(精编课件)求曲线方程方法.ppt
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高中数学-求曲线的方程精品ppt课件
y
F
M
B
l
O
x
练习：已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2. 动点P到F的距离是它到l距离的2倍，建立适当的坐标系，求这 条曲线的方程。
例题2：
已知A(2,0),B(4,4), P是动点，若P到A、 B的距离相等，求P的轨迹方程。 设P(x,y), ∵|PA|=|PB|,
y
B
P
A
( x 2) 2 y 2 ( x 4) 2 ( y 4) 2 ,
例题3：
已知定点A(4,0)和圆x2+y2=1上的动点B, (1)P是AB的中点,求点P的轨迹方程;
y
B ( x0 , y0 ) P ( x, y )
Oቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)直线AB与圆交于B、C，
Q是BC的中点,求点Q的轨迹方程.
A(4,0)
x
代点法
几何法
练习：1.已知A(-1,-3),B(3,5),若点C在抛物线y=x2-4上移动,求 △ABC 的重心P的轨迹.
求曲线的方程
定义： （1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）. 求曲线方程步骤：（1）设点； （2）代化
例题1：
已知一条直线 l 和它上方的一个点 F，点F到l的距离是2.一条曲线也在 l 的上方，它上面的每一点到F的距离 减去到l的距离的差都是2，建立适当 的坐标系，求这条曲线的方程。
x
x 2 4 x 4 y 2 x 2 8 x 16 y 2 8 y 16 得x 2 y 7 0, 即为P的轨迹方程.
法2：P的轨迹就是AB的中垂线， 公式法 AB中点为(3,2)，斜率为2, 1 所求方程为y 2 ( x 3), 即x 2 y 7 0, 2 练习：已知A(1,0),B(2,4), P是动点， (1)若直线PA、PB的斜率之积为1，求P的轨迹方程； (2)若直线PA、PB的斜率之积为-1，求P的轨迹方程。
求曲线的方程 课件
l1
⊥
l2
，
பைடு நூலகம்
所
以
|PM|
＝
1 2
|AB|.
而
|PM|
＝
x－22＋y－42，
|AB|＝ 2x2＋2y2，
所以 2 x－22＋y－42＝ 4x2＋4y2，
化简，得 x＋2y－5＝0 为所求轨迹方程．
[点评] 1.直译法求轨迹方程是常用的基本方法，大多数 题目可以依据文字叙述的条件要求，直接“翻译”列出等式整 理可得．
[解析] 解法一：如图所示，设点 A(a,0)，B(0，b)，M(x， y)，因为 M 为线段 AB 的中点，所以 a＝2x，b＝2y，即 A(2x,0)， B(0,2y)．因为 l1⊥l2，所以 kAP·kPB＝－1.而 kAP＝24－－20x(x≠1)， kPB＝42－－20y，
所以1－2 x·2－1 y＝－1(x≠1)． 整理得，x＋2y－5＝0(x≠1)．
(5)参数法：选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标 x， y，得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方程．
(6)交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参 数，例如求动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立 这些动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程．
命题方向 直译法求曲线的方程 [例 1] 过点 P(2,4)作两条互相垂直的直线 l1、l2，若 l1 交 x 轴于 A 点，l2 交 y 轴于 B 点，求线段 AB 的中点 M 的轨 迹方程．
(3)待定系数法：根据条件能知道曲线方程的类型，可设出 其方程形式，再根据条件确定待定的系数．
(4)代入法：动点 M(x，y)随着动点 P(x1，y1)的运动而运动， 点 P(x1，y1)在已知曲线 C 上运动，可根据 P 与 M 的关系用 x， y 表示 x1，y1，再代入曲线 C 的方程，即可得点 M 的轨迹方程．
求曲线的方程 课件
方法技巧 解决此类问题要从两方面入手:(1)曲线上的点的坐标都是这 个方程的解,即直观地说“点不比解多”称为纯粹性;(2)以这个方程的解 为坐标的点都在曲线上,即直观地说“解不比点多”,称为完备性,只有点和 解一一对应,才能说曲线是方程的曲线,方程是曲线的方程.
即时训练1-1:设方程f(x,y)=0的解集非空,如果命题“坐标满足方程f(x,y)=0 的点都在曲线C上”是不正确的,那么下列命题正确的是( ) (A)坐标满足方程f(x,y)=0的点都不在曲线C上 (B)曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x,y)=0 (C)坐标满足方程f(x,y)=0的点有些在曲线C上,有些不在曲线C上 (D)一定有不在曲线C上的点,其坐标满足f(x,y)=0
解析:由题意知,命题“坐标满足方程f(x,y)=0的点不都在曲线C上”正 确,即“一定有不在曲线C上的点,其坐标满足方程f(x,y)=0”.故选D.
题型二 由方程研究曲线 【例2】下列方程分别表示什么曲线:
(1)(x+y-1) x 1 =0; (2)2x2+y2-4x+2y+3=0.
解:(1)由方程(x+y-1) x 1 =0 可得
题型一 曲线的方程与方程的曲线 【例1】 (1)命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”是真命题, 下列命题中正确的是( ) (A)方程f(x,y)=0表示的曲线是C (B)方程f(x,y)=0表示的曲线不一定是C (C)f(x,y)=0是曲线C的方程 (D)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上
解得
x y
1, 1.
