辅助圆与最值问题

B

E

F

A

B C

D

P

A

B

C E

F

P

辅助圆与最值问题

一、从圆的定义构造圆

圆的定义：_________________________________________

构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为__________，则其轨迹是__________．

例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并

且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点

P处，则点P到边AB距离的最小值是__________．

练习：如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的

中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到

△A’MN，连接A’C，则A’C长度的最小值是__________．

二、定边对直角

知识回顾：直径所对的圆周角是________．

构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．

基本图形：

例2.已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足

BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则PD的最小值为_________．

练习. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=12，点D为线段BC上

一动点，以CD为直径，作AD交⊙O于点E，连BE，则BE的最小值

为______________。

三、定边对等角

圆周角定理：同圆或等圆中，同

周

角都相等。

A'

N

M

A B

C

D

Q A

B

C

D

E

F

P

A

H

G

A

B C

D

E

F

E

F

C

B

A P

基本图形： ∠P =30° ∠P =45° ∠P =60° ∠P =135° 例3：如图，在⊙O 中，弦AD 等于半径，B 为优弧AD 上的一动点，等腰△ABC 的底边BC 所在的直线经过点D ，若⊙

O 的半径等于1，则OC 的长不可能为

A

．2 B 1 C ．

2 D 1

练习(19年中考题)：如图，AB 是圆O 的直径，M 、N 是弧AB （异于A 、B ）上两点，C 是弧MN 上一动点，∠ACB 的角平分线交圆O 于点D ，

∠BAC 的平分线交CD 于点E ，当点C 从点M 运动到点N 时，则C 、E 两点的运动路径长的比是_______． 检测题：

1．（2016年元调）如图，扇形OAB 的圆心角的度数为120°，半径长为4，P 为弧AB 上的动点，PM ⊥OA ，PN ⊥OB ，垂足分别为M 、N ，D 是△PMN 的外心．当点P 运动的过程中，点M 、N 分别在半径上作相应运动，从点N 离开点O 时起，到点M 到达点O 时止，点D 运动的路径长为（ ） A ．π32

B ．π

C ．2

D ．32

2.如图，矩形ABCD 中，AB =4，BC =8，P 、Q 分别是直线BC 、AB 上的两个动点，AE =2，△AEQ 沿EQ 翻折形成△FEQ ，连接PF 、PD ，则PF +PD 的最小值是_________．

3.【2013武汉中考】如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE =DF ，连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ，若正方形边长为2，则线段DH 长度的最小值是________．

4.如图，等边

△ABC 边长为2，E 、F 分别是BC 、CA 上两个动点，且

BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为________．作业：1.勤学早P152；2.好好卷P36.