对称性知道，只要计算一段的情况就行了。
在一条边上滚动，是直线上的无滑动滚动。
用滚动距离除以圆周长就是滚动的圈数。
.4(=14÷-，故在一条边上旋转一周。
所以整个过程中圆绕自己的圆心转了4圈。
.3114)1例2半径为1的圆片绕着边长为6、7、8的三角板滚动一周，回到原位置。
圆片扫过的面积多大？分析与解：把扫过的区域分成六块，其中三块是长方形，总面积为42)876(2=++⨯；另外三块是扇形，能拼成半径是2的圆，面积是56.1214.34=⨯，所以圆片扫过的总面积是54.56。
例3 三个相同的硬币，将其中两个紧挨着固定在桌面上。
另外一个紧贴着这两个硬币滚动一周，没有滑动。
问，这个硬币自身转动几圈?分析与解：利用对称性知，只要计算滚动半周，硬币自转的圈数就可以知道了。
假设固定的两个硬币是左右相邻的，在右半周，滚动半周，硬币旋转34圈。
滚动一周，则硬币旋转38圈。
例4 试说明图中阴影部分面积与图中直角三角形面积相同。
硬币的滚动问题
C
a 180
B
2 r 360
探究二 硬币在多边形上滚动
问题：如图， 连接AB，这时这枚半径为r旳硬币沿
⊿ABC旳外侧滚动一周需转 4 圈；
rO
O1
120°
A
2 r 60C°
2 r
B
探究二 硬币在多边形上滚动
问题：将等边三角形改为正方形，则这枚硬币沿正方形旳
外侧滚动一周需转 5 圈.
rO
O1
A
2 r
C O2
2 r
B O3
拓展延伸
问题：如图，将总长为 4 r旳线段AB在中点C处折成60°，
这时这枚半径为r旳硬币从点A到点B需转 圈；
O
r
O1120°
A
2 r 60C°
2 r
B
拓展延伸
思索：若AB长为a，点C为AB上任一点，如图所示，
这时这枚半径为r旳硬币从点A到点B需转 圈；
O r
O1
A
圆周长
硬币转动旳圈数= 2 2r 2 2 r
多边形的周长为2 r
O
O
O
r
r
r
O
O
O
r
r …… r
r
边数n趋向于无穷大时
学以致用
将一枚半径为r旳硬币沿着另一枚半 径为2r旳硬币旳边沿滚动一周，这时滚动
旳硬币滚动了 3 圈
Or
2r O1
2r Or O1
学以致用
将4枚半径为1cm旳硬币放在桌上，固定其中三枚，
2 r
B
O2
2 r
2 r
D
2 r C
探究二 硬币在多边形上滚动
问题：如图，将等边三角形改为任意三角形，且该三
《圆——圆的周长》数学教学PPT课件(4篇)
探究新知
探究三： 找3个大小不同的圆片，分别测量出周长和直径，做一 做，填一填。
观察上表，你能发现圆的周长与直径有什么关系吗？ 圆的周长总是直径的3倍多一些。
探究新知
探究三： 找3个大小不同的圆片，分别测量出周长和直径，做一 做，填一填。
观察上表，你能发现圆的周长与直径有什么关系吗？ 实际上，圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们把它叫 作圆周率，用字母π表示，计算时通常取3.14。
2 判断题。（打“√”）
1、通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做直
径。 ( √ ) 2、圆的直径等于半径的2倍。（×）
3、圆的所有半径都相等，所有的直径也相等。
(√ )
4、两端在圆上的线段,直径最长。（ √ ）
5、两个圆的周长相等，这两个圆的直径也一定
相等。 ( √ ) 6、大圆的圆周率大，小圆的圆周率小。( × )
六年级上册
圆的周长
情境导入 人们很早就发现，轮子越大，滚一圈就越远。
你有什么发现？
车轮滚动一圈的长度就是它的周长。
本节目标
1、在观察、操作、测量等活动中，经历探索圆周率以及总结圆周长公式 的过程。 2、认识圆周率，理解并掌握圆的周长公式，能运用周长公式正确进行计 算。 3、体验数学与日常生活的密切联系，了解圆周率的探索历史，激发民族 自豪感。
随堂检测
1、画一个直径为10cm的圆。 （1）想一想，怎样得到它的周长？ （2）把圆剪下来，量一量。 （3）多量几次，算出测量结果的平均数。
随堂检测
2、看图思考下面的问题，然后填空。
正方形的周长是圆的直径的（4 ）倍，所以一定小于（ 4 ）。
随堂检测
3、妙想要为半径是3cm的圆形小镜子围一圈丝带，她现在有18cm长的丝 带，估一估，够吗？
园无滑动滚动(11)
滚动的圆研究报告有两个半径相同的圆，一个为定圆，一个为动圆，动圆与定圆相切且沿着定圆的外周作无滑动的滚动。
问：动圆从出发位置沿定圆滚动一周后，动圆自身转了几周？解：设两圆的半径为r。
关键是看转动半径，因为两圆外切，则转动半径为2r，所以动圆滚动的路程是以2r为半径的圆的周长，即4πr。
因为动圆的周长为2πr，所以动圆从出发位置沿定圆滚动一周后，动圆自身转了4πr/2πr=2周。
下面对此题进行推广：若两圆的半径不相等，设大圆半径为R，小圆半径为r，小圆绕大圆做无滑动的滚动。
问：小圆从出发位置沿大圆滚动一周后，小圆自转了几周？解：1 若沿外周滚动，即大圆与小圆外切，则转动半径为R+r，所以动圆滚动的路程是以R+r为半径的圆的周长，即2π（R+r）。