从而方程表
示的图形是一个点(1,-1).
一题多变: 将本例(1)中的方程变为“(x+y-2)· x2 y2 9 =0”,判断方程表示什么
曲线方程PPT课件
求曲线方程的基本步骤:
1.建立坐标系，设动点坐标; 2.写出动点满足的等量关系; 3.用坐标表示等量关系; 4.化简方程; 5.证明或检验所得的方程是否符合 题意，作答.
建立坐标系的一般规律:
若条件中有 以该二直线为坐标轴. 1.两条垂直的直线，
以对称图形的对称轴为坐标轴. 2.对称图形， 3.已知长度的线段， 以线段所在直线为对称轴，端点或中点为原点.
谢谢使用《求曲线轨迹方12月10日
例题分析
例题1:已知点A(-1，0)，B(2，0)，动点 M满足2∠MAB=∠MBA，求点M的轨 迹方程 求解? .
归纳: 本题中M点的位置由三种可能，必须分类求 解，才能避免失根. 另外，在求轨迹方程的问题中，如果化简方 程过程是同解变形.则由此所得的最简方程就是所 求曲线的方程; 如果化简过程不是同解变形，所求得的方程 就不一定是所求曲线的方程 .此时，应该通过限 制x，y的取值范围来去掉增根，使得化简前后的 方程的同解.
解答: 1.已知定点A(0，-1)，动点P在曲线y=2x2+1 上移动，则线段AP的中点的轨迹方程 是:____ • 设中点Q(x，y)，P(x0，y0)，则 x0=2x，y0 =2y+1， 代入y0 =2x02+1得: y=4x2
小
结
• 正确地求曲线得轨迹方程， • 一要熟练的掌握求曲线方程的基本步骤， • 二要记住解题的4条注意事项，对自己的 解得的结果作检验.
归纳:本题具有隐含条件:x<0，y≠0.解题中容易漏掉. 为此应注意以下几点: ①防止忽略动点应满足的某些隐含条件; ②防止方程的不同解变形引起的增根或减根; ③图形可以有不同的位置，因分类讨论; ④字母系数可取不同值，一定要讨论.
例题分析
1.建立坐标系，设动点坐标; 2.写出动点满足的等量关系; 3.用坐标表示等量关系; 4.化简方程; 5.证明或检验所得的方程是否符合 题意，作答.
建立坐标系的一般规律:
若条件中有 以该二直线为坐标轴. 1.两条垂直的直线，
以对称图形的对称轴为坐标轴. 2.对称图形， 3.已知长度的线段， 以线段所在直线为对称轴，端点或中点为原点.
谢谢使用《求曲线轨迹方12月10日
例题分析
例题1:已知点A(-1，0)，B(2，0)，动点 M满足2∠MAB=∠MBA，求点M的轨 迹方程 求解? .
归纳: 本题中M点的位置由三种可能，必须分类求 解，才能避免失根. 另外，在求轨迹方程的问题中，如果化简方 程过程是同解变形.则由此所得的最简方程就是所 求曲线的方程; 如果化简过程不是同解变形，所求得的方程 就不一定是所求曲线的方程 .此时，应该通过限 制x，y的取值范围来去掉增根，使得化简前后的 方程的同解.
解答: 1.已知定点A(0，-1)，动点P在曲线y=2x2+1 上移动，则线段AP的中点的轨迹方程 是:____ • 设中点Q(x，y)，P(x0，y0)，则 x0=2x，y0 =2y+1， 代入y0 =2x02+1得: y=4x2
小
结
• 正确地求曲线得轨迹方程， • 一要熟练的掌握求曲线方程的基本步骤， • 二要记住解题的4条注意事项，对自己的 解得的结果作检验.
归纳:本题具有隐含条件:x<0，y≠0.解题中容易漏掉. 为此应注意以下几点: ①防止忽略动点应满足的某些隐含条件; ②防止方程的不同解变形引起的增根或减根; ③图形可以有不同的位置，因分类讨论; ④字母系数可取不同值，一定要讨论.
例题分析
求曲线方程(PPT)3-3
Ⅰ.复习回顾：
上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程的
曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借助
于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某
种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标
（x,y）所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，通过
研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这一
节，我们就来学习这一方法.
