晶体定向和晶面符号《结晶学》

一、晶体定向的概念
晶体定向就是在晶体上选择坐标系统。即选择
坐标轴（或称为结晶轴）和确定各坐标轴上的 单位长（轴单位）之比（轴率）。
Z
Z
U Y X Y
X
1、晶轴：交于晶体中心的三条轴，它们分别称为x、y、z
轴，晶轴之间的夹角称为轴角，分别表示为：（yz）、 （zx）、（xy）。 注意：三方晶系及六方晶系为四轴定向，在水平方向 上为x、y、u三条互成120度夹角的坐标。
B、在上述前提下，应尽可能使晶轴垂直，轴单位
近乎相等。
§3.2各晶系晶体定向的具体原则

三轴定向
等轴、四方、斜方、单斜、三斜

四轴定向
三方、六方
1、等轴晶系
选轴原则：相互垂直的L4或Li4或L2为x、y、z轴
Z
Y
X
晶体常数：a＝b＝c，α ＝β ＝γ ＝９０0
2、四方晶系
选轴原则：以L4或Li4为z轴，以垂直z轴并相 互垂直的L2或P的法线或晶棱方向为x、y轴。
:
OC2
= e:f:g
C2
O
A1 A2
B2
B1
X
Y
1、截距系数之比为整数比
因为晶面是面网，晶轴是行列，晶面与晶轴之交点 为结点，或平移相交于结点。因此，若以晶轴之结 点间距为度量单位，则晶面在晶轴上的截距系数之 比为整数比
c
a
b
2、为简单整数比
晶体面网密度越大，则晶面在晶轴上的截距系数之 比越简单。又依布拉维法则，晶体总是为面网密度 较大的面网所包围，所以为简单整数比。
数为0表示晶棱垂直于相应晶轴。
（4）对于三方、六方晶系的四轴定向，相应晶棱 符号的一般式写作 [u v · w].
§3.6整数定律和晶带定律
一、 晶体的整数定律（有理指数定律）
内容：晶体上任意两晶面，在相交于一点且不在同一 平面内的三条晶棱上的截距的比值之比为简单整数比
Z
OA1
OB1
OC1
C1
:
OA2 OB2
晶带与晶面的关系： 设晶带为[u v w]，晶带中任一晶面为（h k l）， 则有数学关系式：hu＋kv＋lw = 0。
晶带定律的应用：
①判断晶面（h k l）是否属于已知晶带（u v w) 根据公式： hu＋kv＋lw＝0 举例：已知晶带[112]，判断（021）和（130） 是否属于该晶带 答案：（021）属于；（130）不属于
相互平行。 3）同一晶面符号中，指数的绝对值越大，表示晶面在 相应结晶轴上的截距系数值（绝对值）越小；在轴单位 相等的情况下，还表示相应截距的绝对长度也越短。
思考：

设有一晶体的晶面在三根晶轴上的截距之比 为1：1：1，若这一晶体属于斜方晶系，它 的晶面符号怎样？若是四方晶系、等轴晶系， 它的晶面符号又该怎样？
答案:斜方(hkl) 四方（hhl）等轴（111）
二、四轴定向时晶面符号


晶面符号一般写为（h k i l） a b d c h:k:i:l= : : :
OX OY OU OZ
根据定向时三个水平轴正端互成120o交角 关系，三个指数之间的关系为h+k+i=0
u
T
O Y U
y
X x
证明h+k+i＝0的图解
X x F
Y O y
(5)去掉比号，加中括号，[uvw]即为晶棱符号。
补充说明：
（1）没有求倒数的步骤。
（2）对晶棱符号，对应指数的绝对值相等而符号 相反的两个晶棱符号表示同一晶棱，如[001]
和[001]是同一晶棱
（3）指数为0，并不表示晶棱与相应轴平行，在直 角坐标系下，即等轴、四方、斜方晶系中，指
按一定的顺序列出一定方向上的对称
要素,而省略了等同的和派生的对称要素。