因为动圆的周长为2πr，所以动圆从出发位置沿定圆滚动一周后，动圆自身转了2π（R+r）/2πr=1+(R/r)周。
2 若沿内周滚动，即大圆与小圆内切，则转动半径为R-r，所以动圆滚动的路程是以R-r为半径的圆的周长，即2π（R-r）。
因为动圆的周长为2πr，所以动圆从出发位置沿定圆滚动一周后，动圆自身转了2π（R-r）/2πr=(R/r)-1周。
令大圆的周长为C1，小圆的周长为C2，则若小圆沿外周滚动，转动的圈数为(C1/C2)+1。
若沿内周滚动，转动的圈数为(C1/C2)-1由此我们可以得到：若一圆绕另一定圆做无滑动滚动，从出发位置沿定圆滚动一周后，自转的圈数为：若动圆沿定圆的外周滚动，即两圆外切，转动的圈数=(定圆的周长/动圆的周长)+1若动圆沿定圆的内周滚动，即两圆内切，转动的圈数=(定圆的周长/动圆的周长)-1根据这一结论继续进行推广，若一圆围绕一正n边形做无滑动滚动，那么动圆从出发位置沿定正n边形滚动一周后，动圆自身转了几周？若沿正n边形外周滚动，转动的圈数=(正n边形的周长/圆的周长)+1若沿正n边形内周滚动，转动的圈数=(正n边形的周长/圆的周长)-1对此再进一步思考，若一圆沿两个，三个，……n个圆做无滑动滚动，那么动圆从出发位置沿这些定圆滚动一周后，自转的圈数是多少？。
如何求圆的滚动圈数
、
圆滚 动 的数 量 关 系
：
原 型 １ 如 图 １ 把 ｏ 在 一 条 长 度 等 于 其 周 长 的 线 段 上 ， ， ０放 从
一
个 端 点 无 滑 动 地 滚
圈．
动 到 另 一 端 点 ， ０将 ｏ 转 动
分 析 ： 图 １ 圆 滚 如 ， 动 一 周 ， 直 线 上 经 过 在
转的 数 ： ． 函 为 ４
Ｚ １Ｔ ｒ
变 式 ４ 在 变 式 ３ ，如 将 正 三 角 中
图 ４
形 改 为 正 ｎ 形 （ 长 不 变 ） 则 圆０又 将 滚 动 几 圈 ？ 边 边 ，
分 析 ： ０由起 点 开 始 运 动 ， 回 到 起 点 ， 心 ０经 过 的路 程 为 圆 再 圆
２ ＴＸ３ ：６ ． ｏ 的 周 长 为 ２ Ｔ １ ｒ ｒ 而 １ｒ 圆Ａ转 动 的 圈 数 ： 变 式 ２ 在 变 式 １ ， 两 圆 内 切 中 将 改 为 外 切 ， 图 ３ 圆Ａ又 会 滚 动 几 圈 ？ 如 ，
分 析 ： 两 圆 外 切 ， Ａ＝４ ＋ｒ 因 Ｏ ｒ ＝
的 路 程 为 圆 的 周 长
Ａ 曰
图 １
２ ， 耵ｒ 即ＡＢ＝２Ｔ， 圆心 经 过 的 路 程 Ｏ ＝２ ， 在 直 线 上 滚 动 叮 则 ｒ ０ 霄ｒ 圆
一
圈 ， 圆 自身 转 动 了一 圈 ． 即
圆 在 直 线 上 滚 动 的规 律 ：
圆动圈： 转的数堕喾
二 、 识 拓 展 与 应 用 知
（ １ ×２ｒ ， 以 圆转 的 圈 数 为 凡＋ ） 所 ａｒ
＿ ×
Ｚ １ Ｔｒ
在 圆 的 滚 动 过 程 中 ，其 本 质 是 圆通 过 自身
圆的周长教案(优秀7篇)
圆的周长教案（优秀7篇）圆的周长教案篇一教学目标：1、通过猜测、测量、观察、分析及动手操作等数学活动，使学生经历圆周长公式的推导过程，理解圆周率的意义。
2、使学生理解和掌握圆周长公式，并能运用公式解决现实生活中的问题，培养学生的应用意识。
3、通过对圆周率有关数学史料的介绍，结合学生对其中数字的感知，使学生体验到数学家对真理的锲而不舍的追求精神和严谨的科学态度，以及中国古代科技的兴盛。
4、通过合作探究，使学生体验到实验对猜测的验证作用以及对问题的探索过程，并掌握学习方法，感受“转化”的数学思想。
教学重点：经历探索圆周长公式的过程教学难点：理解圆周率的意义教学用具：多媒体课件学习用具：圆形学具、直尺、计算器、记录单教学过程：一、情境导入（课件：圆形喷水池图片）师导语：同学们，你们看，这是一个圆形喷水池。
设计师想在喷水池最外圈每间隔0.5米安装一盏地面灯。
现在，设计师急切地想知道至少要准备多少盏地面灯就够用了。
谁愿意帮助设计师解决这个问题？师追问：喷水池外圈一圈的长度叫什么？（圆的周长又如何计算呢？）引出课题：看来，咱们要想帮助设计师，就要先学习“圆的周长”了。
（板书课题：圆的周长）二、探究新知1、引出定义：赶快拿出你手中的圆形纸片，指着它说说什么是圆的周长？同桌交流。
（指名回答，教师板书：围成圆的曲线的长）2、猜想：你能猜猜圆的周长可能与圆的哪部分有关系吗？会有什么样的关系呢？说说你为什么这样猜？（随着回答板书：圆的周长直径）师导语：同学非常勇敢，积极大胆地进行了猜测，这是我们成功的第一步。
但这仅仅是猜测，还不能确定为准确的结论，需要我们做个试验探索，验证一下大家的想法。
3、指导学习方法：那好，看学习要求。
（课件）（指名读）师提问：学习要求中提示我们要怎么做？（测量、填记录单、计算、找倍数）交流测量方法：你准备用什么方法测量圆的周长，快跟大家说一说。
滚动法：在尺子上滚动圆，注意在圆上做个标记，正好滚动一周到标记的那一点就能测量出圆的周长了。
趣谈中考中的一类滚动问题
图 ６
Ｄ Ｅ ＋ ＦＧ ＋ Ｓ Ｔ