点M
[] 中文学名 鲨鱼 别 称 鲛、沙鱼、鲛鲨 二名法 鲨鱼 界 动物界 门脊索动物门 亚 门脊椎动物亚门 纲软骨鱼纲 亚 纲板鳃亚纲 目 侧孔总目（鲨总目） 分布区 域热带、亚热带海洋。我国分布于东海、南海、黄海等海域。 活动范围 所有海域～米的水中 拼 音 shā yú 英文名 Shark 目录 外形特征 生殖方式 ? 卵生 型 ? 卵胎生 ? 胎生型 种群分类 活性成分 主要价值 保护现状 威胁人类的鲨鱼 8 巨齿鲨 外形特征 体呈长纺锤形。鳃裂侧位，胸鳍正常，不与吻的前缘愈 合；北鳍背位；歪尾型。 [] 身体呈纺锤状，头两侧有腮裂，但类似普通鱼。除个别例外，典型的鲨鱼皮肤坚硬，呈暗灰色，牙齿状鳞片使皮肤显得粗糙。尾 部强壮有力，不对称、上翘；鳍呈尖状；吻尖，前突，吻下有新月形嘴及三角形尖牙。鲨鱼无鳔，需不停地游泳以免沉到水底。 [] 体型大小 8%种类的鲨鱼 体全长在.m以下，绝大多数鲨鱼都是小型鱼类。鲨鱼中最大为鲸鲨又叫鲸纹，长达m，重-8kg，可谓鱼中之王了，最小的为宽尾小角鲨（又叫小抹香鲛）， 成熟的雄鱼cm，雌鱼cm，大小鲨鱼其体大小差距在多倍。现发现第三纪地层化石种巨噬人鲨，齿长.cm，估计体长可达m，美国自然历史博物馆展出此种 两颌模型，可容纳个人站在口中。 [] 牙齿形式 鲨鱼牙齿是由齿质、骨齿质和类珐琅质等构成，它是由盾鳞演变而来 鲨鱼 鲨鱼 的。齿的形态为分类依据之一， 鲨鱼齿样式多，有呈梳状
上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程的
曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借助
于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某
种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标
（x,y）所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，通过
研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这一
节，我们就来学习这一方法.
点M
[] 中文学名 鲨鱼 别 称 鲛、沙鱼、鲛鲨 二名法 鲨鱼 界 动物界 门脊索动物门 亚 门脊椎动物亚门 纲软骨鱼纲 亚 纲板鳃亚纲 目 侧孔总目（鲨总目） 分布区 域热带、亚热带海洋。我国分布于东海、南海、黄海等海域。 活动范围 所有海域～米的水中 拼 音 shā yú 英文名 Shark 目录 外形特征 生殖方式 ? 卵生 型 ? 卵胎生 ? 胎生型 种群分类 活性成分 主要价值 保护现状 威胁人类的鲨鱼 8 巨齿鲨 外形特征 体呈长纺锤形。鳃裂侧位，胸鳍正常，不与吻的前缘愈 合；北鳍背位；歪尾型。 [] 身体呈纺锤状，头两侧有腮裂，但类似普通鱼。除个别例外，典型的鲨鱼皮肤坚硬，呈暗灰色，牙齿状鳞片使皮肤显得粗糙。尾 部强壮有力，不对称、上翘；鳍呈尖状；吻尖，前突，吻下有新月形嘴及三角形尖牙。鲨鱼无鳔，需不停地游泳以免沉到水底。 [] 体型大小 8%种类的鲨鱼 体全长在.m以下，绝大多数鲨鱼都是小型鱼类。鲨鱼中最大为鲸鲨又叫鲸纹，长达m，重-8kg，可谓鱼中之王了，最小的为宽尾小角鲨（又叫小抹香鲛）， 成熟的雄鱼cm，雌鱼cm，大小鲨鱼其体大小差距在多倍。现发现第三纪地层化石种巨噬人鲨，齿长.cm，估计体长可达m，美国自然历史博物馆展出此种 两颌模型，可容纳个人站在口中。 [] 牙齿形式 鲨鱼牙齿是由齿质、骨齿质和类珐琅质等构成，它是由盾鳞演变而来 鲨鱼 鲨鱼 的。齿的形态为分类依据之一， 鲨鱼齿样式多，有呈梳状
求曲线的方程 课件
4
类型 二 代入法求曲线的方程
【典型例题】
1.设圆C:(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的任意弦,则所作弦的中
点的轨迹方程是
.
2.设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为两边
作平行四边形MONP,求点P的轨迹方程.
【解题探究】1.若已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),则线段P1P2中点P 的坐标是什么?
( x ,)y,线段MN的中点坐标为( x0 3),.y0 4
22
22
因为平行四边形的对角线互相平分,所以
x x0 3 , y 从 y而0 4， 2 22 2
x0 x 3,
y0
y
4.
由N(x+3,y-4)在圆上,得(x+3)2+(y-4)2=4.
因此所求P点的轨迹方程为(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两
求曲线的方程
一、坐标法和解析几何 1.坐标法:坐标法是指借助于_坐__标__系__,通过研究方程的性质 间接地来研究曲线性质的方法. 2.解析几何:解析几何是指数学中用_坐__标__法__研究几何图形 的知识形成的学科.
3.解析几何研究的主要问题: (1)曲线研究方程:根据已知条件,求出_表__示__曲__线__的__方__程__. (2)方程研究曲线:通过曲线的方程,研究_曲__线__的__性__质__. 思考:用坐标法研究解析几何问题的前提条件是什么? 提示:用坐标法研究解析几何问题时首先要建立适应的平面直 角坐标系,这样,点有了坐标,曲线也就有了方程的形式.
2.如图,以AB所在直线为x轴,以线段AB的垂直
平分线为y轴建立直角坐标系,则A(-a,0)意一点,连接CO,则由
类型 二 代入法求曲线的方程
【典型例题】
1.设圆C:(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的任意弦,则所作弦的中
点的轨迹方程是
.