等同对称要素
借助于对称型中其他对称要素的变换作用 而相互重复的同种对称要素。
L3
P3
120° P3 P2 P1 120° 120° P2
P1
L33P

派生对称要素
根据对称要素组合定理由已知对称要素导出的
其他对称要素。
L2 C P
举例：求同时属于晶带[102]和[112]的晶面符号 答案：（201）（201）
只出现 1 或 1，则为三斜；
“2” ≤1，或“m” ≤1，则为单斜； “2”
＞1，
或“m”
＞1，则为斜方
§3.4晶面符号

结晶符号： 晶面符号、晶棱符号、晶带符号、单形符号。 晶面符号: 表示晶面在空间位置的符号。晶面符号有几种，最常 采用米氏符号，又称米勒指数(英国W．H．Miller 1839)。
Z
Y X
晶体常数 a＝b≠c，α＝β＝γ＝９０0
3、斜方(正交)晶系
选轴原则：相互垂直的3个L2为x、y、z轴；
在L22P中以L2为z轴，以两个P的法线为x、y轴
Z
Y
X

晶体常数
a≠b≠c，α ＝β ＝γ ＝９０o
4、单斜晶系
选轴原则：以L2或P的法线为y轴，以垂直y轴的 主要晶棱方向为z、x轴（z与x轴一般不正交）
2、轴单位与轴率
轴单位是晶轴的长度单位，也即作为晶轴的行列的结
点间距。x、y、z轴上的轴单位分别以a0,b0,c0表示。 轴率为轴单位之比即a:b:c
3、晶体常数
轴率a:b:c及轴角合称为晶体常数。 表示晶体坐标系特征的一组参数
二、晶轴的选择（晶体定向基本原则）
晶轴的选择不是任意的，应遵循选轴原则： A、应符合晶体本身所固有的对称规律。所以晶轴 首选为对称轴（到转轴），次为对称面法线，再次 为主要晶棱方向。
答案：［112］或［112］
③求同时属于两晶带 [u1 v1 w1]和[u2 v2 w2]
的晶面符号
解：建立方程组： hu1＋kv1＋lw1 = 0
hu2＋kv2＋lw2 = 0
h:k :l
v1 w1 v 2 w2 : w1 u1 w2 u 2 : u1 v1 u 2 v2
上下两行互换位 置，结果如何？
二、晶带和晶带定律
1、晶带：交棱相互平行的一组晶面的组合。
2、晶带轴：每个晶带的交棱方向称晶带轴。
3、晶带符号：用晶带轴方向的晶棱指数表示晶 带在空间的位置，一般式仍用[uvw]或[uv·w] 表示。
4、晶带定律：任何两个晶棱（晶带）相交决定
一可能晶面，而任意两晶面相交必可决定一可
能晶棱（晶带）。
对称型的国际符号的书写：
符号位数：是由不超过三个的位组成。 符号表示：每个位分别表示晶体该方向上所存在 的全部对称要素。
即：
◆
平行的对称轴或旋转反伸轴；
◆
◆
垂直的对称面； 当这两类对称要素在同一方向上同时存在 时，则写成分式的形式。
晶
系
序 位 1
代表方向 x或y或z轴方向 三次轴方向 x、y或x、z或y、z轴之间 四次轴,即z方向 与四次轴垂直,在x或y轴方向 与四次轴垂直,并与位2成450 六次或三次轴,即z 方向 与六次或三次轴垂直,在x或y或u轴方向
②已知两晶面（h1 k1 l1）和（h2 k2 l2）求包含两晶
面的晶带符号 解：建立方程组： h1u＋k1v＋l1w = 0
h2u＋k2v＋l2w = 0
u:v:w
k1 l1 : k 2 l2 l1 h1 : l 2 h2 h1 k1 h2 k 2
上下两行互换位 置，结果如何？
举例：求包含两晶面（110）（201）的晶带符号
2／m。 第二、第三位空着。 在此符号中没有写出C，它可根据对称要素组 合定理推导出来。

■举例：L44L25PC的国际符号的写法

L44L25PC四方晶系，国际符号三个位的方向：
Z轴、 X轴、 X轴与Y轴的角平分线；

第1位(Z轴) ：L4(4)和垂直L4的对称面P(m)，写做4/m； 第2位(X轴) ：L2(2)和垂直L2的对称面P(m)，写做2/m；
等轴晶系
2 3 1
四方晶系
2 3 1 2
三方及六方 晶系
3
1 2
与六次或三次轴垂直,并与位2成300角
x轴方向 y轴方向
斜方晶系 单斜晶系 三斜晶系
3
1 1
z轴方向
y轴方向 任意方向
■
举例： L2PC 的国际符号的写法
L2PC属于单斜晶系，只一个位，代表方向y轴