小圆的周长
’
．
即 — Ｂ ＋ ＡＣ Ａ 砸 ＢＣ＋＿ Ｉ Ｉ Ｉ ＩＩ Ｉ 分析： 该题 中圆Ａ在滚 动过程 中， 不断被压 缩行程， 在整个运动过程 中整整被压缩 了一圈，
故滚动的圈数是 ３ 圈． 这些结论有什么共性？如何来理解呢？ 它也可以推 广为在 佗 边形 内部作的滚动， 相
问题一 如 图３ 一硬 币在 直线上滚动， ， 滚动
一
周小硬币前进— — （为硬币 ｒ 半径） ．
同类题 （ ０ 年兰州市中考题） ２ ４ ０ 如图６ 圆 ， 的半径为 ７ 圆（的半径 为 ４， ＇ ＝ ， ） ７ 圆 从 圆（内 ＇ ＝ ） 所示的位置出发绕 圆（作无滑动的滚动， ＝ ） 要使圆
应的公 式为尘
这个多边形就变成 了圆．
．
当 ｎ增大到无 限大、多边形为正多边形时，
例 １ 如图７一个等边三角形的边长同与它 ， 的边相切的一个圆的周长相等， 且这个 圆在等边 三角形 的外部， 当这个圆按箭 头方 向从一个位置 沿等边三角形的三边作无滑动的滚动， 直至 回到 原出发的位置 时， 这个 圆转 了几 圈？
长．
分析 ： 币 在硬 币Ｊ的外围无滑动的滚动 硬 Ｅ ｝ 过程中也有被带过的部分， 被带过 的部分总共为 周， 故硬 币 自转 了 ２ 圈． 问题三 如图５ 两个半径不等的硬币 、Ｂ ，
一
（ 硬币Ｂ的半径为硬币 的２ ， 倍）当硬 币 在硬 币Ｂ的外围无滑动的滚动一周后 ， 出发点时， 回到 硬币 自转了多少 圈？
了．
图７
般地， 当小圆在大圆弧内运动时（ 如图９， ） 若大圆圆弧所对的圆心角度数为 时， 小圆自转
关于圆的周长教案9篇
关于圆的周长教案9篇圆的周长教案篇1教材分析：这局部内容是在学生认识了圆周长的概念和圆的根本特征的根底上，引导学生从已有的生活经验出发，以小组合作的方式，通过实验探究圆的周长与直径的关系，自学自知圆周率，从而总结探究出求圆的周长的公式。
另一方面提高学生运用公式解决实际问题的能力，体会数学与现实生活的密切联系。
教学目标：1．让学生经历圆周率的探索过程，理解圆周率的意义，掌握圆周长的公式，能运用圆周长公式解决一些简单的实际问题。
2．培养学生的观察、比拟、分析、综合及动手操作能力，开展学生的空间观念。
3．让学生理解圆周率的含义，熟记圆周率的近似值，结合圆周率的教学，感受数学文化，激发爱国热情。
教学重点：通过多种数学活动推导圆的周长公式，能正确计算圆的周长。
教学难点：圆的周长与直径关系的探讨。
教学准备：多媒体课件、线、尺、塑胶板上剪下的直径大小不一的圆、实验报告单、计算器等。
教学过程：一、把准认知冲突，激发学习愿望。
1.谈话：同学们，知道大家都喜欢看《喜羊羊和灰太狼》的动画片，今天，老师把它俩带到了我们的课堂。
听：〔课件播放故事：在一个天气晴朗的日子里，喜羊羊和灰太狼举行跑步比赛，喜羊羊沿正方形路线跑，灰太狼沿圆形路线跑，一圈过后，它们又同时回到了起点。
此时，它俩正为谁走的路程长而争论不休。
同学们，你们认为呢？〕〔学生进行猜测〕2.要想确定它俩究竟谁跑的路程长，可怎么做？〔生：先求出正方形和圆形的周长，再进行比拟。
〕3.指名一生说说正方形的周长计算方法：〔生：边长某4=周长〕今天这节课，我们一起来研究圆的周长。
〔揭示课题：圆的周长〕二、经历探究全程，验证猜测发现。
〔一〕认识圆周长的含义并初步感知圆周长与直径之间的关系。
1.谈话：那什么是圆的周长呢？〔课件出示3个车轮〕2.师：上面的3个数据是表示什么的？〔生：圆的直径〕“英寸〞是什么意思？〔学生看书答复〕3.将3个车轮各滚动一圈，猜一猜，谁滚动的路程最长？从中你们有什么发现？〔生：车轮滚动一周的长度是车轮的周长；直径越长，周长越长，直径越短，周长越短〕〔二〕交流测量圆周长的方法1.学生拿出课前剪的圆，互相指一指它们的周长。
课题图形的滚动
课题:图形的滚动执教：射阳二中 胡仁界教学目标:经历对图形滚动类问题的探究过程，寻求解决滚动类数学问题的途径，培养学生用动态思维去分析问题和解决问题的能力，感受数学知识的趣味，体验到数学的魅力。
教学过程：一. 导入二. 探究活动一:圆的滚动1. 课前小实验:两枚如图同样大的硬币，其中一个固定，另一个沿其周围滚动。
滚动时两枚硬币总保持有一点相接触（外切），当滚动的硬币沿固定的硬币作无滑动滚动一圈回到原来的位置时，滚动的那个硬币自转了几周?2. 探讨:车轮的滚动在平地上,自行车车轮(设半径为R)滚动一周,前进了多少路程?由此你发现了什么规律？[即学即用]小明从家到学校的路程为1km,他骑的自行车的半径为30cm,那么,小明从家里骑车到学校,车轮大约转了多少圈?(π取3.14,精确到1圈.)3.你能说出硬币转动周数的计算方法吗?4.拓展:(1)有两个大小不等的圆,定圆⊙O 的半径为6cm,动圆⊙P 的半径为2cm,若⊙P 紧贴⊙O 外侧滚动一周,则 ⊙P 自转了多少圈?(2)若(1)中的⊙P 紧贴⊙O 内侧滚动一周,则 ⊙P 自转了多少圈?方法小结:如何计算滚动的圆自转的圈数?5.中考链接:[例1]将半径为2cm 的圆形纸板,沿着边长分别为16cm 和12cm 的矩形的外侧滚动一周并回到开始的位置,圆心所经过的路线长度是多少?.O .P ..变化:如果圆开纸板贴着矩形内侧滚动一周并回到开始的位置,圆心所经过的路线长度是多少?[例2]一位小朋友在粗糙不打滑的“Z ”形平面轨道上滚动一个半径为10cm 的圆盘，如图所示，AB 与CD 是水平的，BC 与水平面的夹角为60°，其中，AB=60cm,CD=40cm,BC=40cm,请你画出圆盘从A 点滚动到D 点其圆心所经过的路线的示意图，并求出此路线的长度。