2.设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为两边
作平行四边形MONP,求点P的轨迹方程.
【解题探究】1.若已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),则线段P1P2中点P 的坐标是什么?
( x ,)y,线段MN的中点坐标为( x0 3),.y0 4
22
22
因为平行四边形的对角线互相平分,所以
x x0 3 , y 从 y而0 4， 2 22 2
x0 x 3,
y0
y
4.
由N(x+3,y-4)在圆上,得(x+3)2+(y-4)2=4.
因此所求P点的轨迹方程为(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两
求曲线的方程
一、坐标法和解析几何 1.坐标法:坐标法是指借助于_坐__标__系__,通过研究方程的性质 间接地来研究曲线性质的方法. 2.解析几何:解析几何是指数学中用_坐__标__法__研究几何图形 的知识形成的学科.
3.解析几何研究的主要问题: (1)曲线研究方程:根据已知条件,求出_表__示__曲__线__的__方__程__. (2)方程研究曲线:通过曲线的方程,研究_曲__线__的__性__质__. 思考:用坐标法研究解析几何问题的前提条件是什么? 提示:用坐标法研究解析几何问题时首先要建立适应的平面直 角坐标系,这样,点有了坐标,曲线也就有了方程的形式.
2.如图,以AB所在直线为x轴,以线段AB的垂直
平分线为y轴建立直角坐标系,则A(-a,0)意一点,连接CO,则由
求曲线的方程PPT优秀课件
点都是曲线上的点。
(不要求证明，但要检验是否产生增解或漏解.)
思考：1如何把实际问题转化为数学问题？ 2.你觉得应如何建立直角坐标系？ 3.从军舰看甲乙两岛，保持视角为直角可转化为哪些几何条件？ 4.所求方程与军舰巡逻路线是否对应？
测试评价
已知点C到直线L的距离为8，若动点P到点C 和直线L的距离相等，求动点P的轨迹方程。
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
――[阿萨·赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉·海兹利特]
116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯·里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子]
(不要求证明，但要检验是否产生增解或漏解.)
思考：1如何把实际问题转化为数学问题？ 2.你觉得应如何建立直角坐标系？ 3.从军舰看甲乙两岛，保持视角为直角可转化为哪些几何条件？ 4.所求方程与军舰巡逻路线是否对应？
测试评价
已知点C到直线L的距离为8，若动点P到点C 和直线L的距离相等，求动点P的轨迹方程。
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
――[阿萨·赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉·海兹利特]
116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯·里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子]
求曲线的方程ppt完美课件 人教课标版
发散1：已知线段AB长为5，动点P到线段AB两 端点的距离相等，求动点P的轨迹方程。
你能说出它的轨迹吗？
思考1.与例1相比，有什么显著的不同点？ 2.你准备如何建立坐标系，为什么？ 3.比较所求的轨迹方程有什么区别？ 从中得到什么体会?
（1）没有确定坐标系时，要求方程首先必须建立坐标系； （2）同一条曲线，在不同的坐标系中可能有不同的方程； （3）坐标系选取适当，可以使运算简单，所得的方程也 比较简单。
.老王对公 司的新 措施有 些看法 ，也是 正常的
感谢聆听，欢迎指导！
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如何建立适当的直角坐标系？
求曲线的方程ppt完美课件 人教课标版
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建立坐标系的原则:
一、建立的坐标系有利于求出题目的结果； 二、尽可能多的使图形上的点（或已知点），
落在坐标轴上； 三、充分利用图形本身的对称性； 若曲线是轴对称图形,则可以选它的对称轴为坐标轴, 也可以选取曲线上的特殊点为坐标原点. 四、保持图形整体性.
y B
o
x
A
思考：①如果把这条垂直平分线看成是动点 运动的轨迹，那么这条垂直平分线上任意一 点应该满足怎样的几何条件？
②几何条件能否转化为代数方程？用什么方 法进行转化？
③用新方法求得的直线方程，是否已符合要 求？为什么？(提示:方程与曲线构成对应关 系,必须满足什么条件?)
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1. 一个完美的历史家必须绝对具有足 够的想 象力 2 一个作者的观念看更像是在反映他 自己的 生活于 其中的 那个代 ，而不 是他所 描写的 那个代
3. 历史是有个人特征的人物的王国， 是本身 有价值 而又不 可能重 演的个 别事件 的王国 4. 不同的历史家对同一现象可以提出 十分不 同乃至 截然对 立，但 又同样 似乎可 能的解 释而不 至于歪 曲事实 ，或违 背通行 的处理 证据的 准则
你能说出它的轨迹吗？
思考1.与例1相比，有什么显著的不同点？ 2.你准备如何建立坐标系，为什么？ 3.比较所求的轨迹方程有什么区别？ 从中得到什么体会?