第1位(y轴):一个L2和垂直L2的对称面P，写成
一、三轴定向晶面符号确定
（1）按晶体定向原则进行晶体定向； （2）求待标晶面在X、Y、Z轴上的截距 X pa、qb、rc，得截距系数p、q、r ；
Z
Y
（3）取截距系数的倒数比1/p：1/q：1/r = h：k：l （为最小整数比）； （4）去掉比号、以小括号括起来，写为(h k l)。 注意：若晶面交于晶轴负端，则在相应指数上方加“－”号
第3位(X轴与Y轴的角平分线)：L2(2)和垂直L2的对称面P(m)， 写做2/m。 将三个位的符号按照序位排列：4/m2/m2/m。

根据国际符号判断该对称型属于何晶族晶系
1、首先看第二位是否为“3”，若为“3”（3代表4L3）， 则为高级晶族等轴晶系 2、第二位不是3，则看第一位。若第一位为高次轴符号， 则为中级晶族；根据轴次高低判断属于相应晶系 3、符号中无高次轴符号，则为低级晶族。
z
u
y x
晶体常数 a＝b≠c，α ＝β ＝９０°γ ＝１２０°
总结－晶体定向方法
1、根据晶体对称型，确定晶体属于何种晶系
2、对应各晶系定向原则，确定相应的x轴、y轴、z轴
注意：七大晶系中，单斜晶系先确定y轴，其它 晶系均先确定z轴
思考：
能否根据各晶体晶体常数特点确定属于 何种晶系？
§3.3
对称型的国际符号
第三章 晶体定向和结晶符号
主要内容 晶体定向的概念 各晶系的晶体定向方法 对称型国际符号 晶面符号,晶棱符号 整数定律及晶带定律
§3.1晶体定向
为什么要晶体定向？
1、晶体具有对称型，但对称型不是 决定外形的唯一因素，如同一对称型， 它可以有多种晶形。 2、确切地描述一个晶体，就必须确 定晶面在空间的相对位置、取向。 3、由于晶体的各向异性，要描述不 同方向的物理性质，也必须定向。
举例
d
O
b
a
六方晶系晶面符号
§3.5晶棱符号
只规定方向，不涉及位置，所有平行直线方向相同
z
(1)选定晶轴x、y、z且相应轴单位为a、b、c； (2)平移晶棱直线过原点；
K Z
M
R
P
(3)在该直线上任取一结点M，将其投影 至a、b、c轴得截距 OX、OY、OZ；
(4)作OX/a:OY/b:OZ/c = u:v:w （最小整数比）；
一、国际符号中对称要素的表示法
对称面：m 对称轴：以轴次的数字表示， 如 1、2、3、4 和 6
旋转反伸轴：轴次数字上面加“-”号， 如 1 、 、 和 。 、2 3 4 6
注意:由于1 L1i C ，习惯用 1 代表对称中心。
二、对称型的国际符号书写规则
z
y
x
晶体常数 a≠b≠c，α ＝γ ＝９０°β
＞９０°
5、三斜晶系
选轴原则：以不在同一平面内的3个主要晶棱 方向为x、y、z轴
Z
Y
X
晶体常数 a≠b≠c，α β γ ９０°
6、三方、六方晶系
选轴原则：以L6、Li6、L3为z轴，以垂直z轴并彼此相 交为1200的3个L2或P的法线或晶棱方向为x、y、u轴
c
举例
Z
答案
(432)
O
Y
b
(433)
X
Z
a
思考：若晶面平行于某一晶轴，相应晶面指数 如何写？
Z
举例：
Y
X
答案（100）（100）（010）（010）（001）（001）
补充说明：
1）晶面符号中某指数为0，表示该晶面平行于相应晶轴。
2）同一晶体中，如有两晶面，对应三组晶面指数的绝
对值全部相等，而正负号恰好全部相反，则两晶面必