三.探究活动二：多边形的滚动[例3]如图，把直角三角形ABC 的斜边AB 放在直线l 上，按顺时针方向在l 上转动两次，使它转到△A 2B 2C 2的位置上，设BC ＝1，AC，则顶点A 运动到A 2的位置时，点A 经过的路线有多长？点A 经过的路线与直线l 所围成的图形的面积有多大？[例4] 如图,小正六边形沿着大正六边形的边,按顺时针方向滚动.小正六边形的边长是大正六边形边长的一半,如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置,在这个过程中线段OA 围绕着点O 旋转了多少度?四.课堂小结五.作业.A604040BA C DO A A B B C CA A .O O.《滚动的图形》探究练习班级_____学号______姓名________1. 如图一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（ ）圈.2.一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B 点从开始至结束走过的路径长度是____________。
圆的基本性质压轴卷
《圆的基本性质》压轴同步卷一．选择题（共10小题）1．如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是（）A．4B．5C．6D．10【答案】C【解答】解：因为五边形的各边长都和小圆的周长相等，所以小圆在每一边上滚动正好一周，在五条边上共滚动了5周．由于每次小圆从五边形的一边滚动到另一边时，都会翻转72°，所以小圆在五个角处共滚动一周．因此，总共是滚动了6周．故选：C．2．如图，⊙O的半径OA＝6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC＝（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：设OA与BC相交于D点．∵AB＝OA＝OB＝6∴△OAB是等边三角形．又根据垂径定理可得，OA平分BC，利用勾股定理可得BD＝＝3所以BC＝6．故选：A．3．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为（）A．6.5米B．9米C．13米D．15米【答案】A【解答】解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O 连接OA．根据垂径定理，得AD＝6设圆的半径是r，根据勾股定理，得r2＝36+（r﹣4）2，解得r＝6.5故选：A．4．如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果+＝，那么AB+CD 与EF的大小关系是（）A．AB+CD＝EF B．AB+CD＜EFC．AB+CD＞EF D．大小关系不确定【答案】C【解答】解：如图，在弧EF上取一点M使弧EM＝弧CD，则弧FM＝弧AB，∴AB＝FM，CD＝EM，在△MEF中，FM+EM＞EF，∴AB+CD＞EF．故选：C．5．如图，半圆的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，把AC沿直线AD对折恰好与AB重合，则AD的长为（）A．4cm B．3cm C．5cm D．8cm【答案】A【解答】解：设圆的圆心是O，连接OD，AD，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F．根据题意知，∠CAD＝∠BAD，∴＝，∴点D是弧BC的中点．∴∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD，∴△AOF≌△OED，∴OE＝AF＝3cm，∴DE＝4cm，∴AD＝＝4cm．故选：A．6．将图形绕中心旋转180°后的图形是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：将图形绕中心旋转180°，即旋转后的图形与原图形中心对称．故选：B．7．在图中，将左边方格纸中的图形绕O点顺时针旋转90°得到的图形是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：根据旋转的性质可知，绕O点顺时针旋转90°得到的图形是．故选：B．