（1）没有确定坐标系时，要求方程首先必须建立坐标系； （2）同一条曲线，在不同的坐标系中可能有不同的方程； （3）坐标系选取适当，可以使运算简单，所得的方程也 比较简单。
.老王对公 司的新 措施有 些看法 ，也是 正常的
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如何建立适当的直角坐标系？
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建立坐标系的原则:
一、建立的坐标系有利于求出题目的结果； 二、尽可能多的使图形上的点（或已知点），
落在坐标轴上； 三、充分利用图形本身的对称性； 若曲线是轴对称图形,则可以选它的对称轴为坐标轴, 也可以选取曲线上的特殊点为坐标原点. 四、保持图形整体性.
y B
o
x
A
思考：①如果把这条垂直平分线看成是动点 运动的轨迹，那么这条垂直平分线上任意一 点应该满足怎样的几何条件？
②几何条件能否转化为代数方程？用什么方 法进行转化？
③用新方法求得的直线方程，是否已符合要 求？为什么？(提示:方程与曲线构成对应关 系,必须满足什么条件?)
求曲线的方程ppt完美课件 人教课标版
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1. 一个完美的历史家必须绝对具有足 够的想 象力 2 一个作者的观念看更像是在反映他 自己的 生活于 其中的 那个代 ，而不 是他所 描写的 那个代
3. 历史是有个人特征的人物的王国， 是本身 有价值 而又不 可能重 演的个 别事件 的王国 4. 不同的历史家对同一现象可以提出 十分不 同乃至 截然对 立，但 又同样 似乎可 能的解 释而不 至于歪 曲事实 ，或违 背通行 的处理 证据的 准则
1曲线方程课件求曲线方程的四种常用方法(共19张PPT)
交y 轴于点B，求线段AB的中点M的轨迹方程。
参数法—知识总结与练习
参数法求曲线方程：当由条件很难直接建立动点坐标 x, y关系时， 则可设出参数（如斜率、角度、长度等），建立动点坐标 x, y
与参数的关系式，进而设法消去参数，即得动点的轨迹方程。要
注意消参前后 x, y 的等价性。
参数法—知识总结与练习
随另一动点的运动而有规律的运动， 且点轨迹为给定或容易求得，适宜 于用相关点法。
02
直接法：如果动点运动的条件就是
一些几何量的等量关系，这些条件简 单明确，易于表达成含有的等式，就 得到轨迹方程，这种方法称为直接法。 直接法求动点轨迹方程的一般步骤： 设点、列式、代换、化简、说明。
参数法：求轨迹方程有时很难直接
①（北京卷）设 A(c,0), B(c,0)(c 0)为两定点，动点P到点A的距 离与到点B的距离之比为定值 a(a 0) ，求点P的轨迹。
②（江苏卷）已知圆 O1, O2 的半径都为1，| O1O2 | 4过两圆外的动 点P分别作圆 O1,O2 的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得 | PM | 2 | PN | 试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程。
y x1 Fra bibliotekx2y2
t1x
t12 y
0
①
以OB为直径的圆的方程为：
y x
t22 t2
y x
1
x2
y2
t2 x
t22
y
0
②
因为点C（x, y)满足①②，由①②知 t1,t2 是关于 t 的二次方程
yt 2 xt x2 y2
0
的两根，则： t1t2
x2
y
y2
又因为 t1t2
参数法—知识总结与练习
参数法求曲线方程：当由条件很难直接建立动点坐标 x, y关系时， 则可设出参数（如斜率、角度、长度等），建立动点坐标 x, y
与参数的关系式，进而设法消去参数，即得动点的轨迹方程。要
注意消参前后 x, y 的等价性。
参数法—知识总结与练习
随另一动点的运动而有规律的运动， 且点轨迹为给定或容易求得，适宜 于用相关点法。
02
直接法：如果动点运动的条件就是
一些几何量的等量关系，这些条件简 单明确，易于表达成含有的等式，就 得到轨迹方程，这种方法称为直接法。 直接法求动点轨迹方程的一般步骤： 设点、列式、代换、化简、说明。
参数法：求轨迹方程有时很难直接
①（北京卷）设 A(c,0), B(c,0)(c 0)为两定点，动点P到点A的距 离与到点B的距离之比为定值 a(a 0) ，求点P的轨迹。
②（江苏卷）已知圆 O1, O2 的半径都为1，| O1O2 | 4过两圆外的动 点P分别作圆 O1,O2 的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得 | PM | 2 | PN | 试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程。
y x1 Fra bibliotekx2y2
t1x
t12 y
0
①
以OB为直径的圆的方程为：
y x
t22 t2
y x
1
x2
y2
t2 x
t22
y
0
②
因为点C（x, y)满足①②，由①②知 t1,t2 是关于 t 的二次方程
yt 2 xt x2 y2
0
的两根，则： t1t2
x2
y
y2
又因为 t1t2
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3.求已知类型的曲线方程，一般用待定系数法或直接 法求解；求未知类型的曲线方程，有代入法、参数法、 定义法等，其解法比较灵活，并且因题而异.
