浙江省普通高中课程数学必修一指数函数及性质1

二、新 课
例1、求下列函数的定义域： 、求下列函数的定义域：
①、 ③、
y=2
x −1
2
②、
f ( x) = 1 − a x
x∈R
②
, (a > 0, a ≠ 1)
1 y= 3
3− x
解、 ① ③
由 3 − x ≥ 0，得 x ≤ 3
由 1-a x ≥ 0，得 a x ≤ 1 即 a x ≤ a 0 当 a > 1时，x ≤ 0；当 0 < a < 1时，x ≥ 0
①若a=1, 则对于任何 x ∈ R, a x = 1 是一个常量，没有研究的必要性. ②若 a=0，则当x＞0时，ax=0 当x≤0时，ax无意义 ③若a＜0,则对于x的某些数值,可使ax无 意义 为了避免上述各种情况，所以
规定 a>0且 a≠1.
练习1 练习1：
(1) y = ( −2 )
x x
1 函数y=2 函数y=2 和 y = 2 。
x
x
的图象。
y=
2x
x -1
0
1
2
3 8 1 0.5
1 x y＝( ) 2
y 0.5 1 x -3 -2 y 8 4
y ＝ ( )x
8 7 6 5 4 3 2 1
2 4 -1 0 2 1
y
1 2
y＝ 2x ＝
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x
判断下列函数中哪些是指数函数？ 判断下列函数中哪些是指数函数？
× × ×
(4) y = 10 (5) y = 2 (6)y (6) y = π
−x
√ ×
(2) y = 2 + 1 (3) y = 3i 4
x
x +1 2x
√
指数函数y=ax(a>0，且a≠1) 指数函数 ，
2.指数函数的图象和性质 指数函数的图象和性质 用描点法画出指数
x
a>1 指数函数 y=ax (a>0, a≠1） 且a≠1）的 图象和性质： 图象和性质： 图 象
(1)定义域 定义域: 定义域 (2)值域 值域: 值域 (3)定点 定点: 定点
y （0，1） O
0<a<1
y
y=1
x
y=1
O
（0，1） x
R (0,+∞） ） (0,1)
在R上是增函数 上是增函数
>1 (x>0)
性 质
(4)单调性 单调性: 单调性
在R上是减函数 上是减函数
<1 (x>0)
(5) 函数 值的 分布 情况
ax
=1 (x=0) <1 (x<0)
ax
=1 (x=0) >1 (x<0)
◆方法指导:利用函数图像研究函数性质是一种直观而 方法指导
形象的方法，记忆指数函数性质时可以联想它的图像； 形象的方法，记忆指数函数性质时可以联想它的图像；
x
，
f ( x) = π 3
0 3
所以f 0) π = 1, f (1) = π , f (−3) = π ( =
π 思考：确定一个指数函数需要几个条件？ 思考：确定一个指数函数需要几个条件？
1 3
−3 3
=π
−1
=
1
二、新 课
例3、比较下列各组数的大小： 、比较下列各组数的大小：
2.5 3
3 4 ①、 1.7 ,1.7 ②、 , 4 3 1 1 ③、 3 和a 2，（a > 0, a ≠ 1) a 1.7 0.3 , 0.9 3.1 ④、
点评： 在实际问题中 在实际问题中， 点评：(1)在实际问题中，经常会遇到类似 的指数增长模型：设原有量为N， 的指数增长模型：设原有量为 ，平均增长 率为p，则对于经过时间x后的总量 后的总量y可以用 率为 ，则对于经过时间 后的总量 可以用 y=N(1+p)x表示 表示. (2)形如 形如y=kax(k∈R，a>0且a≠1)的函数称为 形如 ∈ ， 且 的函数称为 指数型函数。 指数型函数。
思考:不同底数的函数图象有什么特点？ 思考:不同底数的函数图象有什么特点？
1 y=( ) 10
y 8
x
y=10x y=3x
7
6
1 y=( ) 3
x
5
4
1 y = ( )x 2
3 2 1
y=2
x
0<a<1
−4 − 3 − 2 −1
o
1
2
3
4
x
a>1
a>1, a越大 越大,y=ax 越靠近坐标轴 越靠近坐标轴; 越大 0<a<1, a越小 y=ax 越靠近坐标轴 越小, 越靠近坐标轴; 越小
例2 已知指数函数 y = f ( x) 的图像经过点 ( 3, π ) , 的值. 求 f ( 0 ) 、f (1)、f ( −3)的值.
分析： 分析：设指数函数 f ( x ) = a ( a > 0, a ≠ 1) 因为它的图象经过点 ( 3, π ) ， 有 1 即 f ( 3) = π ，解得 a =π3 a3 = π 于是有 x
浙江省普通高中课程数学必修一 2.1.2 指数函数及其性质1 指数函数及其性质
材料1:某种细胞分裂时,由 个分裂成 个分裂成 个分裂成2个 个分裂成4 材料 某种细胞分裂时 由1个分裂成 个,2个分裂成
一个这样的细胞分裂x次后 得到的细胞分裂的个数y与 个……一个这样的细胞分裂 次后 得到的细胞分裂的个数 与 一个这样的细胞分裂 次后,得到的细胞分裂的个数 x的函数关系是什么 的函数关系是什么? 的函数关系是什么
1 3
2 3
3
3 号连接起来。 , 用“<”号连接起来。 4
1 2
2 3 4 − < < < 2 3 4 3
3
1 2
1 3
2 3
指数函数图象与性质的应用：
思考:指数函数 思考 指数函数
y =a ,y =b ,y =c ,y =d
x x x
例 3.求下列函数的定义域和 值域 .