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8，点D为AB的中点，若直角MDN 绕点D旋转，分别交AC于点E，交BC于点F，则下列说法正确的有（）①AE＝CF；②EC+CF＝；③DE＝DF；④若△ECF的面积确定，则EF的长也是一个定值．A．①②B．①③C．①②③D．①②③④【答案】D【解答】解：①连接CD．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D为AB的中点，∴CD⊥AB，CD＝AD＝DB，在△ADE与△CDF中，∠A＝∠DCF＝45°，AD＝CD，∠ADE＝∠CDF，∴△ADE≌△CDF，∴AE＝CF．说法正确；②∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8，∴AC＝BC＝4．由①知AE＝CF，∴EC+CF＝EC+AE＝AC＝4．说法正确；③由①知△ADE≌△CDF，∴DE＝DF．说法正确；④∵△ECF的面积＝×CE×CF，如果面积确定，则CE•CF是一个定值，又∵EC+CF＝，∴可唯一确定EC与CF的值，再由勾股定理知EF的长也是一个定值，说法正确．故选：D．9．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角形的斜边上，AC与DM，DN分别交于点E，F，把△DEF绕点D旋转到一定位置，使得DE＝DF，则∠BDN的度数是（）A．105°B．115°C．120°D．135°【答案】C【解答】解：∵DE＝DF，∠EDF＝30°，∴∠DFC＝（180°﹣∠EDF）＝75°，∵∠C＝45°，∴∠BDN＝∠DFC+∠C＝75°+45°＝120°，故选：C．10．如图，该图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（）A．72°B．108°C．144°D．216°【答案】B【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而A、C、D都正确，不能与其自身重合的是B．故选：B．二．填空题（共5小题）11．如图，平面直角坐标系xOy中，M点的坐标为（3，0），⊙M的半径为2，过M点的直线与⊙M的交点分别为A，B，则△AOB的面积的最大值为6，此时A，B两点所在直线与x轴的夹角等于90°．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AB为⊙M的直径，∴AB＝4，当O点到AB的距离最大时，△AOB的面积的最大值，即AB⊥x轴于M点，而O点到AB的距离最大为OM的长，∴△AOB的面积的最大值＝×4×3＝6，∠AMO＝90°，即此时A，B两点所在直线与x轴的夹角等于90°．故答案为6，90．12．如图，AB为⊙O的直径，其长度为2cm，点C为半圆弧的中点，若⊙O的另一条弦AD 长等于，∠CAD的度数为15°或75°．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据直径所对的圆周角是直角，得Rt△ABC和Rt△ABD，根据锐角三角函数，求得∠BAC＝45°，∠BAD＝30°，①当AC和AD在直径AB的同侧时，∠CAD＝45°﹣30°＝15°；②当AC和AD在直径AB的两侧时，∠CAD＝45°+30°＝75°．因此，∠CAD的度数为15°或75°．13．如图所示，一根水平放置的圆柱形输水管道横截面，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是1米．【答案】见试题解答内容【解答】解：设⊙O的半径是R，过点O作OD⊥AB于点D，交⊙O于点C，连接OA，∵AB＝0.8m，OD⊥AB，∴AD＝＝0.4m，∵CD＝0.2m，∴OD＝R﹣CD＝R﹣0.2，在Rt△OAD中，OD2+AD2＝OA2，即（R﹣0.2）2+0.42＝R2，解得R＝0.5m．∴2R＝2×0.5＝1米．故答案为：1米．14．如图所示，在正方形网格中，图①经过平移变换可以得到图②；图③是由图②经过旋转变换得到的，其旋转中心是点A（填“A”或“B”或“C”）．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意：观察可得：图①与图②对应点位置不变，通过平移可以得到；根据旋转中心的确定方法，两组对应点连线的垂直平分线的交点，可确定图②经过旋转变换得到图③的旋转中心是A．故答案为：平移，A．15．如图，在Rt△ABC中，已知：∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝3cm，以斜边AB的中点P 为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为cm2．