回溯

n皇后问题
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n皇后问题




n皇后问题的解空间就应该是1～n全排列的 一部分。 解空间的长度是n。 解空间的组织形式是一棵n叉树，一个可行的 解就是从根节点到叶子节点的一条路径。 控制策略则是当前皇后与前面所有的皇后都 不同列和不同对角线。
骑士遍历（递归）
procedure search(k: integer); // 递归查找 begin for i := 1 to 4 do // 依次尝试四个方向 if (x + dx[i] <= n) and (y + dy[i] > 0) and (y + dy[i] <= n) then // 在棋盘上 begin route[k] := i; // 记录下当前方向 x := x + dx[i]; y := y + dy[i]; // 修改扩展节点坐标 if (x = n) and (y = m) then // 是否是目标点 begin output(k); halt; // 是目标点，输出结果并终止程序 end else search(k+1); // 不是目标点，继续尝试下一步 // 扩展出的点是死点，回溯 x := x - dx[i]; y := y - dy[i]; // 恢复扩展节点坐标 end; end;
n皇后问题




首先要把第一个皇后放到棋盘上由于第一个皇后有 n列可以放，因此可扩展出n种情况。先选其中一列 放下这个皇后； 然后开始放第二个皇后。同样第二个皇后也有n列 可以放，因此也能扩展出n种情况，但第二个皇后 可能会和第一个皇后发生攻击，而一旦发生攻击， 就没有必要往下扩展第三个皇后，而如果没有发生 攻击，则继续放第三个皇后； 依此类推，直到n个皇后全都放下后，即得到一组 可行解。 扩展全部完成后即可得到结果。
三、回溯的一般步骤
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3.
首先需要为问题定义一个解空间（solution space），这个空间必须至少包含问题的一 个解； 然后我们需要组织解空间，以便它能被容易 地搜索。典型的组织方法是图或树。 最后对这个空间即可按深度优先的方法从开 始节点进行搜索。
三、回溯的一般步骤




开始节点既是一个活节点又是一个E-节点（expansion node、扩展节点）。 从E-节点可移动到一个新节点。 如果能从当前的E-节点移动到一个新节点，那么这个新 节点将变成一个活节点和新的E-节点，旧的E-节点仍是 一个活节点。 如果不能移到一个新节点，当前的E-节点就“死”了 （即不再是一个活节点），那么便只能返回到最近被考 察的活节点（回溯），这个活节点变成了新的E-节点。 当我们已经找到了答案或者回溯尽了所有的活节点时， 搜索过程结束。
骑士遍历
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若马所处的位置为(x,y)， 则其下一步可以到达的四 个位置分别是(x+1, y-2)， (x+2, y-1)，(x+2, y+1)， (x+1, y+2)。
在使用增量数组后，只要 知道方向t，下一步的位置 就是(x+dx[t], y+dy[t])。
增量数组： dx = (1, 2, 2, 1) dy = (-2, -1, 1, 2)
四、应用举例—跳马问题

在n×m棋盘上有一中国象棋中的马：
1. 马走日字； 2. 马只能往右走。

请你找出一条可行路径，使得马可以从棋盘 的左下角（1，1）走到右上角（n，m）。
跳马问题

输入：9 5 输出：
(1,1)->(3,2)->(5,1)->(6,3)->(7,1)->(8,3)>(9,5)
n皇后问题（边界判定）
function check(pos: integer): boolean; var i: integer; begin check := true; for i := 1 to pos - 1 do if (x[pos] = x[i]) or (abs(x[pos] - x[i]) = abs(pos - i)) then begin check := false; break; end; end;
骑士遍历

为了判断棋子是否落在棋盘上，我们还必须 知道当前棋子（扩展节点）的位置信息。而 用一系列的方向来表示就比较麻烦，因此， 我们另外使用两个变量来保存当前棋子的坐 标。但这时千万要注意的是一定要在回溯的 时候，修改当前棋子的坐标。
骑士遍历