Excellent courseware
平面基本轨迹
（1）平面内到两定点的距离相等的点的轨迹是连结这两点的 线段的垂直平分线。
（2）平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为 圆心，定长为半径的圆。
2.1.2 曲线与方程
高二数学 选修系列
第二章 圆锥曲线与方程
Excellent courseware
直接法
√ √ 求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤:
1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点 M 的坐标 (x, y) ;
√ 2.写出适合条件 P 的几何点集: P M P(M ) ;
3.用坐标表示条件 P(M ) ,列出方程 f (x, y) 0 ;
8
x
=
x1 + 6 2
y
=
y1
找两动点 关系
∴
x1 y1
= =
2x 2y
-
6
反解
6
2
4
y=x2+3
A
点A（X1，Y1）在曲线y=x2+3上，则
M
y1=x12+3
代入
2
代入，得 2y=（2x-6）2+3
整理, 得AB的中点的轨迹方程为
OB
x
y
=
2
x
-
3
2
+
3 2
化简
-2
Excellent courseware
且 OC 13
2
BC O
0
x
∵M 为 AB 的中点, ∴由圆的性质可知 MC⊥OM
妙! ∴MC=OC/2= 13 2
轨迹方程为 (x
3)2
(y
1) 2
13
2
4
Excellent courseware
小结
1.求曲线方程的常用方法:
(1)直接法 (2)相关点法 (3)定义法 (4)参数法 2.轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，轨迹是指曲线， 轨迹方程是指曲线的方程.求轨迹方程的本质，就是在 给定的坐标系中，求轨迹上任意一点的横坐标与纵坐标 之间的关系.
Excellent courseware
变 变式 .△ABC 的顶点 B、C 的坐标分别为(0,0)、(4,0), 式 A B 边上的中线的长为 3,求顶点 A 的轨迹方程.
解:设 A 的坐标分别为 (x, y) ,AB 的中点 D 的坐标为 (x1, y1)
y ( x, y) 由中点坐标公式可知
Excellent courseware
练习
1、已知A(-a,0),B(a,0) (a R ) 若动点M与两定点A，B构
成直角三角形，求直角顶点M的轨迹方程。
2、在ABC 中，已知顶点A(1,1),B(3,6),且 ABC 的面积
等于3，求顶点C的轨迹方程。 3、（江苏，06）已知两点M(-2,0),N(2,0), 点P为坐标平面 内的动点，满足 MN MP MN NP 0 。则动点P(x,y)的
思维漂亮!
M
0Ax
Excellent courseware
一、定义法
例1 长为2的线段AB的两端点分别在两条互相垂 直的直线上滑动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
y
BM
x2＋y2＝1
O
A
x
定义法:在建系的基础上，寻求几何关系时 候利用几何关系与基本曲线的定义做题：
即：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的 定义，可用定义直接求解 Excellent courseware
P
过原点作圆的弦OA，求OA
中点B的轨迹方程.
AO
Bx
2. 已知点A(-1,0),B(2,0),有一动点P使
PBA 2PAB 恒成立,求的点P轨迹方程.
3、已知 ABC 中，A(-2,0),B(0,-2),第三顶点C在曲线
y 3x2 1上移动，求 ABC的重心轨迹方程。
4、已知G是 ABC 的重心，A(0,-1),B(0,1),在x轴上
x1
y1
x 2 y 2
A
∵AB 边上的中线 CD=3
D
∴ (x1 4)2 y12 9
B
化简整理得 (x 8)2 y2 36
∴点 A 的轨迹方程为 (x 8)2
y2
0
36
.
y
0C
Mx
法二: 添辅助线 MA,巧用图形性质, 妙极了! 注:这种求轨迹方程的方E法xcell叫ent c做ours相ewa关re 点坐标分析法(代入法)
二、待定系数法
例2、已知方程 ax2 by2 2的曲线经过 A（0，5)和点B（1,1） 3
求a, b及方程
解：由题意可知
注：已知曲线的方
a02 a12
b(5)2 3
b12 2
2
b a
18 25 32 25
程模式或类型， 设出方程，代入所 过的点，求出系数。
32x2 18y2 2即16x2 9 y2 1
x
点差法 6(x1 x2) ∵ kOM
k
4( y1 即
AB
y x
y2
∴ 2x y 2y 6 4
)0
y1 y2 yx10x2
(易知 x1
∴化简得
x2
x2
)
y2
3x
2y
0
∴所求轨x迹方程为 x2x y2 3x 2y 0
(在已知圆内部一段弧对E应xcell的ent c方ours程ewa)re
Excellent courseware
轨迹方程为
。
4.动点在圆 x 2 y 2 1 上移动时，它与定点 B(3,0) 连线
的中点的轨迹方程是( )
5.点 M (x, y)与定点 F (1, 0) 距离和它到直线 x 8的距离的
1
比为 ,则动点 M 的轨迹方程为( )
2
Excellent courseware
思考题
y
1.设圆(x-1)2+y2=1的圆心为C，
6 4k x1 x2 1 k 2 消去参数 k 得 x2
,
9 x1 x2 1 k 2
y2 3x 2y 0
∴
x
y
3 2k
1 k2
k
3 1
2k k2
参数法：求轨迹方程的基本步骤：建系—设求的点—引参数—
用参数表示x,y——消参——Exc检ellen验t courseware
变式：求抛物线 y x2 (2m 1)x m2 1(m R)的顶点 的轨迹方程。
（2）以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点 都在曲线C上. (完备性)
Excellent courseware
2、平面解析几何研究的主要问题是：
1.求曲线的方程;
2.通过方程研究曲线的性质.