(1) y = 5
1 x−2
1 ; (2) y = 2
2 x− x2
.
点评：函数的定义域就是指使函数有意义 点评： 的所有自变量x的集合； 的所有自变量 的集合； 的集合 复合函数的值域可用“换元法” 复合函数的值域可用“换元法”求 解。
1 6
−
二、新 课
③、
a 和a ，（a > 0, a ≠ 1)
x
1 3
1 2
④、
1.7 0.3 , 0.9 3.1
1 3 1 2
1 2 1 3
解： ③、 a 当
∴ > 1时，y = a 是R上的增函数， a < a
0.3
当0 < a < 1时，y = a x是R上的减函数，a > a
④、 1.7 ∵
∴1.7 2.5 < 1.73
− 1 5
1 6
−
1 5
解：① 函数y = 1.7 x 在( −∞, +∞)是增函数， 又 ∵ 2.5 < 3，
4 ②、 3
3 = 4
1 5
1 1 3 函数y = 在R是减函数， ∵ < ， 又 6 5 4
1 5
x
3 4 ∴ > 4 3
练习
其中a>0 a>0且 1 设y1=a3x+1，y2=a-2x，其中a>0且a≠1, 确定x为何值时, 确定x为何值时,有 （1）y1=y2 （2）y1>y2
1 求函数y 2 求函数y = 2
x2 −2x −1
的单调递增区间。 的单调递增区间。
1、指数函数的定义。 、指数函数的定义。 2、指数函数简图的作法以及应注意的地方。 、指数函数简图的作法以及应注意的地方。 3、指数函数的图像和性质。 、指数函数的图像和性质。
x
a, b, c, d 与正整数 1 0 共五个数， . 共五个数，从大到小的顺序是 ： < b < a < 1 < d < c
的图象如下图所示， 的图象如下图所示，则底数
结论： 结论：在（0，+∞）底数越小，图象越接近于 轴。 ， ）底数越小，图象越接近于x轴
y
y = bx y = ax
1
y=c y=d
探究 上述问题中的函数解析式有
什么共同特征？ 什么共同特征？ 问题 问题 1 问题 2 解析式
1 5730 1 P = = 2 2
tห้องสมุดไป่ตู้
1 5730
共同特征

t
指数幂形式 自变量在指 数位置 底数是常量
x
y=2
x
表 示为 y = a
指数函数的定义
-1 -2 -3
1 y= 2
x
y=2x
2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3
1 函数y=2x的图象和函数 y = 的图象 函数y=2 x 2 1 x的图象画出 y = 有什么关系？可否利用y=2 有什么关系？可否利用y=2 2 的图象？ 的图象？ 两个函数图象关于y 两个函数图象关于y轴对称
y = 2x
材料2:当生物死后,它机体内原有的碳 会按确定的 材料 当生物死后 它机体内原有的碳14会按确定的 它机体内原有的碳
规律衰减,大约每经过 年衰减为原来的一半,这个时间 规律衰减 大约每经过5730年衰减为原来的一半 这个时间 大约每经过 年衰减为原来的一半 称为‘‘半衰期” 根据此规律 人们获得了生物体内碳14 ‘‘半衰期 根据此规律,人们获得了生物体内碳 称为‘‘半衰期”.根据此规律 人们获得了生物体内碳 含量P与死亡年数 之间的关系,这个关系式应该怎样表示 与死亡年数t之间的关系 含量 与死亡年数 之间的关系 这个关系式应该怎样表示 呢? t 1 5730 y=( ) 2
函数y = a (a > 0, 且a ≠ 1) 叫做 指数函数(exponentialfunction), 指数函数(exponentialfunction),
x
其中x是自变量,函数的定义域是R. 其中 是自变量,函数的定义域是 . 是自变量
为什么要规定" a > 0, 且a ≠ 1"呢?
思考
为什么要规定a>0, 为什么要规定 >0, ≠1呢 且 a≠1呢？ ≠1
例8、截止到1999年底，我国人口约13亿。如果今 截止到1999年底，我国人口约13亿 1999年底 13 后能将人口年平均增长率控制在1% 那么经过20 1%， 20年 后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年 我国人口数最多为多少（精确到亿）？ 后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？ 年份 1999 2000 2001 2002 … 1999+x 经过年数 0 1 2 3 … x y= 13(1+1%)x 人口数（ 人口数（亿）
> 1而0.93.1 < 1,
∴1.7
0.3
> 0.9
3.1
小结比较指数大小的方法： ①、构造函数法：要点是利用函数的单调性，数的特征是 同底不同指（包括可以化为同底的），若底数是参变量要 注意分类讨论。 ②、搭桥比较法：用别的数如0或1做桥。数的特征是不同 底不同指。
4 2 练习： 练习：将 ,2 , − 3 3
x
x
x 0
五、课堂小结
本课我们主要学习了哪些内容？ 本课我们主要学习了哪些内容？应当注意些什 么？ （1）本节课主要学习了指数函数的定义、图 本节课主要学习了指数函数的定义、 象和性质。 象和性质。 （2）弄清楚底数a>1和0<a<1时函数图象的不 弄清楚底数a>1和0<a<1时函数图象的不 a>1 同特征及性质是学好本节课的关键所在。 同特征及性质是学好本节课的关键所在。