骑士遍历问题的解空间是从左下角到右上角 的所有路径。 解空间的长度是所有路径中最长的路径的长 度。 解空间的组织形式是一棵四叉树，一个可行 的解就是从根节点到叶子节点的一条路径。 控制策略则是马必须在棋盘内。
一、回溯的概念


回溯算法常被用来解决自然数排列问题、皇 后问题、迷宫问题、数的拆分、0/1背包问 题、骑士问题、货船装箱问题和图形覆盖问 题等。 下面我们来看一段走迷宫的演示，初步体会 一下回溯的思路。
二、回溯的一般描述
procedure rbacktrack(k); begin if k > n then return else for each x(k)，如果x(k)∈t(x(1)…x(k-1))且 b(x(1)…x(k))=true do begin if x(1)…x(k)是一个解 then write(x(1)…x(k) else rbacktrack(k+1); end; end;
回溯
一、回溯的概念

从问题的某种可能情况出发，搜索所有能到 达的可能情况，然后以其中一种可能的情况 为新的出发点，继续向下探索，当所有可能 情况都探索过且都无法到达目标的时候，再 回退到上一个出发点，继续探索另一个可能 情况，这种不断回头寻找目标的方法称为 “回溯法”。
一、回溯的概念

回溯算法是一种有条不紊的搜索问题答案的 方法，是一种能避免不必要搜索的穷举式的 搜索算法，其基本思想就是穷举搜索。常用 于查找问题的解集或符合某些限制条件的最 佳解集。
n皇后问题（递归）
procedure search(k: integer); var i: integer; begin if k > n then // 是否前n个皇后都已经放下 inc(count) else // 还有皇后没放 for i := 1 to n do // 从第1列开始逐列尝试 begin x[k] := i; // 把第k个皇后放在第i列 if check(k) then // 第k个皇后是否可以放在第i列 search(k + 1); // 可以放，继续处理第k+1个皇后 end; end;
骑士遍历（非递归）
top := 1; // 从第一步开始尝试 while ((x <> n) or (y <> m)) and (top > 0) do begin inc(route[top]); // 取下一个方向为当前方向 if (route[top] > 4) then begin // 是否四个方向全部尝试过 dec(top); // 都尝试过，回溯，并恢复扩展节点坐标 x := x - dx[route[top]]; y := y - dy[route[top]]; end else begin // 还有方向可以尝试 x := x + dx[route[top]]; y := y + dy[route[top]]; // 修改扩展节点坐标 if (x > n) or (y > m) or (y < 1) then begin // 活动点是否在棋盘上 x := x - dx[route[top]]; y := y - dy[route[top]]; // 不在棋盘上，恢复 end else begin // 在棋盘上 inc(top); // 继续尝试一步 route[top] := 0; // 下一步从第一个方向开始尝试 end; end; end;
三、回溯的一般步骤
1. 2. 3.
定义一个解空间，它包含问题的解； 用适于搜索的方式组织该空间； 用深度优先法搜索该空间，利用限界函数避 免移动到不可能产生解的子空间。
四、应用举例—n皇后问题


我们在前面已经讨论过n皇后问题，现在我们 用回溯的思路来分析一下n皇后问题，看看是 否能枚举较少的排布。 我们仍旧规定第k个皇后位于第k行。 既然回溯算法是由一个节点开始扩展的，因 此我们现在一个一个的把皇后放到棋盘上。
n皇后问题（非递归）
top := 1; // 从第一个皇后开始尝试 while (top > 0) do // 当还有活动节点时循环 if (top > n) then // 是否n个皇后都放置在棋盘了 begin inc(count); // 找到一组解，总数加一 dec(top); // 回到上一皇后继续 end else // n个皇后还没有都放置好 begin inc(x[top]); // 当前皇后到下一列 if (x[top] > n) then // 是否超出棋盘 dec(top) // 超出棋盘，回到上一个皇后继续 else // 没有超出棋盘 if check(top) then // 检查当前位置是否可以放皇后 begin inc(top); // 可以放置，继续尝试下一个皇后 x[top] := 0; // 下一个皇后从第一列开始尝试 end; end;