在平面上建立直角坐标系: y f(x,y)=0
点 一一对应 坐标(x,y) 曲线 坐标化 曲线的方程
0
x
迪卡尔
25 25
25 25
变：已知过原点的圆， 过点（1,0），（0，5), 求其圆的方程
Excellent courseware
三、相关点法
例2.已知线段AB, B点的坐标（6,0），A点在曲线
y=x2+3上运动，求AB的中点M的轨迹方程. y 10
解；设AB的中点M的坐标为（x，y），
又设A（X1，Y1），则 设点
解:设 M (x, y) ,A (x1, y1) ,B (x2 , y2 )
A
则
x y
x1 x2 2
y1 y2
2
且
x12 x22
y12 6x1 4y1 9 0 ① y22 6x2 4y2 9 0 ②
M
BC
由①─②得 (x1 x2 )(x1 x2 ) ( y1 y2 )( y1 y2 ) 0
解：设抛物线的顶点为 (x, y)
x
2m 2
1
x
m
1 2Βιβλιοθήκη ym5 4
消去m
y x 3 4
所以抛物线顶点的轨迹 方程：y x 3/ 4
Excellent courseware
一题多解
例 3.经过原点的直线 l 与圆 x2 y2 6x 4 y 9 0 相交于
l 两个不同点 A、B，求线段 AB 的中点 M 的y轨迹方程.
变式练习
若三角形ABC的两顶点C，B的坐标分别是C（0，0），
B（6，0），顶点A在曲线y=x2+3上运动，求三角形ABC
重心G的轨迹方程.
y 10
8
y=x2+3
6
A
4
Excellent courseware
2
M
OB
x
-2
-4
四 例 3.经过原点的直线 l 与圆 x2 y2 6x 4 y 9 0 相交于
坐标法
形成
研究
解析几何
Excellent courseware
练习
如图,已知点 C 的坐标是(2 , 2) , 过点 C 直线 CA 与 x 轴交于点 A,过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB 与 y
轴交于点 B,设点 M 是线段 AB 的中点,求点 M 的轨
迹方程.
yB
活用几何性质来找关系 (x, y) C
（3）平面内到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线。
（4）平面内到一定直线的距离等于定长的点的轨迹是平行于这 条直线的两条平行线。 （5）平面内到两条平行的定直线的距离相等点的轨迹是平行 于它们的一条直线。即两条平行线的公垂线段的中垂线。 （6）平面内对定线段的视角为直角的点的轨迹是以这条线段 为直径的圆。
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平面基本轨迹
（1）平面内到两定点的距离相等的点的轨迹是连结这两点的 线段的垂直平分线。
（2）平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为 圆心，定长为半径的圆。
2.1.2 曲线与方程
高二数学 选修系列
第二章 圆锥曲线与方程
Excellent courseware
直接法
√ √ 求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤:
1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点 M 的坐标 (x, y) ;
√ 2.写出适合条件 P 的几何点集: P M P(M ) ;
3.用坐标表示条件 P(M ) ,列出方程 f (x, y) 0 ;
8
x
=
x1 + 6 2
y
=
y1
找两动点 关系
∴
x1 y1
= =
2x 2y
-
6
反解
6
2
4
y=x2+3
A
点A（X1，Y1）在曲线y=x2+3上，则
M
y1=x12+3
代入
2
代入，得 2y=（2x-6）2+3
整理, 得AB的中点的轨迹方程为
OB
x
y
=
2
x
-
3
2
+
3 2
化简
-2
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且 OC 13
2
BC O
0
x
∵M 为 AB 的中点, ∴由圆的性质可知 MC⊥OM
妙! ∴MC=OC/2= 13 2
轨迹方程为 (x
3)2
(y
1) 2
13
2
4
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小结
1.求曲线方程的常用方法:
(1)直接法 (2)相关点法 (3)定义法 (4)参数法 2.轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，轨迹是指曲线， 轨迹方程是指曲线的方程.求轨迹方程的本质，就是在 给定的坐标系中，求轨迹上任意一点的横坐标与纵坐标 之间的关系.
Excellent courseware
变 变式 .△ABC 的顶点 B、C 的坐标分别为(0,0)、(4,0), 式 A B 边上的中线的长为 3,求顶点 A 的轨迹方程.
解:设 A 的坐标分别为 (x, y) ,AB 的中点 D 的坐标为 (x1, y1)
y ( x, y) 由中点坐标公式可知
Excellent courseware
练习
1、已知A(-a,0),B(a,0) (a R ) 若动点M与两定点A，B构
成直角三角形，求直角顶点M的轨迹方程。
2、在ABC 中，已知顶点A(1,1),B(3,6),且 ABC 的面积
等于3，求顶点C的轨迹方程。 3、（江苏，06）已知两点M(-2,0),N(2,0), 点P为坐标平面 内的动点，满足 MN MP MN NP 0 。则动点P(x,y)的
思维漂亮!
M
0Ax
Excellent courseware
一、定义法
例1 长为2的线段AB的两端点分别在两条互相垂 直的直线上滑动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
y
BM
x2＋y2＝1
O
A
x
定义法:在建系的基础上，寻求几何关系时 候利用几何关系与基本曲线的定义做题：
即：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的 定义，可用定义直接求解 Excellent courseware
P
过原点作圆的弦OA，求OA
中点B的轨迹方程.