【答案】见试题解答内容【解答】解：设A′B′交BC于D，在直角△DPB中，BP＝AP＝AC＝3，∵∠A＝60°设PD＝x，则BD＝2x，∵DP2+BP2＝BD2，∴x2+32＝（2x）2，∴DP＝x＝，∵B′P＝BP，∠B＝∠B′，∠B′PH＝∠BPD＝90°，∴△B′PH≌△BPD，∴PH＝PD＝，∵在直角△BGH中，BH＝3+，∴GH＝，BG＝，∴S△BGH＝××＝，S△BDP＝×3×＝，∴S DGHP＝＝cm2．三．解答题（共5小题）16．如图，AB是⊙O的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB＝a，那么⊙O的周长l＝πa．计算：（1）把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长；（2）把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长l3＝l；（3）把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长l4＝l；（4）把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长l n＝l．结论：把大圆的直径分成n条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是大圆周长的．请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系．【答案】见试题解答内容【解答】解：（2）l；（3）l；（4）l；；每个小圆面积＝π（•a）2＝•，而大圆的面积＝π（•a）2＝πa2即每个小圆的面积是大圆的面积的．17．已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．（1）如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证：AC⊥BD；（2）如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵∠ADC＝∠BCD＝90°，∴AC、BD是⊙O的直径，∴∠DAB＝∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∵AD＝CD，∴四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD；（2）连结DO，延长交圆O于F，连结CF、BF．∵DF是直径，∴∠DCF＝∠DBF＝90°，∴FB⊥DB，又∵AC⊥BD，∴BF∥AC，∠BDC+∠ACD＝90°，∵∠FCA+∠ACD＝90°∴∠BDC＝∠FCA＝∠BAC∴等腰梯形ACFB∴CF＝AB．根据勾股定理，得CF2+DC2＝AB2+DC2＝DF2＝20，∴DF＝，∴OD＝，即⊙O的半径为．18．一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过厂门（厂门上方为半圆形拱门）？说明你的理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：这辆卡车能通过厂门．理由如下：如图M，N为卡车的宽度，过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E 为垂足，则CD＝MN＝1.6m，AB＝2m，由作法得，CE＝DE＝0.8m，又∵OC＝OA＝1m，在Rt△OCE中，OE＝＝＝0.6（m），∴CM＝2.3+0.6＝2.9m＞2.5m．所以这辆卡车能通过厂门．19．阅读下列材料：问题：如图1，在正方形ABCD内有一点P，P A＝，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度数．小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A（如图2），然后连接PP′．请你参考小明同学的思路，解决下列问题：（1）图2中∠BPC的度数为135°；（2）如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且P A＝，PB＝4，PC＝2，则∠BPC的度数为120°，正六边形ABCDEF的边长为2．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图2．∵△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A，∴∠P′BP＝90°，BP′＝BP＝，P′A＝PC＝1，∠BP′A＝∠BPC，∴△BPP′为等腰直角三角形，∴PP′＝PB＝2，∠BP′P＝45°，在△APP′中，AP＝，PP′＝2，AP′＝1，∵（）2＝22+12，∴AP2＝PP′2+AP′2，∴△APP′为直角三角形，且∠AP′P＝90°∴∠BP′A＝45°+90°＝135°，∴∠BPC＝∠BP′A＝135°；（2）如图3．∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠ABC＝120°，把△BPC绕点B逆时针旋转120°，得到了△BP′A，∴∠P′BP＝120°，BP′＝BP＝4，P′A＝PC＝2，∠BP′A＝∠BPC，∴∠BP′P＝∠BPP′＝30°，过B作BH⊥PP′于H，∵BP′＝BP，∴P′H＝PH，在Rt△BP′H中，∠BP′H＝30°，BP′＝4，∴BH＝BP′＝2，P′H＝BH＝2，∴P′P＝2P′H＝4，在△APP′中，AP＝2，PP′＝4，AP′＝2，∵（2）2＝（4）2+22，∴AP2＝PP′2+AP′2，∴△APP′为直角三角形，且∠AP′P＝90°，∴∠BP′A＝30°+90°＝120°，∴∠BPC＝120°，过A作AG⊥BP′于G点，∴∠AP′G＝60°，在Rt△AGP′中，AP′＝2，∠GAP′＝30°，∴GP′＝AP′＝1，AG＝GP′＝，在Rt△AGB中，GB＝GP′+P′B＝1+4＝5，AB＝＝＝2，即正六边形ABCDEF的边长为2．故答案为135°；120°，．20．在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合（如图），所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90度．（1）判断下列命题的真假（在相应的括号内填上“真”或“假”）．①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180度．（假）②矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°．（真）（2）填空：下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的是①，③（写出所有正确结论的序号）：①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形．（3）写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为72°，并且分别满足下列条件：①是轴对称图形，但不是中心对称图形：如正五边形、正十五边形；②既是轴对称图形，又是中心对称图形：如正十边形、正二十边形．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）等腰梯形必须旋转360°才能与自身重合；矩形旋转180°可以与自身重合．①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180度．（假）②矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°．（真）（2）①只要旋转120°的倍数即可；②只要旋转90°的倍数即可；③只要旋转60°的倍数即可；④只要旋转45°的倍数即可．故是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的是①、③．（3）360°÷72°＝5．①是轴对称图形，但不是中心对称图形：如正五边形，正十五边形；②既是轴对称图形，又是中心对称图形：如正十边形，正二十边形．。
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滚动问题中圆的圈数的探讨
一 问题的提出
一位学生向我提出了一个问题；将两枚同样大小的硬币放在桌子上，其中一枚硬币A 固定，而另一枚硬币B 则沿着硬币A 边缘无滑动滚动一圈回到初始位置，这时滚动的硬币B 滚动（）圈。
A.1圈
B.1.5圈
C.2圈
D.2.5圈
看完题目，我不加思考的说，圆滚动一圈，选择A 答案。
学生看着我说，有两位老师说答案是2圈，加上你有2位老
师说答案是一圈，许多学生认为是一圈。
听了学生的叙述，
我有些不知所措，于是对他说，我再仔细的思考思考，然后回答你。
进过很长的一段时间，我突然想起这个问题与一个关于
圆滚动的中考题颇为相似，查找资料发现2009年河北省的中
考题与学生问的题目有联系。
原题的部分叙述为（1）如图1，
⊙O 从⊙O1的位置出发，沿AB 滚动到⊙O2的位置，当AB=c 时，⊙O 恰好自转1圈；（2）如图2，∠ABC 相邻的补角是n °，⊙O 在∠ABC 外部沿A-B-C 滚动，在点B 处，必须由⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置，⊙O 绕点B 旋转的角
∠O1BO2=n °，⊙O 在点B 处自转（）圈．
看到这个中考题后，我恍然大悟，原来圆在折线上
滚动存在一个旋转角的问题，而圆在直线上滚动不存在
旋转角。
我把人们非常熟悉的圆在直线上滚动的规律，
想当然的运用到物体在圆周上或者曲线上滚动的情形，
实际上这两者却有着重大区别。
观察图1，圆在线段AB 上滚动一周，在直线上经过
的路程为圆的周长即AB ，也可以认为是O 1O 2的长度,圆