AO
Bx
2. 已知点A(-1,0),B(2,0),有一动点P使
PBA 2PAB 恒成立,求的点P轨迹方程.
3、已知 ABC 中，A(-2,0),B(0,-2),第三顶点C在曲线
y 3x2 1上移动，求 ABC的重心轨迹方程。
4、已知G是 ABC 的重心，A(0,-1),B(0,1),在x轴上
x1
y1
x 2 y 2
A
∵AB 边上的中线 CD=3
D
∴ (x1 4)2 y12 9
B
化简整理得 (x 8)2 y2 36
∴点 A 的轨迹方程为 (x 8)2
y2
0
36
.
y
0C
Mx
法二: 添辅助线 MA,巧用图形性质, 妙极了! 注:这种求轨迹方程的方E法xcell叫ent c做ours相ewa关re 点坐标分析法(代入法)
二、待定系数法
例2、已知方程 ax2 by2 2的曲线经过 A（0，5)和点B（1,1） 3
求a, b及方程
解：由题意可知
注：已知曲线的方
a02 a12
b(5)2 3
b12 2
2
b a
18 25 32 25
程模式或类型， 设出方程，代入所 过的点，求出系数。
32x2 18y2 2即16x2 9 y2 1
x
点差法 6(x1 x2) ∵ kOM
k
4( y1 即
AB
y x
y2
∴ 2x y 2y 6 4
)0
y1 y2 yx10x2
(易知 x1
∴化简得
x2
x2
)
y2
3x
2y
0
∴所求轨x迹方程为 x2x y2 3x 2y 0
(在已知圆内部一段弧对E应xcell的ent c方ours程ewa)re
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轨迹方程为
。
4.动点在圆 x 2 y 2 1 上移动时，它与定点 B(3,0) 连线
的中点的轨迹方程是( )
5.点 M (x, y)与定点 F (1, 0) 距离和它到直线 x 8的距离的
1
比为 ,则动点 M 的轨迹方程为( )
2
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思考题
y
1.设圆(x-1)2+y2=1的圆心为C，
6 4k x1 x2 1 k 2 消去参数 k 得 x2
,
9 x1 x2 1 k 2
y2 3x 2y 0
∴
x
y
3 2k
1 k2
k
3 1
2k k2
参数法：求轨迹方程的基本步骤：建系—设求的点—引参数—
用参数表示x,y——消参——Exc检ellen验t courseware
变式：求抛物线 y x2 (2m 1)x m2 1(m R)的顶点 的轨迹方程。
（2）以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点 都在曲线C上. (完备性)
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2、平面解析几何研究的主要问题是：
1.求曲线的方程;
2.通过方程研究曲线的性质.
在平面上建立直角坐标系: y f(x,y)=0
点 一一对应 坐标(x,y) 曲线 坐标化 曲线的方程
0
x
迪卡尔
25 25
25 25
变：已知过原点的圆， 过点（1,0），（0，5), 求其圆的方程
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三、相关点法
例2.已知线段AB, B点的坐标（6,0），A点在曲线
y=x2+3上运动，求AB的中点M的轨迹方程. y 10
解；设AB的中点M的坐标为（x，y），
又设A（X1，Y1），则 设点
解:设 M (x, y) ,A (x1, y1) ,B (x2 , y2 )
A
则
x y
x1 x2 2
y1 y2
2
且
x12 x22
y12 6x1 4y1 9 0 ① y22 6x2 4y2 9 0 ②
M
BC
由①─②得 (x1 x2 )(x1 x2 ) ( y1 y2 )( y1 y2 ) 0
解：设抛物线的顶点为 (x, y)
x
2m 2
1
x
m
1 2Βιβλιοθήκη ym5 4
消去m
y x 3 4
所以抛物线顶点的轨迹 方程：y x 3/ 4
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一题多解
例 3.经过原点的直线 l 与圆 x2 y2 6x 4 y 9 0 相交于
l 两个不同点 A、B，求线段 AB 的中点 M 的y轨迹方程.
变式练习
若三角形ABC的两顶点C，B的坐标分别是C（0，0），
B（6，0），顶点A在曲线y=x2+3上运动，求三角形ABC
重心G的轨迹方程.
y 10
8
y=x2+3
6
A
4
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2
M
OB
x
-2
-4
四 例 3.经过原点的直线 l 与圆 x2 y2 6x 4 y 9 0 相交于
坐标法
形成
研究
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练习
如图,已知点 C 的坐标是(2 , 2) , 过点 C 直线 CA 与 x 轴交于点 A,过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB 与 y
轴交于点 B,设点 M 是线段 AB 的中点,求点 M 的轨
迹方程.
yB
活用几何性质来找关系 (x, y) C
（3）平面内到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线。
（4）平面内到一定直线的距离等于定长的点的轨迹是平行于这 条直线的两条平行线。 （5）平面内到两条平行的定直线的距离相等点的轨迹是平行 于它们的一条直线。即两条平行线的公垂线段的中垂线。 （6）平面内对定线段的视角为直角的点的轨迹是以这条线段 为直径的圆。