在直线上滚动一周，圆自身转动了一圈。
观察图2，当圆滚动到圆O 1的位置时，圆在B 处无滑动的旋转到圆O 2的位置，也就是圆以B 点为圆心，圆的半径旋转过一个角度，即∠O 1BO 2 。
因为O 1B ⊥BD, O 2B ⊥BC,所以∠O 1BO 2=∠DBC 。
因此圆在折线外侧上滚动，在经过折点的过程中，圆心O 从O1的位置自转到O2的位置旋转过的角度等于折线内角的补角（图2中∠ABC 的补角n °）。
实际上圆在折线上运动经过折点时自转n/360圈。
现在以一个容易理解的题目来理解圆在折线上滚动的问题。
例1：一个正方形的边长和与它相切的一个圆周长相
等，将此圆从某一位置沿此正方形的各边做无滑动旋转，
直至回到原来的位置，则这个圆旋转的圈数为多少？
圆从圆O1的位置旋转到O2的位置，恰好旋转过的角度是90°，也就是∠DCB 的补角的度数。
在顶点C 处，圆
旋转了90°/360°=1/4圈,在顶点B 处，圆旋转了1/4圈,
在顶点A 处，圆旋转了1/4圈, 在顶点D 处，圆旋转了1/4
圈。
在4个顶点处共旋转过了1圈，在四条边上共滚动了4圈，所以圆一共滚动5圈。
通过上面的分析，我们可以发现在每一个顶点处旋转过的角度都是折线内角的补角n ，所有补角的和就是多边形的外角和360°因为每一个顶点处自转n/360圈，在所有折点处一B A O2O1B A D C
共自转360/360=1圈。
因此这种类型的题目的答案是（多边形的周长÷圆的周长+1）圈。
通过观察，我认识到在圆的滚动问题中，圆的滚动其实是一种复合运动：一是圆沿另一个几何图形的滚动（指的是圆周上的点与几何体上的点逐一接触时圆的旋转前进滚动）。
一是滚动圆本身的旋转（指的是动圆绕某一定点，圆心旋转过一定的角度的运动）；因此解决圆的滚动问题就要分情况把其分解为直线上的滚动和折点处绕顶点的旋转。
圆在多边形的外侧滚动，可以分解成圆在多边形边上的滚动和在多边形折点上的旋转，滚动和旋转不是同时发生的；动圆在定圆的外侧滚动是一种复合运动，滚动和旋转是同时发生的。
回到文章的引言的问题，圆可以认为是正多边形的极限，外角和也是360°，圆在滚动过程中自身旋转了1圈，圆B 沿着圆A 的周长滚动了1圈，所以硬币B 共滚动2圈，当然我们要认识到这两种运动是同时发生的，只不过在分析问题时把它们分开。
二 问题的拓展
通过上面分析，我们发现一个有趣的事实：圆在折线的外侧和多边形的外侧无滑动滚动时，圆心的轨迹的长度除以圆的周长恰好是圆滚动的圈数。
以上的例子都可以证明这个事实。
以上文中例1为例，在每一个顶点处，动圆的圆心的轨迹恰好是自身的1/4，因此圆心轨迹的长度除以圆的周长，正是圆在折点处旋转的圈数。
那么一个小圆在一个大圆的内侧无滑动滚动，滚动的圈数是否还遵循同样的规律呢？
如图圆在折线内部部滚动，圆从切点A 沿A —B —C 滚动到C ，滚动的方向是顺时针方向，但是圆在弧DE 间跨过，而自身没有滚动，即圆在∠DO 2E 处没有滚动。
在这条折线上，圆实际上滚动的距离是AD 和EC 的距离和，AD 和EC 的距离和等于O 1O 2和O 2O 3的和。
圆在折线内部部滚动可以分解成上文中图1的
情形，因此，圆从切点A 沿A —B —C 滚动到C ，
圆滚动的圈数=（AD+EC ）÷圆的周长=
（O 1O 2+O 2O 3）÷圆的周长，即圆心的轨迹长
度除以圆的周长恰好是圆滚动的圈数。
因此可
以证明，圆心的轨迹的长度除以圆的周长恰好
是圆滚动的圈数是同样成立的。
例2：两个半径之比为2：1的圆，大圆固定不动，小圆绕其内边缘滚动(无滑动)，当小圆滚动到原来位置(第一次重合)时，小圆滚动
的圈数是（ ）。
A.1
B.2
C.3
D.4 圆可以认为是正多边形的极限，因此只要求
出小圆在大圆内部形成的轨迹的长度，问题就容
易解决。
根据题意，大圆与小圆半径之比是2：1，
小圆的轨迹是以大圆的圆心为圆心，小圆半径为半径形成的圆。
所以2πr ÷2πr=1。
小圆滚动的
圈数是1圈。
例3 如图4，半径为2的⊙O 从半径为18，圆心角为120°的弧的一个端点A （切点）开始
D C
P 图4
先在外侧滚动到另一个端点B（切点），再旋转到内侧继续滚动，最后转回到初始位置，⊙O自转多少周？请说明理由．
观察图形分析题意，我们知道小圆圆心的轨迹是由4条弧线构成。
第一条弧线是以P 为圆心，半径为20圆心角为120°的弧线，第二条弧线是以P为圆心，半径为16圆心角为120°的弧线，另外两条弧线分别是以A、B为圆心，半径2圆心角180°的两条弧线，正好形成一个半径为2的圆。
所以⊙O滚动的圈数为=（2π·20·120/360+2π·16·120/360+2π·2）÷(2π·2)=7圈
三问题的结论
通过以上的分析，我们可以总结出，圆在几何图形（直线，折线，多边形，弧线、圆的外侧或者内侧）上无滑动滚动时，圆心的轨迹的长度除以圆的周长等于圆滚动的圈数。
本文由圆在圆上滚动问题，通过分解成圆在直线上滚动，圆在折线上滚动，圆在多边形上滚动，圆在圆上滚动，圆在圆的内侧滚动的探讨，从而揭示了这类问题的内在联系和这类问题的本质规律。